文档内容
2025 年全国统一高考数学试卷
（新高考Ⅱ卷）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上
无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ）
A. 8 B. 9 C. 12 D. 18
2. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
3. 已知集合 则 （ ）
A. B.
C. D.
4. 不等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
5. 在 中， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司6. 设抛物线 的焦点为 点A在C上，过A作 的准线的垂线，垂足为B，若直线
BF的方程为 ，则 （ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 记 为等差数列 的前n项和，若 则 （ ）
.
A B. C. D.
8. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 记 为等比数列 的前n项和， 为 的公比， 若 ，则（ ）
.
A B.
C. D.
10. 已知 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，则（ ）
A. B. 当 时，
C. 当且仅当 D. 是 的极大值点
11. 双曲线 的左、右焦点分别是 ，左、右顶点分别为 ，以
为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且 ，则（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. C的离心率为 D. 当 时，四边形 的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面向量 若 ，则 ___________
的
13. 若 是函数 极值点，则 ___________
14. 一个底面半径为 ，高为 的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁
球，则铁球半径的最大值为____________ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ．
（1）求 ;
（2）设函数 ，求 的值域和单调区间．
16. 已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为4．
（1）求C的方程；
（2）过点 的直线l与C交于 两点， 为坐标原点，若 的面积为 ，求 ．
17. 如图，在四边形 中， ，F为CD的中点，点E在AB上， ，
，将四边形 沿 翻折至四边形 ，使得面 与面EFCB所成
的二面角为 ．
（1）证明: 平面 ；
第3页/共4页
学科网（北京）股份有限公司（2）求面 与面 所成的二面角的正弦值．
.
18 已知函数 ，其中 ．
（1）证明： 在区间 存在唯一的极值点和唯一的零点；
（2）设 分别为 在区间 的极值点和零点.
（i）设函数 ·证明： 在区间 单调递减；
（ii）比较 与 的大小，并证明你的结论．
19. 甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为 ，
乙胜的概率为q， ，且各球的胜负相互独立，对正整数 ，记 为打完k个球后甲比乙至少
多得2分的概率， 为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率．
（1）求 （用p表示）．
（2）若 ，求p．
（3）证明：对任意正整数m， ．
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