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哈三中 2023-2024 学年度上学期高三学年期末考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 复数 的虚部为（ ）
A. B. 2 C. D.
3. 函数 的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若 ，则实数 （ ）
A. 6 B. C. 3 D.
5. 已知命题： 为假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司6. 若椭圆 和双曲线 共的同焦点为 是两曲线的一个交点，则 的面
积值为 （ ）
A. B. C. D. 8
7. 等比数列 中， 为 的前n项和，若 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
8. 哈三中第38届教改汇报课在2023年12月15日举行，组委会派甲乙等6名志愿者到 两个路口做引
导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若甲和乙不能去同一路口，则不同 安的排方
案总数为（ ）
A. 14 B. 20 C. 28 D. 40
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知 ，若幂函数 为奇函数，且在 上递减，则 只
能为
B. 函数 的单调递减区间为
C. 函数 与函数 是同一个函数
D. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
10. 已知正数 ， ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 在棱长为1的正方体 中，下列结论正确的有（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 平面
B. 点 到平面 的距离为
C. 当 在线段 上运动时，三棱锥 的体积不变
D. 若 为正方体侧面 上的一个动点， 为线段 的两个三等分点，则 的最小值
为
12. 已知函数 在 处取得最大值2， 的最小正周期为 ，将
图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长
度得到 的图象，则下列结论正确的是（ ）
A. 是 图象的一条对称轴 B.
C. 是奇函数 D. 方程 有3个实数解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知 为第二象限角， ，则 _______．
14. 已知边长为2的等边三角形 所在平面外一点 是 边的中点，满足 垂直平面 ，且
，则三棱锥 外接球的体积为_______．
15. 直线 与抛物线 交于 两点且 ，则 的中点到 轴的最短距离为_______．
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学科网（北京）股份有限公司16. 设 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 对 任 意 的 满 足
且 ，则不等式 的解集为_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 ．
（1）求角 ；
（2） 为 边上一点， ，且 ，求 的值．
18. 已知 是公差不为零的等差数列， ，且 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求 的前1012项和 ．
19. 已知椭圆 的左、右顶点为 ，点 是椭圆 的上顶点，直线 与圆
相切，且椭圆 的离心率为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过椭圆 右焦点 的直线 （与 轴不重合）与椭圆 交于 两点，若点 ，且
，求实数 的取值范围．
20. 如图，在四棱锥 中， ，
．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证：平面 平面 ；
（2）若线段 上存在点 ，满足 ，且平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求
实数 的值．
21. 圆 经过点 ，圆心在直线 上．
（1）求圆 的标准方程；
（2）若圆 与 轴分别交于 两点， 为直线 上的动点，直线 与曲线圆 的另一
个交点分别为 ，求证直线 经过定点，并求出定点的坐标．
22. 已知函数 ．
的
（1）求函数 在 处 切线方程；
（2）当 时，试比较 的大小关系，并说明理由；
（3）设 ，求证： ．
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