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2009年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）
数学（文史类）
一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中
，中有一项是符合题目要求的。
（1） 已知集合A= 1,3,5,7,9,B=0,3,6,9,12 ,则A B=
I
(A)
3,5
(B)
3,6
(C)
3,7
(D)
3,9
3+2i
（2） 复数 =
2-3i
（A）1 （B）-1 （C）i (D)-i
（3）对变量x,y
有观测数据（x ，y ）（i =1,2,...,10），得散点图1；对变量u,v有观测数据（u ，v
1 1 1 1
）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。
（A）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
（C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
（4）有四个关于三角函数的命题：
x x 1
p ：$xÎR, sin2 +cos2 = p : $x,yÎR, sin(x- y)=sinx-sin y
1 2 2 2 2
1-cos2x p
p : "xÎ0,p , =sinx p : sinx=cosyÞ x+ y =
3 2 4 2
其中假命题的是
第- 1 -页 | 共10页（A） p ， p （B） p ， p （3） p ， p （4） p ， p
1 4 2 4 1 3 2 3
（5）已知圆C ：(x+1)2+(y-1)2=1，圆C 与圆C 关于直线x- y-1=0对称，则圆C
1 2 1 2
的方程为
（A）(x+2)2+(y-2)2=1 （B）(x-2)2+(y+2)2=1
（C）(x+2)2+(y+2)2=1 （D）(x-2)2+(y-2)2=1
ì2x+ y³4,
ï
（6）设x,y满足íx- y³1, 则z = x+ y
ï
x-2y£2,
î
（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值
（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值
（7）已知a=-3,2,b=-1,0，向量la+b与a-2b垂直，则实数l的值为
1 1 1 1
（A）- （B） （C）- （D）
7 7 6 6
（8）等比数列a 的前n项和为S ，已知a +a -a2 =0，S =38,则m=
n n m-1 m+1 m 2m-1
（A）38 （B）20 （C）10 （D）9
（9） 如图，正方体ABCD-ABC D 的棱线长为1，线段
1 1 1 1
1
BD 上有两个动点E，F，且EF = ，则下列结论中
1 1 2
错误的是
（A）AC ^ BE
（B）EF //平面ABCD
（C）三棱锥A-BEF 的体积为定值
（D）DAEF的面积与DBEF的面积相等
（10）如果执行右边的程序框图，输入x=-2,h=0.5，那么输出
的各个数的和等于
（A）3 （B） 3.5 （C） 4 （D）4.5
（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）
第- 2 -页 | 共10页为（A）48+12 2 （B）48+24 2
（C）36+12 2 （D）36+24 2
（12）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值。设
f(x)=min 2x,x+2,10-x
(x³0),则 f x的最大值为
（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13题）~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须
做答。第（22题）~第（24）题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）曲线y = xex +2x+1在点（0,1）处的切线方程为 。
（14）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点
，若P2,2为AB的中点，则抛物线C的方程为 。
（15）等比数列{a }的公比q>0, 已知a =1，a +a =6a ，则{a }的前4项和S =
n 2 n+2 n+1 n n 4
。
æ7pö
（16）已知函数 f(x)=2sin(wx+f)的图像如图所示，则 f ç ÷ = 。
è12 ø
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已
知AB=50m，BC =120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE =200m，
于C处测得水深CF =110m，求∠DEF的余弦值。
第- 3 -页 | 共10页（18）（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P-ABC 中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º
（Ⅰ）证明：AB⊥PC
（Ⅱ）若PC =4，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P-ABC 体积
。
（19）（本小题满分12分）
某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名
工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂
的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）.
（Ⅰ）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？
（Ⅱ）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2
表1：
生产能力分 100,110 110,120 120,130 130,140 140,150
组
人数 4 8 x 5 3
表2：
生产能力分组 110,120 120,130 130,140 140,150
人数 6 y 36 18
（1） 先确定x,y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人
中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通
过观察直方图直接回答结论）
第- 4 -页 | 共10页(ii)分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均
数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）。
（20）(本小题满分12分)
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个项点到两个焦
点的距离分别是7和1
（Ⅰ）求椭圆C的方程
OP
（Ⅱ）若P为椭圆C的动点，M 为过P且垂直于x轴的直线上的点， =e
OM
（e为椭圆C的离心率），求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
（21）（本小题满分12分）
已知函数 f(x)= x3-3ax2 -9a2x+a3.
(1)设a=1，求函数 f x的极值；
1
(2)若a> ，且当xÎ1,4a时， f '(x) £12a恒成立，试确定a的取值范围.
4
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲
如图，已知DABC中的两条角平分线AD和CE相交于H ，
B=60，F 在AC上，且AE = AF 。
（1）证明：B,D,H,E四点共圆；
（2）证明：CE平分DEF。
第- 5 -页 | 共10页（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。
ìx=-4+cost, ìx=8cosq,
已知曲线C ：í （t为参数）， C ：í （q为参数）。
1 îy =3+sint, 2 îy =3sinq,
（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
1 2
p
（2）若C 上的点P对应的参数为t = ，Q为C 上的动点，求PQ中点M 到直线
1 2 2
ìx=3+2t,
C :í （t为参数）距离的最小值。
3 îy =-2+t
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
如图，O为数轴的原点，A,B,M 为数轴上三点，C为线段OM 上的动点，设x表示C
与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C到B距离的6倍的和.
（1）将y表示为x的函数；
（2）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？
第- 6 -页 | 共10页参考答案
一、选择题
（1）D （2）C （3）C （4）A （5）B (6)B
（7）A （8）C （9）D （10）B （11）A (12)C
二、填空题
15
(13) y =3x+1 (14)y2 =4x (15) (16)0
2
三、解答题
(17) 解：作DM // AC交BE于N，交CF于M．
DF = MF2 +DM2 = 302 +1702 =10 198，
DE = DN2 +EN2 = 502 +1202 =130 ，
EF = (BE-FC)2 +BC2 = 902 +1202 =150． ．．．．．．6分
在DDEF 中，由余弦定理，
DE2 +EF2 -DF2 1302 +1502 -102´298 16
cosDEF = = = . ．．．．．．12分
2DE´EF 2´130´150 65
（18）解：
（Ⅰ）因为DPAB是等边三角形，
PAC =PBC =90°,
所以RtDPBC @ RtDPAC ,可得AC = BC。
如图，取AB中点D，连结PD,CD,
则PD^ AB,CD^ AB, 所以AB^平面PDC,
所以AB^ PC。 ．．．．．．6分
（Ⅱ）作BE ^ PC，垂足为E，连结AE．
因为 RtDPBC @ RtDPAC ， 所以AE ^ PC，AE = BE．
由已知，平面PAC ^平面PBC ，故AEB=90°． ．．．．．．8分
因为RtDAEB@ RtDPEB，所以DAEB,DPEB,DCEB都是等腰直角三角形。
由已知PC =4，得AE = BE =2， DAEB的面积S =2．
因为PC ^平面AEB， 所以三角锥P-ABC 的体积
第- 7 -页 | 共10页1 8
V = ´S´PC = ．．．．．．．12分
3 3
（19）解：
（Ⅰ）A类工人中和B类工人中分别抽查25名和75名。 ．．．．．．4分
（Ⅱ）(ⅰ)由4+8+x+5+3=25，得x=5，
6+ y+36+18=75，得y =15。
频率分布直方图如下
．．．．．．8分
从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小。 ．．．．．．9分
4 8 5 5 3
（ii） x = ´105+ ´115+ ´125+ ´135+ ´145=123，
A
25 25 25 25 25
6 15 36 18
x = ´115+ ´125+ ´135+ ´145=133.8，
B 75 75 75 75
25 75
x= ´123+ ´133.8=131.1
100 100
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的
估计值分别为123，133.8和131.1.
（20）解：
（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得
ìa-c=1 x2 y2
í 解得a=4,c=3, 所以椭圆C的方程为 + =1.
îa+c=7 16 7
x2 + y2
（Ⅱ）设M（x,y）,P(x,y ),其中xÎ-4,4.由已知得 1 =e2.
1 x2 + y2
3
而e= ，故16(x2 + y2)=9(x2 + y2). ①
4 1
第- 8 -页 | 共10页112-7x2
由点P在椭圆C上得 y2 = ,
1 16
4 7
代入①式并化简得9y2 =112,所以点M的轨迹方程为y =± (-4£ x£4),轨迹是两条
3
平行于x轴的线段······················································12分
（21）解：
（Ⅰ）当a=1时，对函数 f(x)求导数，得 f '(x)=3x2 -6x-9.
令 f '(x)=0,解得x =-1,x =3.
1 2
列表讨论 f(x), f '(x)的变化情况：
x (-¥,-1) -1 （-1，3） 3 (3,+¥)
f'(x) + 0 — 0 +
f(x) 极大值6 极小值-26
Z ] Z
所以， f(x)的极大值是 f(-1)=6，极小值是 f(3)=-26.
（Ⅱ） f '(x)=3x2 -6ax-9a2的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.
1
若 1,则| f '(a)|=12a2 >12a.故当xÎ[1,4a]时| f '(x)|£12a不恒成立.
1 4
所以使| f '(x)|£12a(xÎ[1,4a])恒成立的a的取值范围是( , ].
4 5
（22）解：
（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，
第- 9 -页 | 共10页所以∠BAC+∠BCA=120°.
因为AD,CE是角平分线， 所以∠HAC+∠HCA=60°，
故∠AHC=120° ，于是∠EHD=∠AHC=120°.
因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四点共圆。
（Ⅱ）连结BH，则BH为ABC的平分线，得HBD=30°
由（Ⅰ）知B，D，H，E四点共圆，
所以CED=HBD=30°
又AHE =EBD=60°，由已知可得EF ^ AD，可得CEF =30°
所以CE平分DEF
x2 y2
（23）解：（Ⅰ）C :(x+4)2 +(y-3)2 =1,C : + =1
1 2 64 9
C 为圆心是(-4,3)，半径是1的圆。
1
C 为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。
2
p 3
（Ⅱ）当t = 时，P(-4,4).Q(8cosq,3sinq)，故M(-2+4cosq,2+ sinq)
2 2
5
C 为直线x-2y-7=0，M到C 的距离d = |4cosq-3sinq-13|
3 3 5
4 3 8 5
从而当cosq= ,sinq=- 时，d 取得最小值
5 5 5
（24）解：
（Ⅰ）y =4|x-10|+6|x-20|,0£ x£30（Ⅱ）依题意，x满足
ì4|x-10|+6|x-20|£70,
í 解不等式组，其解集为[9,23]，所以 xÎ[9,23]
î0£ x£30
第- 10 -页 | 共10页
