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高二数学试题
考生注意：
1、答题前、考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
A= { x −1< x<4 } ,B=( 2,5 ) ( B ) ∩ A=
1. 已知集合 ，则 R （ ）
A.
(−1,2 ]
B.
(−1,2 )
C.
(−∞,4 )∪[ 5,+∞)
D.
(−∞,−1 )[ 5,+∞)
2. 某学校高二某班向阳学习小组 8位同学在一次考试中的物理成绩如下：95，45，62，78，53，83，74，
88，则该小组本次考试物理成绩的第60百分位数为（ ）
A. 53 B. 74 C. 78 D. 83
3. 已知m,n∈R，则“ m > n ”是 m 1 3 >n 1 3 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知命题 p:∃x ∈( 1,+∞) ，x ( x −1 )−a ( x −1 )+3<0为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
0 0 0 0
( (
A. −∞,2 3 B. −∞,2 3+1
) )
C. 2 3,+∞ D. 2 3+1,+∞
1
5. 已知平面向量a,b 满足 a =2, b =1，且b 在a上的投影向量为− a，则a与b 的夹角为（ ）
4
π 2π 3π 5π
A. B. C. D.
3 3 4 6
6. 如图，在正三棱柱ABC−DEF 中，M,N 分别为棱DF,BC的中点，AD= DE =2，则异面直线MC,EN
所成角的余弦值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司5 19 5 9
A. B. C. D.
10 10 5 10
log ( a−2x ) ,x≤1,
a
7. 已知 f ( x )= 1 1 是R上的减函数，则实数a的取值范围为（ ）
−x2 + ax+1− a,x>1
3 3
1 ( ] [ ] ( ]
A. ,1 B. 2,6 C. 3,6 D. 2,3
2
8. 已知a =log 5,b=log 6,c=log 7，则（ ）
4 5 6
A. c>b>a B. b>a>c C. a>c>b D. a>b>c
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分
2+i
9. 已知复数z = ，则（ ）
1−i
1 1 3
A. z的虚部为 B. z = − i
2 2 2
10 1
C. z = D. z− 为纯虚数
2 2
π π
10. 已知函数 f ( x )= Acos ωxcosϕ−Asin ωxsinϕ A>0,ω>0,ϕ< ,当x = 时， f ( x ) 取得最大
2 12
值2，且 f ( x ) 与直线x = π 最近的一个零点为x= π ，则下列结论中正确的是（ ）
12 3
A. f ( x ) 的最小正周期为π
π π
B. f ( x ) 的单调递增区间为 kπ− ,kπ+ ,k∈Z
2 12
π
C. f ( x ) 的图象可由函数y =2cos2x的图象向右平移 个单位长度得到
12
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学科网（北京）股份有限公司π
D. 若 f ( x+θ) 为奇函数，则θ=kπ+ ,k∈Z
3
11. 已知定义域为R的函数 f ( x+1 ) 为奇函数， f ( x ) 的图象关于直线x=2对称，则（ ）
( ) ( ) ( )
A. f x 的图象关于点 1,0 中心对称 B. f x 为奇函数
C. f ( x ) 是周期为4的函数 D. f ( 2025 )=0
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12. 已知向量a,b满足，a=( x,−1 ) ,b =( 2x+1,3 )，且a//b，则 a =______．
13. 小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有5道题，小耿有3道题不会，小吴有1道题不会，小耿与小
吴分别从这5道题中任意选取1道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有1人会答的
概率为__________
14. 已知一个圆台的侧面积为35 2π，下底面半径比上底面半径大 1，母线与下底面所成角的正切值为 7，
则该圆台的外接球（圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上）的体积为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 某校为促进学生对地震知识及避震自救知识的学习，组织了《地震知识及避震自救知识》竞赛活动，对
所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为
[ ) [ ) [ ) [ ) [ ]
45,55 , 55,65 , 65,75 , 75,85 , 85,95 )．
（1）根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表）
（2）按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在 [ 45,55 ) 和 [ 85,95 ] 内的学生中抽取5人，再从这5
[ ]
人中随机抽取2人，求这2人成绩都在 85,95 内的概率．
16. 已知ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c，向m=( sinA,b ) ,n =( a+b,sinB ) ，m⋅n =csinC．
（1）求C；
（2）若c=2 3，求ABC的面积的最大值
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学科网（北京）股份有限公司 π 17 2 3π 5π
17. 已知sinx− = , < x<
4 26 4 4
（1）求sinx+cosx的值；
7 2
（2）已知cosy =− ,π< y<2π，求x+ y的值
26
18. 如图，在四棱锥S −ABCD中，底面ABCD为正方形，平面ABCD⊥平面SAB,SA⊥ AB,E,F,G,H ，
分别为棱SC,SB,DA,AB的中点，SA= AB=2．
（1）证明：平面EBD//平面FGH ；
（2）求二面角B−SC−D的大小．
1 a− f ( x )
19. 已知 f ( x ) 是指数函数，且过点 , 3,g ( x )= 是定义域为R的奇函数
2 3f
(
x
)+b
（1）求a,b的值；
（2）若存在c∈[−1,2 ] ，使不等式g ( c2 −2c−m ) + 1 <0成立，求实数m的取值范围；
6
（3）若函数h ( x )= g ( 4x +1 ) +g ( t×2x+2 ) 恰有2个零点，求实数t的取值范围．
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