文档内容
绝密★考试启用前
字节教育·广安市 2025 年高 2023 级第零次诊断性模拟考试
数学试题
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1. 答题前, 务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上, 将条形
码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2. 选择题必须使用2B铅笔填涂对应题目的答案标号，如需改动，用橡皮擦擦干净后，
再选涂其他答案标号;。
3. 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整、笔迹清楚。请按照题
号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效; 在草稿纸、试
卷上答题无效。
4. 保持卡面清洁, 不要折叠, 不要弄破、弄皱, 不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
5. 考试结束后, 只将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合要求。
1．随着Deepseek的流行，各种AI大模型层出不穷，现有甲、乙两个AI大模型，在对甲、乙
两个大模型进行深度体验后，6位评委分别对甲、乙进行打分（满分10分），得到如图所示
的统计表格，则下列结论不正确的是
评委编号
和 1 2 3 4 5 6
模型名称
甲 7.0 9.3 8.3 9.2 8.9 8.9
乙 8.1 9.1 8.5 8.6 8.7 8.6
A．甲得分的平均数大于乙得分的平均数
B．甲得分的众数大于乙得分的众数
C．甲得分的中位数大于乙得分的中位数
D．甲得分的方差大于乙得分的方差
2．若复数z满足1+ i z = i，则z的虚部为
A． B．1 C．- i D．i
3．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
4．下列各组中，不同解的是
数学试题 第 1 页（共 4 页）
学科网（北京）股份有限公司A． 与
B． 与
C． 与 或
D． 与
5．在△ABC中， ，则
A． B． C． D． 或
6．若F是抛物线 的焦点，P是抛物线C上任意一点， 的最小值为
，且A，B是抛物线C上两点， ，则线段 的中点到y轴的距离为
A．3 B．2 C． D．
7．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则
A．52 B．96 C．106 D．120
8．已知 ，且 ，则
A．3 B．2 C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。
9．已知数列 中， ， ，则下列结论正确的是
A． B． 是递增数列
C． D．
10．已知函数 ，则下列说法正确的是
A．若 ，则
B． 的图象关于原点对称
C．若 ，则
D． ，都有 成立
11．已知△ABC是边长为2的等边三角形， 分别是边 的中点，则不正确
的是
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
数学试题 第 2 页（共 4 页）
学科网（北京）股份有限公司12．已知向量 ， ， ，若 ，则实数 ．
13．若函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为
．
14．如图，四边形 是边长为 的正方形，半圆面
平面 ，点 为半圆弧AD上一动点（点 与点 ， 不
重合），当直线 与平面 所成角最大时，平面 截
四棱锥 外接球的截面面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。
15.（13分）
已知函数 （ ， ）的图象的两条相邻对称轴之间的距
离是 ，将 图象上所有的点先向右平移 个单位长度，再将所得图象上所有的点
的横坐标缩短到原来的 ，得到函数 的图象，且 为偶函数．
（1）求 的解析式；
（2）若不等式 对 恒成立，求 的取值范围．
16.（15分）
已知椭圆 的一个顶点 ,过左焦点且垂直于x轴的直线截
椭圆C得到的弦长为2,直线 与椭圆C交于不同的两点M,N.
（1）求椭圆C的方程;
（2）当 的面积为 时,求实数k的值.
17.（15分）
如图1，在直角梯形 中， 为
的中点，将 沿 折起，使
，如图2，连接 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的大小
数学试题 第 3 页（共 4 页）
学科网（北京）股份有限公司18.（17分）
已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，证明： .
19.（17分）
某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：
①顾客在该商场内的消费额每满100元，可获得1张奖券；
②每张奖券可以进行1次抽奖活动，即从装有4个白球、2个红球的盒子中，随机摸取1
个球（每个球被摸到的可能性相同）．奖励规则：若摸出白球，则没有中奖，摸出的白
球放回原盒子中，本张奖券抽奖活动结束；若摸出红球，则中奖，获得礼品1份，且摸
出的红球不放回原盒子中，同时得到一次额外的抽奖机会（该抽奖机会无需使用新的奖
券），继续从当前盒子中随机摸取1个球，其奖励规则不变；
③从第二张奖券开始，使用每张奖券抽奖时均在前一张奖券抽奖活动的基础上进行；
④若顾客获得2份礼品（即该顾客将2个红球都摸出）或使用完所获奖券，则该顾客本次
购物的抽奖活动结束．
（1）顾客甲通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“甲使用第2张奖
券抽奖，中奖"的概率；
（2）顾客乙通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“乙获得第2份礼
品时，共使用了3张奖券”的概率；
（3）顾客丙消费了1000元，设 表示顾客丙在这次抽奖活动中所使用奖券的数量，求
的分布列及其期望 ．
数学试题 第 4 页（共 4 页）
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数学试题答案解析与评分标准
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
A B B D D B B C BD CD ABC
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合要求。
1．A
【分析】根据已知数据分别应用中位数，众数，平均数及方差定义分别计算判断各个选项.
【解析】甲、乙的得分从小到大排列如下：
甲： ，乙： ，
甲得分的中位数为 ，乙得分的中位数为 ，甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故C
正确；
甲得分的众数 ，乙得分的众数为 ，甲得分的众数大于乙得分的众数，故B正确；
甲得分的平均数 ，
乙得分的平均数 ，所以甲得分的平均数等于乙得分的平
均数，故A错误；
甲的方差
，
乙的方差为
故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确.
故选：A.
2．B
【分析】先求出 ，结合虚部的概念可得答案.
数学试题答案解析与评分标准 第 1 页（共 15 页）
学科网（北京）股份有限公司【解析】因为 ，所以 ，所以 的虚部为1.
故选：B
3．B
【分析】利用指数函数单调性解不等式可得集合 ，再由交集运算可得结果.
【解析】由 ，得 ，所以 ，
所以 ．
故选：B．
4．D
【分析】A中 ，可判断两个不等式的解集相同；
B中由于 与 等价，可得两个不等式的解集相同；
C中根据绝对值不等式 等价于 或 知：两个不等式的解集相同；
D中由 知两个不等式不同解，由此可得选项.
【解析】对于A： ，所以 与
两个不等式的解集相同；
对于B：因为 与 等价，所以 与 两
个不等式的解集相同；
对于C：根据绝对值不等式 等价于 或 知： 与
或 的解集相同；
对于D：根据 知： 等价于
且 ，所以D中的两个不等式不同解，
故选D.
【方法点拨】本题考查不等式的同解问题，注意分式不等式中的分母的符号的判断和分母不
数学试题答案解析与评分标准 第 2 页（共 15 页）
学科网（北京）股份有限公司为0的要求，绝对值不等式的基本等价转化的形式，属于基础题.
5．D
【分析】利用余弦定理列方程，求解即得.
【解析】由余弦定理， ，
即 ，解得 .
故选：D.
6．B
【分析】根据题意可知 ，利用抛物线的定义和梯形的中位线即可求解.
【解析】根据抛物线性质可知： 的最小值为 ，所以由题意可得： ，
如图，取 中点E，分别过点A、B、E作
于点D、C、G， 与y轴交于点H，
根据抛物线的定义可得： ，
，
因为 为梯形 的中位线，所以
，
所以线段 的中点到y轴的距离 .
故选：B.
7．B
【分析】先由题设 结合等差数列下标和性质得 ，再结合等差数列前
n项和公式即可求解.
【解析】由题得 ，
所以 ，则 .
故选：B
8．C
数学试题答案解析与评分标准 第 3 页（共 15 页）
学科网（北京）股份有限公司【分析】由同角三角函数的平方关系和二倍角正弦公式求出 ，再由二倍角的余弦
公式代入化简 ，结合同角三角函数的基本关系即可求出答案.
【解析】因为 ，
所以 ，所以 ，
又 ，解得： ，
因为 ，所以 ,所以 ，
所以 .
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。
9．BD
【分析】根据题意，化简得到 ，得到 表为等比数列，进而求得
数列的通项公式 ，结合选项，逐项判定，即可求解.
【解析】由 ，可得 ，则 ，
又由 ，可得 ，所以数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ，
由 ，所以A不正确；
由 ，即 ，所以 是递增数列，所以B正确；
数学试题答案解析与评分标准 第 4 页（共 15 页）
学科网（北京）股份有限公司由 ，所以C错误；
由 ， ，所以 ，所以D正确.
故选：BD.
10．CD
【分析】利用正弦函数的性质，结合相位的取值范围来研究正弦型函数的单调性，对称性和
值域，从而来判断各选项即可.
【解析】对于A，若 ，则 ，
所以 ，或 ，
即 ，或 ，故A错误；
对于B，又 ，
由于 ，所以 不可能是奇函数，
则 的图象不可能关于原点对称，故B错误；
对于C，当 时， ，满足是正弦函数的增区间 的子集，
所以函数 在 上单调递增，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，
故 ，所以 ，
又 ，即 ，
所以 ，都有 成立，故D正确．
数学试题答案解析与评分标准 第 5 页（共 15 页）
学科网（北京）股份有限公司故选：CD．
11．ABC
【分析】根据向量的运算法则得到ABC错误，由向量数量积的定义式可得D正确，
【解析】对选项A： ，故A错误；公众号：高中试卷君
对选项B： ，故B错误；
对选项C： ，故C错误；
对选项D： ，故D正确.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12． /-0.5
【分析】根据向量线性运算的坐标运算及向量共线的性质直接求得参数值.
【解析】由 ， ， ，
则 ，
又 ，
则 ，
解得 ，
故答案为： .
13．
【分析】求导，令 ，求得 ，进而可求解.
【解析】因为 ，
所以 ，
数学试题答案解析与评分标准 第 6 页（共 15 页）
学科网（北京）股份有限公司令 ，得 ，解得 ，
所以 ，
则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
故答案为：
14．
【分析】做 交 于 可得 平面 ，连接 ，以 点为原点，
为 轴，过 点垂直于平面 的直线为 轴建立空间直角坐标系，设
，则 ，设 ，由射影定理可得 ，由 得
，求出 ，利用基本不等式可得直线 与平
面 所成角最大时 的值，取 的中点 ，连接 ，可得四棱锥
外接球的球心为点 ，球心到平面 的距离 等于 到平面 的距离的 ，求出 ，
设截面半径为 ，由 可得答案．
【解析】做 交 于 ，因为半圆面 平面 ，所以 平面
，
连接 ，以 点为原点， 为 轴，过 点垂直于平面 的直线为 轴建
立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则 ，设 ，
则 ，在直角三角形 内，由射影定理可得 ，
数学试题答案解析与评分标准 第 7 页（共 15 页）
学科网（北京）股份有限公司即 ，所以 ， ， ， ，
， ， ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 即 等号成立，且 取得最小值，
直线 与平面 所成角最大，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
所以四棱锥 外接球的球心为点 ，
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
设球心到平面 的距离为 ，所以 等于 到平面 的距离的 ，
因为 ，
，所以 ，设截面半径为 ，
数学试题答案解析与评分标准 第 8 页（共 15 页）
学科网（北京）股份有限公司则有 ，
所以截面的面积 ．
故答案为： .
【方法点拨】关键点：解题的关键是熟悉四棱锥的性质，即外接球的球心在DB上，根据勾
股定理，可求得外接球半径r，再根据球的几何性质，求解即可，考查空间想象，计算求解的
能力，属于难题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。
15．（满分13分）
【分析】（1）通过周期求出 ，利用图象平移，借助偶函数求出 ;
（2）将恒成立转化为最值问题，借助基本不等式求解即可.
【参考答案】
（1）由 ，得 ，则 ，———————————（1分）
则 ，—————————————（3分）
因为 为偶函数，所以 （ ）， ——————————————（4分）
解得 （ ），因为 ，所以 ，———————————（5分）
数学试题答案解析与评分标准 第 9 页（共 15 页）
学科网（北京）股份有限公司则 ． ————————————————————————（6分）
（2）因为 ，所以 ，
则不等式 对 恒成立可转化为
对 恒成立，即 ， ————（9分）
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，————————————（12分）
所以 ，即 的取值范围为 ．—————————————————（13分）
16．（15分）
【分析】
(1)易得 ，可得b的值，可得椭圆C的方程；
(2) 设 ，联立直线与椭圆由根与系数的关系,得 的值，由
的面积为 可得实数k的值.
【参考答案】
(1) , , .椭圆 ——————————————（4分）
∵ ∴
(2)设 ,则由 消y, ——————————————（6分）
得 —————————————————————（7分）
数学试题答案解析与评分标准 第 10 页（共 15 页）
学科网（北京）股份有限公司∵直线 恒过椭圆内一点 , 恒成立. ———————————（9分）
∴
由根与系数的关系,得 ————————————（10分）
———————————————————（12分）
—————————————（14分）
即 ,解得 .（15分）
【方法点拨】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积
计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
17．（15分）
【分析】（1）证明 ， 得到 平面 ，得到面面垂直.
（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，再计算两个平面的法向量，根据向量的夹角公式
计算得到答案.
【参考答案】
（1） 交于点 ，故 平面 ，——————（1分）
又 平面 ，故 ， 交于点 ， ——————（2分）
故 平面 ， 平面 ，故平面 平面 .———————（4分）
（2） 平面 ，过 作平面 的垂线为 轴，以 为原点，
分别为 轴， 轴建立如图所示空间直角坐标系. ———————————————（5分）
—————————————————————（6分）
设 ，则 ，
数学试题答案解析与评分标准 第 11 页（共 15 页）
学科网（北京）股份有限公司解得 ， ，—————————（8分）
， ，
设平面 的法向量 ，则有 ， —（10分）
取 ，（11分）
设平面 的法向量 ，则有 ， -（13分）
取 ，
，———————————————————（14分）
根据观察知，二面角 的平面角为锐角，
故二面角 的大小是 . ————————————————————（15分）
18．（17分）
【分析】（1）显然 ， ，可分 和
分别讨论函数的单调性;
（2）当 时，要证： ，
只需证： ，由（Ⅰ）易知 ，
数学试题答案解析与评分标准 第 12 页（共 15 页）
学科网（北京）股份有限公司所以即证： ，从而设 求最小值即可.
【参考答案】公众号：高中试卷君
（1）显然 ， ，————————（1分）
当 时， ， 在 上单调递减；————————————（2分）
当 时，由 得 —————（3分）
当 时， ， 在 上单调递减；——————————（4分）
当 时， ， 在 上单调递增．————————（5分）
（2）当 时，要证： ，——————————————（6分）
只需证： ，————————————————————（8分）
由（1）易知 ，———————————————（9分）
所以即证： ，————————————————————（10分）
设 ， ——————————————————————（12分）
则 ，令 得 得 ， —————————（13分）
当 时， ， 在 上单调递减； —————————（14分）
当 时， ， 在 上单调递增．———————（15分）
数学试题答案解析与评分标准 第 13 页（共 15 页）
学科网（北京）股份有限公司，即 ，即 ，所以
—————————————————————————（17分）
【方法点拨】本题主要考查函数与导数的应用，意在考查学生的计算能力和逻辑分析能力，
具有较高的思维技巧，对学生分类讨论的能力要求较高.
19．（17分）
【分析】（1）根据古典概型，分别确定每个子事件发生的概率，再利用分步乘法计数原理，
将两个子事件的概率相乘，从而得到目标事件的概率.
（2）“乙获得第2份礼品时，共使用了3张奖券”存在多种实现路径，通过细致分析抽奖规
则，将其分为“第1张未中奖，第2、3张中奖”和“第1张中奖，第2张未中奖，第3张中
奖”这两种互斥情况,计算可求得结果;
（3）依据抽奖规则和题目设定，明确随机变量 所有可能的取值为1、2、3,概率求解：对
每个取值，分析其对应的抽奖过程和结果，利用古典概型及分步乘法计数原理计算相应的概
率，进而构建出 的分布列和期望.
【参考答案】
（1）设事件 “甲使用第 张奖券抽奖，中 次奖” ，————（1
分）
则所求事件为 ，其概率为
． ——————————————————（3分）
（2）设事件 “乙使用第 张奖券抽奖，中 次奖” ，———（4
分）
则所求事件为 ，其概率为
． ————————————（6分）
（3）由题意可知 的所有可能取值为1，2，⋯，10． ————————————（7分）
数学试题答案解析与评分标准 第 14 页（共 15 页）
学科网（北京）股份有限公司当 时，表示顾客丙使用 张奖券将2个红球全部摸出；—————————（8分）
当 时，表示顾客丙使用第10张奖券抽奖时盒子里有1个或2个红球． ——（9分）
设事件“顾客丙使用第 张奖券抽奖时盒子里有2个红球”的概率为 ，事件“顾客丙使用
第 张奖券抽奖时盒子里有1个红球”的概率为 ，—————————（10
分）
则 ， ， ， ，
∴ ， ，——————————（11
分）
∴ ，
∴ ， ， ————————————————（12
分）
∴ ，
，
∴ ； ————（13
分）
∴
数学试题答案解析与评分标准 第 15 页（共 15 页）
学科网（北京）股份有限公司，——————————（14分）
设 ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ———————（15
分）
设 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，————————（16
分）
∴
.——————————————（17分）
数学试题答案解析与评分标准 第 16 页（共 15 页）
学科网（北京）股份有限公司
