安徽省滁州市2024-2025学年高二下学期期末考试数学Word版含解析_2025年7月_250730安徽省滁州市2024-2025学年高二下学期期末考试

2025 年滁州市高二教学质量监测 数 学 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改 动，务必擦净后再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷 上无效． 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． A={x|2£ x<4} B ={x|2x-7<8-3x} A B = 1. 集合 ， ，则 U （ ） 君 A. -¥,3 B. 2,3 C. -¥,4卷 D. 2,4 试 【答案】C 中 【详解】因为B={x|2x-7<8-3x}= B={x|x<3}，A={x|2£ x<4}, 高 所以A B = -¥,4 . ： U 号 故选：C. 众 3 2. 复数z =2i- 在复平面 公 内对应的点位于（ ） 1+i A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 3 31-i 3-3i 3 7 【详解】z =2i- =2i- =2i- =- + i 1+i 1+i1-i 2 2 2 æ 3 7ö z在复平面内对应的点为ç - , ÷，在第二象限. è 2 2ø 故选：B. 3. 圆(x-1)2 +(y-1)2 =1上的点到直线x- y-2=0距离的最小值是（ ） A. 2-1 B. 1 C. 2 D. 2 +1 【答案】A【详解】已知圆的标准方程为：(x-1)2 +(y-1)2 =1，则其圆心O(1,1),半径r =1. 直线方程为x- y-2=0，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为： 1´1+-1´1-2 d = = 2 . 12 +-12 因为d = 2 >1=r，那么圆与直线相离. 因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即：d-r = 2-1 故选:A æ πö 4. 已知函数 f x=sin ç x- ÷，将 f x 的图象向右平移m(m>0)个单位长度后关于y轴对称，则m的最 è 4ø 君 小值为（ ） 卷 π π π 3π A. B. C. 试 D. 4 3 2 4 中 【答案】A 高 【详解】由题意得将 f x=sin æ ç x- πö ÷向右 ： 平移m个单位后 è 4ø 号 é πù æ众πö 得 f x=sin ê x-m- ú =sin ç x-m- ÷，且关于y轴对称， ë 4û 公è 4ø π π 3π 所以-m- = +kπ，kÎZ，得m=- -kp，kÎZ， 4 2 4 π 又因为m>0，所以当k =-1时，m有最小值 . 4 故选：A. 5. 设直线l的方程为x- ycosq+2=0，则直线l的倾斜角a的取值范围是（ ） éπ πù éπ 3πù éπ πö æπ 3πù A. 0,π B. ê , ú C. ê , ú D. ê , ÷ È ç , ú ë4 2û ë4 4 û ë4 2ø è2 4 û 【答案】C π 【详解】当cosq=0时，直线l的方程为x = -2，此时直线l的倾斜角a= ； 2 1 当cosq¹0时，直线l的斜率为tana= ， cosq因为cosqÎ-1,0È0,1 ， 1 所以 Î-¥,-1È1,+¥，即tanaÎ-¥,-1È1,+¥ ， cosq 又因为aÎ0,π ， éπ πö æπ 3πù 所以结合正切函数的图象可得：aÎ ê , ÷ È ç , ú . ë4 2ø è2 4 û éπ 3πù 综上可得：直线l的倾斜角a的取值范围是 , . ê ú ë4 4 û 故选：C. x2 y2 uuur uuuur 6. 设F,F 为椭圆C: + =1的两个焦点，点P在C 上，若PF ×PF =0，则 PF × PF =（ ） 1 2 8 4 1 2 1 2 君 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 卷 【答案】D 试 uuur uuuur 【详解】 PF ×PF =0， Q 1 2 中 \PF ^ PF ， 高 1 2 ： x2 y2 又椭圆C: + =1， 8 4 号 ì ïPF + PF =2a=4 2 众 1 2 则í ， ïî PF 1 2 + PF 2 2 = F 1 F 2 2 =公4c2 =16 1 é 2  2 2ù PF × PF = PF + PF - PF + PF =8. 1 2 2 êë 1 2 1 2 úû 故选：D. 7. 已知空间三点A0,2,3,B-2,1,6,C1,-1,5 ，则VABC 的面积为（ ） 7 7 3 A. 7 3 B. C. 7 D. 2 2 【答案】B 【详解】由空间三点A0,2,3,B-2,1,6,C1,-1,5 可得： AB = -2-02 +1-22 +6-32 = 14； AC = 1-02 +-1-22 +5-32 = 14； BC = -2-12 +é1--1ù 2 +6-52 = 14， ë û所以VABC 是等边三角形， 1 7 3 所以VABC 的面积为 ´ 14´ 14´sin60o = . 2 2 故选：B. 2 1 æ bö 3 8. a,b为正实数，且a+2b=2，当 + 取最小值时， ax- 的展开式中各项系数的和为（ ） ç ÷ a+1 b è xø 27 27 1 1 A. - B. C. - D. 8 8 64 64 【答案】C 【详解】由a+2b=2可得： a+1+2b=3. 君 因为a,b为正实数， 卷 所以由基本不等式可得： 试 æ 2 1ö a+1+2b 1æ 4b a+1ö 1æ中4b a+1ö 8 ç + ÷ ´ = ç 4+ + ÷ ³ ç ç 4+2 ´ ÷ ÷ = ， èa+1 bø 3 3è a+1 b ø 高 3 è a+1 b ø 3 ： ì 1 ì 4b a+1 a = ï = ï ï 2号 当且仅当ía+1 b ，即í 时等号成立. 3 ïa+1+2b=3 ï b众= î ïî 4 公 2 1 æ bö 3 æ x 3 ö 3 所以当 + 取最小值时， ax- = - . ç ÷ ç ÷ a+1 b è xø è2 4xø 3 3 æ x 3 ö æ1 3ö 1 令x=1，得 - = - =- ， ç ÷ ç ÷ è2 4xø è2 4ø 64 2 1 æ bö 3 1 所以当 + 取最小值时， ax- 的展开式中各项系数的和为- . ç ÷ a+1 b è xø 64 故选：C. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 若某中学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系．根据一组样本数据 x,y i =1,2,¼,n ，用最小二乘法建立的回归方程为y =0.75x-75.71，则下列结论中正确的是（ ） i iA. y与x具有负线性相关关系   B. 回归直线过样本点的中心 x,y C. 若该中学某女生身高增加1cm，则其体重可能增加0.75kg D. 若该中学某女生身高为160cm，则可断定其体重必为44.29kg 【答案】BC 【详解】因为回归直线方程为y =0.75x-75.71，所以y与x具有正线性相关关系，故A错误；   又回归直线必过样本点的中心 x,y ，故B正确； 因为回归直线方程y =0.75x-75.71中aˆ =0.75，所以若该中学某女生身高增加1cm，则其体重可能增加 0.75kg，故C正确； 君 当x=160时，y =0.75´160-75.71=44.29，所以若该中学某女生身高为160cm，则其体重约为 卷 44.29kg，故D错误. 试 故选：BC. 中 10. 数列 a  满足a +a =(-1)n+1 nÎN* ，高且a =-3，数列 a  的前n项和为S ，从 a  的前2n n n n+1 1 n n n ： 项中任取两项，它们的和为奇数的概率为P ，则（ ） 号2n 1 A. a =6 B. a +众a =2a C. S =-6 D. P > 4 11 15 13 12 2n 2 公 【答案】ABD a a a a 【详解】 a +a =(-1)n+1， \ n + n+1 =1 ， \ n+1 - n =1 ， Q n n+1 -1n+1 -1n+1 -1n+1 -1n ì ü a ï a ï 又 1 =3，所以数列í n ý是首项为3，公差为1的等差数列.， -1 ïî -1n ïþ a 即 n =n+2 ，\a =(-1)nn+2 ， -1n n 对于选项A：a =-14 ´4+2=6，故A正确； 4 对于选项B：a +a =(-1)1111+2+(-1)1515+2=-30;a =(-1)1313+2=-15,所以 11 15 13 a +a =2a ，故B正确； 11 15 13 对于选项C：S =a +a +a +a + +a +a =1+1+1+1+1+1=6，故C正确； 12 1 2 3 4 L 11 12对于选项D：显然n为奇数时，a 为奇数，n为偶数时，a 为偶数， n n 因此要满足两项之和为奇数，则取奇偶各一个， C1 ×C1 n 1 1 1 1 所以P = n n = = + × > ，故D正确. 2n C2 2n-1 2 2 2n-1 2 2n 故选：ABD. 2π 11. 如图，三棱锥P-ABC,PA^平面ABC，AB= AC =2,ÐBAC = ，D为PC的中点，点O为三 3 棱锥P-ABC 外接球球心，则（ ） 君 卷 试 中 A. 当PA=2 2 时，BD^ PC 高 π ： B. 当PA= 3时，二面角P-BC-A大小为 6 号 众π C. 当异面直线BD与AC所成角为 时，PA= 6 3 公 D. 当点O到平面PBC 的距离为 2时，PA=2 2 【答案】ACD 【详解】 对于A，连接AD， PA^平面ABC，ABÌ平面ABC， Q \PA^ AB，即PB= PA2 + AB2 =2 3，2π 又AB= AC =2,ÐBAC = ，所以BC = AB2 + AC2 -2AB×ACcosÐBAC =2 3， 3 则BC = BP，D为PC的中点，所以BD^ PC，故A正确； 对于B，设BC中点为E ，连接AE,PE， PA^平面ABC，AB,AC,AE Ì平面ABC， Q \PA^ AB,PA^ AC，PA^ AE，又PA= 3，AB= AC =2，\PB = PC = 7， 又E 为BC中点，所以PE ^ BC， 2π 又AB= AC =2,ÐBAC = ，所以AE^BC，AE = AB2 -BE2 =1， 3 平面PBC 平面ABC = BC ，ÐPEA就是二面角P-BC-A的平面角， I PA π π tanÐPEA= = 3，\ÐPEA= ，即二面角P-BC-A的为 君，故B错误； AE 3 3 卷 对于C，设PA中点为F ，连接DF,BF ，DF =1， 试 设PA=2x时，BF = AB2 + AF2 = 4+x2 ， 中 高 4  x2 +1  +12-4  x2 +1  3  x2 +1  ： △PBC中，PB= PC =2 x2 +1，cosÐPCB= = ， 2´2 x2 +1´2 3 2  x2 +1  号 众 BD= CB2 +CD2 -2CB×CDcosÐPCB = 7+x2 ， 公 BD2 +DF2 -BF2 7+x2 +1-  4+x2 1 cosÐBDF = = = ， 2BD×DF 2 7+x2 2 解得x=3，即PA= 6，故C正确； 对于D，设VABC 的外心为O ，过O 作平面ABC的垂线，球心O在垂线上， 1 1 又PA^平面ABC，所以OO //PA， 1 又OP=OA，所以O在PA的垂直平分线上，则PA=2OO =2 2，故D正确； 1 故选：ACD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 2 12. ______． lg4+2lg5+(2 2)3 = 【答案】4【详解】由指数幂与对数的运算法则，可得 2 3 2 =lg100+2=2+2=4. lg4+2lg5+(2 2)3 =(lg4+lg25)+(22)3 故答案为：4. 13. 某校的5名团员利用周日到市养老院参加义务劳动．已知5名团员中有3位女生，2位男生，活动结束 后5名团员站成一排拍照留念，若两名男生之间有女生，则排法总数有______种．（用数字作答） 【答案】72 【详解】根据题意，先将三名女生全排列，有A3 =6种不同的排法， 3 从三名女生的4个空隙中，选择2个插入男生，有A2 =12种不同的排法， 4 由分步计数原理得，共有6´12=72种不同的排法. 故答案为：72. 君 14. 不等式ex -ax  ex +1  -1£0对任意xÎ0,1 恒成立，则实 卷 数a的最小值为______． 试 1 【答案】 ##0.5 2 中 【详解】由ex -ax  ex +1  -1£0，得ax³ ex -高1 , ：ex +1 号 ex -1 由题意知，不等式ax³ 对任意xÎ0,1 恒成立. ex +1 众 公 2ex 令 f x= ex -1 ，则 f¢x= >0 ，所以 f x 是单调增函数. ex +1  ex +1 2 设l是过点 0,0 与 f x= ex -1 相切的直线，设切点为  t, f t ， ex +1 2et k = f¢t= 则切线斜率 l  et +1 2 ， 2et 由题意，得 a³ ，tÎ0,1 恒成立.  et +1 2 2et 2et 2 2 1 gt= = = £ = 因为  et +1 2 e2t +2et +1 et + 1 +2 2 et´ 1 +2 2 ， et et1 1 当且仅当et = ，即t =0时等号成立，所以gt = . et max 2 1 所以a³ .即实数a的最小值为 1 . 2 2 1 故答案为： 2 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知a，b，c分别为VABC 三个内角A，B，C的对边，且acosC+ 3asinC-b-c=0． （1）求A； （2）若a =2，则VABC 的面积为 3，求VABC 的周长． π 【答案】（1） 3 君 卷 （2）6 试 【小问1详解】 中 由正弦定理得sinAcosC+ 3sinAsinC-sinB-sinC =0， 高 其中sinB =sinA+C=sin AcosC+cos ： AsinC ， 号 故 3sin AsinC-cosAsinC-sinC =0， 众 因为CÎ0,π ，所以sinC ¹ 公0，故 3sin A-cosA=1， æ πö æ πö 1 即2sin ç A- ÷ =1，所以sin ç A- ÷ = ， è 6ø è 6ø 2 π æ π 5πö 因为AÎ0,π ，所以A- Îç- , ÷， 6 è 6 6 ø π π π 故A- = ，解得A= ； 6 6 3 【小问2详解】 1 1 π 3 由三角形面积公式得 bcsinA= bcsin = bc= 3， 2 2 3 4 故bc=4， b2 +c2 -a2 b2 +c2 -4 1 由余弦定理得cosA= = = ， 2bc 8 2解得b2 +c2 =8， 故b+c2 =b2 +c2 +2bc=8+8=16，解得b+c=4， 故a+b+c=6，周长为6. 1 16. 已知函数 f x=ax+ +a-1lnxaÎR． x （1）讨论 f x 的单调性； （2）若函数 f x 的最小值为2，求实数a的值． 【答案】（1）答案见解析 （2）1或e 君 【小问1详解】 卷 1 a-1 ax2 +a-1x-1 ax-1x+1 由题意得 f x 的定义为 0,+¥ ，且 f¢x=a- + 试= = ， x2 x x2 x2 中 x+1 当a =0时， f¢x=- <0恒成立，此时高f x 在 0,+¥ 上单调递减； x2 ： ax-1x+1 号 1 当a ¹0时，令 f¢x= =0，则x=-1或x= ， x2 a 众 1 当a<0时，则 <0，当xÎ公0,+¥ 时， f¢x<0，此时 f x 在 0,+¥ 上单调递减； a 1 1 当a >0时，当0< x< 时， f¢x<0，当x> 时， f¢x>0， a a æ1 ö æ 1ö 此时 f x 在ç ,+¥ ÷上单调递增，在ç 0, ÷上单调递减； èa ø è aø 综上所述：当a£0时， f x 在 0,+¥ 上单调递减； æ1 ö æ 1ö 当a >0时， f x 在ç ,+¥ ÷上单调递增，在ç 0, ÷上单调递减； èa ø è aø 【小问2详解】 由（1）可得当a£0时， f x 为减函数则无最小值，所以a >0， 1 æ1ö 1 1 当a >0时，即x= 时， f x 取得极小值也是最小值 f ç ÷ =a´ +a+a-1ln =2， a èaø a a所以 a-11-lna=0，解得a =1或a =e， 故函数 f x 的最小值为2，实数a的值为1或e. 2 1 17. 某同学在做投篮训练，已知该生每次投中的概率为 ，投不中的概率为 ．为提高该生训练的积极性， 3 3 规定：投中一次得2分，投不中得1分．某同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为 最终得分． （1）若投篮2次，最终得分为X ，求随机变量X 的分布列和期望； （2）设最终得分为n的概率为P ，证明：数列 P -P 为等比数列，并求数列 P 的通项公式． n n+1 n n 10 【答案】（1）分布列见详解；EX= 3 君 1 4 é æ 2ö n-1ù （2）证明见详解；P n = 3 + 15 ê êë 1- ç è - 3 ÷ ø ú úû 卷 试 【小问1详解】 中 由题意可知：最终得分为X 的可能取值为2，3，4， 高 则PX =2= æ1ö 2 = 1 ，PX =3=C1： ´ 1 ´ 2 = 4 ，PX =4= æ2ö 2 = 4 ， ç è3 ÷ ø 9 2 3 3 9 ç è3 ÷ ø 9 号 可得随机变量X 的分布列为 众 公 X 2 3 4 1 4 4 P 9 9 9 1 4 4 10 期望为EX=2´ +3´ +4´ = . 9 9 9 3 【小问2详解】 1 2 1 1 7 1 2 由题意可知：P = ，P = + ´ = ，且P = P + P ， 1 3 2 3 3 3 9 n+2 3 n+1 3 n 1 2 4 P + P -P 因为P -P = ¹0，且 P -P 3 n+1 3 n n+1 2 ， 2 1 9 n+2 n+1 = =- P -P P -P 3 n+1 n n+1 n 4 2 可知数列 P -P 是以首项为 ，公比为- 的等比数列， n+1 n 9 3n-1 n+1 4 æ 2ö æ 2ö 所以P -P = ´ - = - ， ç ÷ ç ÷ n+1 n 9 è 3ø è 3ø æ 2ö 2 æ 2ö 3 æ 2ö n 当n³ 2时，则P -P = - ，P -P = - ，×××，P -P = - ， ç ÷ ç ÷ ç ÷ 2 1 è 3ø 3 2 è 3ø n n-1 è 3ø 4é æ 2ö n-1ù ê1- ç - ÷ ú æ 2ö 2 æ 2ö 3 æ 2ö n 9êë è 3ø úû 4 é æ 2ö n-1ù 相加可得P -P = ç - ÷ + ç - ÷ +×××+ ç - ÷ = = ê1- ç - ÷ ú ， n 1 è 3ø è 3ø è 3ø 1- æ - 2ö 15êë è 3ø úû ç ÷ è 3ø 1 4 é æ 2ö n-1ù 则P = + ê1- ç - ÷ ú， n 3 15êë è 3ø úû 1 1 4 é æ 2ö n-1ù 且n=1时，P = 符合上式，所以P = + ê1- ç - ÷ ú. 1 3 n 3 15êë è 3ø úû 君 卷 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA^底面ABCD,ÐACD = ÐBAD = 90°，ÐABC =60°， 试 PA= AB = BC =2 3,E是线段PC上的动点． 中 高 ： 号 众 公 （1）证明：CD^ AE； （2）若E 是线段PC的中点，求平面ABE与平面PBC 夹角的余弦值； （3）设直线PD与平面ABE所成角为q，求sinq的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 1 （2） 7 é 21 ù （3）sinqÎê ,1ú 7 ë û 【小问1详解】 因为PA^底面ABCD,CDÌ平面ABCD，所以PA^CD又 AC ^CD,AC PA= A, AC,PAÌ平面PAC , Q I 所以CD^平面PAC . 又因为AE Ì平面PAC ，所以CD^ AE. 【小问2详解】 因为PA^底面ABCD,ABÌ平面ABCD，所以PA^ AB， uuur uuur uuur 如图，以A为原点，AB,AD,AP为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系， ∵ÐABC =60°，PA= AB= BC =2 3, ÐBAD=90°,ÐACD=90° ∴AC =2 3，ÐCAD =30°，DC =2，AD=4.       所以A0,0,0 ，P 0,0,2 3 ，B 2 3,0,0 ，D0,4,0 ，C 3,3,0 ， 君 æ 3 3 ö 卷 ∵E 是线段PC的中点，∴Eç , , 3÷， ç ÷ è 2 2 ø 试 中 uuur æ 3 3 ö uuur æ 3 3 3 ö uuur   uuur   所以AE =ç , , 3÷，BE =ç- , , 3÷，BC = - 3,3,0 ，PB= 2 3,0,-2 3 ， ç 2 2 ÷ ç 2 2 高÷ è ø è ø ： uuur ì ïAE×m r =0 设平面ABE的法向量为m r =x ,y ,z  ，号则í ， 1 1 1 uuur r ïîBE×m=0 众 ì 3 3 ï x + y + 3z =0 公 ï 2 1 2 1 1 即í ，取y =2，则x =0，z =- 3， 1 1 1 ï 3 3 3 - x + y + 3z =0 ï î 2 1 2 1 1 r   所以m= 0,2,- 3 为平面ABE的一个法向量. 设平面PBC 的法向量为n r =x ,y ,z  , 2 2 2 uuur ì ïPB×n r =0 ì ï2 3x -2 3z =0 í ，即í 2 2 ，取x = 3，则y =1，z = 3， uuur r 2 2 2 ïîBC×n =0 ïî - 3x +3y =0 2 2 r   所以n = 3,1, 3 为平面PBC 的一个法向量.   r r 0´ 3+2´1+ - 3 ´ 3 m×n 1 所以cosm r ,n r = = =- . r r m × n 0+4+3´ 3+1+3 71 所以平面ABE与平面PBC 夹角的余弦值为 . 7 【小问3详解】     由（2）知P 0,0,2 3 ，C 3,3,0 ,D0,4,0 ， uuur   uuur   uuur   uuur   所以PC = 3,3,-2 3 ,PD= 0,4,-2 3 ，AP= 0,0,2 3 ，AB= 2 3,0,0 ， 君 uuur 若点E 与P重合，则平面ABE即为平面ABP，则AD=0,4, 卷 0为平面ABP的一个法向量. 试   0´0+4´4+ -2 3 ´0 uuur uuur 2 7 则sinq= cos PD,AD = 中= ， 28× 16 7 高 ： uuur   若点E 与C 重合，则平面ABE即为平面ABCD,则AP= 0,0,2 3 为平面ABE的一个法向量. 号   0´0+4´0+ -2 3 ´2 3 uuur uuur 众 21 则sinq= cos PD,AP = = 2 7×2 3 7 公 若点E 与点P、C均不重合， uuur uuur uuur uuur   由PE与PC共线，设PE =lPC = 3l,3l,-2 3l ，且0