文档内容
新高二开学摸底考试卷 03
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：北师大版2019
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C A C B A D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 ACD BC BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】3
13．【答案】
14【答案】
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）已知 ，复数 .
(1)若 为纯虚数，求 ；
(2)若 在复平面内对应的点位于第二象限，求整数 的值.
【答案】(1) ；
(2) 和
【分析】（1）由 为纯虚数，求出 的值，从而得到复数 ，求解 模长即可；
（2） 在复平面内对应的点位于第二象限，求出 的取值范围，进而得到整数 的值即可.【详解】（1）由于复数 为纯虚数，
所以 ，解得 ，此时 ，
（2）若 在复平面内对应的点位于第二象限，
则 ，解得 ，
故整数 的值有 .
16．（本题满分15分）如图，在梯形 中， ， 分别为 的中点，
是线段 上的动点．
(1)若 ，求证： 三点共线；
(2)若 ，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合向量共线的判定定理分析证明；
（2）根据平面向量线性运算，分别利用基底法和坐标法表示 ，得到关于 的一元二次函数，
再利用一元二次函数的最值求解即可.
【详解】（1）由题意知， ，
所以 ，
所以 三点共线；
（2）在梯形 中， ，
易得 ，设 ，
解法一：所以 ，
所以
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ；
解法二：因为 ，
所以 ，
，
所以
，
当且仅当 时，等号成立，所以 最小值为 ；
解法三：以 为坐标原点建立如图所示坐标系，
则 ，
设 ，则 ，
由于 ，因此 ，
解得， ，
因此 ，故 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ．
17．（本题满分15分）如图，在正方形 中，点E、F分别是AB、BC的中点，将 、
分别沿DE、DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB.
(1)求证： ；
(2)点M是PD上一点，若直线MF与平面 所成角的正切值为 ，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意可得 ，则由线面垂直的判定定理可得 平面 ，则
，再由正方形性质可得 ，则 平面 ，从而可证得 ；
（2）由（1）可得 为直线MF与平面 所成角，则 ，令 ，
然后根据正方形的性质求出其它边长，最后在 中利用余弦定理可求得结果.
【详解】（1）证明：在正方形 中，连接 ，则 ，
因为点E、F分别是AB、BC的中点，所以 ∥ ，
所以 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ；
（2）解：由（1） 平面 ，所以 为直线MF与平面 所成角，所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
设 ，连接 ，
由（1）知 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 为二面角 的平面角，
因为 为 的中点， ，所以 为等腰三角形，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
， ，
在 中，由余弦定理得
，
所以二面角 的余弦值为 .
【点睛】关键点点睛：此题考查由线面垂直证线线垂直，考查线面角和二面角，考查折叠问题，解题
的关键是弄清折叠前后边角的关系，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题》
18．（本题满分17分）已知函数 .
请在下面的三个条件中任选两个解答问题.
①函数 的图象过点 ；
②函数 的图象关于点 对称；
③函数 相邻对称轴与对称中心之间距离为1.(1)求函数 的解析式；
(2)若 是函数 的零点，求 的值组成的集合；
(3)当 时，是否存在 满足不等式 ？若存在，求出 的范围；若不存在，
请说明理由.
【答案】(1) ；
(2)
(3)存在； .
【分析】（1）选择①②，将点 代入，结合 可求 ，由 的图象关于点
对称可得 ，结合 ，可得 ，即可解出函数解析式；选择①③：将点
代入，结合 可求 ，由函数 相邻对称轴与对称中心之间距离为1，可得
，利用周期公式得 ，即可求解函数解析式；选择②③：由函数 相邻对称轴与对称中
心之间距离为1，可得 ，结合周期公式得： ，由图象关于点 对称，得
， ，进而求解出函数解析式；
（2）若 是函数 的零点，则根据不同解析式求解可得 的值，解得 ，进而可得
可能的取值，即可求解；
（3）由 ，得 ，根据函数自变量的范围和利用偶函数的性质原不等式可化为
关于 的不等式，即可求解.
【详解】（1）选择①②：因为函数 的图象过点 ，所以 ，
解得 ，因为 ，所以 ，
因为函数 的图象关于点 对称，则 ，
可得 ，因为 ，所以 ，所以 ；
选择①③：
因为函数 的图象过点 ，所以 ，
解得 ，因为 ，所以 ，
函数 相邻对称轴与对称中心之间距离为1，
所以 ，所以 ，解得： ，
所以 ，
选择②③：
函数 相邻对称轴与对称中心之间距离为1，
所以 ，所以 ，解得： ，
因为函数 的图象关于点 对称，则 ，
可得 ，所以
所以 .
（2）若 是函数 的零点，则
可得 ，所以 或
解得： 或 ，
若 是函数 的零点，
则 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 的值组成的集合为（3）
当 时， ，令 ，则 ，
令 ，则
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
解得： .
所以实数 的范围是： .
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由余弦函数的性质求出 的解析式，再利用余弦函数的零
点可求 可能的取值，求 的范围的关键是构造偶函数，利用单调性，解关于 的不等式.
19．（本题满分17分）定义: 为实数 对
的“正弦方差”.
(1)若 ，则实数 对 的“正弦方差” 的值是否是与 无关的定值，并证明
你的结论
(2)若 ，若实数 对 的“正弦方差” 的值是与 无关
的定值，求 值.
【答案】(1)是与 无关的定值，证明见解析；
(2) 或 .
【分析】（1）根据 的定义，结合三角恒等变换，整理化简，即可求得结果 为定值；
（2）根据 的定义，结合三角恒等变换，根据其为定值，求得 ，再结合角度范围，
即可求得结果.
【详解】（1）“正弦方差” 的值是与 无关的定值 ；
证明：若 ，则
.
（2）若 ，
根据题意，
因为 的值是与 无关的定值，故可得 ，
因为 ，故 ，
由 可知， 或 ，即 或 ，
若 ，则 ， ，故舍去；
对 ， 两边平方后相加可得：
，即 ；因为 ，故 或 或 ，
即 或 或 ；
综上所述，当 ，解得 ，不满足题意；
当 ，解得 ，满足题意；
当 ，解得 ，满足题意；
故 或 .
【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键一是找到 的关系 ，二是根据角度
范围，讨论 可能得取值.
