文档内容
2024 年白山市第一次高三模拟考试
数学
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.复数 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C.2 D.
3.已知 ， ，若 在向量 上的投影为 ，则向量 （ ）
A. B. C. D.
4.2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建
设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必
须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（ ）
A.300 B.432 C.600 D.864
5.“ ”是“方程 有唯一实根”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件
6.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数 ，
， ， ，满足 ，当且仅当 时，等号成立.则函数
学科网（北京）股份有限公司的最小值为（ ）
A.16 B.25 C.36 D.49
7.正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有（ ）
A.直线 与 是异面直线 B.平面 平面
C.该几何体的体积为 D.平面 与平面 间的距离为
8.不与坐标轴垂直的直线 过点 ， ，椭圆 上存在两点 ， 关于
对称，线段 的中点 的坐标为 .若 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，最终全红婵以总分438.20分夺冠.已知她
在某轮跳水比赛中七名裁判给的成绩互不相等，记为 ，平均数为 ，方差为 .若7个
成绩中，去掉一个最低分和一个最高分，剩余5个成绩的平均值为 ，方差为 ，则（ ）
A. 一定大于 B. 可能等于 C. 一定大于 D. 可能等于
10.公差不为零的等差数列 满足 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司11.已知函数 的相邻两对称轴的之间的距离为 ，函数
为偶函数，则（ ）
A.
B. 为其一个对称中心
C.若 在 单调递增，则
D.曲线 与直线 有7个交点
12.已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线于 、 两点，若 为 的准线上任意
一点，则（ ）
A.直线若 的斜率为 ，则 B. 的取值范围为
C. D. 的余弦有最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.化简 ____________.
14.已知二项式 的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为_______.
15.在四面体 中， ， ，且满足 ， ， .若该三棱
锥的体积为 ，则该锥体的外接球的体积为___________.
16.已知函数 的定义域为 ，且 ， ，请写出满足条件的一
个 __________（答案不唯一）， _________.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
学科网（北京）股份有限公司17.（10分）已知等比数列 满足 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ， 其前 项和记为 ，求 .
18.（12分）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 .
（1）求角 ；
（2）过 作 ，交线段 于 ，且 ，求角 .
19.（12分）如图所示，在矩形 中， ， ， ， 为 的中点，以 为折
痕将 向上折至 为直二面角.
（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 所成的锐角的余弦值.
20.（12分）俗话说：“人配衣服，马配鞍”.合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉.张老师
准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的
倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记 ；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为“不
完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记 ；若 ，则当天穿深色，否则穿浅色.每种颜色的衣物包括
西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为 ，而选择了浅色后，再选西装的可能性为 .
（1）求出随机变量 的分布列，并求出期望及方差；
（2）求张老师当天穿西装的概率.
21.（12分）已知 ， 分别为双曲线 的左、右顶点， 为双曲线 上异于 、
学科网（北京）股份有限公司的任意一点，直线 、 斜率乘积为 ，焦距为 .
（1）求双曲线 的方程；
（2）设过 的直线与双曲线交于 ， 两点（ ， 不与 ， 重合），记直线 ， 的斜率
为 ， ，证明： 为定值.
22.（12分）已知函数 （ 为常数），函数 .
（1）若函数 有两个零点，求实数 的取值的范围；
（2）当 ，设函数 ，若 在 上有零点，求 的最小值.
学科网（北京）股份有限公司2024 年第一次高三模拟考试
数学监测试卷答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1.答案：B 【详解】∵ ， ，∴ ；故选B
2.答案：D 【详解】∵ ，∴ 的虚部为 ；故选D.
3.答案：D 【详解】∵ ；故选D
4.答案：B 【详解】总的方法数为 ；故选B
5.答案：A 【详解】方程 有唯一解，即直线 与上半圆 有且仅有一个交
点，解得 的取值范围为 ，
∴ 是方程 有唯一解的充分不必要条件；故选A.
6.答案：D 【详解】因为 ， ， ， ，则 ，当且仅当 时等号成立，又
，即 ，于是得 ，当且仅当 ，即
时取“=”，所以函数的 最小值为49.
7.答案：D 【详解】∵ ， ， ， 四点共面，直线 与 是共面的；∴A错
取 中点 ，连接 、 ，则 为二面角 的平面角，
其余弦值为 ；B错
；∴C错
学科网（北京）股份有限公司连接 、 设交于 ，则 为正三棱锥，其底边长为2，侧棱长为 ，所以 到平面 的
距离 ，所求平面 与平面 间的距离为 ；D正确
8.答案：C 【详解】设 为坐标原点，在椭圆 中， ，又 ，
∴ 即 ，又 ，∴ ，所以所求离心率为 ；故选C.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有错误答案得0分）
9.答案：BC 【详解】七个数据，去掉最高和最低，对平均值可能没有影响，但数据更加集中于平均值，所
以方差变小.
10.答案：AD 【详解】由 得， ，根据等差数列性质知 ，又 ，∴
由 ，得 ，∴
所以 ；故选：AD.
11.答案：ACD 【详解】由题意 ，故 ，又 的图象向左平移 个单位得到
，所以 ，且 ，故 ，所以A正确；
因为 ，且 ，所以B不正确；
学科网（北京）股份有限公司令 ， ，故易知 在 单调递
增，故 ，C正确；
直线 与曲线 均过点 ，且该直线与曲线 均关于该点中心对称，
当 时， ，当 时， ，由对称性可知曲线 与直线
有7个交点，故D正确.
故选：ABD.
12.答案：BCD 【详解】对于A选项，设 的倾斜角为 ，则 ；故A错
对于B选项，∵以 为直径的圆与准线相切，点 在以 为直径的圆上或圆外，
∴ ，当 在直线 上时，∴ ；故B正确
对于C选项，设 ， ， ，
设 ，联立 ，易得 ，∴ ，故C正确
对于D选项，
又 ，∴ ；故D正确.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.答案：2
学科网（北京）股份有限公司【详解】 .
14.答案：
【详解】∵ ，解得 ，常数项为 .
15.答案：
【详解】将四面体 放在长方体中，根据锥体的体积，易求得，长方体的长宽高分别为 ，
和4，所以四面体外接球的直径为6，体积为 .
16.答案： ；
【详解】令 ，则 ，解得 或 ，
若 ，令 ， ，则 ，即 与已知矛盾
∴ ，令 ，则 ，∴ 为偶函数
令 ，则 ，可推出， 以6为周期
结合以上特征，找到满足条件的一个函数为 ，结合 以6为周期，则
.
四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
学科网（北京）股份有限公司17.解：（1）设等比数列的公比为 ，由已知，得 （*）
易观察，2是（*）方程的一个根，∴
∴ 又 ，∴ .
（2）由（1）知，
∴ （1）
（2）
（1）-（2）得，
∴
18.解：（1）由正弦定理得： .
∵ ，∴
∴
∴ ，
又 ，∴ ，又 为三角形内角，∴ .
（2）因为 在 边上，且 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
在 中， ， ，∴ .
学科网（北京）股份有限公司19.
（1）证明：由已知 ，且 为线段 的中点，∴
又平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面
∴ 平面 ，又 平面 ，∴ .
（2）设 为线段 上靠近 的三等分点， 为 的中点，
由已知 ，又 平面
∴ ， ，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示坐标系
∵ ， ，∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即
不妨令 ，则
同理，平面 的法向量
，
所以平面 与平面 所成的锐角的余弦值为 .
20.解：（1）随机变量 的取值为0，1
学科网（北京）股份有限公司，
所以 的分布列为：
0 1
.
（2）设 表示深色，则 表示穿浅色， 表示穿西装，则 表示穿休闲装.
根据题意，穿深色衣物的概率为 ，则穿浅色衣物的概率为 ，
穿深色西装的概率为 ，穿浅色西装的概率为 ，
则当天穿西装的概率为 .
所以张老师当天穿西装的概率为 .
21.解：（1）设 ， ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
又∵焦距为 ，可得 ，则 ，
结合 ，∴ ， ，
学科网（北京）股份有限公司∴双曲线 的标准方程为： .
（2）证明：由（1）知 ， ，设 ， .
因为 ， 不与 ， 重合，所以可设直线 .
与 联立： ，
消去 整理可得： ，
故 ， ，
， ， ，
∴ .
22.解：（Ⅰ） ，
① 时， ，则 在 上单调递增， 至多有一个零点.
② 时，令 得 ，则 在 上单调递增；
令 得 ，则 在 上单调递减；
若 有2个零点，则需满足 ，则 ，
又 ，且 ，
令 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司令 ，得 ，故 在 上单调递增；
令 ，得 ，故 在 上单调递减；
∴ ，则 ，即 ，
则 .
故 在 上有唯一零点，在 上有唯一零点，符合题意
所以 为所求.
（2）设函数 在 上的零点为 ，则
所以 在直线 上，
设 为坐标原点，则 ，其最小值就是 到直线 的距离的平方
所以
又 ，∴ ，令 ，则
，∴ 在 上单调递减
，即
所以 的最小值为 ，
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