文档内容
2015年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）
理科数学
注意事项
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自
己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=
（A）｛－1，0｝ （B）｛0，1｝ （C）｛-1，0，1｝ （D）｛0，1，2｝
2.若a为实数且（2+ai）（a-2i）=－4i，则a =
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结
论不正确的是
（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现
（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4.等比数列｛a ｝满足a =3，a + a + a =21，则a + a + a =
n 1 1 3 5 3 5 7
（A）21 （B）42 （C）63 （D）84
{1+ log (2−x),x＜1, ¿¿¿¿
f(x) f (－2) f (log 12)
2 2
5.设函数 = ，则 + =
（A）3 （B）6 （C）9 （D）126.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则
截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为
1 1 1 1
8 7 6 5
（A） （B） （C） （D）
|MN|
7.过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则 =
√6 √6
（A）2 （B）8 （C）4 （D）10
8.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》
中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，
则输出的a=
（A）0
（B）2
（C）4
（D）14
9.已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体
积的最大值为36，则球O的表面积为
（A）36π （B）64π （C）144π （D）256π
10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与
DA运动，∠BOP=x。将动点P到AB两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）
的图像大致为
11.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为
120°，则E的离心率为
√5 √3 √2
(A) (B)2 (C) (D)
12.设函数f ’(x)是奇函数 f (x)(x∈R)的导函数， f（−1）=0，当 x>0时，
x f ’(x)－f (x)＜0，则使得f (x) >0成立的x的取值范围是
(A) (－∞，－1)∪(0，1) (B) (－1，0)∪(1，＋∞)
(C) (－∞，－1)∪(－1，0) (D) (0，1)∪(1，＋∞)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.
第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ=________.(用数字填写答
案)
{x y 1 0, {x 2y 0,
− + ≥ ¿ − ≤ ¿¿¿¿
x，y z= x＋y
14.若 满足约束条件 ，则 的最大值为____________..
15.(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________.
16.设S是数列{a }的前n项和，且a =－1，a +1=S S ，则S ________.
n n 1 n n n+1 n=
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。
sin∠B
sin∠C
(Ⅰ) 求 ；
√2
2
(Ⅱ) 若AD=1，DC= ，求BD和AC的长.
18. （本小题满分12分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得
到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区
满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求
C的概率
19. （本小题满分12分）
如图，长方体ABCD−A B C D 中AB=16，BC=10，A A =8，点E，F分别在
1 1 1 1 1
A B ，D C 上，A E=D F。过带你E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一
1 1 1 1 1 1
个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）
（Ⅱ）求直线AF与平面α所成角的正弦值
20. （本小题满分12分）
已知椭圆C：9x2+ y2 = m2 (m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有
两个交点A，B，线段AB的中点为M.
（I）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
m
m
3
（II）若l过点( ， ),延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？
若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由.
21. （本小题满分12分）
设函数f (x)=emx+x2−mx.
(Ⅰ)证明：f(x)在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增；
（Ⅱ）若对于任意x , x ∈[-1,1],都有｜f(x )− f(x )｜≤e−1,求m的取值范围
1 2 1 2
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答
时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与 ABC的底边BC交于
M、N两点与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两
点.
（I）证明：EF平行于BC
（II） 若AG等于圆O的半径，且AE=MN= ,求四边形EBCF
的面积。
23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
{x=t cosα , ¿ ¿¿¿
在直角坐标系xOy中，曲线C: ，其中0≤α＜π ，在
1以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2sinθ，曲线C：ρ=cosθ .
2 3
（I）.求C 与C 交点的直角坐标
2 3
|AB|
（II）.若C 与C 相交于点A，C 与C 相交于点B，求 的最大值
1 2 1 3
（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲
设a、b、c、d均为正数，且a+b=c+d,证明：
ab＞cd √a+√b＞√c+√d
（I）若 ，则 ；
√a+√b＞√c+√d
|a−b|＜|c−d|
（II） 是 的充要条件.
（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲
设均为正数，且,证明：
（I）若，则 ；
（II） 是 的充要条件.
