高考数学考前必背公式与练习教师版_2025年6月

晓书∙选修一 R J A 储储备备内内容容 考点1 命题与充要条件 充分性成立：条件结论； 必要性成立：结论条件 充要条件应用说明： (1)唯一性：给定条件p,由p推出q成立时，q推出的结果不是唯一的p，则必要性不成立。 eg:x=1⇒x 日月既往何复追 1  =1，x  =1⇒x=±1，则x=1是x  =1的充分不必要条件。 (2)不等式推论：小范围不等式成立⇒大范围不等式成立，反之不成立。小推大，大不可推小 1 (5分)(2024•新高考Ⅱ)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x3=x，则 ( B ) A. p和q都是真命题 B. ￢p和q都是真命题 C. p和￢q都是真命题 D. ￢p和￢q都是真命题 【答案】命题：p：∀x∈R，|x+1|>1，x=-1时，不成立，∴命题：p是假命题；则￢p是真命题． 命题q：∃x>0，x3=x，x=1时成立，∴命题q是真命题，￢q是假命题；∴￢p和q都是真命题．      2 已知向量a=(-1，2)，b=(3，m)，m∈R，则“m=-6”是“a∥(a+b)”的 ( A ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件   【答案】a+b=(-1，2)+(3，m)=(2，2+m)．       由a∥(a+b)⇔-1×(2+m)-2×2=0，⇔m=-6．因此“m=-6”是“a∥(a+b)”的充要条件． π 3 “φ= ”是“函数y=sin(x+φ)为偶函数的” ( A ) 2 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 π π 【答案】因为φ= ⇒函数y=sin(x+φ)=cosx为偶函数，∴“φ= ”是“函数y=sin(x+φ)为偶函数”充分条件， 2 2 π “函数y=sin(x+φ)为偶函数”∴“φ=kπ+ ，k∈Z”， 2 π ∴“φ= ”是“函数y=sin(x+φ)为偶函数”的充分不必要条件． 2 4 已知直线l：(a+4)x+ay+1=0，l ：(a-2)x+y+2=0，则“a=-1”是“l ∥l ”的 ( A ) 1 2 1 2 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】∵直线l：(a+4)x+ay+1=0，l：(a-2)x+y+2=0平行，∴a(a-2)=(a+4)×1，∴a2-3a-4=0，∴a= 1 2 4或a=-1，检验：当a=4时，直线l：8x+4y+1=0，l：2x+y+2=0平行， 1 2 当a=-1时，直线l：3x-y+1=0，l：3x-y-2=0平行，∴a=-1是l ∥l 的充分不必要条件． 1 2 1 2 S 5 已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，前n项和为S n ，设甲：  a n n  a 为等差数列；乙： n  n  为常数 列，则 ( ) A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】根据数列{a }是各项均不为0的等差数列， n S S 取a n =1，可得S n =n，此时 a n =n，满足数列  a n n n  a 1 为等差数列，但 n = 不是常数列， n n S ∴由 n  a n  a 为等差数列不能推出 n  n  为常数列，充分性不成立； a 若 n  n  a n(p+pn) 为常数列，设 n =p(常数)，则a =pn，可得S = ， n n n 2 ∴ S n = 1+n ， S n+1 - S n = 2+n - 1+n = 1 ，∴  S n a 2 a a 2 2 2 a n n+1 n n  1 是公差为 的等差数列，必要性成立． 2 综上所述，甲是乙的必要条件但不是充分条件．考点2 乘法公式 最近几年的新高考中在解答题中对乘法公式有较多的考察，特别是一卷。 平方差公式：a2-b2=a-b  基 础  乘法公式 2 知行韶华长可期  (a+b) 完全平方和：a+b  2=a2+2ab+b2 a-b  2=a2-2ab+b2 完全立方和： a+b  a+b 3=a3+3a2b+3ab2+b3  3=(a+b)(a+b)2 =(a2+2ab+b2)(a+b) 三项和平方： a+b+c  (a+b+c)2=[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2(a+b)c+c2 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc b换成-b a-b+c  立方和公式： 2=a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc a3+b3=a+b  b换成-b a3+b3=(a+b)3-3a2b-3ab2 =(a+b)[(a+b)2 —3ab] (a2-ab+b2) 考点3 基本不等式 最近几年高考纯粹考察该部分的情况较少，都是结合最值和非问题一起考察。 a+b 基本不等式： ≥ ab当且仅当a=b时取“=”号．[一正、二定、三相等] 2 变式一：a+b≥2 ab， 主要应用在求a+b和的最小值。 a+b 变式二：ab≤ 2  2 a2+b2 (a+b)2 ≤ 、a2+b2≥ 用于求ab积的最大值。 2 2 注意：变式1与2都是相通的，关键在于具体解题时对问题的构造与变形。 权方和不等式 a b  a+ b 已知x,y,a,b∈R+，则有： + ≥ x y  2 ，当且仅当x:y= a: b时，等号成立 x+y 6 若x+2y=4，则2x+4y的最小值是 ( B ) A. 4 B. 8 C. 2 2 D. 4 2 【答案】∵x+2y=4，∴2x+4y=2x+22y≥2 2x⋅22y=2 2x+2y=2 24=8 当且仅当2x=22y即x=2且y=1时取等号，∴2x+4y的最小值是8 4 9 7 设正数m，n满足 + =1，则m+n的最小值为 ( B ) m n A. 26 B. 25 C. 16 D. 9 4 9 4 9 【答案】∵m，n满足 + =1，则m+n=(m+n) + m n m n  4n 9m =13+ + ≥13+12=25， m n 4n 9m 4 9 当且仅当 = 且 + =1，即m=10，n=15时取等号，此时取得最小值25． m n m n 2 1 8 8 已知a，b∈R+，a+2b=1，则 + 的最小值为 5 ． a+2 b+1 2 1 2 2 2 2 【答案】因为a+2b=1，∴(a+2)+(2b+2)=5．∴ + = + = + a+2 b+1 a+2 2b+2 a+2 2b+2  [(a+2)+(2b+2)] 1 1 2(a+2) 2(2b+2) × = 4+ + 5 5 2b+2 a+2  1 2(a+2) 2(2b+2) ≥ 4+2 ⋅ 5 2b+2 a+2  8 = ， 5 1 1 2 1 8 当且仅当a= ，b= 时等号成立．∴ + 的最小值为 ． 2 4 a+2 b+1 5晓书∙选修一 R J A 考点4 对勾函数飘带函数 对勾函数(双勾函数、耐克函数)的图像与性质 b 解析式 f(x)=ax+ x a>0,b>0 a<0,b<0 a>0,b<0 a<0,b>0 y y y y 图像 2 ab 2 ab y=ax y=ax b x - b x x x a a y=ax y=ax 渐近线 y=ax和y轴 定义域 x/x≠0 日月既往何复追 3  值域 yϵ-∞,-2 ab  ∪2 ab,+∞  yϵ-∞,+∞  函函数数性性质质与与综综合合 考点1 函数奇偶性与单调性 性质判定： -f(x),奇函数 奇偶性的判定：①定义域关于原点对称；②f(-x)= f(x),偶函数 单调性的判定：①性质运算：增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=增函数,添加负号和变倒数,单 1 调性反转。注意：性质反转的同时,单调区间也可能发生改变,如：y= 。 g(x) ②复合函数中：利用“同增异减”判断 ③运算类函数：利用“导函数的正负”判断 性质求参的方法 g(x,a),x0，∴y<1或y>3，∴对称中心的纵坐标为 =2， e2x-1 1-y 2晓书∙选修一 R J A 考点2 函数性质综合的三角函数模型 抽象性解读 此类问题如有f(x)与f(y)的混合表达,则先采用赋值法将其化为关于x的表达再对抽象性做解读。 性质的翻译 性质 抽象性解读 变 换 A+B 对称轴 f(A)=f(B)对称轴x= (定值,不含x) f(ωx+φ)为偶函数f(x)有对称轴:x=φ 2 A+B C 中心对称 f(A)+f(B)=C对称中心 , 2 2 日月既往何复追 5  (定值) f(ωx+φ)为奇函数f(x)对称中心:φ,0  周期性 f(x)=f(x+T)周期为T 抽象函数的综合性质研判可套用正余弦波分析。若f(x)给到单调性描述时,需根据函数单调性选用图象。 若f(x)是奇函数且有对称性、周期性中的一个结论成立,则选用以下图象(正弦波)分析问题： 14 (多选)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,g(x+1)+f(1-x)=1,f(x+1)-g(x+2)=1,且y=f(x)的 图象关于直线x=1对称,则以下说法正确的是 ( BCD ) A. f(x)和g(x)均为奇函数 B. ∀x∈R,f(x)=f(x+4) 3 C. ∀x∈R, g(x)=g(x+2) D. g- 2  =0 1 【答案】由f(x+1)-g(x+2)=1,得 f(x)-g(x+1)=1,又g(x+1)+f(1-x)=1,∴f(x)+f(1-x)=2⇒f(x)关于 ,1 2  对 称，又∵y=f(x)的图象关于直线x=1对称 由f(x+1)-g(x+2)=1  g(x)=f(x-1)-1可知g(x)为f(x)向右平移1单位向下平移1单位得到 作出分析草图如下(没有单调性约束随便选图)： y f(x) f(x)对称轴：x=k f(x)对称轴：x=k 0 2 1 3 2 y=1        f f ( ( x x ) ) 对 周 称 期 中 ： 心 T= ： 2 ( + 2k 2 2 + k 1,1) - 2 1 2 1 g(x) x        f f ( ( x x ) ) 对 周 称 期 中 ： 心 T= ： 2 ( + 2k 2 2 + k 1,1) 3 由图速知：f(x)和g(x)是偶函数,A错误；由周期性定义可知:B,C正确；由图知：g- 2  =0,D正确．故选：BCD． 15 (2021•新高考Ⅱ)函数f(x)定义域为R(f(x)不恒为0),f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则 ( B ) 1 A. f- 2  =0 B. f(-1)=0 C. f(2)=0 D. f(4)=0 【答案】∵f(x+2)为偶函数 f(x)关于x=2对称 ∵f(2x+1)为奇函数 f(x)关于(1,0)对称 作出分析草图如下(没有单调性约束随便选图)： y f(x)对称轴：x=2k   f(x)对称中心：(2k+1,0) 1 2 x   f(x)周期：T=4+4k 由图速知：f(-1)=f(1)=0．故选：B．16 (2021•甲卷)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2 9 +b．若f(0)+f(3)=6,则f 2 6 知行韶华长可期  = ( D ) 9 3 7 5 A. - B. - C. D. 4 2 4 2 【答案】∵f(x+1)为奇函数f(x)有对称中心1,0  ∵f(x+2)偶函数f(x)有对称轴x=2作出分析草图如下 y f(x)对称轴：x=2k   f(x)对称中心：(2k+1,0) 1 2 x   f(x)周期：T=4+4k 当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b．f(0)+f(3)=-f(2)+f(1)=-4a-b+a+b=-3a, 9 ∴-3a=6  a=-2∵f(1)=a+b=0b=-a=2∴f 2  1 =f +4 2  1 =f 2  3 =-f 2  5 = ．故选：D． 2 1 17 (2024•九省联考•多选)若函数f(x)定义域为R,且f 2  ≠0,若f(x+y)+f(x)f(y)=4xy,则 ( ABD ) 1 A. f- 2  1 =0 B. f 2  =-2 1 C. 函数fx- 2  1 是偶函数 D. 函数fx+ 2  是减函数 1 1 【答案】令y=- ,则有fx- 2 2  1 +f(x)f- 2  1 =4x×- 2  1 ,即fx- 2  1 =-2x,故函数fx- 2  是奇函数,C错误。 1 ∴fx+ 2  1 =fx+1- 2  1 =-2(x+1)=-2x-2,即fx+ 2  1 =-2x-2,函数fx+ 2  是减函数,D正确． 1 ∵fx- 2  1 =-2x,令x=0, ∴f- 2  1 =0,故A正确, 令x=1,∴f1- 2  1 =f 2  =-2,D正确．故选：ABD． 18 (2023•新高考Ⅰ⋅多选)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则 ( ABC ) A. f(0)=0 B. f(1)=0 C. f(x)是偶函数 D. x=0为f(x)的极小值点 【答案】取x=y=0,可得f(0)=0,故A正确取x=y=1,可得f(1)=2f(1),即f(1)=0,故B正确； 1 取x=y=-1,得f(1)=2f(-1),即f(-1)= f(1)=0,取y=-1,得f(-x)=f(x),可得f(x)是偶函数,故C正确； 2 由上可知,f(-1)=f(0)=f(1)=0,而函数解析式不确定,不妨取f(x)=0,满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y), 常数函数f(x)=0无极值,故D错误．故选：ABC． 19 (多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R,若f(3x+1)是偶函数,且f(2+x)-f(2-x)=x, 令g(x)=f′(x),则下列说法正确的是 ( BCD ) 1 A. 函数y= x-f(x+2)是奇函数 B. g(1)=0 2 26 325 C. 函数g(x)的图象关于点(3,1)对称 D. g(i)= 2 i=1 【答案】∵f(2+x)-f(2-x)=x,两边同时取导数：f(2+x)+f(2-x)=1 g(2+x)+g(2-x)=1  g(x)关于2,1 2  对称∵y=f(3x+1)为偶函数  f(x)关于x=1对称  f(1+x)=f(1-x) 两边同时取导数：f(1+x)=-f(1-x) g(1+x)+g(1-x)=0  g(x)关 于1,0  对称，可知函数 g(x)过1,0  与2,1 2  技技巧巧 ,由此可设g(x)= 1x- 1, 右边抽象性解读中有两个对称中心并 2 2 且纵坐标不一致,不符合三角函数模型。 ∴f(x)=g(x)dx= 1x2- 1x+c(可以不用积分,用找原函数方法即可) 其模型为一次函数模型(直线上的任意一 4 2 由此可知：A是一个二次函数,不具备对称中心,A错误；g(1)= 1 - 1 =0, 点均是它自己的对称中心) 2 2 B正确；(3,1)在g(x)上；当i∈N 时,g(i)是一个等差数列,公差为 1,首项g(1) + 2 26 1 26-1 325 =0,∴g(i)=0+ +1+⋯+ = 2 2 2 i=1晓书∙选修一 R J A 初初等等函函数数性性质质 考点1 三次函数的图象与性质 设f(x)=ax3+bx2+cx+d,f(x)=3ax2+2bx+c,Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac),其图象性质如下(单调性最 值等内容可以利用导数的方法判定)： Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac) a>0 a<0 Δ>0 Δ≤0 Δ>0 Δ≤0 图象 x x x x x x x x 1 2 1 2 -b± b2-3ac -b± b2-3ac 极值点 x x = 无极值 x x = 无极值 1、 2 3a 1、 2 3a 1 f(x)不可能为偶函数；当且仅当b=d=0时是奇函数 性质 b b 2 三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(- ,f(- )) 3a 3a 20 (2024•新高考Ⅱ∙多选)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则 ( AD ) A. 当a>1时,f(x)有三个零点 B. 当a<0时,x=0是f(x)的极大值点 C. 存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D. 存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心 【答案】f'(x)=6x(x-a), 令f'(x)=6x(x-a)=0  x =0,x =aA：当a>1时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(-∞,0)和 1 2 (a,+∞)上单调递增；f(x)的极大值f(0)=1>0,f(x)的极小值 f(a)=1-a3<0,∴f(x)有三个零点,故A正确； B：当a<0时,f(x)在(a,0)上单调递减,在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,x=0是极小值点,故B错误； C：任何三次函数不存在对称轴,故C错误； D：当a=2时,f(x)=2x3-6x2+1=2(x-1)3-6(x-1)-3,关于点(1,-3)中心对称,故D正确．故选：AD． 21 (2022•新高考Ⅰ∙多选)已知函数f(x)=x3-x+1,则 ( AC ) A. f(x)有两个极值点 B. f(x)有三个零点 C. 点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D. 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线 3 3 【答案】f′(x)=3x2-1,令f′(x)=0,得x=- 或x= ，f′(x)分布趋势： f(x)单调趋势如下： 3 3 - 3 3 x - 3 3 3 3 x 3 3 3 f(x) =f- 极大值 3 日月既往何复追 7  2 3 3 = +1>0；f(x) =f 9 极小值 3  2 3 3 =1- >0,由此可知：f(x)在x∈-∞,- 9 3  上存在一个唯一的零 点。∴A正确、B错误。 C: 三次曲线是中心对称曲线。由极大值与极小值应关于对称中心对称可知：对称中心为(0,1)．或：套公式 D:假设y=2x是曲线y=f(x)的切线,设切点为(a,b),则  3a2-1=2 ,解得  a=1 或  a=-1 , 2a=b b=2 b=-2 显然(1,2)和(-1,-2)均不在曲线y=f(x)上,D错误．22 (2024•新高考Ⅰ∙多选)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则 ( ACD ) A. x=3是f(x)的极小值点 B. 当0f(x) 【答案】f′(x)=3(x-1)(x-3), f′(x)分布趋势： f(x)单调趋势如下： 1 3 x 1 3 x 故x=3是函数f(x)的极小值点,A正确； B：当00,则-40, 即f(2-x)>f(x),D正确．故选：ACD． 考点2 指数与对数的计算 1 指数公式： a−n= an a m n = nam 对数公式：log 1= 0 log a= 1 log an= n a a a M log (M∙N)= log M+log N log = log M-log N log Mn= n∙log M a a a aN a a a a log m N mlog b alogaN= N log a N = log m a log an bm = n a 指对互化：ax=N  x=log N a 定义 形如y=ax(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数 形如y=log x(a>0且a≠1)的函数叫做对数函数 a a>1 01 00 Aω<0 x x x 0 1 x 图8-1 图8-2 ② 定起始：令ωx+φ=0  起始点x ，根据x 的正负情况及题意要求再加y轴； 0 0 1 1 π ③ 定间隔：第一条对称轴x =x + T，往后按照 T= 的间隔依次迅速标出剩余零点和对称轴。 1 0 4 4 2ω π 注：余弦型函数用公式化为正弦型函数处理， 即：cosωx= ωx+ 2  sin π 30 (2025•青岛模拟)已知函数f(x)=sinωx+ 3  π +b的图象关于点 ，2 2  中心对称，则f(2π)= ( C ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 π π π 2 【答案】根据题意，可知b=2，当x= 时，ω• + =kπ(k∈Z)，解得ω=2k- ，k∈Z． 2 2 3 3 2 ∴f(x)=sin 2k- 3    x+ π  3  2 +2(k∈Z)，可得f(2π)=sin 2k- 3    •2π+ π  3  +2=sin(-π)+2=2． π 31 (2025•天津模拟)将函数y=sin2x+ 6  π 的图象向左平移 个单位长度，得到函数y=f(x)的图象，则 4 下列结论中正确的是 ( B ) A. y=f(x)的图象关于直线x= π 对称 B. f(x)在区间 - π ， 5π 6  12 12  上单调递减 π 3π C. f(x)在区间 ， 6 4  5π 内没有零点 D. y=f(x)的图象关于点 ，0 12  对称 π 【答案】由题意得f(x)=sin 2x+ 4    + π  6  π =cos2x+ 6  π π ，对于A，当x= 时，f(x)=cos =0，不是f(x)的最值， 6 2 π 结合余弦函数的性质，可知f(x)的图象不能关于直线x= 对称，故A项错误； 6 π π 5π 对于B，由2kπ≤2x+ ≤π+2kπ(k∈Z)，解得- +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z)， 6 12 12 ∴f(x)的单调递减区间为 - π +kπ， 5π +kπ  12 12  (k∈Z)， 取k=0，可得f(x)在区间 - π ， 5π  12 12  上单调递减，∴B项正确； π 3π 对于C，当x∈ ， 6 4  π π 5π 时，2x+ ∈ ， 6 2 3  2π ，可知f 3  =0，故C项错误； 5π 5π 对于D，当x= 时，f(x)=cosπ≠0，可知 ，0 12 12  不是f(x)图象的对称中心，故D项错误． π 32 (2025•包头二模)已知f(x)=sinωx+ 6  (ω>0)在 - π ， π  6 4  上单调递增，则ω的取值范围是 ( B ) 2 A. 0， 3  4 B. 0， 3  C.   2 ， 4  3 3  D.   4 ，2  3  【答案】当x∈ - π ， π  6 4  时，ωx+ π ∈ - ωπ + π ， ωπ + π 6  6 6 4 6  ， 若f(x)在 - π ， π  6 4  上单调递增， ωπ π π   - 6 + 6 ≥- 2 4 4 则 ωπ π π ，结合ω>0解得0<ω≤ 3 ，即ω∈0， 3   4 + 6 ≤ 2  ．π 33 (2025•河北模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0，|φ|< 2 12 知行韶华长可期  的最小正周期为π，且∀x∈R，f(x)≤ π f 6  ．则当x∈ 0， π  4  时，y=f(x)的取值范围为 ( D ) A.   1 ， 3  2 2  B.   1 ，1  2  C. [1， 3] D. [1，2] 2π 【答案】由题意得f(x)的最小正周期T= =π，解得ω=2． ω π 因为∀x∈R，f(x)≤f 6  π ，∴x= 时，f(x)取最大值， 6 可得2× π +φ=2kπ+ π (k∈Z)，结合φ∈ - π ， π 6 2  2 2  π ，取k=0，则φ= ， 6 π ∴f(x)=2sin2x+ 6  ，当x∈ 0， π  4  时，2x+ π ∈  π ， 2π 6 6 3  π ，可得sin2x+ 6  ∈  1 ，1 2  ， ∴当x∈ 0， π  4  π 时，f(x)=2sin2x+ 6  的取值范围为[1，2]． 1 34 (2025•苏州三模)设函数f(x)=2sin x+φ 2  -1，若f(x)在[0，5π]内恰有3个零点，则φ的取值不可以 为 ( C ) π π π A. 0 B. C. D. 6 4 3 1 【答案】由题意，f(x)=0即sin x+φ 2  1 = ， 2 1 π 5π 13π 17π 可得f(x)在[0，+∞)上的零点依次满足 x+φ= 、 、 、 、⋯， 2 6 6 6 6 当x∈[0，5π]时， 1 x+φ∈ φ， 5π +φ 2  2  ， 当φ=0时， φ， 5π +φ  2  = 0， 5π  2  π 5π 13π ，根据 、 、 均在区间内，可知A项符合题意； 6 6 6 当φ= π 时， φ， 5π +φ 6  2  =  π ， 8π 6 3  π 5π 13π ，根据 、 、 均在区间内，可知B项符合题意； 6 6 6 当φ= π 时， φ， 5π +φ 4  2  =  π ， 11π 4 4  5π 13π ，只有 、 在区间内，可知C项不符合题意； 6 6 当φ= π 时， φ， 5π +φ 3  2  =  π ， 17π 3 6  5π 13π 17π ，根据 、 、 均在区间内，可知D项符合题意． 6 6 6 35 (2025•安徽模拟)下列关于函数f(x)=|sin2x|+cos2x说法正确的是 ( B ) 3π A.  ，0 8  是函数f(x)图象的一个对称中心 B. f(x)的值域为[-1， 2] C. f(x)在区间  π ， 5π  8 8  π 上单调递减 D. 直线x= 是函数f(x)图象的一条对称轴 8 3π 【答案】对于A，f -x 4  3π = sin 2 -x 4      3π  +cos 2 -x 4      3π = sin -2x 2  3π  +cos -2x 2  =|-cos2x|-sin2x=|cos2x|-sin2x≠-f(x)， 3π 故 ，0 8  不是函数f(x)图象的一个对称中心，A错误； 对于B，因为f(-x)=|sin(-2x)|+cos(-2x)=|sin2x|+cos2x=f(x)，f(x+π)=|sin2(x+π)|+cos[2(x+π)]=|sin(2x+2π) |+cos(2x+2π)=|sin2x|+cos2x=f(x)，∴f(x)为偶函数且以π为周期， 当x∈ 0， π  2  π 时，f(x)=sin2x+cos2x= 2sin2x+ 4  ∈[-1， 2]， π 当x∈ ，π 2  π 时，f(x)=-sin2x+cos2x= 2cos2x+ 4  ∈[-1， 2]， ∴f(x)在一个周期内取值范围为[-1， 2]，则f(x)值域为[-1， 2]，故B正确； 对于C，由B选项分析，x∈  π ， π 8 2  π 时，f(x)= 2sin2x+ 4  在  π ， π 8 2  上递减， π 5π x∈ ， 2 8  π 时，f(x)= 2cos2x+ 4  π 5π 在x∈ ， 2 8  上递增，故C错误； π 对于D，f -x 4  π = sin 2 -x 4      π  +cos 2 -x 4      π = sin -2x 2  π  +cos -2x 2  =|cos2x|+sin2x≠f(x)， π 故直线x= 不是函数f(x)图象的一条对称轴，D错误． 8晓书∙选修一 R J A 导导函函数数 考点1 函数求导公式 (C)=0(C为常数) (xn)=n⋅xn−1 (ex)=ex 1 1 (lnx)= x (ax)=axlna (log ax)= xlna (sinx)=cosx (cosx)=−sinx tanx 日月既往何复追 13  =sec2x 考点2 切线方程 通过对切线斜率的研究，我们可以求解曲线相应的切线方程，切线方程也能用来研究函数的某些性质。 曲线f(x)在点x 0 ,f(x 0 )  处的切线方程： 1 求f(x)，k=f(x ) 0 2 切线方程为：y-f(x )=f(x )(x-x ) 0 0 0 过点(a,b)作曲线f(x)的切线方程： 1 设切点x 0 ,f(x 0 )  2 求f(x)，k=f(x ) 0 3 切线方程：y-f(x )=f(x )(x-x ) 0 0 0 ④ ∵(a,b)在切线上 ∴b-f(x )=f(x )(a-x )  x 0 0 0 0 36 求解下列与切线方程有关的内容： (1)求曲线f(x)=x3+x2+1在P(−1,1)处的切线方程。 (2)函数f(x)=2(x+1)ln(x+1)．经过点(-1,-2)作函数f(x)图象的切线，求该切线的方程。 (2)由题:设切点(x，f(x)),f(x)=2ln(x+1)+2 (1) ∵P(−1,1)在曲线y=x3+x2+1上 0 0 切线方程： y-f(x)=f(x)(x-x) 0 0 0 【答案】 y=3x2+2x， k=y x=−1 =1 将(-1,-2)代入：-2-2(x 0 +1)ln(x 0 +1)=2ln(x+1)+2 ∴切线方程为y−1=x+1 即:x−y+2=0  (-1-x) 0  x =0 0 ∴k=f0)=2, f(x 0 )=0 ∴切线方程为y−0=2x-0  ，即2x−y=0 ex e 37 y= 在点1， x+1 2  处的切线方程 ( C ) e e e e e 3e A. y= x B. y= x C. y= x+ D. y= x+ 4 2 4 4 2 4 ex(x+1)-ex(x+1)′ xex 【答案】y′= = ， (x+1)2 (x+1)2 e 故函数在点1， 2  y fx 0 x e 处的切线斜率k= ， 4 e e e e 切线方程为y- = (x-1)，即y= x+ ．故选：C． 2 4 4 4  k=fx 0 x 0  y fx 0 x  k=fx 0 x 0  △y = △x b a  △y △x   38 若P是曲线y=lnx-x2上任意一点，则点P到直线l：x+y-4=0距离的最小值为 ( C ) 2 A. B. 2 C. 2 2 D. 4 2 2 1 1 【答案】y′= -2x(x>0)，令 -2x=-1，则(x-1)(2x+1)=0， x x ∵x>0，∴x=1，得y=-1，即平行于直线x+y-4=0且与曲线y=lnx-x2相切的切点坐标为(1，-1)，点P到直线x+ |1-1-4| y-4=0的距离的最小值d= =2 2．故选：C． 2 39 求 f(x)=xlnx过P(0，-e)的切线方程。 【答案】f′(x)=lnx+1设切点为(t，tlnt)，由题得k=lnt+1 tlnt+e 由题意：k=lnt+1=  t=e故切线方程为:y-e=2(x-e) t 故切线为：2x-y-e=0． 考点3 端点效应与参数范围 超越函数 f(x,a)≥0 f(x) 设g(x) g(x) g(x) ∙∙∙∙∙∙ 直观判断 正负结束 ①h(a)>0 f(x)在 m,n f(x)>0 g(x)单增 g(x)单增 g(x)>0 ②h(a)<0 g(x)>g(m)=h(a) g(x)>g(m)=0 f(x)=0 0 14 知行韶华长可期   单增 f(x)在 m,x 0   上减 f(x)在x 0 ,n  在 m,n 上增   上研究 接二连三 x∈ m,n 分 类 讨 论 隐零点 单调性化为端点不等式 f(x)≥f(m)=0   时 端 点 效 应 ∵f(m)=0且f(x)在m,x 0 不等式成立，该参数范围可取  上减 ∴在x∈ m,x 0  端点值为0 意味着单调性可继续往前推 主线可以继续朝前走，这样的 特点称“端点效应”  时，f(x)≤0，不等式不成立，该参数范围不可取 40 (2024•甲卷)已知函数f(x)=(1-ax)ln(1+x)-x． (1)当a=-2时，求f(x)的极值； (2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围． x 【答案】(1)当a=-2 时，f(x)=(1+2x)ln(1+x)-x，x>-1，f′(x)=2ln(1+x)+ ， 1+x 当-10时，f′(x)>0，∴f(x)在(-1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 故a=-2时，f(x)的极小值为f(0)=0，无极大值； (a+1)x (2)由f(x)=(1-ax)ln(1+x)-x，得f′(x)=-aln(1+x)- ，x>-1， 1+x a a+1 令g(x)=f′(x)，则g′(x)=- - ， 1+x (1+x)2 1 当x≥0时，f(x)≥0，且f(0)=0，f′(0)=0，∴g′(0)=-1-2a≥0，a≤- ， 2 1 1 1 x 当a≤- 时，g′(x)≥ - = ≥0， 2 2(1+x) 2(1+x)2 2(1+x)2 ∴g(x)在[0，+∞)上单调递增，g(x)=f′(x)≥g(0)=0， 故f(x)在[0，+∞)上单调递增，f(x)≥f(0)=0恒成立， 1 即a的取值范围为-∞，- 2  ．晓书∙选修一 R J A 41 (2024秋•成都月考)已知函数f(x)=ex-ax3-3ax2． (1)若a=-1，求函数y=f(x)-ex的极值； (2)若x≥0，f(x)≥x+1，求实数a的取值范围； 【答案】(1)当a=-1时，f(x)=ex+x3+3x2，令g(x)=f(x)-ex=x3+3x2，则g′(x)=3x2+6x=3x(x+2)， 当x<-2或x>2时g′(x)>0，当-2 时， 6 由于v′(x)=ex-6a为单调递增函数，且v′(ln(1+6a))=1>0， ∴∃x ∈(0，ln(1+6a))，v′(x)=0，则0-2当且仅当10 x 1 1 【答案】(1)由2-x ，得0-2且f(x)关于点(1，a)中心对称．∴x=1为f(x)=-2的解，∴f(1)=-2a=-2 x 题意：1-2恒成立 f(x)=ln -2x+b(x-1)3>-2在(1，2)上恒成立 2-x 1 1 1 1 f(x)= + -2+3b(x-1)2，f(x)=- + x 2-x x2 2-x  2 2 +6b(x-1)，f(x)= + 2 x3 2-x  6 +6b，f(x)=- + 3 x4 6 2-x  ，当x∈1,2 4  时，2-x∈0,1  ,∴f(x)>0f(x)单调递增f(x)>f(1)=4+6b ① 当4+6b≥0，即b∈ - 2 ，+∞  3  时， f(x)≥0f(x)单调递增f(x)>f(1)=0f(x)单调递增f(x)>f(1)=0f(x)单调递增f(x)>f(1)= -2，题意成立，由此说明b∈ - 2 ，+∞  3  可取。 2 ② 当4+6b<0，即b∈-∞,- 3  时，∵f(1)=4+6b<0，∴∃x，使得f(x)=0，具体情况如下图： 0 0 f(x)的分布 f(x)的单调情况 x x 0 0 ∴当x∈1,x 0  时， f(x)单调递减f(x)x 2  两根均有意义，x 0，函数f(x)在R上单调递增，此时函数f(x)无极值， ② 当a>0时，令f′(x)=ex-a=0，得x=lna， f(x)的分布 f(x)的单调情况 lna lna ∴f(x) =f(lna)=a-alna-a3=a1-lna-a2 极小值  <0， ∵a>0，∴1-lna-a2<0 1 令g(a)=-a2-lna+1，g′(a)=-2a- <0，∴g(a)在(0，+∞)上单调递减， a 试根 g(a)单减 令g(a)=0a=1， ∴1-lna-a2<0  a>1， g(a)=0a=1 ∴a的取值范围是(1，+∞)．晓书∙选修一 R J A 44 (2023•新高考Ⅰ)已知函数f(x)=a(ex+a)-x．讨论f(x)的单调性。 【答案】f(x)的定义域为R，f'(x)=aex-1 参数解读：a为ex的伸缩和对称变换参量，以0作分类标准。 ①当a≤0时，f'(x)<0恒成立，f(x)在R上单调递减， 1 ②当a>0时，令f'(x)=0得，x=ln ， a fx 日月既往何复追 17  分布走势： f(x)单调趋势如下： y f(x) 1 ln 1 x ln x a a 1 当x∈-∞，ln a  时，f'(x)<0，f(x)单调递减； 1 当x∈ln ，+∞ a  时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减； 1 当a>0时，f(x)在-∞，ln a  1 上单调递减，在ln ，+∞ a  上单调递增． 45 (2021•乙卷)已知函数f(x)=x3-x2+ax+1．讨论f(x)的单调性。 【答案】f(x)的定义域为R，f′(x)=3x2-2x+a， 1 设h(x)=3x2-2x+a，Δ=4-12a，，对称轴x = 0 3 2+ △ 2- △ a 令：h(x)=0，得x = ， x = ， x ∙x = 1 6 2 6 1 2 3 1 ① 当△≤0，即a≥ 时， 3 f(x)分布走势图： f(x)单调趋势如下： h(x) h(x) f(x) 0 x x x 1 2+ △ 2- △ ②当Δ>0，即a< 时，x = > x = >0 3 1 6 2 6 f(x)分布走势图： f(x)单调趋势如下： h(x) f(x) x 2 x 1 x x x x 2 1 1 综上，当a≥ 时，f(x)在R上单调递增； 3 1 1- 1-3a 当a< 时，f(x)在-∞， 3 3  1+ 1-3a ， ，+∞ 3  1- 1-3a 1+ 1-3a 单调递增，在 ， 3 3  单 调递减．46 (2017•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x．讨论f(x)的单调性。 1 (2ax+1)(x+1) 【答案】f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)= +2ax+2a+1= x x 1 设h(x)=(2ax+1)(x+1)令h(x)=0  x =-1， x =- 1 2 2a x+1 ①当a=0时，f'(x)= >恒成立， 此时函数f(x)在(0，+∞)上单调递增， x2 1 ②当a>0时，h(x) 开口向上， x =- <0，f(x)分布走势图： f(x)单调趋势如下： 2 2a h(x) f(x) 0 x 0 x 1 ③当a<0时，h(x) 开口向下，x =- >0， f(x)分布走势图： f(x)单调趋势如下： 2 2a h(x) f(x) x 10 x 2 x 0 x x 2 综上,当a≥0时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增， 1 当a<0时，函数f(x)在0，- 2a 18 知行韶华长可期  1 上单调递增，在- ，+∞ 2a  上 单调递减 考点5 不等式证明 对于不等式：f(x)>g(x)恒成立的主要证明方法： ① 移项构造差函数：f(x)-g(x)>0，证明：f(x)-g(x)  >0； min 不等式证明很多时候重在对结构的变形与重组。上述差形式与商形式的构造只是证明方法的主线，在具体 解题时，我们会借助不等式的基本性质对结构进行变形和重组。主要从以下几个角度进行考虑： ① 分式型尽量化为整式型处理 ② 含ex的在变形时，尽量与其他函数进行乘除，含lnx的在变形时，尽量保持独立存在。 47 (2023•新高考Ⅱ)证明：当00  h(x)在(0，1)上单增 h(x)>h(0)=0 即：x∈(0，1)时，sinx0时，f(x)>2lna+ ． 2 3 【答案】设h(x)=aex+a2-x-2lna- 2 3 f(x)>2lna+ 恒成立h(x)>0恒成立h(x)>0 2 min h(x)=aex-1 1 当a>0时，令h'(x)=0得，x=ln a hx 日月既往何复追 19  分布走势： h(x)单调趋势如下： y ln 1 x ln 1 x a a 1 h(x) =hln min a  =aeln a 1 +a2-ln 1 -2lna- 3 =a2-lna- 3 a 2 2 1 设g(a)=a2-lna- ，a>0， 2 1 2a2-1 2 则g'(a)=2a- = ,令g'(a)=0  a= a a 2 ga  分布走势： g(a)单调趋势如下： y 2 a 0 2 a 2 2 2 ∴g(a)≥g 2  1 2 1 = -ln - =ln 2>0 2 2 2 3 即g(a)>0  h(x) >0得证，即f(x)>2lna+ 得证． min 2 数数列列的的通通项项与与和和 考点1 等差与等比数列公式 等差数列 等比数列 从第二项起，每一项与它的前一项的差等于常数 从第二项起，每一项与它的前一项的比等于常数 定义 a n+1 =q 即: a -a =d 即: a n+1 n n 通项 a n = a 1 +n-1  d =a m +n-m  d a = aqn-1 =a qn-m n 1 m 中项 如果a,b,c成等差数列，则 2b=a+c 如果a,b,c成等比数列，则 b2=ac n(a+a ) 1 n S n = 2   na 1 (q=1)  和 = na 1 + 2 1 n(n−1)d S n =   a 1 (1−qn) a 1 −a n q d d   1−q = 1−q (q≠1) = n2+(a − )n 2 1 249 (2021•新高考Ⅱ)记S 是公差不为0的等差数列{a }的前n项和，若a =S ，a a =S ． n n 3 5 2 4 4 (1)求数列{a }的通项公式a ； n n (2)求使S >a 成立的n的最小值． n n 【答案】(1)数列S 是公差d不为0的等差数列{a }的前n项和， n n 若a =S ，a a =S ． 3 5 2 4 4 根据等差数列的性质，a =S =5a ，故a =0， 3 5 3 3 根据a a =S 可得： 2 4 4 (a -d)(a +d)=(a -2d)+(a -d)+a +(a +d) 3 3 3 3 3 3 整理得-d2=-2d，可得d=2(d=0不合题意)， 故a =a +(n-3)d=2n-6． n 3 (2)a =2n-6，a =-4， n 1 n(n-1) S =-4n+ ×2=n2-5n， n 2 S >a ，即n2-5n>2n-6， n n 整理可得n2-7n+6>0， 当n>6或n<1时，S >a 成立， n n 由于n为正整数， 故n的最小正值为7． 50 优优 (2023•乙卷)记S n 为等差数列{an}的前n项和，已知a2=11，S 10 =40． (1)求{a }的通项公式； n (2)求数列{|a |}的前n项和T． n n a +d=11 a +d=11  1  1 【答案】(1)在等差数列中，∵a 2 =11，S 10 =40．∴ 10a + 10×9 d=40 ，即 a + 9 d=4 ， 1 2 1 2 得a =13，d=-2， 1 则a =13-2(n-1)=-2n+15(n∈N•)． n -2n+15， 1≤n≤7  (2)|a n |=|-2n+15|= 2n-15， n≥8 ， 即1≤n≤7时，|a |=a ， n n 当n≥8时，|a |=-a ， n n 当1≤n≤7时，数列{|a |}的前n项和 n n(n-1) T =a +⋯+a =13n+ ×(-2)=-n2+14n， n 1 n 2 当n≥8时，数列{|a |}的前n项和 n T =a +⋯+a -⋯-a =-S +2(a +⋯+a ) n 1 7 n n 1 7  n(n-1) =-13n+ ×(-2)  2 20 知行韶华长可期  13+1 +2× ×7 2 =n2-14n+98．晓书∙选修一 R J A 51 根据题意证明数列类型，并求{a }通项公式。 n (1) {a }满足：a =1，a =2a +2,证明:数列{a +2}是等比数列 n 1 n+1 n n 【答案】证明： a n+1 +2 = 2a n +2+2 = 2a n +2 a +2 a +2 n n 日月既往何复追 21  =2 a +2 n 又a =1，∴a +2=2 1 1 ∴{a +2}是以3为首项，以2为公比的等比数列 n ∴a +2=3×2n-1 n 即:a =3×2n-1-2， n∈N* n (2) {a n }满足：a n =a n a n+1 +a n+1 ， c,证明：数列  a 1 n  是等差数列 a 【答案】证明：由a =a a +a ，得a = n n n n+1 n+1 n+1 a +1 n 1 1 1 1 a +1 1 ∴ - = - = n - =1 a a a a a a n+1 n n n n n a +1 n 1 ∵a =1，∴ =1 1 a 1 ∴数列  1 a n  1 是以 =1为首项，1为公差的等差数列 a 1 1 1 则 =n，可得a = ，n∈N* a n n n 考点2 数列求通项公式方法 累加法 已知数列a n  满足：a，a −a =f(n)，求数列a 1 n+1 n n  的通项公式。 类比得：a -a =f(n-1)，a -a =f(n-2)，⋯，a -a =f(2)，a -a =f(1)． n n-1 n-1 n-2 3 2 2 1 所有等式左右两边分别相加，即：a =(a -a )+(a -a )+⋯+(a -a )+(a -a)+a n n n-1 n-1 n-2 3 2 2 1 1 =f(n-1)+f(n-2)+⋯+f(2)+f(1)+a 1 累乘法 已知数列a n  a 满足：a， n+1 =f(n)，求数列a 1 a n n  的通项公式。 a a a a 类比得： n =f(n-1)， n-1 =f(n-2)，⋯， 3 =f(2)， 2 =f(1) a a a a n-1 n-2 2 1 a a a a 所有等式左右两边分别相乘，即：a = n × n-1 ×⋯× 3 × 2 ×a n a a a a 1 n-1 n-2 2 1 =f(n-1)×f(n-2)×⋯×f(2)×f(1)×a 1 和方法 数列{a }前n项和为S 满足：恒等关系中含有S ，即：S =f(n)或S =f(a )，求数列a n n n n n n n  的通项公式。 ① 当n=1时，a =S 1 1 ② 当n≥2时，a =S −S n n n−1③ 检验：当n=1时，a =S，是否满足a . 1 1 n 和方法中，可将S 展开作为一个创新点。即：a +a +a + ∙∙∙ +a +a =S n 1 2 3 n-1 n n 构造法 当数列a n 22 知行韶华长可期  满足：a，a =pa +q，(p≠1，q≠0)即前后项之间有倍数差时： 1 n+1 n 递推式为： a =pa +q n+1 n 待定系数： a +x=p(a +x) n+1 n 变形还原： a =pa +px-x n+1 n a =pa +q q 联立对照：   n+1 n  x= a =pa +px-x p-1 n+1 n a +x 回代改写： n+1 =p a +x n 点明类型： a +x n  以a +x为首项，以p公比的等比数列(在确定首项时，一定要先验证最小n值) 1 等比通项： a n +x=a 1 +x  pn-1  a n =a 1 +x  pn-1-x 上述过程不要求背，但是具体的构造方法与步骤需要记住。 52 数列a n  满足：S =2n2+1，求a n n  的通项公式。 【答案】当n=1时，a =S =3, 1 1 当n≥2时，a =S −S n n n−1 =2n2+1-2(n-1)2+1  =4n-2 3， n=1  当n=1时，a 1 不符合上式， ∴a n = 4n-2， n≥2 53 记数列{a }的前n项和为S ，对任意n∈N*，有S =(n+1)(a -n)．证明：{a }为等差数列 n n n n n 【答案】证明：当n=1时，a =S =2(a -1)  a =2 1 1 1 1 当n≥2时，a =S −S n n n−1  a =(n+1)(a -n)-n(a -n+1) n n n-1  a =(n+1)a -n2-n-na +n2-n n n n-1  na -na =2n n n-1 ∵n≥2  a -a =2 n n-1 ∴{a }是首项为2，公差为2的等差数列 n 1 1 54 {a }满足：a = ，a =2a + ，求a n 1 2 n+1 n 2 n  的通项公式。 【答案】设a n+1 +x=2a n +x   a =2a +x n+1 n晓书∙选修一 R J A 1 1 对比a =2a + ，可得x= n+1 n 2 2 1 1 ∴a + =2a + n+1 2 n 2 日月既往何复追 23  a +1 n+1 2  =2 a +1 n 2 1 ∴a +  n 2  1 是以a + =1为首项，以2为公比的等比数列 1 2 1 1 ∴a + =1×2n-1,∴a =2n-1- ,n∈N* n 2 n 2 S 55 (2022•新高考Ⅰ)a 1 =1，证明：  a n n  1 是公差为 的等差数列，并且求a 3 n  的通项公式。。 S 【答案】∵a 1 =1，  a n n  1 是公差为 的等差数列 3 S 1 1 2 ∴ n =1+ (n-1)= n+ ，整理得：3S =na +2a a 3 3 3 n n n n 当n≥2时， 3a =3S −3S n n n−1  3a n =na n +2a n -n-1  a -2a n-1 n-1  (n-1)a =(n+1)a n n-1 化简得： a n+1 a n a 4 a 3 n = ， n-1 = ，........， 3 = ， 2 = a n-1 a n-2 a 2 a 1 n-1 n-2 2 1 a a a ∴a = n × n-1 ×⋯× 2 ×a n a a a 1 n-1 n-2 1 3 4 5 n n+1 n(n+1) = × × ×⋯× × ×1= 1 2 3 n-2 n-1 2 n(n+1) 当n=1时，a =1适合上式，∴a = ，n∈N* 1 n 2 考点3 数列求和方法 裂项相消法 1 已知数列b 满足：b = 即：b 的通项为分式(根式)结构，求数列b n n a ∙a n n n n+1  的前n项和S 。 n 分式裂项公式： c 1 1 = − 小分母×大分母 小分母 大分母  c × 大分母-小分母 注：由于裂项相消法针对分式数列，有时还会和分式的通法：分离常数法结合在一起。 qn c 拓展： 若b 满足：b = ，在利用上述分式裂项后 不出现常数时，需用下列裂项 n n a ∙a 大分母-小分母 n n+1 公式 qn 1 q = − 小分母×大分母 小分母 大分母  ×qn错位相减法 数列a n 满足：a n =an+b 24 知行韶华长可期  qn或a n =an+b  qn-1即：a =等差×等比，求数列a n n  的前n项和S . n 等差 3n-1 如果遇到 建议大家改写为等差×等比后再往后做。改写方法： =3n-1 等比 2n  1  2  n 格式步骤如下：以a n =an+b  qn为例 ① 表示S ： S =a +a +a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a +a n n 1 2 3 n−1 n S =(a+b)q+(2a+b)q2+(3a+b)q3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(an+b)qn n ② 表示qS ： qS = (a+b)q2+(2a+b)q3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(a(n−1)+b)qn+(an+b)qn+1 n n ③ 相减式：(1−q)S =(a+b)q+aq2+aq3+aq4+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+aqn−(an+b)qn+1 n ④ 计算化简： S n 写出上述步骤后，最后的结果可以套公式求解。 若数列为a n =an+b  qn，则：S n =An+B  ⋅qn+1−B⋅q 若数列为a n =an+b  qn-1，则：S n =An+B  ⋅qn−B a b-A 其中：A= (爱奇艺)， B= (不爱奇艺) q−1 q−1 56 已知数列a n  1 3 的通项为a = × n 2 4  n−1 ,n∈N ,求数列na + n  的前n项和T。 n 【答案】 设b =na =1 n∙ 3 n n 2 4  n−1 T =b +b +b +⋅⋅⋅⋅⋅+b +b n 1 2 3 n−1 n T =1 1× 3 n 2 4  0 +2× 3 4  1 +3× 3 4  2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+n 3 4  n−1   −) 3 T =1 1× 3 4 n 2 4  1 +2× 3 4  2 +⋅⋅⋅⋅⋅+(n−1) 3 4  n−1 +n 3 4  n    1 T =1  3 4 n 2 4  0 +  3 4  1 +  3 4  2 + ⋅⋅⋅⋅⋅ +  3 4  n−1 −n∙ 3 4  n   1 T =1 1 −  3 4 4 n 2  n − n∙ 3 1−3 4 4    n    T =−(2n+8) 3 n 4  乘以公比 一定要错位! 注意尾项的符号 n 化简 +8, n∈N + 项数计算方法：项数=尾数-始数+1 还 可 套 公 1 式 ①A= q− a 1 = 3 2 -1 =-2，B= b q - − A 1 = 3 2 -1 =-8 ②T n =An+B 4 4  3 ⋅qn−B= −(2n+8) 4  n +8晓书∙选修一 R J A 57 (2025•锦江区校级模拟)已知数列{a n }满足a 1 = 3 5 ，(4a n +1)a n+1 =3a n ，S n 为数列  a 1 n 日月既往何复追 25  的前n项和． (1)求证数列  1 -2 a n  是等比数列； (2)求数列{a }的通项公式； n (3)求数列  1 a n  的前n项和S ． n 【答案】数列{a n }满足a 1 = 3 5 ，(4a n +1)a n+1 =3a n ，S n 为数列  a 1 n  的前n项和． 1 3 (1)证明：对(4a +1)a =3a 的等式两边同时除以a a 可得4+ = ， n n+1 n n+1 n a a n n+1 1 1 等式两边再同时减6得 -2=3 -2 a a n n+1  1 1 1 ，即 -2=  -2 a 3 a n+1 n  ， 3 1 1 1 又由a = ，可得 -2=- ≠0，故 -2≠0， 1 5 a 3 a 1 n 则数列  1 -2 a n  1 1 是首项为- ，公比为 的等比数列． 3 3 (2)由(1)得  1 -2 a n  1 1 1 1 3n 的通项公式为 -2=- 。得 =2- ，∴a = ． a 3n a 3n n 2⋅3n-1 n n 1 1 (3)由(2)知 =2- ， a 3n n 1 ∴S =2- n 3  1 +2- 32  1 +...+2- 3n  1 1 1 =2n- + +...+ 3 32 3n  1 3 1 =2n- 1- 1-1 3n 3  1 1 =2n- + ． 2 2⋅3n 2S 58 (2025•兴庆区校级三模)记数列{a }的前n项和为S ，已知a =3，a = n +3． n n 1 n+1 n (1)证明：数列{a }为等差数列； n (2)求数列  2n+1 S S n n+1  的前n项和T． n 2S 【答案】(1)证明：数列{a }的前n项和为S ，已知a =3，a = n +3， n n 1 n+1 n 当n=1时，a =2S +3=2a +3=9；当n=2时，2a =2S +6=24+6=30，则a =15； 2 1 1 3 2 3 2S 由a = n +3，可得na =2S +3n， n+1 n n+1 n 当n≥2时，(n-1)a =2S +3(n-1)， n n-1 两式相减得na -(n+1)a =3，①则(n+1)a -(n+2)a =3，② n+1 n n+2 n+1 ②-①得(n+1)a +(n+1)a =(2n+2)a ， n+2 n n+1 ∴a +a =2a (n≥2)． n+2 n n+1 当n=1时，a +a =2a ，满足上式， 1 3 2 ∴a +a =2a ，故数列{a }为等差数列． n+2 n n+1 n (2)由(1)可知数列{a }是首项为3，公差为6的等差数列， n n(3+6n-3) ∴a =3+6(n-1)=6n-3，S = =3n2， n n 2 2n+1 1 2n+1 1  1 1 则 S S = 9 ⋅ n2(n+1)2 = 9   n2 - (n+1)2 n n+1  ， 1  1 1 1 1 1 1 1 ∴T n = 9   1- 22 + 22 - 32 + 32 - 42 +⋯+ n2 - (n+1)2  1  1 = 9   1- (n+1)2  n2+2n = ． 9(n+1)2考点4 奇偶数列之并项求和法 (1) 奇偶数列的识别：①以奇数项和偶数项分段的分段数列； ②含(-1)n的数列。 (2) 奇偶数列的求和方法：并项求和法。步骤如下： ① 当n为偶数时， 常数 项数×常数  等差数列 等差和公式 等比数列 等比和公式 项数为n 2 1° b n +b n-1 =  等差±等比 分组求和 首项为b +b  1 2 分式数列 裂项相消   等差×等比 错位相减 2° T n =b 1 +b 2 26 知行韶华长可期  +b 3 +b 4  +∙∙∙∙∙∙+b n-1 +b n  ② 当n为奇数时，T =T +b n n-1 n 特别的，如果数列涉及T 的和，则用“分组求和法”求解，将奇数和偶数分开求。 2n a -6，n为奇数  n 59 (2023•新高考Ⅱ)已知{a n }为等差数列，b n = ，记S n ，T n 为{a n }，{b n }的前n项和， 2a ，n为偶数 n S =32，T =16． 4 3 (1)求{a }的通项公式； n (2)证明：当n>5时，T >S ． n n 【答案】(1)设等差数列{a }的公差为d，S ，T 为{a }{b }的前n项和，S =32，T =16， n n n n n 4 3 4(4-1) 则   a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =32 ，即   4a 1 + 2 d=32    a 1 =5 ，故a n =5+2(n-1)=2n+3 a -6+2a +a -6=16 d=2 1 2 3 a =7 2 (5+2n+3)n  2n-3，n为奇数 (2)证明：由(1)可知：S n = 2 =(n+4)n，b n = 4n+6，n为偶数 ①当n为偶数且n>5时， b +b =2(n-1)-3+4n+6=6n+1 n-1 n b+b=13 1 2 T n =b 1 +b 2  +b 3 +b 4  +∙∙∙∙∙∙+b n-1 +b n  ②当n为奇数且n>5时， T=T +b n n-1 n (n-1)(3n+4) = +2n-3 n[13+6n+1] 2 = 2 2 =3n2+5n-10 n(3n+7) 2 = 2 此时：T-S =n2-3n-10>25-15-10=0 此时：T-S =n2-n>0 n n 2 2 n n 2晓书∙选修一 R J A 向向量量与与解解三三角角形形 考点1 向量公式与运算 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 a 数量积 θ a⋅b= a b 日月既往何复追 27  ∙b  cosa,b  a=(x,y )，b=(x ,y )，则： 1 1 2 2 a∙b= xx +yy 1 2 1 2 a 模 长  |a|= (a)2 a±b= a 2±2a∙b+b 2 |a|= x2+y2 a x 1 y 2 −x 2 y 1 =0 平 行 b=λa b 交叉相乘差为零 xx +yy =0 1 2 1 2 垂 直 a a∙b=0 对应相乘和为零 b b 投影向量 |b|cosa,b a  a=x 1 ,y 1 a a⋅b × = ×a |a| |a|2  ,b=x 2 ,y 2  ，则： xx +yy 1 x2 2 +y2 1 2 ×x 2 ,y 2 1 1  考点2 正余弦定理 正弦定理 余弦定理 面积定理 1 absinC a2=b2+c2-2bccosA S = 2 ΔABC a = b = c 1 acsinB 内 容 sinA sinB sinC =2R b2=c2+a2-2cacosB S = 2 ΔABC 1 bcsinA c2=a2+b2-2abcosC S = 2 ΔABC 60 (2022•新高考Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三 3 1 角形的面积依次为S，S ，S ．已知S -S +S = ，sinB= ． 1 2 3 1 2 3 2 3 (1)求△ABC的面积； 2 (2)若sinAsinC= ，求b． 3 1 3 1 3 1 3 【答案】(1)S = a2sin60°= a2，S = b2sin60°= b2，S = c2sin60°= c2， 1 2 4 2 2 4 3 2 4 3 3 3 3 ∵S -S +S = a2- b2+ c2= ，解得：a2-b2+c2=2， 1 2 3 4 4 4 2 1 2 2 ∵sinB= ，a2-b2+c2=2>0，即cosB>0，∴cosB= ， 3 3 a2+c2-b2 2 2 3 2 1 2 2 ∴cosB= = ，解得：ac= ，S = acsinB= ．∴△ABC的面积为 ． 2ac 3 4 △ABC 2 8 8 b a c bsinA bsinC 3 2 (2)由正弦定理得： = = ，∴a= ，c= ，由(1)得ac= ， sinB sinA sinC sinB sinB 4 bsinA bsinC 3 2 1 2 1 ∴ac= • = 已知，sinB= ，sinAsinC= ，解得：b= ． sinB sinB 4 3 3 261 (2021•新高考Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b=a+1，c=a+2． (1)若2sinC=3sinA，求△ABC的面积； (2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)∵2sinC=3sinA，∴根据正弦定理可得2c=3a，∵b=a+1，c=a+2，∴a=4，b=5，c=6， a2+b2-c2 42+52-62 1 在△ABC中，余弦定理可得cosC= = = ，∵sin2C+cos2C=1， 2ab 2×4×5 8 1 ∴sinC= 1-cos2C= 1- 8 28 知行韶华长可期  2 3 7 1 1 3 7 15 7 = ，∴S = absinC= ×4×5× = ． 8 △ABC 2 2 8 4 (2)∵c>b>a，∴△ABC为钝角三角形时，角C必为钝角， a2+b2-c2 a2+(a+1)2-(a+2)2 cosC= = <0，∴a2-2a-3<0，∵a>0，∴0c，即a+a+1>a+2，即a>1， ∴1|=  = ，∴PD与平面PAB所成的角的正弦值为 ．  5 5 |PD||n| z P D C A B x y68 (2023•新高考Ⅱ)如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E 为BC中点． (1)证明BC⊥DA；   (2)点F满足EF=DA，求二面角D-AB-F的正弦值． F 【答案】证明：(1)连接AE，DE， A ∵DB=DC，E为BC中点． ∴DE⊥BC， 又∵DA=DB=DC， C ∠ADB=∠ADC=60°， E ∴△ACD与△ABD均为等边三角形，∴AC=AB， D B ∴AE⊥BC，AE∩DE=E，∴BC⊥平面ADE， ∵AD⊂平面ADE，∴BC⊥DA． (2)设DA=DB=DC=2，∴BC=2 2， ∵DE=AE= 2，AD=2， ∴AE2+DE2=4=AD2，∴AE⊥DE， 又∵AE⊥BC，DE∩BC=E，∴AE⊥平面BCD， 以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系， z F A C E x B D y D( 2,0,0),A(0,0, 2),B(0, 2,0),E(0,0,0)    ∵EF=DA，∴F(- 2，0， 2)∴DA=(- 2,0, 2)   AB=(0, 2,- 2),AF=(- 2,0,0)   设面DAB与ABF法向量分别为n=(x,y,z),m=(x ,y ,z ) 2 2 2   n⋅DA=0  则   n=(1，1，1) n⋅AB=0   m⋅AF=0     m=(0，1，1) m⋅AB=0 设二面角D-AB-F的平面角为θ，   |n ⋅n | 2 6 则|cosθ|= 1 2 = = ， |n||n | 3× 2 3 1 2 3 3 故sinθ= ，∴二面角D-AB-F的正弦值为 ． 3 3 36 知行韶华长可期晓书∙选修一 R J A 考点5 线段上动点的处理方法 设四棱锥P-ABCD中，PA⏊ABCD, 底面ABCD为正方形，PA=AB=2.动点在空间任意棱上时。 如图，点E在棱PC上时，设Ex,y,z 日月既往何复追 37    ,∵E在棱PC上，∴PE=λPC，0<λ<1在棱上不包括端点  .   即：PC=(2，2，-2)，PE=(x，y，z-2) x=2λ    ∵PE=λPC  y=2λ  E(2λ，2λ，2-2λ) z=2-2λ z P E D A y B C x 69 (2018•新课标Ⅱ)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2 2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的 中点． (1)证明：PO⊥平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值． 【答案】1)证明：连接BO， ∵AB=BC=2 2，O是AC的中点，∴BO⊥AC，且BO=2， 又PA=PC=PB=AC=4，∴PO⊥AC，PO=2 3， 则PB2=PO2+BO2，则PO⊥OB，∵OB∩AC=O，∴PO⊥平面ABC； (2)建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图： A(0，-2，0)，P(0，0，2 3)，C(0，2，0)，B(2，0，0)，     PA=(0，-2，-2 3)，BC=(-2,2,0)设BM =λBC=(-2λ，2λ，0)，0<λ<1    则AM =BM -BA=(-2λ，2λ，0)-(-2，-2，0)=(2-2λ，2λ+2，0)，  取平面PAC的法向量为m=(1，0，0)，  设平面MPA的法向量为n=(x，y，z)，   n•PA=0  (λ+1) 3 则  n= ，- 3，1 n•AM=0 1-λ     m⋅n  3 ∵二面角M-PA-C为30°，∴cos30°= = ，   2 |m||n| (λ+1) 3 即 1-λ  λ+1 ⋅ 3 1-λ  P O A C M B z P 3 1 = ，解得λ= 或λ=3(舍)， O C 2 +1+3⋅1 2 3 A y M  B 则平面MPA的法向量n=(2 3，- 3，1)， x  PC=(0，2，-2 3)，PC与平面PAM所成角的正弦值 -2 3-2 3 4 3 3 sinθ= = = ． 16⋅ 16 16 4考点6 曲线上动点的处理方法 今年八省联考主要突出的内容。值得关注。 圆上动点三角换元模型 设圆方程：x-a 38 知行韶华长可期  2+y-b  2=r2，动点P是圆上一点 如图， 设∠PCx=α，根据三角函数的定义及其坐标转化有： x=a+rcosα   y=b+rsinα 70 如图,在四棱锥 P-ABCD 中, AD=3,AP=2,BC=1,PA⊥ 底面 ABCD , 面 PAC⊥ 面 PCD . (1)求三棱锥 P-ACD 体积的最大值； (2)若四边形 ABCD 为直角梯形, ∠BAD=90° ,BC⎳AD ,求二面角 B-PC-D 的正弦值. 【答案】(1) 建立空间直角坐标系,由题P0,0,2  ,D0,3,0  设Cx,y,0   设面APC法向量为m=x 0 ,y 0 ,z 0    m⋅AP=0  则有：   m=-y,x,0 m⋅AC=0   设面PCD的法向量为n=x 1 ,y 1 ,z 1   PC=x,y,-2   ，PD=0,3,-2    n⋅PC=0  则有：  n=6-2y,2x,3x n⋅PD=0  ∵平面PAC⊥平面PCD   3 ∴m∙n=02y2-6y+2x2=0x2+y- 2  2 9 = 4 3 ∴C在以AD的中点F为圆心的半圆上，半径= 显然当CF⏊AD时， 2 1 1 3 S 最大，此时体积也最大。此时V = × ×h×3×2≤CF= , △ACD P-ACD 3 2 2 3 即三棱锥 P-ACD 体积的最大值为 . 2 (2)由题意可知，此时x轴正方向沿着AB射出。 此时可知Cx,y,0  中的y坐标为BC长度，即y=1 代入1  3 中的方程x2+y- 2  2 9 = ，可得：x= 2 4  PB= 2,0,-2   ,PC= 2,1,-2   设u=x 2 ,y 2 ,z 2  是平面BPC的法向量,   u⋅PB=0  则有：   u= 2,0,1 u⋅PC=0   面PCD的法向量为n=2 2,2,3  y P C α x     u⋅n 7 ∴cos= =   3 u⋅n   2 记二面角B-PC-D为θ,∴ sinθ= 1-cos2= 3 2 ∴二面角 B-PC-D 的正弦值为 . 3  a b      P A D B C C‘ C A F D z P A D y B C x晓书∙选修一 R J A 71 如图,四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥ 平面 ABCD , AB⊥AD , AD⎳BC , AD=2AB=2BC=2 . (1)证明:平面 PAC⊥ 平面 PCD 2 日月既往何复追 39  若 PA=2 ,动点 M 在 △PAD 内(含边界)且 MB2+MD2=5 . ① 求动点 M 的轨迹的长度； ②设直线 CM 与平面 PBD 所成角为 θ ,求 sinθ 的取值范围. 【答案】(1) 由AB⊥AD,AD⎳BC 可知, π △ABC为等腰直角三角形,AC= 2,∠BAC=∠CAD= , 4 π 又∵ AD=2 ,由余弦定理得: CD2=AC2+AD2-2AC⋅ADcos =2, 4 即得 AD2=AC2+CD2,AC⊥CD , ∵ PA⊥ 平面 ABCD,CD⊂ 平面 ABCD ,∴ PA⊥CD , 又∵ PA∩AC=A ,∴ CD⊥ 平面 PAC , 又∵ CD⊂ 平面 PCD ,∴平面 PAC⊥ 平面 PCD . (2)①依题意,建立如图坐标系 A-xyz , 设M的坐标为 0,y,z  ,B1,0,0  ,D0,2,0  , 由MB2+MD2=1+y2+z2+y-2  2+z2=5 , 化简得: y2-2y+z2=0 ,即 y-1  2+z2=1 ,设线段PD的中点N0,1,1  ,  则M的轨迹是以线段AD的中点H为圆心,1为半径的四分之一圆弧AN,故 π 其长度为 . 2 ②设∠MHA=α，则M0,1-cosα,sinα  π ,0≤α≤ ,P0,0,2 2  ,C1,1,0  ,  BP=-1,0,2   , BD=-1,2,0   , CM =-1,-cosα,sinα  , 设平面BDP的一个法向量为n=x,y,z   BP⋅n=0 则    n=2,1,1 BD⋅n=0   -2+sinα-cosα 2sinα-π 4 sinθ=cos‹CM,n›= = 4+1+1⋅ 1+sin2α+cos2α   -2 sinα-π 4 = 6⋅ 2   - 2  6 π π π π 2 π ∵ 0≤α≤ ,∴ - ≤α- ≤ ,∴ - ≤sinα- 2 4 4 4 2 4  2 ≤ , 2 3 2 π - ≤sinα- 2 4  2 - 2≤- 2 ∴ 3 ≤sinθ≤ 3 ,综上所述, sinθ∈   3 , 3 6 2  6 2  P A D B C z P N M α A H D y x B C .直直线线与与圆圆 考点1 直角坐标公式 中点坐标公式 两点间距离公式 点到线距离公式 平行线间的距离公式 x+x x = 1 2 公式  0 2 AB  y+y y = 1 2 0 2 40 知行韶华长可期  = x 2 -x 1  2+y 2 -y 1  2 d= Ax 0 +By 0 +C  d= C 2 -C 1 A2+B2  A2+B2 y y y P y y B y B 2 2 图示 y 0 Q d d y y 1 A 1 A x x x 1 x 0 x 2 x x 1 x 2 x 考点2 圆方程 圆的标准方程：x-a  2+y-b  2=r2 圆心：(a,b)，半径为r 圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 D 配方：x+ 2  2 E +y+ 2  2 D2+E2-4F = 4 D E 圆心：- ,- 2 2  D2+E2-4F ，半径r= 2 最好会配方的方法，死记硬背上面的公式不是长久之计。 考点3 直线与圆位置关系及其模型 位置关系 相 离 相 切 相 交 l l A 图 示 d d d B O r O r O r l 通过比较圆心O到直线l的距离来d判断位置关系的方法 几何方法 Aa+Bb+C d=  A2+B2 d>r d=r d2 2，圆M上 2 |3-1| 的点到原点的最大距离为3+2 2，A错误；∵圆心(3,0)到直线x-y-1=0的距离为d= = 2，∴ 2 y 圆M上存在三个点到直线x-y-1=0的距离为 2，B正确； 的几何意义为圆上的点与定点P(-1,0)连 x+1 |3k+k| 线的斜率，设过(-1,0)与圆相切的直线方程为y=k(x+1)，即kx-y+k=0，由 =2 2，得k=±1， k2+1 y ∴ 的最小值是-1，故C错误；x2+(y-a)2=2的圆心坐标(0,a)，半径为 2，圆M的(x-3)2+y2=8 x+1 的圆心坐标为(3,0)，半径为2 2，要使圆x2+(y-a)2=2与圆M有公共点，圆心距的范围为[ 2，3 3]，∴ 2≤ 32+a2≤3 2，得-3≤a≤3，故D正确．故选：BD． 圆圆锥锥曲曲线线 考点1 椭圆与双曲线方程 曲线 椭圆 双曲线 平面上一动点P与两定点F、F 平面上一动点P与两定点F、F 定 义 1 2 1 2 距离之和为常数 距离之差为常数 |PF 1 |+|PF 2 |=2a |PF 1 |-|PF 2 | 42 知行韶华长可期  =2a 方 程 x2 y2 + =1a>b>0 a2 b2  x2 y2 - =1a>0,b>0 a2 b2  y y a 虚轴 a b b 图 示 F 1 O c F 2 x F 1 c F 2 x 实轴 轴 长 短轴长=2b 长轴长=2a 虚轴长=2b 实轴长=2a 离心率 c b2 e= = 1- a2=b2+c2 a a2  c b2 e= = 1+ c2=a2+b2 a a2  通 径 过曲线焦点且垂直于对称轴的弦长AB  2b2 = (最短焦点弦) a 性质部分，最近几年主要侧重离心率与焦点三角形的考察。晓书∙选修一 R J A 离心率的求解： ① 结合曲线定义；椭圆中：PF +PF =2a 双曲线中：|PF|-|PF|=2a 1 2 1 2 ② 解焦点三角形：余弦定理or勾股定理or特殊三角形的性质 在求解过程中，会结合曲线的其它性质一起考察：如曲线对称性、范围、渐近线等内容 x2 y2 75 (2023•新高考Ⅰ)已知双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F，F．点A在C上， a2 b2 1 2    2  3 5 点B在y轴上，FA⊥FB，FA=- FB，则C的离心率为 5 ． 1 1 2 3 2   2  |FA| 2    【答案】解 由FA=- FB  2 = ，设|FA|=2t，则：|FB|=3t，由对称性可得|FB|=3t， 2 3 2 |FB| 3 2 2 1 2   则|AF|=2t+2a，|AB|=5t， y 1 A 3t 3 设∠FAF =θ，则sinθ= = ， 1 2 5t 5 4 2t+2a   F 1 F 2 x ∴cosθ= = ，解得t=a，∴|AF|=2t+2a=4a，|AF|=2a， 5 5t 1 2 B 16a2+4a2-4c2 4 在△AFF 中，由余弦定理可得cosθ= = ， 1 2 16a2 5 3 5 3 5 即5c2=9a2，则e= ．故答案为： ． 5 5   x2 76 (2023•甲卷)设F，F 为椭圆C： +y2=1的两个焦点，点P在C上，若PF•PF =0，则|PF|•|PF|= 1 2 5 1 2 1 2 ( B ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 5   π 【答案】据题意，P在椭圆上，PF•PF =0 ∠FPF = 1 2 1 2 2 x2 又∵椭圆C： +y2=1，c2=5-1=4 y P 5 则有|PF|+|PF|=2a=2 5 1 2 F 1 F 2 x |PF|2+|PF|2=(2c)2=16 1 2 可得|PF|•|PF|=2，故选：B． 1 2 x2 y2 77 已知直线y=kx(k≠0)与椭圆C： + =1(a>b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过椭 a2 b2 圆的左焦点F，若|FA|=2|FB|，则椭圆C 1 1 1 的离心率是 ( C ) 5 5 5 5 A. B. C. D. 2 4 3 9 【答案】由椭圆的对称性可知：AFBF 为平行四边形， 1 2 ∵AB为直径的圆过F AF ⊥BF AFBF 为矩形 1 1 1 1 2 ⇒AF ⊥AF，设|AF|=|BF|=t，则|FA|=2|FB|=2t， 1 2 2 1 1 1 2a |AF|=|BF|=t，∵|AF|+|AF|=3t=2at= ， 2 1 1 2 3 在Rt△AFF 中，由勾股定理得|AF|2+|AF|2=|FF|2， 1 2 1 2 1 2 20a2 c 5 即4t2+t2=5t2= =4c2，即有e= = 9 a 3 日月既往何复追 4378 (2021•甲卷)已知F，F 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠FPF =60°，|PF|=3|PF|，则C 1 2 1 2 1 2 的离心率为 ( C ) 7 13 A. 7 B. 13 C. D. 2 2 【答案】设|PF|=m，|PF|=n，则根据题意及余弦定理可得： 1 2 6  m=3n   m= 7 c  1 = m2+n2-4c2 ，解得  2 ， 2 2mn  n= 7 c 2c 2c 2c 7 ∴所求离心率为 = = = ． 2a m-n 4 c 2 7 考点2 点差法 曲 线 圆 椭 圆 双曲线 y y y B B M B 图 示 A M A M A O x O x O x 离心率 e=0 01 b2 b2 k ⋅k =-1 k ⋅k =− k ⋅k = AB OM AB OM a2 AB OM a2 中点弦定理 统一形式：k ⋅k =e2-1 AB OM 考点3 抛物线性质 定 义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线 方 程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py y P P y y y p P y=2 图 象 F x p F x F p x x F x=-2 x=2 p P y=-2 p 焦 点 F ,0 2 44 知行韶华长可期  p F- ,0 2  p F0, 2  p F0,- 2  y P 60° F 1 F 2 x p p p p 准 线 x=- x= y=- y= 2 2 2 2晓书∙选修一 R J A 考点4 抛物线焦点弦 p 设AB过抛物线y2=2px焦点，直线AB方程为：x=ty+ ，交点为A(x ,y )、B(x ,y )，直线AB的倾 2 1 1 2 2 斜角为α， 准线l交x轴于P，过A作AM⊥x轴，作AN⊥l，PF 日月既往何复追 45  =p， 弦AB的中点为G(x ,y )，则： 0 0 坐标方法 如图，由抛物线定义知：AF  =AN  p =x + ，即： 1 2 AF  p =x + 1 2 上述表达式称为抛物线的焦半径。同理有：BF  p =x + 2 2 引论 1  AB  =AF  +BF  p =x +x +p=2x + 1 2 0 2  由AB  =x +x +p联想到韦达定理则有： 1 2 2  p x=ty+ p2 联立 y2=2px 2  y2-2pty-p2=0  y 1 y 2 =-p2  x 1 x 2 = 4 由AB  p =2x + 0 2  p 1 可得：AB中点G到准线l的距离d=x + = |AB|，由此可知： 0 2 2 3  以焦点弦AB为直径的圆与准线l相切 由同样的推导方法可得：以焦半径AF为直径的圆与y轴相切 △ANH≌△AHF  FH⏊AB 由圆得：① ∠HAG=∠AHG   GH//AN//SB//x轴 ② △AHF∾△BFH(射影定理)  HF2=AF∙BF ③ HA、HB为抛物线的切线*(切线问题解答题中考察较多) 角的方法 如图，在Rt△AFN中，有：MF  =AF  ⋅cosα  ∵ AN  =PF  +FM  =p+AF  AF cosα  =AN   AF  =p+AF  cosα，故： AF  p = 1-cosα 上述表达式称为抛物线的焦半径。同理有：BF  p = (长减短加) 1+cosα 引论 1  AB  =AF  +BF  2p 2p 1 = = =2p1+ 1-cos2α sin2α k2  2  1 1 1-cosα 1+cosα 2 + = + = |FA| |FB| p p p 3  1 S = OF △AOB 2  ⋅y 1 -y 2  p = ×AB 4  p2 sinα= 2sinα 若AB为过x2=2py(p>0)焦点的弦，A(x,y)、B(x ,y )，倾斜角为α， 则： 1 1 2 2 AF  p = BF 1-sinα  p = AB 1+sinα  y A N P O F x B y A N H G P O F x S B y A N α P O F M x α B 2p p2 = S = cos2α △AOB 2cosα79 (2023•新高考Ⅱ∙多选)设O为坐标原点，直线y=- 3(x-1)过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且 与C交于M，N两点，l为C的准线，则 ( AC ) 8 A. p=2 B. |MN|= 3 C. 以MN为直径的圆与l相切 D. △OMN为等腰三角形 p 【答案】A: y=- 3(x-1)过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，可得 = 1 2  p=2，A正确； B: 抛物线方程为：y2=4x，与C交于M，N两点， 10 直线方程代入抛物线方程可得：3x2-10x+3=0，x +x = ， M N 3 16 ∴|MN|=x +x +p= ，∴B不正确； M N 3 另解：MN 46 知行韶华长可期  2p 4 4 16 = = = = sin2α sin260° 3 3 4 C：由课堂知识可知，C正确； 1 2 3 D：由常识可知D错误。另解：3x2-10x+3=0，不妨设x =3，x = ，y =-2 3，y = ， M N 3 M N 3 1 12 13 16 |OM|= 9+12= 21，|ON|= + = ，|MN|= ，∴△OMN不是等腰三角形，D不正确． 9 9 3 3 80 (2022•新高考Ⅱ∙多选)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两 点，其中A在第一象限，点M(p，0)．若|AF|=|AM|，则 ( ACD ) A. AB的斜率为2 6 B. |OB|=|OF| C. |AB|>4|OF| D. ∠OAM+∠OBM<180° p 【答案】如图，∵F ，0 2  3p 6p ，M(p，0)，且|AF|=|AM|，∴A ， 4 2  由抛物线焦点弦的性质可得: p2 p p 6p x ⋅x = 则x = ，B ，- A B 4 B 3 3 3  y M F H O G x N y A 6p -0 O F M x ∴k =k = 2 =2 6，A正确 AB AF 3p p - B 4 2 p2 6p2 7p p |OB|= + = ，|OF|= ，|OB|≠|OF|，故B错误； 9 9 3 2 3p p 25p |AB|= + +p= >2p=4|OF|，故C正确； 4 3 12 作以AB为直径的圆，可知：O,M均在圆内， 由此可得：∠AOB+∠AMB>180°，由四边形内角和为360°，可得： ∠OAM+∠OBM<180°，故D正确．故选：ACD．晓书∙选修一 R J A 81 (多选)直线l经过抛物线C：x2=8y的焦点为F，且与抛物线相交于A(x ，y )，B(x ，y )(x >x )两 1 1 2 2 1 2 点，则下列结论一定正确的是 ( ABD ) A. xx =-16 1 2 B. 以线段AB为直径的圆与直线y=-2相切   π C. 当直线l的倾斜角为 ，AF=3FB 3 D. 过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则|CD|2=4|AF|•|BF| 【答案】根据课堂所讲内容可知： 注意焦点位置在y轴正半轴上，坐标方法的结论中x,y互换，角的方法结论中，sinα的位置换位cosα. A. xx =-p2=-16，A正确。 1 2 B. 以焦点弦AB为直径的圆与准线l相切，准线方程：y=-2，B正确  π C. α=  AF 3 日月既往何复追 47   4 = ,FB 1- 3 2  4 = ，∴C错误。 1+ 3 2 D. 由阿基米德三角形：记AB中点为G, 过G作准线垂线，垂足为H △AHF∾△BFH(射影定理)  HF2=AH∙BH ∵CD=2HF(△ANH≌△AHF)，∴|CD|2=2HF  2=4|AF|•|BF| y A G F B O x D H C 考点5 弦长与面积 弦长公式 正设直线：y=kx+b，弦长公式：AB  = 1+k2  x 1 +x 2   2-4xx 1 2  ∆ = 1+k2∙ A 反设直线：x=my+a，弦长公式：AB  = 1+m2  y 1 +y 2   2-4yy 1 2  ∆ = 1+m2∙ A 由此，求弦长的步骤为： 直曲联立  一元二次方程  判别式∆  弦长公式 面积最值的模型 常用结构的变形与应用列举： (1) S= 2t 同除t 2  均值不等式或对勾函数求最值 t2+64 t+64 t (2) S= t2+1 换元 m  应用(1)的方法 t2+2 m= t2+1 m2+1(3) S= 4t2+5t+1 齐次分式分离常数 1+ t 同除t 1+ 1  均值不等式 4t2+4t+1 4t2+4t+1 4t+1 +4 t (4) S=m 48 知行韶华长可期  ∙ 4- 1 m2 改为全分式 1 m2(-m2+8) 基本不等式 2 2 a+b ab≤ 2   ≤ 1 × m2-m2+8 = 2 2 2 2 注：上述(4)也可将其视为二次函数模型处理，应用基本不等式时须写明取等条件。 x2 y2 6 82 (2021•新高考Ⅱ)已知椭圆C的方程为 + =1(a>b>0)，右焦点为F( 2，0)，且离心率为 ． a2 b2 3 (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的 充要条件是|MN|= 3． c 6 【答案】(1)由题意可得，椭圆的离心率 = ，又c= 2，∴a= 3，则b2=a2-c2=1， a 3 x2 故椭圆的标准方程为 +y2=1； 3 (2)①数形结合 根据题意作出示意图如下： ②设点设线 显然由题意可知：直线的斜率不为0 设直线MN：x=my+t，M(x，y)，N(x ，y ) 1 1 2 2 ③直曲联立 y M x=my+t  联立 x2  (m2+3)y2+2mty+t2-3=0 F +y2=1 3 N x 2mt t2-3 y +y =- yy = 1 2 m2+3 1 2 m2+3 ④条件翻译 |t| 1° 圆心O(0，0)到直线MN的距离d= =1  t2=1+m2 m2+1 2° ∆=4m2t2-4(m2+3)(t2-3)=12(m2-t2+3)=24 ∆ 24 |MN|= 1+m2⋅ = 1+m2⋅ A m2+3 24 1° 充分性：|MN|= 3  1+m2⋅ = 3  m2=1  t2=1+m2=2  t= 2  m2+3 MN：x=my+ 2  直线MN的方程为x=my+ 2恒过焦点F( 2，0)  故M，N，F三点共线 2° 必要性：M，N，F三点共线  MN：x=my+ 2  t2=2  m2=1  |MN|= 1+m2 24 ⋅ = 3 m2+3 综上所述，M，N，F三点共线的充要条件是|MN|= 3．晓书∙选修一 R J A x2 y2 83 已知O为坐标原点，椭圆C： + =1(a>b>0)的左，右焦点分别为点F，F，F 又恰为抛物线 a2 b2 1 2 2 D：y2=4x的焦点，以FF 为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点． 1 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与D相交于A，B两点，记点A，B到直线x=-1的距离分别为d ，d ，|AB|=d +d ．直 1 2 1 2 线l与C相交于E，F两点，记△OAB，△OEF的面积分别为S，S ． 1 2 (i)证明：△EFF 的周长为定值； 1 S (ii)求 2 的最大值． S 1 【答案】(1)∵F 为抛物线D：y2=4x的焦点的焦点，故F(1，0)，∴c=1， 2 2 ∵以FF 为直径的圆与C仅有两个公共点，知b=c， 1 2 x2 ∴a= 2，b=1．∴椭圆C的标准方程为 +y2=1； 2 (2)(i)证明：由题意，∵x=-1为抛物线D的准线，由抛物线的定义知，|AB|=d +d =|AF|+|BF|， 1 2 2 2 ∵|AB|≤|AF|+|BF|，当且仅当ABF 三点共线时成立． 2 2 2 ∴直线l过定点F，根据椭圆定义得：|EF|+|EF|+|FF|=|EF|+|EF|+|FF|+|FF|=4a=4 2； 2 1 1 2 1 1 2 (ii)①数形结合 由题意作出示意图： ②设点设线1° 当直线l斜率不存在时 直线l的方程为x=1， S |EF| 2 ∵|AB|=4，|EF|= 2，∴ 2 = = ； S |AB| 4 1 2° 当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k(x-1)，A(x，y)，B(x ，y ) 1 1 2 2 y2=4x  ③直曲联立联立  k2x2-(2k2+4)x+k2=0 y=k(x-1) 2k2+4 4k2+4 x +x = ，|AB|=x +x +2= ． 1 2 k2 1 2 k2 设E(x ，y )，F(x ，y )， 3 3 4 4 y=k(x-1)  联立 x2 (1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0 +y2=1 2 4k2 2k2-2 x +x = x x = 3 4 1+2k2 3 4 1+2k2 2 2(1+k2) ④条件翻译 ∴|EF|= 1+k2|x -x |= ． 3 4 1+2k2 则 S 2 = |EF| = k2 = 2 ×  1 S 1 |AB| 2(1+2k2) 2   1 +2 k2 日月既往何复追 49  2 ∈0， 4  y A E F 1 B F 2 x F ， S 2 综上， 2 的最大值为 ． S 4 1考点6 角平分线性质 如图，设直线l与椭圆交于M、N两点，平面上存在一点Px 0 ,y 0 50 知行韶华长可期  , 若有： PM MH y=y 是∠MPN的角平分线 / x=x 是∠MPN的角平分线 / = 0 0 PN NH 则有： k +k =0 PM PN 即：垂直于x轴或平行于x轴的直线为∠MPN的角平分线时，均有两引线斜率互为相反数。 y y M M P α P α H P α α N x x N M H N 证明：如图1，直线MP的倾斜角为α，由角平分线可知：直线NP的倾斜角为π-α 由此可知：k +k =tanα+ π-α PM PN  tan =0 84 (2018•新课标Ⅰ)设抛物线C：y2=2x，点A(2，0)，B(-2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点． (1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； (2)证明：∠ABM=∠ABN． 【答案】(1)当l与x轴垂直时，x=2，代入抛物线得y=±2，∴M(2，2)或M(2，-2)， 1 1 直线BM的方程：y= x+1，或：y=- x-1． 2 2 (2)①数形结合 根据题意作出示意图如下： y M B A x N ②设点设线 设直线l的方程为l：x=ty+2，M(x，y)，N(x ，y )， 1 1 2 2 ③直曲联立 y2=2x  联立   y2-2ty-4=0 x=ty+2 y +y =2t yy =-4 1 2 1 2 ④条件翻译 y2 y2  2 ×y + 1 ×y y y 2 1 2 2 k +k = 1 + 2 = BN BM x +2 x +2 1 2  yy +2(y +y ) (y +y ) 1 2 +2 1 2 1 2 2 = (x +2)(x +2) 1 2  =0 (x +2)(x +2) 1 2 ∴直线BN与BM的倾斜角互补，∴∠ABM=∠ABN．晓书∙选修一 R J A x2 y2 85 如图所示，已知椭圆E： + =1(a>b>0)过点M(2 2， 2)，且满足a=2b，O为坐标原点，平 a2 b2 行于OM的直线交椭圆E于两个不同的点A，B． (1)求椭圆E的方程； (2)直线AM与x轴交于点C．证明∠BMC的内角平分线所在直线与x轴垂直． x2 y2 8 2 【答案】(1)∵a=2b，∴ + =1，将点M(2 2， 2)代入椭圆的方程： + =1， 4b2 b2 4b2 b2 x2 y2 得b2=4，a2=16，∴椭圆的方程为： + =1； 16 4 (2)①数形结合 根据题意作出示意图如下： 2 1 ②设点设线 ∵直线OM的斜率k = = ， OM 2 2 2 1 由题意设l：y= x+n，n≠0，设A(x，y)，B(x ，y ) 2 1 1 2 2 1   y= 2 x+n ③直曲联立联立  x2+2nx+2n2-8=0  x2 y2  + =1  16 4 Δ=2n2-4(2n2-8)>0，可得n2<4，n≠0， x +x =-2n xx =2n2-8 1 2 1 2 y - 2 y - 2 ④条件翻译设直线MA，MB的斜率分别为k，k ，而k = 1 ，k = 2 ， 1 2 1 2 x -2 2 x -2 2 1 2 (y - 2)(x -2 2)+(y - 2)(x -2 2) ∴k +k = 1 2 2 1 ， 1 2 (x -2 2)(x -2 2) 1 2 1 ∵(y - 2)(x -2 2)+(y - 2)(x -2 2)= x +n- 2 1 2 2 1 2 1 日月既往何复追 51  1 (x -2 2)+ x +n- 2 2 2 2  y M A C x B (x -2 2) 1 =xx +(n-2 2)(x +x )-2 2(2n-2 2) =2n2-8-2n(n-2 2)-2 2(2n-2 2)=0， 1 2 1 2 ∴∠MDC=∠MCD，则∠BMC的角平分线ME所在的直线方程为：x=2 2， 即证得∠BMC的内角平分线所在的直线与x轴垂直． 考点7 曲线对称性与齐次化 设过原点的直线l与曲线交于A、B两点，曲线上存在异于A，B两点的点P(x ,y )，则有： 0 0 k ⋅k =e2-1 PA PB 即： 曲 线 圆 椭 圆 双曲线 y y y B P B P P 图 示 B O x O x A O x A A b2 b2 k ⋅k =-1 k ⋅k =− k ⋅k = 定理 AB OM AB OM a2 AB OM a2 统一形式：k ⋅k =e2-1 AB OM86 (2023•新高考Ⅱ)已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为(-2 5，0)，离心率为 5． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A，A ，过点(-4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限， 1 2 直线MA 与NA 交于P，证明P在定直线上。 1 2 x2 y2 【答案】(1)双曲线C的方程为 - =1； 4 16 (2)通法： 证明：过点(-4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，A(-2，0)，A (2，0)， 1 2 则可设直线MN的方程为x=my-4，M(x，y)，N(x ，y )， 1 1 2 2 x=my-4  联立   (4m2-1)y2-32my+48=0， 4x2-y2=16 故Δ=(-32m)2-4×48×(4m2-1)=256m2+192>0，且4m2-1≠0， 32m 48 y +y = yy = 1 2 4m2-1 1 2 4m2-1 y y 直线MA 的方程为y= 1 (x+2)，直线NA 方程y= 2 (x-2) 1 x +2 2 x -2 1 2 m⋅ 48 -2⋅ 32m +2y 故 x+2 = y 2 (x 1 +2) = y 2 (my 1 -2) = my 1 y 2 -2(y 1 +y 2 )+2y 1 = 4m2-1 4m2-1 1 x-2 y 1 (x 2 -2) y 1 (my 2 -6) my 1 y 2 -6y 1 m⋅ 4m 4 2 8 -1 -6y 1 -16m +2y = 4m2-1 1 =- 1 ， 48m -6y 3 4m2-1 1 x+2 1 故 =- ，解得x=-1，∴x =-1，故点P在定直线x=-1上运动． x-2 3 P 齐次化：如图作出示意图。 将A(-2,0)平移至坐标原点，并设平移后的直线MN：mx+ny=1 1 x-2 平移后的双曲线方程为： 52 知行韶华长可期  2 y2 - =1 4 16 化简： 4x-2  2-y2=16 4x2-16x-y2=0 -y2-16nxy+(4-16m)x2=0 y 同除x2: - x  2 y -16n +4-16m=0 x 由韦达定理可得：k ∙k =16m-4 A1M A1N ∵平移后的直线MN：mx+ny=1经过(-4，0)平移后的点(-2，0) 1 ∴-2m=1m=- ，∴k ∙k =-12 ① 2 A1M A1N 由曲线对称性：k ∙k =e2-1=4 ② A1N A2N ① k 得： A1M =-3  k =-3k ② k A1M A2N A2N 设k =k则平移前：直线A N：y=k(x-2)，直线AM：y=-3k(x+2) A2N 2 1 y=k(x-2) 联立  y=-3k(x+2)  k(x-2)=-3k(x+2)  x P =-1 故点P在定直线x=-1上运动．晓书∙选修一 R J A x2 87 (2020∙新课标Ⅰ)已知A，B分别为椭圆E： +y2=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点， a2   AG•GB=8．P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点。 【答案】(1)根据题意，作出示意图如图：A(-a，0)，B(a，0)，G(0，1)，   ∴AG=(a，1)，GB=(a，-1)   x2 AG•GB=a2-1=8，解得：a=3，故椭圆E的方程是 +y2=1； 9 (2)由(1)知A(-3，0)，B(3，0)，设P(6，m)，   x2 +y2=1 m 9 通法：直线PA：y= (x+3)，联立   (9+m2)x2+6m2x+9m2-81=0， 9 m y= (x+3)  9 9m2-81 -3m2+27 韦达定理：-3x =  x = ， C 9+m2 C 9+m2 6m -3m2+27 6m 代入直线PA得：y = ，即C ， C m2+9 9+m2 m2+9 日月既往何复追 53    x2 +y2=1 m 9 直线PB：y= (x-3)，联立方程 ⇒(1+m2)x2-6m2x+9m2-9=0  3 m y= (x-3)  3 9m2-9 3m2-3 -2m 3m2-3 -2m 韦达定理3x = ⇒x = ，代入直线PB得：y = ,即D ， D 1+m2 D 1+m2 D 1+m2 1+m2 1+m2  27-3m2 3m2-3 3 3 ①当x =x 即 = 时，有m2=3，此时x =x = ，即CD为直线x= C D 9+m2 m2+1 C D 2 2 y -y 4m ②当x ≠x 时，直线CD的斜率k = C D = ， C D CD x -x 3(3-m2) C D -2m 4m 3m2-3 ∴直线CD的方程是y- = x- 1+m2 3(3-m2) 1+m2  ， 4m 3 整理得：y= x- 3(3-m2) 2  3 ，直线CD过定点 ，0 2  ． 3 综合①②故直线CD过定点 ，0 2  ． m m 平移齐次化： ∵k = ，k = ， ∴k =3k ． AP 9 BP 3 BP AP 1 1 由椭圆性质可知：k ∙k =e2-1=-  k ∙k =- AP BC 9 BP BC 3 将B(3，0)平移至坐标原点,并设平移后的直线C'D'：mx+ny=1 x+3 平移后的椭圆方程为：  2 +y2=1 9 x+3  2+9y2-9= 0 x2+9y2+6x(mx+ny)=0 9y2+6nxy+1+6m  x2=0 y ∵x≠0同除x2： 9 x  2 y +6n +1+6m=0 x 1+6m 1 2 ∵k ∙k = =-  1+6m=-3  m=- BP BC 9 3 3 y=0 2  3 ∴直线C'D'：- 3 x+ny=1，令 x=-3 ，∴直线C'D'恒过- 2 ，0 2  3 ∴平移前直线CD恒过 ，0 2  y P C A B x D概概率率与与统统计计 考点1 频率分布直方图 频率分布直方图 横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，频率的大小用相应矩形面积大小来表示的统计图． (1)众数：最高的小长方形底边中点的横坐标是众数． (2)中位数：左边和右边的小长方形的面积和相等的数据值．设中位数为x，利 用x左(右)侧矩形面积之和等于0.5，即可求出x．中位数也称第50百分位数。 (3)平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的 横坐标之和，x 小长方形底边中点，p 小长方形面积，即： n n  x=x p +x p +⋯+x p 1 1 1 1 n n (4) p百分位数 使得这组数据中至少有p0 0 的数据小于或等于这个值，且至少有100-p 54 知行韶华长可期  频率 组距 O x x x x x x x x 1 2 3 4 5 6 7 8 0 的数据大于或等于这个值． 0 ①直方图第p百分位数：找到第p百分位数所在分组，设第p百分位数为x,则：∑p +y ∙(x-x)=p． i p i ∑p 为前几组数据频率和，y 为第p百分位数所在的纵坐标的值，x 为第p百分位数所在分组的前端值。 i p i ② 一组n个数据第p百分位数求解： 1° 按从小到大排列原始数据 ． 2° 计算i=n×p0 ． 0 3°若i不是整数而大于i的比邻整数j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i 项与第i+1项数据的平均数． 88 一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百 分位数为 ( D ) A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】将这些数从小到大重新排列后为：2，3，5，7，9，10，16，18，20，23，10×0.75=7.5， 则取从小到大排列后的第8个数，即该组数据的第75百分位数为18．故选：D． 89 为提高市民对文明城市创建的认识，举办“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为 样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，⋯， [90，100]得到如图所示频率分布直方图． 频率 组距 (1)求频率分布直方图中a的值； a 0.025 (2)求样本成绩的第75百分位数； 0.020 【答案】(1)∵每组小矩形的面积之和为1， 0.010 0.005 ∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，∴a=0.030； 0 40 50 60 70 80 90 100 分数 (2)在[40，80)内频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65<0.75，在[40，90)内频率为(0.005+ 0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9>0.75，第75百分位数落在[80，90)内，设第75百分位数为m，则 0.65+(m-80)×0.025=0.75，得m=84，即第75百分位数为84；晓书∙选修一 R J A 考点2 线性回归 线性相关性 (1)散点图：是指在回归分析中，数据点在直角坐标系平面上的分布图。 (2)相关系数：(判定两个变量的线性相关性) n  x-x i r= i=1 日月既往何复追 55   y-y i   n  x-x i i=1  n   2 y-y i i=1  n  xy-nxy i i = i=1  2  n x2-nx  2 i i=1  n  y2-ny2 i i=1  注： (1) r>0时，变量x,y正相关；r <0时，变量x,y负相关；r∈[−1,1] (2)①|r| 越接近于1，两个变量的线性相关性越强； ②|r| 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 经验回归 n   x i -x b= i=1   一元线性回归方程：y=a+bx，其中   y i -y   n  x i -x i=1     n x i y i -nx  y   = i=1   2  n x i 2-nx  2 .  i=1    a=y-bx    说明： 1 线性回归直线一定经过 样本中心(x,y) .y表示的是 回归方程得到的预测值   n n 2 求系数b时，常先单独计算出x，y，∑x2，∑xy(分步给分！)，再代入公式求出b i i i i=1 i=1 n n 其中： ∑x2=x2+x2+⋯+x2 ∑xy =xy +x y +⋯+x y i 1 2 n i i 1 1 2 2 n n i=1 i=1 4 利用回归方程求出的值，在回答问题时，要用大约、左右、估计等词语。 两个回归效果的判定 n  (y−y)2 i i 决定系数R2=1− i=1 .用于判断两个拟合模型的拟合效果。 n  (y−y)2 i i i=1 注： ①R2得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好； ②R2越接近于1，则回归效果越好。决定系数等于相关系数的平方，即R2=r2．90 按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制 《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．如表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中 酸雨区面积约占国土面积的百分比(y%)： i 年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 年份代码x 1 2 3 4 5 i y 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8 i (1)求2017-2021年年份代码x 与y 的样本相关系数(精确到0.01)； i i (2)请判断该组数据中y与x之间的关系是否能用线性回归模型进行描述，如果可以，请求出经验回归方 程； (3)预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比． n   (x-x)(y-y) 附：b  = i=1 i i ，a  =y  -b  x  ， 5 xy=70.6， 5 y2=133.69, n  i i (x-x)2 i=1 i=1 i i=1 n   (x-x)(y-y) i i 相关系数r= i=1 ， 36.4≈6 n  n  (x-x)2(y-y)2 i i i=1 i=1  1 【答案】(1) x= ×(1+2+3+4+5)=3， 5  6.4+5.5+5.0+4.8+3.8 y= =5.1， 5 5   5  5  则(x-x)(y -y)=-5.9， (x-x)2= 10， (y-y)2= 3.64． i i i i i=1 i=1 i=1 5   (x-x)(y-y) i i -5.9 -5.9 r= i=1 = ≈ ≈-0.98． 5  5  36.4 6 (x-x)2 (y-y)2 i i i=1 i=1 (2)由(1)知，y与x的相关系数r≈-0.98，|r|接近1，∴y与x之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归 模型进行描述． 5   (x-x)(y-y) i i  -5.9 由(1)知:b= i=1 = =-0.59， 5  10 (x-x)2 i i=1    a=y-bx=5.1-(-0.59)×3=6.87． ̂ 所求经验回归方程为y=-0.59x+6.87；  (3)令x=8，y=-0.59×8+6.87=2.15， 故预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为2.15%． 56 知行韶华长可期晓书∙选修一 R J A 考点3 列联表与独立性检验 (1)统计分类变量。有两个分类变量X和Y，值域分别为(x,x )和(y,y )，其样本频数2×2列联表为： 1 2 1 2 y y 总 计 1 2 x a b a+b 1 x c d c+d 2 总 计 a+c b+d a+b+c+d (2)提出假设检验的问题H (原假设/零假设)。如：H ：吸烟与患肺癌没有关系 0 0 n(ad-bc)2 (3)计算相关性的度量：χ2= ，其中n=a+b+c+d (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) (4)与临界值表对照。 P(χ2≥k ) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0 注：临界值表给到的是犯错误的频率。∴χ2越大，说明两个分类变量关系越强；反之，越弱。 91 (2023•甲卷)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试 验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境， 一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g)．试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为: 15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5 (1)计算试验组的样本平均数； (2)(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数， 完成如下列联表； (ⅱ)根据(i)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量 n(ad-bc)2 有差异？附：K2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635  1 【答案】(1)根据题意，计算试验组样本平均数为x= ×(7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+ 20 19.8+20.2+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5)=19.8． 3.841，∴有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异． 20×20×20×20 日月既往何复追 57考点4 离散型随机变量及其分布列 二项分布 超几何分布 在n次独立重复试验中，每次试验中事 从有限N个物件中抽出n个物件，成功抽 概 念 件A发生的概率P 出某指定物件的概率P 公 式 P(ξ=k)= Ckpk(1-p)n-k Pξ=k n 58 知行韶华长可期  CkCn-k = M N-M Cn N 简 记 ξ~B(n,p) ξ~H(N,M,n) M M M N−n 期望方差 E(Χ)=np， D(Χ)=np(1−P) E(Χ)=n⋅ ， D(Χ)=n⋅ (1− )⋅ N N N N−1 ①试验结果只有 两项：成功与不成功 ； ①超几何分布的模型是不放回抽样； 应用条件 ② 每次试验中事件发生的概率均相等 。 ②超几何分布特定针对抽取问题。 92 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局． 2 根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为 ，每局比赛的结果互不影响． 3 (1)经过3局比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望； (2)若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率． 【答案】(1)由题意，得X的取值可能为0，1，2，3， 2 则P(X=0)=1- 3  3 1 = 27 2 2 P(X=1)=C1× ×1- 3 3 3  2 2 = 9 2 P(X=2)=C2× 3 3  2 2 ×1- 3  4 = 9 2 P(X=3)= 3  3 8 = 27 ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 1 2 4 8 P 27 9 9 27 1 2 4 8 故X的期望E(X)=0× +1× +2× +3× =2． 27 9 9 27 (2)第3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况：甲获胜2局，甲获胜3局， 2 ∴所求概率为P=C2 3 3  2 2 1- 3  2 + 3  3 4 8 20 = + = ． 9 27 27晓书∙选修一 R J A 93 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于15,25 日月既往何复追 59  之间，现对植物园部分该种观 赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. (1)求a的值; (2)以频率估计概率，完成下列问题. 【答案】(i)若从所有花卉中随机抽4株，记高度在19,21  内的株数为X，求 X的分布列及数学期望EX  ； (ii)若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在21,25  的条件下，至多 1株高度低于23cm的概 率. (1)依题意可得0.05+0.075+a+0.15+0.1  ×2=1，解得a=0.125； (2)(i)由(1)可得高度在19,21  的频率为0.125×2=0.25， ∴X∼B4,0.25  ， ∴PX=0  3 = 4  4 81 = ， 256 PX=1  1 3 =C1× × 4 4 4  3 27 = ， 64 PX=2  1 =C2× 4 4  2 3 × 4  2 27 = ，PX=3 128  1 =C3× 4 4  3 3 × 4  1 3 = ， 64 PX=4  1 =C4× 4 4  4 1 = ， 256 ∴X的分布列为： X 0 1 2 3 81 27 27 3 P 256 64 128 64 ∴EX  1 =4× =1； 4 (ii)在欧阳花卉中随机抽取3株，记至少有2株高度在21,25  为事件M， 至多1株高度低于23cm为事件N， 则PM  1 = 2  3 1 +C1 3 2  3 1 = ， 2 PMN  1 =C2 3 5  2 1 1 × +C2 2 3 5  2 3 1 × + 10 5  3 13 = ， 125 ∴PN|M  PNM =  PM  13 = 125 = 26 . 1 125 2