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专题 07 三角函数的图象与性质
（5 种经典基础练+6 种优选提升练）
三角函数的图象（共11题）
一、单选题
1．（23-24高一上·山东青岛·期末）当 时，函数 与 的图象所有交
点横坐标之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出函数 和 在 上的图象，通过图象即可求出交点横坐标．
【详解】作出函数 和 在 上的图象如下
从图像上可得：函数 的图象和 的图象在 内有两个交点：
，即 ，得 ，
， ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司所有交点横坐标之和为 .
故选：A
2．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名
的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为
世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，
“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来
研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数 的图象如图所示，
则 的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数、三角函数的单调性及复合函数的单调性判定选项即可.
【详解】由 的图象在纵轴右侧先单调递增再递减，
又 和 在纵轴右侧均先递增，而 和 在纵轴右侧均先递减，由复合函
数的单调性可排除B、C，
若 ，则根据复合函数单调性有 时函数单调递减，与图象不符，故D错误；
而 ，则根据复合函数单调性有 时函数单调递减，与图象相符，故A正确.
故选：A
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高一上·福建三明·期末）函数 的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先化简函数解析式，依次判断函数的定义域，奇偶性，排除A,B项，对于C,D项，则可以
借助于单位圆正弦线或者正弦函数的图象判断函数值的范围即得.
【详解】
由 ，函数的定义域为 ，显然关于原点对称，
由 可知函数 是偶函数，故排除A,B两项；
因当 时， ，如图，则 ，即 ，故排除D项，则C项正确.
故选：C.
4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）下列直线中，与函数 的图象不相交的是
（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
【答案】C
【分析】借助正切函数求出函数的定义域及值域，再逐项判断得解.
【详解】函数 中， ，解得 ，
函数 的定义域为 ，
显然 ，因此直线 与函数 的图象相交，
直线 与函数 的图象不相交，A不是，C是；
函数 的值域为 ，因此直线 ， 与函数 的图象都相交，BD
不是.
故选：C
5．（23-24高一上·四川德阳·期末） ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分段函数解析式特点，代入解析式求解即可.
【详解】 .
故选：C
二、多选题
6．（23-24高一上·宁夏银川·期末）下列关于函数 的说法错误的是（ ）
A．函数的图象关于点 中心对称 B．函数的定义域为
学科网（北京）股份有限公司C．函数在区间 上单调递增 D．函数在区间 上单调递增
【答案】ACD
【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、单调性可判断出答案．
【详解】对于A， ，即函数的图象关于点 不成中心对称，故A错误；
对于B，由 ， ，得 ，即函数的定义域为 ，故B正确，
对于C， ， 当 时，函数无意义，故 不存在单调性，故C错误；
对于D，由C选项知函数在区间 上不具备单调性，故D错误，
故选：ACD．
三、填空题
7．（23-24高一上·上海·期末）若角 满足 ， ，则 ．
【答案】 /
【分析】求出 ，根据函数值得到答案.
【详解】 ，
因为 ，所以 ，
故 ，解得
故答案为：
学科网（北京）股份有限公司8．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数 且 ，写出满足条件的 的
一个值 ．
【答案】 （答案不唯一，满足条件即可）
【分析】根据正弦函数的图象求解即可.
【详解】由函数 且 ，
得 ，
所以 或 ，
所以 或 ，
所以满足条件的 可以是 .
故答案为： .（答案不唯一，满足条件即可）
9．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数 在 上有且仅有 个零点，则
实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
求出函数的零点，根据范围列不等式组即可．
【详解】
令 ，则函数的零点为 ， ，
所以函数在 轴右侧的四个零点分别是 ， ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司函数 在 上有且仅有 个零点，
所以 ，解得 ．
故答案为： ．
四、解答题
10．（23-24高一上·青海海北·期末）已知函数 的部分图象
如图所示.
(1)求 的解析式；
(2)求 的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦型函数的特点，结合正弦型函数中各参数的意义进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）由图可得 .
因为 ，
所以 .
学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
则 .
（2）令 ，
得 ，
故 的单调递增区间为 .
11．（23-24高一上·浙江衢州·期末）函数 的部分图象如图所
示.
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 在 上的值域.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）根据余弦型函数的图象，结合代入法，余弦型函数的周期公式进行求解即可；
学科网（北京）股份有限公司（2）根据正弦二倍角公式，结合余弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】（1）由 ， ，则 ，
由 ，得 ，
设 的周期为 ，则有 ，
所以令 ，所以 .
（2）
因为 ，所以 ，
则 ，故 的值域为 .
三角函数的单调性（共16题）
一、单选题
1．（23-24高一上·陕西西安·期末）使得函数 为减函数，且值为负数的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司【分析】利用正弦函数的图象与性质判定选项即可.
【详解】由 的图象与性质可知 时，函数单调递减，且函数值为负数.
故选：C
2．（23-24高一上·河北沧州·期末）若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的关系、三角函数值域、指数幂运算，结合函数的单调性及不等式的放
缩比较大小.
【详解】 ， .
故选：D．
3．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知常数 ，函数 在区间 上单调，
则 不可能等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数的单调性，由 的单调区间得 的取值范围，验证各选项中的值.
【详解】常数 ，当 ，有 ，
正弦函数的单调区间为 ，
函数 在区间 上单调，
学科网（北京）股份有限公司则有 ，解得 ，
时， ， 满足；
时， ， 满足；
时， ， 满足；
不等式 ，解得 ，因为 ，则 无解，
则 时，函数 在区间 不单调；
故选：C
【点睛】方法点睛：
依题意有 ，区间包含于正弦函数的单调区间，可求出 的取值范围.
4．（23-24高一上·广东江门·期末）下列四个函数中，以 为周期，且在区间 上单调递减的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断各函数的最小正周期，再确定各函数在区间 上的单调性，从而得解.
【详解】因为 的最小正周期为 ，
当 时， ，所以它在 上单调递增，故A错误；
因为 最小正周期为 ，故B错误；
学科网（北京）股份有限公司因为 最小正周期为 ，在区间 上单调递减，故C正确；
不是周期函数，故D错误；
故选：C.
5．（23-24高一上·北京大兴·期末）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接根据基本初等函数的单调性判断即可.
【详解】对于ABC： ， ， 均在区间 上单调递减，错误；
对于D： 在区间 上单调递增，正确；
故选：D.
6．（22-23高一上·湖北武汉·期末）已知函数 在区间 上单调递减，则正实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用整体代换法求出函数 的递减区间，结合集合的包含关系列出不等式组，解之即
可.
【详解】由题意知， ，
令 ，
解得 ，
又函数 在区间 上单调递减，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ，
当 时， .
故选：C.
二、多选题
7．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的定义域为
B．函数 的最小正周期为
C．函数 在定义域上是增函数
D．函数 的一个对称中心为
【答案】AB
【分析】利用正切型函数的定义域可判断A选项；利用正切型函数的周期公式可判断B选项；利用
正切型函数的单调性可判断C选项；利用正切型函数的对称性可判断D选项.
【详解】对于A选项，由 可得 ，
所以，函数 的定义域为 ，A对；
对于B选项，函数 的最小正周期为 ，B对；
对于C选项，函数 在定义域上不单调，C错；
对于D选项，因为 ，故 不是函数 的对称中心，D错.
故选：AB.
学科网（北京）股份有限公司8．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数 的部分图象如图所示，则
下列选项错误的是（ ）
A．
B．函数 的单调增区间为
C．函数 的图象关于 中心对称
D．函数 的图象关于直线 对称
【答案】BD
【分析】由图象求出函数 的解析式，再利用余弦函数的性质逐一分析各选项即可得解.
【详解】因为 ，
对于A，由图象可知 ，所以 ，所以 ，故A正确；
对于B，由A得 ，
令 得 ，
故 的单调增区间为 ，故B错误；
学科网（北京）股份有限公司对于C，因为 ，故C正确；
对于D，因为 ，故D错误；
故选：BD．
三、填空题
9．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知函数 在 上单调递增，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据分段函数分段考虑的原则，要使函数为增函数，必须每一段都为增函数，且自变量分
段点左侧函数值应不大于该点右侧函数值，综合考虑即得.
【详解】由 时， 单调递增，可得 ①，由 时， 显然单
调递增，
要使函数在 上单调递增，需使 ②，由①②可得： .
故答案为： .
10．（23-24高一上·福建福州·期末）试写出一个函数 ，使其满足以下三个条件：函数的周期
为 ；函数的图象关于直线 对称；函数在 上单调递减.则 的解析式可以为：
．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】结合三角函数的性质，即可求解函数的解析式.
学科网（北京）股份有限公司【详解】由条件可设 ，
由函数的周期为 ，可知， 可以为2，
因为函数的图象关于直线 对称，则 ， ,所以 可以为0，
则 ，
又函数在 上单调递减， ， ，所以 ，
则 可以为 ，
所以满足条件的一个函数
故答案为： （答案不唯一）
11．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知函数 .
（ⅰ）函数 的定义域为 ；
（ⅱ）若 是斜三角形的一个内角，则使不等式 成立的 的集合为 .
【答案】
【分析】（ⅰ）正切函数性质求定义域；
（ⅱ）由正切函数的单调性解不等式求解集.
【详解】（ⅰ）由正切函数性质知 ， ，故定义域为 ；
（ⅱ）由 ，又 是斜三角形的一个内角，故 ，所以 .
故答案为： ，
12．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知函数 ，若
学科网（北京）股份有限公司恒成立，且 在区间 上单调递增，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】综合应用三角函数的图象与性质即可求得答案.
【详解】若 恒成立，则 ，
所以 ，即 ，又 在区间 上单调递增，
所以 ，故 ， ，
解得 ，令 得 ，又 ，所以 ，
令 得 ；当 时， ，不合题意；
综上可得 或 .
故答案为： .
四、解答题
13．（23-24高一上·广东阳江·期末）已知函数 的最小正周期为 .
(1)求 的值；
(2)求函数 的单调递增区间；
【答案】(1)
学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）由最小正周期求出 ，进而得到 ，代入求值即可；
（2）利用整体代入法，结合三角函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为 的最小正周期为 ，
所以 ， ，则 ，
故 .
（2）令 ，解得 ，
故 的单调递增区间为 .
14．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）已知函数 ．
(1)求 的最小正周期；
(2)求 的单调区间．
【答案】(1) ；
(2)单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
【分析】（1）根据周期公式直接计算可得；
（2）根据正弦函数的单调性，利用整体代入法求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以 的最小正周期 .
（2）由 解得 ，
学科网（北京）股份有限公司由 解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 .
15．（23-24高一上·安徽安庆·期末）将函数 的图象向右平移 个单位得到
函数 的图象，且使 成立的 的最小值为 ．
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)设函数 ，求函数 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由图象平移得 的解析式，根据已知得函数周期求出 ，整体代入法求单调递减
区间；
（2）由 解析式，通过换元，利用基本不等式求最大值.
【详解】（1）由题意可知 ，
于是函数 最大值为1，最小值为 ，
根据使 成立的 的最小值为 ，则 是相邻的最大值点和最小值点，
函数 的最小正周期 满足 ，解得 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司于是 ，解得 ，
因此函数 的单调递减区间 .
（2）由（1）知 ，
令 ，则 ，
于是
，
所以当且仅当 ，即 时，函数 的最大值为 ．
16．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数 在 上单调递增．
(1)求 的取值范围：
(2)当 取最大值时，将 的图象向左平移 个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的3
倍，得到 的图象，求 在 内的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题设条件，列出不等式 ，求解即可.
（2）根据函数图像平移变换，写出函数 ，再结合区间和三角函数性质求出值域.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由 ，得 ，
又函数 在 上单调递增，
所以 ，解得
因为 ，所以 ．
（2）由（1）知 的最大值为 ，此时 ，
根据题意， ，
当 时， ．
所以 ，故值域为 ．
三角函数的奇偶性（共11题）
一、单选题
1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再由特殊值判断即可.
【详解】函数 的定义域为 ，
且 ，
所以 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B、D；
因为 ，又 ，故排除A.
故选：C
2．（23-24高一上·湖北·期末）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】探讨函数 的奇偶性，再由 时的函数值正负判断即可.
【详解】函数 的定义域为R， ，即 是奇函
数，排除AC；
当 时， ，则 ，选项D满足，B不满足.
故选：D
3．（23-24高一上·河北承德·期末）函数 在区间 上的图象大致为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再代入特殊值，排除选项.
【详解】设 ，则 ，所以 为奇函数，排
除 .
令 ，则 ，排除 .
故选： .
4．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）下列函数是偶函数，且在 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性的定义判断和单调性，判断选项.
【详解】对于选项A， ,所以 是偶函数，且在 单调递增，故A正
确.
对于选项B， 非奇非偶，故B错误；
对于选项C， ，所以 是奇函数，故C错误；
学科网（北京）股份有限公司对于选项D， ，所以 是偶函数，但是 在 有增有减，
故D错误.\
故选：A
5．（23-24高一上·贵州毕节·期末）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判断函数的图象问题，可从函数定义域，函数的奇偶性，函数图象的趋势或者特殊点的函
数值进行判断是否符合题意.
【详解】由函数 可得函数的定义域为 ，
由 可知函数 为奇函数，
其图象关于坐标原点对称，故舍去B，D两项；
又由 可得C项不合题意，故A项正确.
故选：A.
二、多选题
6．（23-24高一上·湖南长沙·期末）函数 （ 是常数，
）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．
B．在区间 上单调递增
C．将 的图象向左平移 个单位，所得到的函数是偶函数
D．
【答案】BD
【分析】由图象求出函数的解析式，利用正弦函数的性质验证各选项的结论是否正确.
【详解】由图象可知， ，
，函数最小正周期 ， ，
，即 ，由 ，得 ，
所以 ，
，A选项错误；
， ， 是正弦函数的单调递增区间，
所以 在区间 上单调递增，B选项正确；
将 的图象向左平移 个单位，得函数 的图象，
学科网（北京）股份有限公司其中 ，不是函数最值， 轴不是函数图象的对称轴， 不是偶函数，C选项
错误；
，
所以 ，D选项正确.
故选：BD
7．（23-24高一上·湖南永州·期末）在下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的有
（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据指数、幂函数及三角函数性质判断函数奇偶性、区间单调性，即可得答案.
【详解】由 为奇函数，A不符；
由 定义域为R，且 ，为偶函数，
在区间 上单调递增，B符合；
由 定义域为 ，且 ，为偶函数，
在区间 上单调递增，C符合；
由 定义域为R，且 ，为偶函数，
在区间 上单调递增，D符合；
故选：BCD
8．（23-24高一上·山西太原·期末）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小正周期
学科网（北京）股份有限公司B． 的定义域为
C． 的值域为
D． 是奇函数
【答案】BD
【分析】结合正切函数的性质逐项判断即可得.
【详解】对A：由 ，故 的最小正周期 ，故A错误；
对B：由题意得： ，即 ，
故 的定义域为 ，故B正确；
对C：由 ，故 的值域为 ，故C错误；
对D： 的定义域为 ，
，
故 是奇函数，故D正确.
故选：BD.
9．（23-24高一上·广东肇庆·期末）关于函数 ，下列说法中正确的有（ ）
A．是奇函数 B．在区间 上单调递增
C． 为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为
【答案】BCD
【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】A中，由正切函数的性质，可得 为非奇非偶函数，所以A错误；
B中，令 ，可得 ，
即为函数的单调递增区间，令 ，可得 ，所以B正确；
C中，令 ，可得 ，
令 ，可得 ，故 为其图象的一个对称中心，所以C正确；
D中，函数 的最小正周期为 ，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题
10．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数 ，若
，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】根据函数的表达式得出 ，计算出 ，然后利用基本不等式可得最大
值．
【详解】 ，则 ，∴ ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司即 ， ，又 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
故答案为： ．
四、解答题
11．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知函数 （ ， ）的最小正
周期为 ．
(1)求 的值；
(2)求当 为偶函数时 的值；
(3)若 的图象过点 ，求 的单调递增区间．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）函数 最小正周期为 ，则 ，可求 的值；
（2）当 为偶函数时，有 ，由 得 的值；
（3） 的图象过点 ，利用解析式求 的值，整体代入法求单调递增区间．
【详解】（1）函数 （ ， ）的最小正周期为 ，
则 ，解得 .
（2） 为偶函数，则有 ，
学科网（北京）股份有限公司又 ，得 .
（3） 的图象过点 ， ，
， ，
所以 ，得 ， .
，解得 ，
的单调递增区间 .
三角函数的周期性（共10题）
一、单选题
1．（23-24高一上·湖北荆州·期末）下列函数中，周期为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】举反例排除A，利用三角函数的周期公式判断BC，利用周期函数的定义结合诱导公式判
断D.
【详解】对于A，因为 ，
所以 ，
则 ，所以 不以 为周期，故A错误；
对于B，因为 ，所以 的最小正周期为 ，故B错误；
学科网（北京）股份有限公司对于C，因为 ，所以 的最小正周期为 ，故C错误；
对于D，因为 ，
所以 ，
则 的周期为 ，故D正确.
故选：D.
2．（22-23高一上·江苏苏州·期末）下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 上单调
递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的周期性、单调性确定正确选项.
【详解】 的最小正周期是 ，不符合题意.
在区间 上单调递增，不符合题意.
对于 ， ，
所以 在区间 上单调递增，不符合题意.
对于 ，画出图象如下图所示，由图可知 的最小正周期为 ，
且在区间 上单调递减，B选项正确.
故选：B
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高一上·重庆·期末）下列函数中最小正周期为 ，且在区间 上单调递减的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合三角函数图象的对称变换，确定各选项中三角函数的周期性与单调性，一一判断各选
项，即可求解.
【详解】依题意，对于AC，最小正周期为： ，
所以AC选项不符合题意；
对于B： 的图象可由 的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方，
原来在x轴和x轴上方部分不变；故周期为： ，
且在 上单调递增，所以B选项不符合题意；
对于D： 的图象可由 的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方，
原来在x轴和x轴上方部分不变；故周期为： ，
且在 上单调递减，所以D选项符合题意；
故选：D
二、多选题
4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）下列函数中，以 为最小正周期，且在区间 上单调递增
学科网（北京）股份有限公司的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】A选项，当 时， ，进而得到函数单调性，A错误；BD选项，求
出 ，进而得到函数的单调性，利用 求出最小正周期；C选项，根据 的周
期和单调性得到C正确.
【详解】A选项，当 时， ，
由于 在 上单调递减，
故 在 上单调递减，不合要求，A错误；
B选项，当 时， ，
由于 在 上单调递增，故 在 上单调递增，
又 ，故 以 为最小正周期，B正确；
C选项， 以 为最小正周期，且在区间 上单调递增，C正确；
D选项，当 时， ，
由于 在 上不单调，故 在 上不单调，D错误.
学科网（北京）股份有限公司故选：BC
5．（23-24高一上·甘肃陇南·期末）下列函数的周期为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由三角函数周期的计算公式，求选项中各函数的周期.
【详解】对于 ， ，A选项正确；
对于 ， ，B选项正确；
对于 ， ，C选项错误；
对于 ， ，D选项正确.
故选：ABD
三、填空题
6．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）函数 的最小正周期为 ．
【答案】
【分析】根据最小正周期公式“ ”可求解.
【详解】由于 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司故答案是： .
7．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数 的最小正周期是 ．
【答案】6
【分析】利用正弦型函数的周期，结合图形求解即可.
【详解】函数 的最小正周期为 ，
显然 ，即 是函数 的周期，
在同一坐标系内作出函数 的图象，如图，
观察图象知，函数 的周期相同，所以函数 的最小正周期是6.
故答案为：6
8．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知 ，则 .
【答案】 /
【分析】求得 的周期，再利用周期性求值即可.
【详解】因为 ，所以 的周期 .
又 ， ， ， ， ， ，
所以 .
又 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
四、解答题
9．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数 .
(1)把 化为 的形式，并求 的最小正周期；
(2)求 的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函
数性质求解；
（2）由正弦函数的单调区间可得．
【详解】（1）（1） ，
所以最小正周期为 ．
（2）由 ， ，解得 ， ，
所以 的增区间为 ．
10．（23-24高一上·四川德阳·期末）已知 ．
(1)求 的最小正周期及单调递减区间；
(2)当 ，求 的值域．
【答案】(1)最小正周期 ，
学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）根据余弦函数的周期以及单调性，即可求得答案；
（2）根据 时，确定 ，结合余弦函数的性质，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知 ，
故函数的最小正周期 ，
令 ，解得 ，
故 的单调递减区间为 ．
（2）当 时， ，
则 ，
故 时， 的值域为 .
三角函数的对称性（共10题）
一、单选题
1．（23-24高一上·北京平谷·期末）如果函数 的一个零点是 ，那么 可以是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意令 ，解方程即可得解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意 ，解得 ，对比选项可知只有 ， 符合题
意.
故选：D.
2．（23-24高一上·贵州毕节·期末）下列函数中，以点 为对称中心的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角函数的对称性可知，C正确.
【详解】 的对称中心为 ，A错误；
的对称中心为 ，B错误；
的对称中心为 ，C正确；
令 ， ，不恒等于 ，
的图象不关于 成中心对称，D错误，
故选：C．
3．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数 的对称中心是
，则 （ ）
A． B． C．3 D．0
【答案】D
【分析】利用辅助角公式和对称中心得到最小正周期 ，求出 ，由 求出 ，
学科网（北京）股份有限公司再计算出 .
【详解】 ，其中 ，
由 的对称中心是 知，两个相邻的对称中心相距 ，
故 的最小正周期 ，
即 ，所以 ，
解得 ，故 ．
故选：D．
二、多选题
4．（23-24高一上·河北·期末）关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期是 B．图象关于直线 对称
C．图象关于点 对称 D．在区间 上单调递增
【答案】ACD
【分析】根据正切函数的最小正周期，可判断A；根据正切函数没有对称轴可判断B；采用代入验
证的方法可判断C；根据正切函数的单调性可判断D.
【详解】对于A，由于正切函数 的最小正周期是 ，
故函数 最小正周期是 ，A正确；
对于B，由于正切函数 没有对称轴，故 的图象也没有对称轴，B错误；
学科网（北京）股份有限公司对于C，由于 ，故 的图象关于点 对称，C正确；
对于D，由于正切函数 在 上单调递增，
故对于函数 ，令 ，
则 ，
故 在区间 上单调递增，D正确，
故选：ACD
5．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数 的图象关于直线 对称，
则（ ）
A． B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在区间 上单调递增 D．函数 在区间 上的值域为
【答案】ABD
【分析】先根据对称轴求出函数解析式，结合选项逐个验证即可.
【详解】因为 的图象关于直线 对称，所以 ，即 ， ；
因为 ，所以 ，即 .
，故A正确；
，所以函数 的图象关于点 对称，故B正确；
令 ，由 可得 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以函数 在区间 上不是单调函数，故C不正确；
令 ，由 可得 ，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
6．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 在 上单调递增
C． 的图象关于直线 对称
D． 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位得到
【答案】ABD
【分析】利用周期公式可得A正确；由正弦型函数的单调性可得B正确；利用整体代换法以及正弦
函数性质可得C错误；由平移规则可知D正确.
【详解】 的最小正周期为 ，A正确.
当 时， ，
在 上单调递增，B正确.
， 的图象不关于直线 对称，C错误.
的图象可由函数 的图象向右平移 个单位得到，D正确.
学科网（北京）股份有限公司故选：ABD.
三、填空题
7．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）函数 的对称轴为 ．
【答案】
【分析】根据余弦函数的对称性，利用整体代入法求解可得.
【详解】由 得 ，
所以，函数 的对称轴方程为 .
故答案为：
8．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）写出函数 图象的一条对称轴方程: .
【答案】 （答案不唯一，满足 均可）
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质求出对称轴方程.
【详解】函数 中，由 ，得 ，
因此函数 图象的对称轴方程是 ，
所以函数 图象的一条对称轴方程是 .
故答案为： （答案不唯一）
四、解答题
9．（23-24高一上·河南郑州·期末）设函数 ．
(1)求函数 的最小正周期及其图象的对称轴；
学科网（北京）股份有限公司(2)将函数 的图象先向右平移 个单位，再向上平移1个单位得到函数 的图象，求函数
在 上的值域．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）先将函数 化为 形式，求函数 的最小正周期及其图象
的对称轴即可；
（2）利用三角函数图象变换的规则，得到函数 的解析式，再求函数 在 上的值
域即可.
【详解】（1）由题可得：
，
所以 的最小正周期为： ．
由 得： ，
所以该函数图象的对称轴方程为：
（2）由题可得
学科网（北京）股份有限公司．
因为 ，所以 ，
得： ，
所以 的值域为 .
10．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数 的一条对称轴为 ．
(1)求 的值；
(2)当 时，求 的单调递增区间
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）由正弦函数的对称轴结合 得出即可；
（2）方法一：先求出当 时， ，再由正弦函数的单调区间解出x的范围；
方法二：整体直接代入正弦函数的单调区间，再求出x范围.
【详解】（1）依题意得 （ ），所以 （ ），
因为 ，所以 .
（2）法一：由（1）得 ，
当 时， ，
所以，当 或 时， 单调递增，
学科网（北京）股份有限公司解得此时 或 ，
故 在 上的单调递增区间为 ， .
法二：由（1）得 ，
解 （ ）得 （ ），
因为 ，所以当 时， ；当 时， ，
故 在 上的单调递增区间为 ， .
三角函数大小比较（共5题）
一、单选题
1．（23-24高一上·北京密云·期末）已知 ， ， ，则“ ”的一个充分而不必要条件是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性结合充分、必要条件逐项分析判断.
【详解】当 时，满足 ，但 不成立，不满足充分性，A选项错误；
由指数函数单调性可知，若 ，则 ，反之，若 ，则 ，
所以 是 的充要条件，B选项错误；
当 时，满足 ，但 不成立，不满足充分性，C选项错误；
学科网（北京）股份有限公司若 ，则有 ，反之， 不能得到 ，比如当 时， 不成立，
所以 是 的充分不必要条件，D选项正确.
故选：D
2．（23-24高一上·浙江金华·期末）若实数 ，满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，可得 在 上为增函数，且为偶函数，再根
据 结合偶函数性质判断即可.
【详解】设 ，则 为偶函数，
设 ，则因为 在 上均为增函数，
故 ，故 ，
故 在 上为增函数，且 为偶函数.
又 ，则 ，
即 ，当且仅当 时取等号.
故 ，故 .
故选：C
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若 且满足 ，设
， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通过条件得到 ，通过假设 找到矛盾，从而得到 ，进而
确定函数 的单调性，通过单调性比较大小即可．
【详解】因为 ，两边同时除以 得 ，
因为 ，
若 ，则 ， ，
则 ，同理 ，则 与 矛盾，
所以 ，
则 ， ，
则 ，同理 ，
所以 ，
又 ，
学科网（北京）股份有限公司因为函数 单调递减， 单调递增，
所以 单调递减，
对于AB：由于 与 ， 与 大小关系不确定，故AB错误；
对于CD：由于 ， ，所以 ， ，故C
正确，D错误．
故选：C．
【点睛】关键点睛：根据选项为比较大小可知本题的关键是确定函数 的单调性，即 是大于
还是小于 ，带着这个目的去挖掘条件即可找到解题思路．
4．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数 ，记 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析函数 的奇偶性以及该函数在 的单调性，比较 、 、
的大小关系，结合函数 的单调性可得出 、 、 的大小关系.
【详解】函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
又因为 ，故函数 为偶函数，
因为函数 在 上为增函数，函数 在 上为增函数，
故函数 在 上为增函数，
因为 ， ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以， ，则 ，则 ，
所以， ，
所以， ，
， ， ，故 .
故选：B.
【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：
（1）判断各个数值所在的区间；
（2）利用函数的单调性直接解答.
数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.
二、多选题
5．（23-24高一上·江苏常州·期末）下列不等式中，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数、余弦函数的单调性逐项判断即可.
【详解】对于A，幂函数 在 上单调递减， ，所以 ，
故A错误；
对于B，指数函数 在 上单调递减， ，所以 ，故B
正确；
对于C，对数函数 在 上单调递减， ，所以 ，故C
正确；
对于D，余弦函数 在 上单调递减， ，所以 ，
故D正确，
学科网（北京）股份有限公司故选：BCD.
三角函数不等式求解（共5题）
1．（23-24高一上·广东江门·期末）已知 .
(1)求 的单调递增区间及对称轴；
(2)求不等式 在 上的解集.
【答案】(1)单调递增区间是 （ ）；对称轴为 （ ）.
(2) 或
【分析】（1）根据正弦型函数单调增区间和对称轴得到不等式和等式，解出即可；
（2）由题得 ， ，解出后再对 赋值即可.
【详解】（1）依题意， ，
由 ， 得： ， ，
所以函数 的单调递增区间是 （ ）；
由 ， 得， ， ，
所以函数 的对称轴为 （ ）.
（2）∵ ，
∴ ， ，∴ ， ，
∵ ，∴ 或 ，
学科网（北京）股份有限公司故不等式 在 上的解集为 或 .
2．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数 ．
(1)用“五点法”作出函数 在 上的图象；
(2)解不等式 ．
【答案】(1)图象见解析
(2)
【分析】（1）利用“五点作图法”即可得解；
（2）利用整体代入法，结合正弦函数的性质即可得解.
【详解】（1）列表
0
0 1 0 0
又当 时， ，当 时， ，
描点作图，如图所示：
学科网（北京）股份有限公司（2）因为 ，
所以 ， ，
解得 ， ，
故不等式的解集为 .
3．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间，并解不等式 ；
(2)关于 的方程 在 上有两个不相等的实数解 ，求实数 的取值范
围及 的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由题意分别令 ， ，
解不等式即可得解.
（2）由题意得 在 上有两个不相等的实数解 ，结合三角函数
学科网（北京）股份有限公司单调性、最值即可求出 的取值范围，结合对称性代入求值即可得 的值.
【详解】（1）由题意令 ，解得 ，
即函数 的单调递增区间为 ，
令 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
（2）由题意 即 ，
即 在 上有两个不相等的实数解 ，
当 时， ，而 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 即 时， ，
当 即 时， ，
又 即 时， ，
所以若 在 上有两个不相等的实数解 ，
则实数 的取值范围为 ，
因为 ，所以 是 的对称轴，
所以 .
4．（22-23高一上·江苏南京·期末）如图所示，有一条“L”形河道，其中上方河道宽 ，右侧河
学科网（北京）股份有限公司道宽 ，河道均足够长.现过点 修建一条长为 的栈道 ，开辟出直角三角形区域（图中
）养殖观赏鱼，且 .点 在线段 上，且 .线段 将养殖区域分为两
部分，其中 上方养殖金鱼， 下方养殖锦鲤.
(1)当养殖观赏鱼的面积最小时，求 的长度；
(2)若游客可以在河岸 与栈道 上投喂金鱼，在栈道 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路
长度与投喂金鱼的道路长度之比不小于 ，求 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）过 作 垂直于 ，求得 ，从而得出养殖观赏
鱼的面积 ，利用基本不等式可求得 最小时 的值，进而
求得 的长度；
（2）由 ，可得 ，则 ，由题意
学科网（北京）股份有限公司，则 ，化切为弦可得 ，结合 即可求得
结果.
【详解】（1）过 作 垂直于 ，垂足分别为 ，
则 ，
，
养殖观赏鱼的面积 ，
由 可得 ，则 ，当且仅当 即 时取等号，
则 最小时， ，此时l 的长度为 ；
（2）由 ，可得 ，
则 ，
由题意 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司而 ，
则 ，由 可得 ，则 ，则 .
5．（22-23高一上·山东烟台·期末）已知函数 的最小正周期
为 ，且其图象经过点 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)设 ，求不等式 的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）先根据条件列式求得参数，进而用整体法求单调递增区间即可；
（2）由整体法结合正弦函数的单调性解不等式.
【详解】（1）由最小正周期为 得 ，由图象经过点 得
，解得 .
故 .
故 的单调递增区间为 ，即
学科网（北京）股份有限公司（2） ，则 ，
由 得 ，
∴ ，∴ .
∴不等式 的解集为 .
三角函数中的参数问题（共8题）
1．（23-24高一上·山东聊城·期末）若 是三角形的一个内角，且函数 在区间
上单调，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】根据三角函数的单调性列不等式，由此求得 的取值范围.
【详解】当 时， ，
由于 是三角形的一个内角，所以 ，
则 ，
由于函数 在区间 上单调，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ，
即 的取值范围为 .
故选：B
2．（23-24高一上·天津滨海新·期末）若函数 （ ， ）的最小正周期
为 ，且 .给出下列判断：
①若 ，则函数 的图象关于直线 对称
②若 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
③若 在区间 内没有零点，则 的取值范围是
④若 的图象与直线 在 上有且仅有1个交点，则 的取值范围是
其中，判断正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦（型）函数
的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心
【分析】由题设可得 ，代入验证法判断①；由区间单调性及正弦函数性质有
求参数范围判断②；由区间零点及正弦函数性质，讨论 、
学科网（北京）股份有限公司研究参数范围判断③；由题设 ，结合题设及正弦函数性质有
求参数范围判断④.
【详解】由 ，则 ，即 ，又 ，
所以 ，故 ，
当 ，则 ，故函数 的图象关于直线 对称，①对；
当 ，则 ，且 在区间 上单调递增，
所以 ，可得 ，②对；
当 ，则 ，且 在区间 内没有零点，
若 ，则 ，此时满足题设；
若 ，则 ，故 ，可得 且 ，
所以 ，可得 ；
综上， 的取值范围是 ，③错；
当 ，则 ，
又 的图象与直线 在 上有且仅有1个交点，故 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 的取值范围是 ，④对.
故选：C
【点睛】关键点点睛：根据已知求得 ，根据各项给定范围求对应 的范围，
结合正弦函数性质列不等式求参数范围.
3．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数 ， .甲：当 时，函
数 单调递减；乙：函数 关于直线 对称；丙：当 时，函数 单调递增；
丁：函数 图象的一个对称中心为 .甲、乙、丙、丁四人对函数 的论述中有且只
有两人正确，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求正切（型）函数的对称中心、利用正切函数的单调性求参数、求正切型三角函数的单
调性
【分析】由题意首先根据正切函数单调性、复合函数单调性以及对称轴情况推翻甲乙，得到丙丁正
确，根据丙的说法可以推出 的取值范围为 ，根据丁的说法可以得到 ，两者
结合即可得解.
【详解】对于甲：因为 的单调递增区间为 ， 关于 单调递
增，
所以不存在任何区间使得 单调递减，故甲错误；
学科网（北京）股份有限公司对于乙：因为 的图象不存在对称轴，
而函数 的图象是由函数 的图象向左平移 个单位得到的，
所以函数 的图象也不存在对称轴，故乙错误；
由题意甲、乙、丙、丁四人对函数 的论述中有且只有两人正确，
故只能丙丁论述正确，
若丙论述正确，即当 时，函数 单调递增，
则当 时， 关于 单调递增，
由复合函数单调性可知此时应该有 ，解得 ，
所以此时 满足题意，
当 时， 关于 单调递增，
但 ，即存在 使得， 无意义，
所以此时 不满足题意，
综上所述，满足题意的 的取值范围为 ，
若丁论述正确，则 ，解得 ，
结合 的取值范围为 可知，只能 .
综上所述，实数 的值为 .
故选：B.
【点睛】关键点睛：关键是首先得到丙丁两人论述正确，由此即可顺利得解.
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高一上·陕西西安·期末）设函数 若存在 且
，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数
【分析】根据题意，需将 看成整体角 ，由 范围 求得 范围 ，结
合函数 的图象，求得使 的两个解，由题只需使 即可，计算即得.
【详解】
不妨取 ，由 可得： ，
由 可得 ，
由图可取 要使存在 且 ，使得 ，
需使， ，解得 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查与正弦型函数图象有关的等高线问题.
解决的关键在于将 看成整体角，作出正弦函数的图象，结合求得的整体角的范围求得最近
的符合要求的角，从而界定参数范围.
学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知函数 满足： ， ，都有
成立，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数 是偶函数
C．函数 是周期函数
D． ， ，若 ，则
【答案】ACD
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、利用正弦型函数的单调性求参数、求正弦（型）函数的最小
正周期、比较函数值的大小关系
【分析】利用赋值法及函数奇偶性、周期性的定义、单调性一一判定选项即可.
【详解】令 ，则 ，故A正确；
令 ，所以 ，
故 是奇函数，即B错误；
令 ，则 ，
所以 ，
即 是 的一个周期，故C正确；
在 时易知 ，
则 ，
所以 ，
即 ，故D正确.
学科网（北京）股份有限公司故选：ACD
【点睛】难点点睛：巧妙的赋值是关键，对于B项，借助奇偶性定义可令 化简计算即可判
定；对于C项，借助三角函数的周期性令 化简计算即可；对于D项，借助正弦函
数的单调性构造单调性的差式化简计算即可.
6．（23-24高一上·全国·期末）已知函数 在区间 上单调递增,那么
实数ω的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用余弦函数的单调性求参数
【分析】化简函数的解析式，根据题中条件可得 ， ，继而解得
的值，进一步计算即可.
【详解】因为 ，
由 且 ，知 ，
因为函数 在区间上 单调递增,
则 ,其中 ,
所以 其中 ,
解得 ，其中 ,
由 ，
得 ，又 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 或 ，
因为 ,所以当 时, ;
当 时, ，
所以实数ω的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题的关键点睛是求出右边界的范围，再根据余弦函数的单调性得到不等式组，
解出 的范围，再对 合理赋值即可.
7．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知函数 的最小正周期为 ．
(1)求 的值，并求 的单调递减区间；
(2)求 在 上的值域．
【答案】(1) ，
(2)
【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx(型)函数的值域、求cosx型三角函数的单调性
【分析】（1）根据余弦型函数周期公式及余弦型函数单调性求解即可；
（2）根据自变量范围，利用整体替换思想结合余弦函数性质求解.
【详解】（1）由题意可知 ．所以
即
所以
学科网（北京）股份有限公司所以
所以 的单调减区间为
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以函数 在 上的值域为 .
8.（23-24高一上·湖北·期末）已知函数 ，且函数 在区
间 上的值域为 .
(1)求函数 的解析式；
(2)令函数 ，求函数 的单调递增区间.
【答案】(1)
(2) .
【知识点】利用余弦函数的单调性求参数、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数
【分析】（1）由函数在区间内的值域，列方程组求出 的值，得函数解析式；
（2）由复合函数的单调性和余弦函数的性质，求 的单调递增区间.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
所以 ，由题意 ，解得
学科网（北京）股份有限公司故 .
（2）函数 在定义域内单调递增，
则在函数 的单调递增区间内， 单调递增且 ，
所以有 ，得 ，
即当 时，此时 单调递增，
故函数 的单调增区间为 .
三角函数中的最值问题（共24题）
1．（23-24高一上·天津·期末）音乐是用声音来表达人思想感情的一种艺术，是人类精神通过无意
识计算而获得的愉悦享受.法国的数学家傅里叶说：“任何声乐都是形如‘ ’的各项之
和”，其中每一项都代表一种有适当频率和振幅的简单声音.某音乐的数学模型可以用函数
表示，则下列结论中正确的个数是（ ）
① 是周期为 的周期函数
② 是函数 的一个单调递增区间
③若 ， ，则 的最小值为
④ 的对称中心为 ，
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函
数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据三角函数性质周期及对称中心判断①④，根据单调区间及值域分别判断②③.
【详解】因为 ,所以周期不是 ，①错误；
，
，所以 不是 的单调递增区间，②错误；
,
因为 设 ，
所以 ,
所以 ,
所以 的最小值为 ，③正确；
,④正确.
故选：C.
2．（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数 ，已知 在 单调递增，下
列结论正确的是（ ）
A． 的值可能为1 B．
C．若 在 有且仅有1个零点 D．若 在 单调递减
【答案】ABC
【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数
学科网（北京）股份有限公司的单调性
【分析】首先根据单调性求 的取值范围，判断A；再代入 ，结合 的范围，即可
判断B；根据 ，求 的取值范围，再求 的范围，即可判断C；根据 的取值，结合
的范围，取特殊值，即可判断选项.
【详解】设 ， ，
当 时， 时， ，
因为函数 在 单调递增，而 单调递减，
所以 需落在 的减区间，
不可能是函数 的减区间，故舍去；
当 时，当 时， ，
由题意可知， ，
所以 ，解得 ，故A正确；
，由 ，则 ，
此时 ，故B正确；
，由 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，此时 ，
当 时， ， ，
此时只有当 时， ，故C正确；
由以上可知， ，当 时， ，
当 时， ，此时 单调递减， 单调递增，
所以不成立，故D错误.
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：本题的关键是求 ，并整体代入求 的范围.
3．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数 ，则（ ）
A．函数 的最大值为3
B．函数 的最小正周期为
C．函数 的图象关于直线 对称
D．函数 在 上单调递减
【答案】AC
【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求cosx（型）函数的最值、求cosx型三角函
数的单调性、含绝对值的余弦函数的图象
【分析】B选项，先得到 ，故 ，得到B错误；A选项，分
与 ，结合 得到 的最大值为3；C选项，求出
学科网（北京）股份有限公司，故C正确；D选项， 时， 不单调，D错误.
【详解】B选项，由于 为偶函数，
故 ，
由于 ，
所以 的最小正周期不为 ，B错误；
A选项，当 时， ，
当 时， ，
又 ，
所以函数的一个周期为 ，可得 的最大值为3，A正确；
C选项， ，
故函数 的图象关于直线 对称，C正确；
D选项，由A选项得， 时， 不单调，故D错误.
故选：AC
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
若 ，则函数 关于 中心对称，
若 ，则函数 关于 对称，
4．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知函数 ，有下列四个结论，其中正确的
结论为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． 在区间 上单调递增 B． 是 的一个周期
C． 的值域为 D． 的图象关于y轴对称
【答案】BD
【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的奇偶性、求含cosx的二次式的
最值、求cosx型三角函数的单调性
【分析】对于A，由 即可举出反例，对于B直接验算 是否相等即可；
对于D，验算 是否相等即可；对于C，只需讨论函数 在 上的值域即可，分
类讨论即可验算.
【详解】对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C，由B选项分析可知 是 的一个周期，所以我们只需讨论函数 在 上的值域
即可，
当 时， ， ，
当 时， ，
，
当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司，
当 时， ，
，
当 时， ，
，
综上所述， 的值域为 ，故C错误；
对于D，由题意 ，所以 的图象关于y轴对
称，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是结合周期性，分类讨论即可验算.
5．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数 ，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C．函数 的图象存在对称轴 D．函数 的图象存在对称中心
【答案】ABD
【知识点】不等式综合、求cosx(型)函数的值域、求二次函数的值域或最值、判断或证明函数的对
称性
【分析】分别求出分子和分母的取值范围，利用不等式的性质即可判断选项A；判断 ，
学科网（北京）股份有限公司的取值范围，得出 ，进而可判断选项B；根据轴对称的定义可判断选
项C；根据 可判断选项D.
【详解】对于选项A：因为 ，当 时等号成立；
，当 时等号成立，
则两个式子中等号不会同时成立，
所以由不等式性质可得 ；故选项A正确；
对于选项B：显然 .
因为当 时， ，当且仅当 时等号成立，此时 ；
当 时， ，当且仅当 时等号成立，此时 ；
所以 ，则 .
又因为 ，
所以 ，即 ，故选项B正确；
对于选项C：因为 ，
， .
显然 ，
所以函数 的图象不存在对称轴，故选项C错误；
对于选项D：因为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以函数 的图象关于点 对称，故选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数单调性与最值、对称中心和对称轴、函数与不等式等知识
的综合应用.解题关键在于对基础知识的掌握和运用.利用余弦函数、二次函数的最值及不等式的性
质可判断选项A；将不等式 转化为 ，再结合 ， 的取值
范围可判断选项B；利用对称轴和对称中心的定义可判断选项CD.
6．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知 在 上是单调函
数，对任意 满足 ，且 ．设函数 ，
，则（ ）
A．函数 是偶函数
B．若函数 在 上存在最大值，则实数a的取值范围为
C．函数 的最大值为1
D．函数 的图象关于直线 对称
【答案】BC
【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、由正弦（型）函数的值域（最值）求参
数
【分析】依题意可得 的图象关于点 对称且当 时， 取得最大值，结合函数的
单调性，即可求出最小正周期，从而求出 、 得到 、 解析式，再结合正弦函数的性质
学科网（北京）股份有限公司判断A、B，由 即可判断C，利用特殊值说明 不恒
成立，即可判断D.
【详解】因为 ，即 ，所以 的图象关于点
对称，
又对任意 ，都有 ，所以当 时， 取得最大值.
因为 在 是单调函数，所以 得 ，
所以 ，又因为函数 在 时取得最大值，
所以 ，则 ，即 ．
因为 ，所以 ，则 .
因为函数 ，所以 ，
对于A： ，即 为奇函数，故A错误.
对于B：因为函数 在 时取得最大值，又因为 ，最小正周期 ，
令 ， ，解得 ， ，
即 在 ， 上单调递减，
又函数 在 取得最大值，
因为函数 在 上存在最大值，则实数 的取值范围为 ，故B正确．
对于C：因为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，且 ，
所以函数 的最大值为1，故C正确.
对于D：若 的图象关于直线 对称，
只要证 对定义域内的 都成立，取 ， ，
但 ，所以 ，矛盾，
所以 的图象不关于直线 对称. 故D错误．
故选：BC
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据对称性的性质得到 的图象关于点 对称，从而求
出 解析式.
7．（23-24高一上·山东德州·期末）已知函数 ，则 ；
若 在 上恒成立，则整数t的最小值为 ．
【答案】 12
【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值、求分段函
数解析式或求函数的值
【分析】根据 代入分段函数求值，画出 简图，结合图象分析即可.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司图象如图：
， ， ，
时， ，
时， ， 或 ，
时， ，
所以 时， 恒成立，
整数t的最小值为12.
故答案为： ；12.
8．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）若函数 与 在区间
单调性一致，则 的最大值为 ．
【答案】 /
【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】要考虑 的最大值，只需考虑 ，当 时，求出 、 的取值范围，利
用正弦型函数的单调性可得出关于实数 的不等式组，即可解得实数 的最大值.
【详解】要考虑 的最大值，只需考虑 ，
当 时，则 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以，函数 与 在区间 上同时单调递增，
则 ，解得 ，故 的最大值为 .
故答案为： .
9．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数 ，对 都有
，且在 上单调，则 的取值集合为
【答案】
【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】根据 ，得到 ，结合在 上单调可得 或
，检验可得答案.
【详解】因为对 都有 ，
所以 ，可得 ，
， ，
又 在 上单调， ， ，
即 ，由 可得 ，或 ，
当 时， ， ， 都有 ，
学科网（北京）股份有限公司且当 时， ，即函数 在 上单调递增，因此 符合题意；
当 时， ， ， 都有 ，
且当 时， ，即函数 在 上单调递减，因此
符合题意，
所以 的取值集合为 .
故答案为： .
【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区
间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得.
10．（23-24高一上·山东青岛·期末）设函数 ，若
，则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数
【分析】将已知条件因式分解可得 ，然后分析 的
值域，根据值域判断出 的值并求出 的值，由此可知 的表示，则
结果可求.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为 且 ，所以 ，
所以 ， ，
显然 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，
当且仅当 时， 成立，
所以 ，所以 ， ，
所以 ， ， ，
当且仅当 或 时（ ， ）， 有最小值，且 ，
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键有两个方面：
（1）利用因式分解将所给条件变形；
（2）根据正弦型函数的值域确定 的具体表示.
11．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）已知函数 ，若存在 ， ，…， 满足
， ，且 ，
，当 取最小值时，则此时 的值为 ．
【答案】
【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、正弦函数图象的应用
【分析】
由 正 弦 函 数 的 有 界 性 可 得 ， 对 任 意 ， 都 有
，要使 取得最小值，尽可能多让 取得最高
点，然后作图可得满足条件的最小 值．
【详解】 对任意 ，
都有
要使 取得最小值，尽可能多让 取得最值点，
学科网（北京）股份有限公司考虑 ，
则按下图取值即可满足条件， 的最小值为 .
，
故答案为： ．
【点睛】关键点睛：正确理解对任意 ，都有
是解答该题的关键.
12．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期及对称轴；
(2)求 在区间 上的最值.
【答案】(1) ；
(2) .
【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期、求含
sinx(型)函数的值域和最值
【分析】（1）根据公式直接求解最小正周期，利用整体法结合正弦函数性质，即可求得结果；
（2）利用换元法，结合正弦函数的性质，即可求得结果.
【详解】（1）因为 ，所以 的最小正周期 ；
学科网（北京）股份有限公司令 ，解得 ，
所以 的对称轴方程为 .
（2）令 ，由 ，知 ，
所以要求 在区间 上的最值，即求 在 上的最值，
当 时， ，当 时， ，
所以 .
13．（23-24高一上·贵州安顺·期末）已知函数 的最小正周期为 .
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)若 ，且函数 在区间 上的值域为 ，求实数a，b的值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的周期性求值、求sinx型三角函数
的单调性
【分析】
（1）根据正弦函数的周期公式可得 ，再代入正弦函数的单调递减区间求解即可；
（2）根据 可得 ，结合正弦函数的图象可得 的值域，进而根据值域
为 列式求解即可.
【详解】（1）
学科网（北京）股份有限公司因为 的最小正周期为 ， ，故 ，解得 ，故 .
令 ，解得 .
故函数 的单调递减区间为
（2）根据 可得 ，故 ，
又 ，故 ，由题意 ，解得 .
14．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期、图象的对称中心及其单调递减区间；
(2)求函数 在 上的最值及其对应的 的值．
【答案】(1)最小正周期为 ，对称中心为 ，减区间为
；
(2) 时，最小值为 ， 时，最大值为7．
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数
的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性
【分析】（1）根据题意，结合三角函数的图象与性质，准确计算，即可求解；
（2）由 ，得到 ，结合正弦函数的性质，即可求解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：由函数 ，可得函数 最小正周期为 ，
令 ，解得 ，所以对称中心为 ，
再令 ，解得 ，
所以函数 的减区间为 .
（2）解：因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时，函数有最小值为 ，
当 ，即 时，函数有最大值为7．
15．（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数 ， .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)当 时，求 的最大值以及取得最大值时 的集合.
【答案】(1)
(2)1,
【知识点】求cosx(型)函数的值域、求cosx型三角函数的单调性
【分析】（1）根据余弦函数的单调性求解即可；
（2）根据余弦函数的最值求函数的最大值即可得解.
【详解】（1）令 ， ，
解得 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以函数的单调递增区间为 .
（2）当 时，则 ，
所以当 时，即 时，
，
故 ，此时 的取值集合为 .
16．（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）已知函数
(1)用“五点法”画出函数在一个周期内的简图
(2)求函数 的单调增区间
(3)当 时，求函数 的最大值和最小值及相应x的值
【答案】(1)答案见解析
(2) ,
(3) ，最小值为 ； 时，最大值
【知识点】画出具体函数图象、求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性
【分析】（1）利用五点法画图；
（2）根据解析式求解单调递增区间；
学科网（北京）股份有限公司（3）根据 的取值范围，利用正弦型函数求解最值和对应的 的值.
【详解】（1）
由题意列表如下：
0
0 2 0 0
描点、连线，画出函数在1个周期 ，上的简图如下：
，
（2） ,
得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ；
（3） 时， ，所以
所以 ，即 时， 最小值为 ；
，即 时， 为最大值 .
学科网（北京）股份有限公司17．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知函数 ．
(1)求 的值；
(2)求函数 的单调递减区间；
(3)当 时，求 的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为 ，最小值为
【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、诱导公式二、三、四、
特殊角的三角函数值
【分析】（1）根据条件，代入函数中，利用诱导公式及特殊角的三角函数值，即可求出结果；
（2）利用 的单调减区间 ，整体代入即可求出结果；
（3）通过换元 ，利用 的图像，求出 在区间 上的
最值，即可求出结果.
【详解】（1）因为 ，所以 .
（2）由 ，得到 ，
所以函数 的单调递减区间为 .
（3）当 ， ，令 ，则 ，
由 的图像知，
学科网（北京）股份有限公司当 时， 最小为 ，当 时， 最大为 ，
所以 的最大值为 ，最小值为 .
18．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知函数 .
(1)求 在 上的值域；
(2) ，若对 ， ，使得 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】函数不等式恒成立问题、由对数函数的单调性解不等式、求含sinx(型)函数的值域和最
值、求二次函数的值域或最值
【分析】（1）采用换元法，把问题转化成为二次函数在给定区间上的值域问题解决；
（2）先把问题转化成已知函数 的值域，求参数的取值范围问题，再结合函数的单调性求参数
的取值范围.
【详解】（1） ，
令 ，设 ， .
学科网（北京）股份有限公司函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
∵ ，∴ 的值域为 .
（2）设 的值域为集合 ， 的值域为集合 ，根据题意可得： ，
由（1）有 ，又 ，所以 在 上单调递增，
∵ ， ，∴
由 得 ，解得：
∴ 的取值范围是 .
19．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调递增区间；
(2)当 时，函数 的最大值为1，最小值为 ，求实数 的值.
【答案】(1) ；
(2) 或 .
【知识点】求sinx型三角函数的单调性、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求含sinx(型)
函数的值域和最值
【分析】（1）根据 ，求得 的函数解析式，再根据正弦函数的单调性，确定函
数 的单调递增区间.
（2）由 先确定 的范围，进而求出 的范围，再利用已知的最值，分类建立关
于 的方程组解得a，b的值.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）依题意，
由 ，得 ，
所以函数 的单调递增区间为 .
（2）当 时， ，则 ，即 ，
令 ，则 ，显然 ，
当 时，函数 在 上单调递减，于是 ，解得 ，
当 时，函数 在 上单调递增，于是 ，解得 ，
所以实数 的值为 或 .
20．（23-24高一上·山东德州·期末）已知函数 ，当 时，
的最小值为 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求a的值及此时 的最大值．
【答案】(1)
(2) ， 的最大值是5
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、与二次函数相关的复合函数问题、求含sinx(型)函数的
值域和最值
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）将 转化为关于 的二次函数，经配方得到对称轴，根据 求得
的范围，结合二次函数图象的单调性性质分段讨论得到 的最小值为 的解析式；
（2）根据（1）中的分段函数满足 时的情况分别讨论得到 值，最后结合不含参数的
解析式，结合 的有界性即得 .
【详解】（1）
,
因为 ，所以
① 当 ，即 时，则当 时， 取最小值，
的最小值为 ；
②当 ，即 时，则当 时， 取最小值，
的最小值为 ；
③当 ，即 时，则当 时， 取最小值,
的最小值为 .
故 .
（2）当 时，由 解得： ，不合题意，舍去；
当 时，由 ，解得： 或 （舍去），故 ；
学科网（北京）股份有限公司当 时，由 解得： ，不合题意，舍去.
综上可知： ，此时 ，则当 时，得 ．
所以若 ，则有 ，此时 的最大值是5.
21．（23-24高一上·安徽·期末）对于函数 ， 为函数定义域，若存在正常数 ，使得
对任意的 ，都有 成立，我们称函数 为“ 同比不增函数”.
(1)若函数 是“ 同比不增函数”，求 的取值范围；
(2)是否存在正常数 ，使得函数 为“ 同比不增函数”，若存在，求 的
取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，且
【知识点】函数不等式恒成立问题、函数新定义、求含sinx(型)函数的值域和最值、函数图象的应
用
【分析】（1）由 恒成立，分离常数 ，结合三角函数的最值来求得 的取值范围.
（2）结合 的图象以及图象变换的知识求得 的取值范围.
【详解】（1）因为函数 是“ 同比不增函数”，则 恒成立，
所以 恒成立，所以 ，
即 ，由于 ，所以 .
所以 的取值范围是 .
学科网（北京）股份有限公司（2）存在，理由如下：
，画出 的图象如下图所示，
的图象是由 的图象向左平移 个单位所得，
由图可知，当 时，对任意的 ，都有 成立，
所以存在正常数 ，使得函数 为“ 同比不增函数”，且 .
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义的理解和应用，解题的关键在于利用题中的定义，将问题转
化为恒成立问题，本题第（2）问利用数形结合思想求解比较直观简单.
22．（23-24高一上·山西长治·期末）函数 的部分图象如图所
示，该图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 为最高点， 的面积为 ．
(1)求函数 的解析式；
学科网（北京）股份有限公司(2)若对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式
【分析】（1）根据三角形 的面积求得 ，进而求得 ，利用点 求得 ，从而求得
的解析式.
（2）先求得 在区间 的取值范围，根据绝对值不等式的解法化简不等式
，根据恒成立问题以及对数不等式等知识求得正确答案.
【详解】（1）由题意可知： 的面积 ，可得 ，
所以周期 ，则 ，
由 ，得 ，又 ，于是 ，
所以 ；
（2）由 ，则 ，得 ，
即 ．由 ，得 ，
即 在 上恒成立，
亦即 ，
因为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 ．
【点睛】方法点睛：利用函数图象与性质求得三角函数 的解析式，其中 往往
是通过周期，用 来进行求解， 往往通过函数图象上一个点的坐标来进行求解.求解不等式
恒成立问题可转化为函数的最值来进行求解.
23．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数 在区间 上的最大值
为3.
(1)求 的值；
(2)当 时， ，对于给定的实数 ，若方程 有解，则记该方程所有
解的和为 ，求 的所有可能取值.
【答案】(1)
(2) .
【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值
【分析】（1）首先化简得出 ，进一步得出 ，则
.
（2）由（1）知 ，得出当 时函数单调递减， 时函
数单调递增，当 时函数单调递减，进行下一步分析，画图计算最终得出答案.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）化简可得 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，则 .
（2）由（1）知 ，则 ；
当 ，则 ，
所以当 时函数单调递减， 时函数单调递增，当 时函数单调递减，
又 ，
，则可得函数 的图象如下：
对于给定的实数 ，若方程 有解，则当 时，方程的根为 ，此时 ；
当 时，方程的两根关于直线 对称，此时 ；
当 时，方程的根有三个， 关于直线 对称，此时 ；
当 ，方程有四个根， 关于直线 对称， 关于直线 对称，
此时 ；
学科网（北京）股份有限公司当 时，方程的根有三个， ，此时 ；
综上， 的所有可能取值为 .
24．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数 图象的对称轴与对
称中心之间的最小距离为 ，且满足 .
(1)求 的解析式；
(2)已知函数 ，若有且只有一个实数 ，对于 ， ，使得
，求实数 的值.
【答案】(1) ；
(2) 或 .
【知识点】根据值域求参数的值或者范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的
性质确定图象（解析式）、根据二次函数的最值或值域求参数
【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图求出 即可.
（2）求出函数 在 上的值域，再根据给定条件，借助集合的包含关系分类讨论求解.
【详解】（1）依题意，函数 的周期 ，则 ，
由 ，得函数 图象的一个对称中心为 ，
即有 ，而 ，则 ，
所以 的解析式为 .
（2）由（1）知， ，当 时， ，
因此 在 上单调递增，函数值集合为 ， 值域为 ，
学科网（北京）股份有限公司由有且只有一个实数 ，对于 ， ，使得 ，
得函数 在 上的值域包含 ，并且实数 唯一，
当 时，函数 在 上单调递增， 的值域为 ，
由 ，得 ，解得 ，显然符合条件的实数 不唯一；
当 时，函数 的图象对称轴为 ，
当 ，即 时， 在 上单调递增， 的值域为 ，
于是 ，解得 ，显然 ，当且仅当 时， 且唯一，因此
；
当 ，即 时， ， ， ，
当 是最小值时，而 ，不满足函数 在 上的值域包含 ，则
不是最小值，
必有 ，得 ，于是 ，解得 ，
当 时， 且 ，此时 且唯一，
并且当 时， ， ，实数 不唯一，因此 ，
所以实数 的值是 或 .
学科网（北京）股份有限公司【点睛】结论点睛：函数 ， ，若 ， ，有
，则 的值域是 值域的子集．
三角函数中零点问题（共8题）
1．（23-24高一上·重庆渝中·期末）已知函数 在 上单调递增，
且在 上有且仅有1个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】先由 在 上单调递增，得 ，再由 在 上有且仅有1个零
点，得 或 ，取并集结合 的前提条件，即可得答案.
【详解】当 ， ，
因为 在 上单调递增，故 ，则 ；
当 ， ，且 ， ，
又因为 在 上有且仅有1个零点，
故讨论两种情况：
学科网（北京）股份有限公司① ，
② ，
综上： 的取值范围为 ，
故选：C.
2．（23-24高一上·湖南永州·期末）已知函数 在区间 上有且仅有两
个不同的零点，则（ ）
A． 在区间 上有两条对称轴
B． 的取值范围是
C． 在区间 上单调递增
D．若 ，则
【答案】BC
【知识点】求sinx型三角函数的单调性、利用正弦函数的对称性求参数、求正弦（型）函数的对称
轴及对称中心、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】由题设有 在 有且仅有两个不同的零点，结合正弦函数性质求得
，再由各项描述逐项判断各项正误.
【详解】区间 上 且 ，
故 在 有且仅有两个不同的零点，
所以 ，可得 ，B对；
学科网（北京）股份有限公司当 时 ，此时 只有一条对称轴，
即 在 上可能只有一条对称轴，A错；
区间 上 ，而 ，
所以 在区间 上单调递增，C对；
由 ，即 ，又 ，
所以 或 ，可得 或 ，D错.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：应用换元法，将问题化为 在 有且仅有两个不同的零
点求参数范围为关键.
3．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知函数 （ ），则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则 是 的图象的对称中心
B．若 恒成立，则 的最小值为2
C．若 在 上单调递增，则
D．若 在 上恰有2个零点，则
【答案】BC
【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、利
用正弦型函数的单调性求参数
学科网（北京）股份有限公司【分析】求出 可判断A；由 恒成立，可知 ，计算
可判断B；由 可得 ，求解 可判断C；由 可
得 ，求解 可判断D.
【详解】对于A，若 ，则 ，所以 ，
所以 是 图象的对称轴，故A错误；
对于B，若 恒成立，即 恒成立，
则 ,解得： ，
又因为 ，则 的最小值为2，故B正确；
对于C， 时， ，
因为 在 上单调递增，则 ，解得 ，故C正确；
对于D， 时， ，若 在 上恰有2个零点，
则 ，解得 ，故D错误.
故选：BC.
4．（23-24高一上·浙江·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王
子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设 ，用 表示不超过x的最大整数，则
学科网（北京）股份有限公司称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数 有3个零点
C． 的最小正周期为
D． 的值域为
【答案】ACD
【知识点】函数新定义、求函数零点或方程根的个数、求余弦（型）函数的最小正周期、求
cosx(型)函数的值域
【分析】由“高斯函数”的定义结合 的值，即可判断A；举反例可判断B；在区间 上，
化简 ，结合余弦函数的周期性，可判断C，D；
【详解】对于A， ，A正确；
对于B，当 时， ，则 ，
此时 为 的零点，有无数个，B错误；
对于C，在区间 上， ，
结合 的最小正周期为 ，由此可得 的最小正周期为 ，C正确，
对于D，结合C的分析可知 的值域为 ，D正确，
故选：ACD
学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数 在区间 上
单调，且满足 ；函数 在区间 上恰有5个零点，
则 的取值范围为 ．
【答案】 0
【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、根据函数零点
的个数求参数范围
【分析】由 结合函数单调性，即可确定 的一个对称中心为 ，即可求
得 ；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得 ，求出 ，再结合
函数零点个数，列出不等式求得 ，综合，即可求得 的取值范围.
【详解】因为函数 在区间 上单调，
且满足 ，而 ， ,
即 的一个对称中心为 ，故 ；
而 ，故 在区间 上单调，
设函数的最小正周期为T，则 ；
函数 在区间 上恰有5个零点，则 恰好为第一个零点，
学科网（北京）股份有限公司相邻两个零点之间相距半个周期 ，
故 ，即 ，
解得 ，结合 ，
可得 的取值范围为 ，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题综合考查了三角函数单调性、周期以及对称性的应用，解答的关键在于第
二空的求解时，要根据零点的个数，结合正弦函数的性质，列出关于参数 的不等式，从而求解答
案.
6．（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数 .
(1)求 的定义域；
(2)解不等式 ；
(3)求 在区间 上零点的个数.
【答案】(1)
(2) 或 .
(3)
【分析】（1）由具体函数的定义域求解即可；
（2）令 即 或 ，解不等式即可得出答案；
（3）令 ，因为 ，所以 ，则 ，令 ，求出
，即可得出答案.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由 ，解得： ，
所以 的定义域为 ..
（2）令 ，则 ，
即 ，
因为 ，即 或 ，
则： 或 ，
解得： 或 .
所以不等式的解集为： 或 .
（3） ，
令 ，因为 ，所以 ，
解得： ，所以 的零点为 且 ，
令 ，解得： ，
因为 ，
所以 在区间 上零点的个数为 .
7．（23-24高一上·上海·期末）已知 ， .
(1)若 ，求 的取值范围；
学科网（北京）股份有限公司(2)若函数 恰有两个零点，求实数a的取值范围；
(3)证明： .
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【知识点】对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、求cosx（型）函数的最值、由
对数函数的单调性解不等式
【分析】（1）解对数不等式即可得答案；
（2）画出 的图象，数形结合即可得a的取值范围；
（3）由余弦函数的值域，结合取最值的条件分析即可得证.
【详解】（1）由题意得 ，即 ，
解得 ，即 .
（2）如图，可知
，
时， ，
学科网（北京）股份有限公司因为函数 恰有两个零点，
所以直线 与曲线 恰有两个公共点，
所以 ，解得 ；
（3）因为 ，
所以在不考虑自变量的情况下可得： ，
当 时取最大值3，
即 ，
所以 ，即 ，
是偶数，而 是奇数，因而等式不可能成立，
因此 .
【点睛】本小题主要考查指数、对数函数的图像与性质，考查含有绝对值函数的处理方法，考查了
数形结合的数学思想方法.属于中档题.
8．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设 ，函数 ， .
(1)讨论函数 的零点个数；
(2)若函数 有两个零点 ， ，试证明： .
【答案】(1)答案见解析
学科网（北京）股份有限公司(2)证明见解析
【知识点】已知弦（切）求切（弦）、利用余弦函数的单调性求参数、求含cosx的二次式的最值、
求函数零点或方程根的个数
【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数 的零点个数；
（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明 ，即 ，令
，则将原命题转化为证明 ，显然成立，进而原命题成立得证.
【详解】（1） ，
令 ，即 ，
当 时，令 ，所以 ，
则 即 ，
所以当 或 时，即 或 时， 无解；
当 时，即 时， 仅有一解；
当 即 时， 有两解，
综上， 或 时， 无零点； 时， 有一个零点； 时， 有两个零
点.
（2）若 有两个零点 ， ，
令 ， ，则 ， 为 两解，
则 ，则 ，则 ，
由 可得 ， ，
则 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，
由 可得 ，
所以 ，则 ，
由 在 递减，可得 ，
所以 ，所以
令 ，则
要证 成立，
即证： ；
即证： ，因为 显然成立，故原式成立.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且 ，
还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标
有几个不同的值，就有几个不同的零点．
三角函数中恒成立问题（共5题）
1．（23-24高一上·广东广州·期末）设函数 ．
(1)若 对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
学科网（北京）股份有限公司(2)若关于x的方程 在 有实数解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求cosx(型)函数的值域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、一元二次不等式在某
区间上有解问题
【分析】（1）令 ，可得 ，转化为任意 ， 恒成立，
结合二次函数的性质，求得函数的最大值和最小值，列出不等式组，即可求解；
（2）根据题意，转化为 在 上有实数解，结合二次函数的性质，求得函数
的最大值与最小值，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由函数 ，
令 ，可得 ，
因为 对一切实数 恒成立，即对任意的 ， 恒成立，
又由函数 的图像开口向上，对称轴为 ，
当 时， ；当 时， ，
则 ，解得 ，所以实数a的取值范围 .
（2）解：由 ，令 ，
要使得方程关于x的方程 在 有实数解，
学科网（北京）股份有限公司即 在 上有实数解，即 在 上有实数解，
令 ，由 ，
可当 在 上单调递减，在 单调递增，
当 时， ，当 或 时， ，
则 ，解得 ，即实数 的取值范围为 .
2．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数 对任意实数 ， 都有 ，则称
其为“保积函数”.现有一“保积函数” 满足 ，且当 时， .
(1)判断“保积函数” 的奇偶性；
(2)若“保积函数” 在区间 上总有 成立，试证明 在区间 上单调递增；
(3)在（2）成立的条件下，若 ，求 ， 的解集.
【答案】(1) 为奇函数
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）赋值，结合 ，进而得到 为奇函数；
（2） 在 上单调递增，利用定义法得到函数的单调性；
（3）赋值法得到 ，结合函数单调性得到 ， ，数形结合，结合
定义域，得到不等式，求出解集.
【详解】（1） 为奇函数，理由如下：
根据题意，令 ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，
故结合定义域可知， 为奇函数.
（2）证明：任取 ， ，且 ，则 ，
因此
，
因为 ，且当 时， ，所以 ，
因为 ， 恒成立，所以 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 在 上单调递增；
（3） ，又 为奇函数， ，
， ，
， ，
故原不等式等价于 ， ，
在 上单调递增且 ， 恒成立，又 为奇函数，
在 上单调递增，
故 ， ，则 ， ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，解得 或 ，
综上， ， 的解集为 .
3．（23-24高一上·河南许昌·期末）已知函数 为奇函数.
(1)求 的值；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(3)设 ，若 ，使得 成立，求实数 的
取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】求指数型复合函数的值域、求cosx(型)函数的值域、由奇偶性求参数、函数不等式恒成
立问题
【分析】（1）根据奇函数的性质列式求解即可；
（2）分离参数得 在 上恒成立，令 ，则 ，构造函数
，利用函数 单调性求解最值即可；
（3）把问题转化为函数 的值域为函数 值域的子集，利用函数 单调性求解其值域，
结合余弦函数性质，分类讨论求解函数 的值域，列不等式组求解即可.
【详解】（1）因为函数 为奇函数，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，解得 .
（2）由（1）知 ，则 ，所以 ，
故 在 上恒成立，
令 ，则 ，且 ，所以 ，
令 ，则函数 在 上为减函数，
所以 ，所以 .
（3）若 ，使得 成立，
则函数 的值域为函数 值域的子集，
，则函数 在 上为减函数，所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，
当 时， ，则 ，
所以 ，所以 ；
当 时， ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ；
当 时， ，显然成立.
综上可知 .
【点睛】结论点睛：一般地，已知函数 ， ，
（1）若 ， ，总有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；
（4）若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集.
4．（23-24高一上·山西阳泉·期末）设函数 ．
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若 ，则 在闭区间 上有实数解，求实数 的取值范围；
(3)若函数 的图象过点 ，且不等式 对任意 均成立，求实数 的取
值集合．
【答案】(1)
(2)
学科网（北京）股份有限公司(3) ．
【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由cosx（型）函数的
值域（最值）求参数、利用函数单调性求最值或值域
【分析】（1）根据给出的条件，确定函数的解析式，再根据对数函数的单调性解不等式；
（2）先确定 的值，分离参数，把问题转化成函数在给定区间上的值域问题，结合函数单调性求
值域；
（3）先确定 的值，利用函数单调性把问题转化成代数不等式求解.
【详解】（1）当 时， ，
不等式 ，即 ，
可得 ，且 ，
解得 ，
不等式的解集为 ；
（2）由 ，得 ，∴ ，
，即 在闭区间 上有实数解，
可得 ，
令 ，即求 在闭区间 上的值域，
根据指数和对数的性质可知， 是增函数，
∴ 在闭区间 上的值域为 ，
学科网（北京）股份有限公司故得实数t的取值范围是 ；
（3） 函数 的图象过点 ，则 ，故 ，
那么，不等式 转化为 ，
即 ，
解得 ，
又 ，即 ，
，
又 ，所以 ，
对任意 均成立时，实数x的取值集合为 ．
【点睛】关键点点睛：第二问中，要分离参数 ，问题转化为存在性问题，进而用函数单调性求函
数在给定区间上的值域，分离参数是关键；第三问中，含对数的不等式问题，解的时候一定要注意
对数的真数要大于 这个条件.
5．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的对称中心；
(2)若 为奇函数，不等式 在 上恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若 过点 ，设 ，若对任意的 ， ，都有
学科网（北京）股份有限公司，求实数a的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求
含cosx的二次式的最值、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）由题设列 求x即可得对称中心；
（2）由已知得 ，问题化为 在 上恒成立，结合正弦型函数
性质求参数范围；
（3）由已知得 ，将问题化为 ，根据三角函数及二次函数性质研究最值，
进而求参数范围.
【详解】（1）由题设 ，令 ，可得 ，
所以函数 的对称中心为 .
（2）由题设 ， ，又 ，则 ，故 ，
由 ，
又 ，则 ，故 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司当 ，只需 ，可得 ；
当 ，只需 ，可得 ；
当 ，则 ， ，此时满足题设；
综上， .
（3）由题设 ，又 ，则 ，
对任意的 ， 有 ，即 ，
所以 ，则 ，有 ，故 ，
，
又 ，则 ，
当 时， ；
此时 ，即 ；
当 时， ；
此时 ，即 ；
当 时， ；
此时 ，即 ；
综上， .
学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：第二问，问题化为 在 上恒成立为关键；第三问，
问题化为 为关键.
学科网（北京）股份有限公司
