文档内容
1
江西省五市九校协作体2024 届第一次联考数学参考答案
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】D
【解析】易知等腰三角形的三边为�，�+ c，�2 + b2 ；则�+ c =
�2 + b2 即有�2 −
2��−2�2 = 0，解得e =
�
�=
3−1
2 ，故选：D.
5．【答案】D
【解析】由题意每段圆弧的中心角都是2π
3 ，第n 段圆弧的半径为n，弧长记为
na ，则
2π
3
na
n
，所以�15 =
2�
3 (1 + 2 + 3 + ⋯+ 15) = 80�，故选：D．
6．【答案】A
【解析】设|�Ԧሬ+ �Ԧሬ| = m, |�Ԧሬ| = n，由�Ԧሬ∙�Ԧሬ+ |�Ԧ
ሬሬ|2 = (�Ԧሬ+ �Ԧሬ) ∙�Ԧሬ= 0，则有(�Ԧሬ+ �Ԧሬ) ⊥�Ԧሬ，又|�Ԧሬ+
4�Ԧሬ| = |(�Ԧሬ+ �Ԧሬ) + 3�Ԧሬ| = 5，即�2 + (3�)2 = 25，令m = 5cosθ, 3n = 5sinθ,(0 < θ <
π
2 ) 则
m + n = 5cosθ +
5
3 sinθ =
25 +
25
9 sin(θ + φ) ≤
5 10
3
，故选：A．
7．【答案】C
【解析】设g(x) = �2 −
�
3 �−9，其判别式∆=
�2
3 + 36 > 0，∴函数( )
g x 一定有两个零点，
设( )
g x 的两个零点为
1
x ，2
x 且
1
2
x
x
，�(�) =
�
3 �+ 9, �< �1
2�2 −
�
3 �−9, �1 ≤�≤�2
�
3 �+ 9, �> �2
，当
0
a
时，( )
f x
在
1
, x
上单调递减或为常函数，从而
( )
f x 在( −∞, −3)不可能单调递增，故
0
a
；又有
g( −3) = �>0，故�1 >−3，∴
( )
f x 在( −∞, −3)上单调递增，要满足在(1, + ∞)上单调递
增只需
�
12 ≤1，可解得0 < �≤12，故选：C．
8．【答案】B
【解析】以AOB 所在的平面建立平面直角坐标系，AB 为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴，则易
知A(-1,0)，B（1,0），O（0,1）设M（x，y）由MA =
3MB 可得(�−2)2 + �2 = 3,
故M 的轨迹是以C（2,0）为圆心，3为半径的圆，转化到空间M 的轨迹为以C 为球心，3
为半径的球，同时M 在球O 上，故M 在两球的交线上，轨迹为圆. 又OM= 2，MC= 3，
易求得OC= 5，即∆OCM 为直角三角形，则对应圆的半径为2 3
5 =
30
5 ，
M 的轨迹长度即对应圆的周长为2 30
5 �，故选：B．
9．【答案】AC
【解析】易知AC 正确；当
na 为常数列时，数列
2
na
是等差数列，故B 错误；当
na
为各
{#{QQABKYIEggAoABAAARhCEQUaCgEQkBECAAoOQAAMsAAAQRNABCA=}#}
2
项均为0 的常数列时，
0
n
S
，即数列
1
n
S
n
为各项为0 的常数列，可以为等差数列，故D
错误，故选：AC.
10．【答案】ACD
【解析】可知AC 和BD 是圆O 的两条直径，所以
12
AC
BD
；由条件得
2
2 2
7
cos
cos2
2
1
3
9
AOD
AOF
，所以
7
cos
cos
9
AOB
AOD
；由已知得
2
7
4 2
(0,π),
sin
1
9
9
AOD
AOD
，
所以四边形ABCD 的面积为
1
1
2
|
||
| sin
2
|
||
| sin
2
2
OA OD
AOD
OA OB
AOB
1
1
4 2
sin
12 12
2
2
9
AC
BD
AOD
32
2
；记双曲线的半焦距为c（
0
c
），联立
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
x
y
a
b
x
y
a
b
c
，解得
2
2
c
a
y
c
，故A 点纵坐标为
2
2
c
a
c
，则sin
AOF
2
2
2
c
a
c
，
再由已知可得
AOF
为锐角，故
2
2 2
1
sin
1
3
3
AOF
，所以
2
2
2
1
3
c
a
c
，
所以
2
2
2
6
,
3
2
a
e
c
．故选：ACD
11．【答案】BCD
【解析】由三角形的两边之和大于第三边性质，知四面体中棱长为3 的棱最多有3 条，
（1）若只有一条棱长度为3，如图AB = 3，其余棱长都为6，
取AB 中点E ，CD 中点F ，连接
,
,
CE DE EF ，则
,
CE
AB DE
AB
，
又
,
CE DE 是平面CDE 内两相交直线，则AB 平面CDE ，
由已知CE=DE= 62 −(
3
2 )2 =
3 15
2
，则EF
CD
，EF= (
3 15
2
)2 −32 =
3 11
2 ，
�∆���=
1
2 × 6 ×
3 11
2
=
9 11
2
，；�����=
1
3 × �∆���×AB=
1
3 ×
9 11
2
× 3 =
9 11
2
（2）若有两条棱长度为3，还是如（1）中的图形，AB = CD = 3，
解法如（1），�����=
1
3 × �∆���×AB=
1
3 ×
9 14
4
× 3 =
9 14
4
（3）若有三条棱长度为3，只能是底面三边为3，如图BC=CD=BD=3,AB=AC=AD=6，四面体
为正三棱锥，设AO 是正三棱锥的高，O是
BCD
△
的外心，OB =
2
3 ×
3
2 × 3 =
3，
AO =
AB2 −OB2 =
62 −
3
2 =
33，
�����=
1
3 × �∆���× ��=
1
3 ×
3
4 × 32 ×
33 =
9 11
4
，故选：BCD．
12．【答案】ACD
{#{QQABKYIEggAoABAAARhCEQUaCgEQkBECAAoOQAAMsAAAQRNABCA=}#}
3
【解析】由题可得xlnx = ylny = lnm，设f(x) = xlnx, �’ (�) = lnx + 1 = 0 , x =
1
e ,则0 <
x <
1
e ,�’ (�) < 0 ; x >
1
e ,�’ (�) > 0 , 又f(
1
e ) =−
1
e ,可得−
1
e < lnm <0 ，e−1
e < m < 1，e−1
e =
(
1
e )
1
e ，2
2 = (
1
2 )
1
2 < 1，由f(
1
2 ) > f(
1
e )可得，
1
2 ln
1
2 >
1
e ln
1
e，则e−1
e <
2
2 < 1；又有
1 >cos
1
2 > cos
π
6 >
2
2 ；�
�= �−1
2 < �−1
�；由�
1
�>
1
�+ 1 =
�+1
�
, 则�−1
�<
�
�+1 <1；故选：ACD．
13．【答案】152
【解析】(1 +
3)5 + (1 −
3)5 = 2[�5
0( 3)0 + �5
2( 3)2 + �5
4( 3)4] = 152 .
14．【答案】4
【解析】由题可知前后两组数据的平均数不变，设为x ，设没有变化的4 个数与平均数差的
平方和为s ，所以�2
2 −�1
2 =
[�+(2−�ത)2+(9−�ത)2]−[�+(6−�ത)2+(5−�ത)2]
6
= 4．
15．【答案】2 3
【解析】由题x(3x + 4y) = 3x2 + 4xy =
3
y2 ，又(3x + 2y)2 = 9x2 + 12xy + 4y2 = 3(3x2 +
4xy) + 4y2 =
9
y2 + 4y2 ≥12，当且仅当
9
y2 = 4y2取等号，即(3x + 2y)的最小值为2 3．
16．【答案】2 2
【解析】因为四边形ABCD为正方形，O为其中心，所以AC ⊥BD 于点O，且
OA
OB
OC
OD
，不妨设直线AC 的方程为
0
y
kx k
，则直线BD 的方程为
1
y
x
k
，
设点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，则
1
1
2
2
,
,
,
C
x
y
D
x
y
，当
0
b
时，
2
3
0
f
x
x
b
，
f
x
在R 上单调递增，与
1
y
x
k
仅有1 个交点为原点，不合题意，
当
0
b
时，联立直线AC 与曲线方程，得到
3
1
1
1
x
bx
kx
，解得
2
1x
k
b
，
联立直线BD 与曲线方程，得到
3
2
2
2
1
x
bx
x
k
，解得
2
2
1
x
b
k
，
因为OA
OB
，所以
2
2
1
1
1
1
k
k
b
b
k
k
，
整理得
2
2
1
1
0
k
b k
k
k
，即
2
1
1
2
0
k
b k
k
k
，
设
1
0
t k
k
k
k
，该函数在
0,
上单调递增，值域为R，
要使符合题意的正方形只有1 个，则必有
2
2
0
t
bt
有两个相等的实数根，
即
2
8
0
b
，解得
2 2
b
，正根舍去，
此时
1
2 2
k
k
，解得
6
2
2
k
，负根舍去，所以
2 2
b
．
17．解（1）在∆ABD 中，
²
²
²
2
cos
5
4cos
BD
AD
AB
AD AB
A
A
在∆BCD
4cos
3
2cos
A
C
，中，
2
2
2
2
cos
2
2cos
BD
CD
CB
CD CB
C
C
，
{#{QQABKYIEggAoABAAARhCEQUaCgEQkBECAAoOQAAMsAAAQRNABCA=}#}
4
则
3
2cos
cos
2
A
C
.
...................................................................（4 分）
(2) �1
2 + �2
2 =
1
4 ��2��2���2A+
1
4 ��2��2���2C=���2A+
1
4 ���2C
2
2
2
2
1
1
1
1
3
sin
cos
1
cos
2cos
4
4
4
4
2
A
C
A
A
2
3
11
2cos
cos
2
16
A
A
，.....（6 分）
因为
0,
A
，设
cos
1,1
t
A
，则
2
2
3
11
3
31
2
2
1,1
2
16
8
32
y
t
t
t
t
，
，
所以，当
3
1,1
8
t
时，
2
3
11
2
2
16
y
t
t
取得最大值31
32 ，
即
3
cos
8
A
时，
2
2
1
2
S
S
的最大值为31
32 .
.................................
（10 分）
18．解（1）证明：如图，取BC 中点H，取AD 中点M，
因为∆FBC 为等边三角形，所以FH
BC
，
平面FBC 平面ABCD，
又FH 平面FBC ，平面FBC 平面ABCD
BC
，
所以FH 平面ABCD，
又底面ABCD 为矩形，则HM
HB
.
以H 为坐标原点，HM
，HB
，HF
分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系H
xyz
,
由题意可得，
1
2,
,0
2
A
，
1
0,
,0
2
B
，
1
0,
,0
2
C
，
1
2,
,0
2
D
，
3
0,0, 2
F
，
已知G 是CF 的中点．则
1
3
0,
,
4
4
G
，
可知
3
3
0,
,
4
4
BG
，
1
3
2,
,
2
2
AF
，
2, 1,0
BD
，由四边形BDEF 为平行四边形，
得��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= ( 0, −
3
2 ,
3
2 ) ，设平面AEF 的法向量�Ԧሬ= (�, �, �)，
则
1
3
2
0
2
2
3
3
0
2
2
x
y
z
y
z
，取
3
z
，得
1
1,
2
y
x
，则平面AEF 的一个法向量
1 ,1, 3
2
n
故
1
3
3
0
1
3
0
2
4
4
BG n
，则BG
n
.
且BG 平面AEF，则BG∥平面AEF.
.............................................（6 分）
（2）
3
3
0,
,
2
2
AE
，
2, 1,0
BD
，
1
3
0,
,
2
2
BF
，
{#{QQABKYIEggAoABAAARhCEQUaCgEQkBECAAoOQAAMsAAAQRNABCA=}#}
5
设平面BDEF 的法向量
, ,
m
x y z
，则
2
0
1
3
0
2
2
x
y
y
z
，取
2
z
，得
2 3,
3
y
x
，
得平面BDEF 的一个法向量
3,2 3,2
m
设直线AE 与平面BDEF 所成角为，则
2 3
2 19
sin
cos
,
19
3
19
AE m
AE m
AE
m
，
故所求直线AE 与平面BDEF 所成角的正弦值为2 19
19
.
...............................（12 分）
19．解（1）由题可知，第2 回合甲发球的概率为2
3 ，乙发球的概率为1
3 .
所以第3 回合甲发球的概率为2
2
1
1
5
3
3
3
3
9
，乙发球的概率为2
1
1
2
4
3
3
3
3
9
.
可得第4 个回合甲发球的概率为5
2
4
1
14
9
3
9
3
27
.
故第4 个回合甲发球的概率为
14
27 .
......................................................（4 分）
（2）X 可以取1，2，3，4.
当
1
X 时，
1
1
2
2
4
3
3
3
27
P
；
当
4
X
时，
3
4
2
8
3
27
P
；........................（6 分）
当
2
X
时，前4 个回合甲发球两次的情况分以下三种：
第一种情况，甲第1，2 回合发球，乙第3，4 回合发球，其概率为2
1
2
4
3
3
3
27
.
第二种情况，甲第1，3 回合发球，乙第2，4 回合发球，其概率为1
1
1
1
3
3
3
27
.
第三种情况，甲第1，4 回合发球，乙第2，3 回合发球，其概率为1
2
1
2
3
3
3
27
.
故前4 个回合甲发球两次的概率为4
1
2
7
27
27
27
27
.
2
7
27
P
；
当
3
X
时，
3
1
2
4
8
1
27
P
P
P
P
...........................................................................（10 分）
X 的分布列为
X
1
2
3
4
P
4
27
7
27
8
27
8
27
4
7
8
8
74
1
2
3
4
27
27
27
27
27
E X
.
.....................................................（12 分）
20．解（1）由
1
1
2
n
n
n
n
S
S
a
a
有
1
1
1
1
2
n
n
n
n
n
S
a
S
a
a
，即
1
1
1
2
n
n
n
n
S
S
a
a
，
{#{QQABKYIEggAoABAAARhCEQUaCgEQkBECAAoOQAAMsAAAQRNABCA=}#}
6
又
1
1
a ，故
1
1
1
S
a ，所以数列
n
n
S
a
是以1 为首项，
1
2 为公差的等差数列，...........（3 分）
所以
1
2
n
n
S
n
a
，即
1
2
n
n
n
S
a
，
故
1
1
2
2
n
n
n
S
a
，两式相减得
1
1
2
1
2
2
n
n
n
n
n
a
a
a
，即
1
1
2
2
n
n
n
n
a
a
，
所以
1
1
1
1
1
n
n
a
a
a
n
n
，因此
na
的通项公式为
na
n
.
.............................（6 分）
（2）由（1）可知
*
N
,
|
2
2
Q
x x
n
n
，
*
*
|
4
2
N
|
2(2
,
1)
N
,
R
x x
n
n
x x
n
n
，
所以Q ∩R = R．又因为
nc
Q
R
，其中
1c 是Q
R
中的最小数，
所以
1
6
c
，则
nc
的公差是4 的倍数，设公差为4t，
*
N
t
，
所以�21 = 6 + 80�，又因为400 < �21 < 450，所以400 < 6 + 80�< 450，则
394
80 < �<
444
80 ，
由于
*
N
t
，故�= 5，即等差数列
nc
的公差为20，
则��= 6 + (�−1) × 20 = 20�−14 ，.......................................................................（8 分）
所以
��
2�+1 =
10�−7
2�
，即��= 3 ∙(
1
2 )1 + 13 ∙(
1
2 )2 + ⋯+ (10�−7) ∙(
1
2 )�①
1
2 ��= 3 ∙(
1
2 )2 + 13 ∙(
1
2 )3 + ⋯+ (10�−7) ∙(
1
2 )�+1 ②
由①−②可解得��= 13 −
10�+13
2�
............................................................................（12 分）
21．解：（1）设M(�1, �1) ,N(�2, �2) ,由抛物线定义可知|MF|+|NF|= �1 + �2+p=4 ,
又线段MN 的垂直平分线交x 轴于点E（3,0），故|ME|=|NE|,
（�1 −3)2 + �1
2=（�2 −3)2 + �2
2 即（�1 + �2 −6)(�1 −�2)=�2
2−�1
2=2�(�2 −�1)
因为�2 ≠�1 ,所以（�1 + �2 −6)=−2�，即4 −�−6 =−2�,则有p=2 ,
即抛物线T 的方程为�2= 4x
..................................................................................（4 分）
（2）由题：
1,0
F
，设
1
1
2
2
:
1,
,
,
,
AB x
ny
A x y
B x
y
，
代入
2
4
y
x
得
2
4
4
0
y
ny
，
则有
1
2
1
2
4
4
y
y
n
y y
，
2
1
2
1
2
2
4
2
x
x
n y
y
n
，所以G（2n2 + 1,2n），故���=
2�
2�2+1
设C(�3, �3) ,D(�4, �4) ，则
3
1
1
2
1
3
1
1
3
4
4
4
AC
y
y
y
k
y
x
x
y
y
解得
3
1
16
y
y
，同理，
4
2
16
y
y
，
所以
2
2
1
1
2
2
64
16
64
16
,
,
,
C
D
y
y
y
y
，
{#{QQABKYIEggAoABAAARhCEQUaCgEQkBECAAoOQAAMsAAAQRNABCA=}#}
7
所以H 点的横坐标为
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
32
32
16 2
1
y
y
y y
n
y
y
y y
，
H 点的纵坐标为
1
2
1
1
8
8n
y
y
，所以���=
�
2(2�2+1) ,
有���=
1
4 ���，
..............................................................................................（7 分）
记�= ���=
2�
2�2+1，故|���| =
2|�|
2�2+1，
当
0
n
时，���=0，当
0
n
时，|���| =
2|�|
2�2+1 =
2
2|�|+ 1
|�|
≤
2
2 2|�|. 1
|�|
=
2
2 ，易求得
2
1
0, 2
t
；
取直线OG、OH 的方向向量分别为
1,
,
4,
p
t
q
t
，
故cos∠GOH=
| �՜
�՜
�՜ . �՜
�՜
�՜ |
| �՜
�՜
�՜ |.| �՜|
�՜|=
�2+4
�2+1 �2+16
......................................................................（9 分）
当
2
0
t
时，cos∠GOH=1，当
2
1
0, 2
t
时，cos∠GOH= 1 −
9
�2+16
�2+17
函数
16
y
x
x
在区间
1
0, 2
上单调递减，最小值为
1
16
65
1
2
2
2
，
所以当
2
1
2
t
时，cos∠GOH 取到最小值为
9
9
1
65
11
17
1
1
2
3 1
1
.
....................（12 分）
22. 解（1）由题有f’ (x)=−(x + 1)��−�(x∈R)
.
令f’ (x)> 0 ，得�∈( −∞, −1)，令f’ (x)< 0 ，得�∈( −1, + ∞)，
故函数
f
x 的增区间是( −∞, −1)，减区间是( −1, + ∞).
..............................（2 分）
（2）根据题意得：
2 e
2
0
a x
x
x
，
e
2
e
2
0
a
x
x
x
，
设方程
2e
2
2
0
f
x
x
的两根分别是
0x 和
0x
，
故
0
0
0
e
2
e
2
0
x
a x
x
①，
0
0
0
e
2
e
2
0
x
a
x
x
，
则
0
0
0
e e
2
2
0
x
a
x
x
②，由①-②可得：
0
0
0
e
1
2
2 e
0
x
a
x
x
③，
令
2
2 e x
g x
x
x
，则
1
e
2 e
1 e
1
x
x
x
g
x
x
x
，
易证明
0
g
x
，即
g x 单调递增，又
0
0
g
，当
0
0
x
时，由①可知：e
1
a 不成立；
故
0
0
x
，则
0
0
g x
，则有：e
1
0
a
，即
0
a
；.............................................（5 分）
（3）由（2）可得f(−x)=(−x+2)��，则g(�)=���−���−�−m=0，
{#{QQABKYIEggAoABAAARhCEQUaCgEQkBECAAoOQAAMsAAAQRNABCA=}#}
8
即��+���−(�+ ���) = �令
ln
t
x
x
，函数
ln
t
x
x
在
0,
x
单调递增，t R ，
函数g(�)有两个不同的零点�1、�2，也即方程��−�= �在t R 有两根1
2
,
t t ，
其中1
1
1
2
2
2
ln
,
ln
t
x
x t
x
x
，
令
( )
et
p t
t
，则
( )
e
1
t
p t
( )
p t 在
,0
t
为减函数，在
0,
t
为增函数，
min( )
(0)
1
p
t
p
又x 时，
( )
p t
；x 时，
( )
p t
，
m> 1，1
2
0
t
t
，
1
2
( )
( )
p t
p t
，
令( )
( )
(
)
(e
)
(e
)
e
e
2 ,
0
t
t
t
t
q t
p t
p
t
t
t
t t
则
( )
e
e
2
0
t
t
q t
，
( )
q t 在
0,
t
单调递增，
0
t
时，( )
(0)
0
q t
q
，
由2
0
t
得
2
2
2
( )
( )
(
)
0
q t
p t
p
t
，
1
2
2
( )
( )
(
)
p t
p t
p
t
，
而
( )
p t 在
,0
t
单调递减，且1
2
0
0
t
t
，
，所以1
2
1
2
0
t
t
t
t
，
，.................（8 分）
即有1
2
1
1
2
2
ln
ln
0
t
t
x
x
x
x
，
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
ln
ln
ln(
)
2ln
2
x
x
x
x
x x
x
x
x x
x x
，
1
2
1
2
ln
0
x x
x x
，又
1
1
1
1
ln
0
2
e
e
e
，
1
2
1
2
1
1
ln
ln
e
e
x x
x x
，而
ln
y
x
x
在
0,
x
单调递增，
1
2
1
e
x x
1
2
1
e
x x
.
即得证
..........................................................................................（12 分）
{#{QQABKYIEggAoABAAARhCEQUaCgEQkBECAAoOQAAMsAAAQRNABCA=}#}
