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张家界市 2023 年初中学业水平考试试卷
数 学
考生注意：
本学科试卷共三道大题，23道小题，满分100分，考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 2023 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的定义求解即可，只有符号不同的两个数互为相反数．
【详解】解： 的相反数是 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：其主视图有2列，从左到右依次有3、1个正方形，图形如下：
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故选D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看到的图形是主视图是解题关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据完全平方公式及合并同类项、积的乘方运算依次判断即可．
【详解】解：A、 ，选项计算错误，不符合题意；
B、 ，选项计算错误，不符合题意；
C、 ，计算正确，符合题意；
D、 ，选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】题目主要考查完全平方公式及合并同类项、积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 扇形统计图能够清楚地反映事物的变化趋势
B. 对某型号电子产品的使用寿命采用全面调查的方式
C. 有一种游戏的中奖概率是 ，则做5次这样的游戏一定会有一次中奖
D. 甲、乙两组数据的平均数相等，它们的方差分别是 ， ，则乙比甲稳定
【答案】D
【解析】
【分析】根据扇形统计图的特点、全面调查及抽样调查的特点，概率的意义及方差的意义依次判断即可．
【详解】解：A、扇形统计图能够清楚地反映事物所占的比例，选项错误，不符合题意；
B、对某型号电子产品的使用寿命调查有破坏性，适合采用抽样调查，选项错误，不符合题意；
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C、有一种游戏的中奖概率是 ，则做5次这样的游戏不一定会中奖，选项错误，不符合题意；
D、平均数相等，方差越小，越稳定，选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】题目主要考查扇形统计图的特点、全面调查及抽样调查的特点，概率的意义及方差的意义，熟练
掌握运用这些知识点是解题关键．
5. 如图，已知直线 ， 平分 ， ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得 ， ， ，推
得 ，根据角平分线的性质可求出 的度数，即可求得 的度数．
【详解】∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线的性质．熟练掌握平行线的性质和角平分线的性质是解决本题
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的关键．
6. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著
作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与
一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为 文．如果每株椽的运费是3文，那么少
拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 文能买多少株椽？设 元购买椽的数
量为x株，则符合题意的方程是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 元购买椽的数量为x株，根据单价 总价 数量，求出一株椽的价钱为 ，再根据少
拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案．
【详解】解：设 元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为 ，
由题意得： ，
故选C．
【点睛】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．
7. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边
的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边 的边
长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质及弧长公式 求解即可．
【详解】解：∵等边三角形 的边长为3， ，
∴ ，
∴该“莱洛三角形”的周长 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的关键．
8. 如图，矩形 的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在 上，且 ，反比例
函数 的图象经过点D及矩形 的对称中心M，连接 ．若 的面
积为3，则k的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
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【解析】
【分析】设 点的坐标为 ，根据矩形对称中心的性质得出延长 恰好经过点B， ，确定
，然后结合图形及反比例函数的意义，得出 ，代入求解即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
设 点的坐标为 ，
∵矩形 的对称中心M，
∴延长 恰好经过点B， ，
∵点D在 上，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ 在反比例函数的图象上，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵
活运用相关知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9. “仙境张家界，峰迷全世界”，据统计，2023年“五一”节假日期间，张家界市各大景区共接待游客
约864000人次．将数据864000用科学计数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原
数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解： ，
故答案为： ．
的
【点睛】此题主要考查了科学记数法 表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
10. 因式分解： ______．
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【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法及公式法是解题关键．
11. 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____________．
【答案】m＞-1
【解析】
【分析】根据有两个不相等的实数根得到 ＞0，解不等式即可．
【详解】解：根据题意，得 ＞0，
解得 m＞-1；
故答案为m＞-1．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式，解决问题的关键是掌握判别式和方程根之间的关系：当 ＞0
时，原方程有两个不相等的实数根，当 =0时，原方程有两个相等的实数根，当 ＜0时，原方程无实数
根．
12. 2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，某校开展了一次航天知识竞赛，共选拔8名选手参加
总决赛，他们的决赛成绩分别是95，92，93，89，94，90，96，88．则这8名选手决赛成绩的中位数是
______．
【答案】92.5
【解析】
【分析】将成绩按照从小到大顺序排列后,根据中位数的定义即可得到答案．
【详解】解：将决赛成绩从小到大顺序排列为88，89，90，92，93，94，95，96，
∴中位数为 ．
故答案为：92.5．
【点睛】本题考查了中位数，一组数据按照大小顺序排列后，处在中间位置的数据或中间两个数的平均数
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叫做这组数据的中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．
13. 如图， 为 的平分线，且 ，将四边形 绕点 逆时针方向旋转后，得到
四边形 ，且 ，则四边形 旋转的角度是______．
【答案】
【解析】
【 分 析 】 根 据 角 平 分 线 的 性 质 可 得 ， 根 据 旋 转 的 性 质 可 得
， ，求得 ，即可求得旋转的角度．
【详解】∵ 为 的平分线， ，
∴ ，
∵将四边形 绕点 逆时针方向旋转后，得到四边形 ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，旋转的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 是正方形，点 的坐标为 ， 是以点 为圆心，
为半径的圆弧； 是以点 为圆心， 为半径的圆弧， 是以点 为圆心， 为半径的圆
弧， 是以点 为圆心， 为半径的圆弧，继续以点 ， ， ， 为圆心按上述作法得到的曲线
称为正方形的“渐开线”，则点 的坐标是_______．
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【答案】
【解析】
【分析】将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转 ，再根据A、 、 、 、 的坐标找到
规律即可．
为
【详解】∵A点坐标 ，且 为A点绕B点顺时针旋转 所得，
∴ 点坐标为 ，
又∵ 为 点绕O点顺时针旋转 所得，
∴ 点坐标为 ，
又∵ 为 点绕C点顺时针旋转 所得，
∴ 点坐标为 ，
又∵ 为 点绕A点顺时针旋转 所得，
∴ 点坐标为 ，
由此可得出规律： 为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转 ，且半径为1、2、3、
、n，每次增加1．
∵ ，
故 为以点C为圆心，半径为2022的 顺时针旋转 所得
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故 点坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了点坐标规律探索，通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，共计58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的
答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先化简绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，然后计算加减法即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】题目主要考查绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，熟练掌握各个运算法则是解
题关键．
16. 先化简 ，然后从 ，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
【答案】 ，
【解析】
【分析】根据分式的运算法则先化简，然后再由分式有意义的条件代入求值即可．
【详解】解：原式
，
，
∵
当 时
原式 ．
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【点睛】题目主要考查分式的化简求值及其有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
17. 为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有
座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的
载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 60
租金（元/辆） 200 300
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
【答案】（1）参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆
（2）租14辆45座客车较合算
【解析】
【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方
程组求解即可；
（2）由（1）结论求出所需费用比较即可．
【小问1详解】
解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆
依题意得
解得： ，
答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；
【小问2详解】
∵要使每位师生都有座位，
∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆，
， ，
∵
∴租14辆45座客车较合算．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及有理数乘法的应用，理解题意是解题关键．
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18. 如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 时，求证：四边形 是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意得出 ，再由全等三角形的判定和性质及平行线的判定证明即可；
（2）方法一：利用全等三角形的判定和性质得出 ，又 ，再由菱形的判定证明即可；
方法二：利用（1）中结论得出 ，结合菱形的判定证明即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
即
在 和 中，
，
∴
∴ ，
∴
【小问2详解】
方法一：在 和 中，
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，
∴
∴ ，又 ，
∴四边形 是平行四边形
∵ ，
∴ 是菱形；
方法二：∵ ，
∴
∴ ，
又 ，
∴四边形 是平行四边形
∵ ，
∴ 是菱形．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用这些知识
点是解题关键．
19. 2022年4月21日新版《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》正式颁布，优化了课程设置，其
中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动教育情况，对九年级学生
“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A： ；B： ；
C： ；D： ，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
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根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为______人，扇形统计图中m的值为______；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分
钟）以上的学生有多少人？
（4）若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图
法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．
【答案】（1）50，30 （2）见解析
（3） 人
（4）
【解析】
【分析】（1）由D组人数及所占百分比得出总人数，然后利用B组人数除以总人数即可得出结果；
（2）用总人数减去各组人数得出C组人数，然后补全统计图即可；
（3）总人数乘以C、D组所占比例即可；
（4）方法一、利用列表法求概率；方法二、利用树状图法求概率即可．
【小问1详解】
解：根据题意得，本次抽取的人数为： 人，
∵B组人数为15人，
∴ ，
故答案为：50；30；
【小问2详解】
解：C组人数为：50-10-15-5=20人，
补全统计图如图所示：
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【小问3详解】
解： （人），
答：估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有300人；
【小问4详解】
方法一：列表法：
女1 女2 女3 男1 男2
女1 （女1，女2） （女1，女3） （女1，男1） （女1，男2）
女2 （女2，女1） （女2，女3） （女2，男1） （女2，男2）
女3 （女3，女1） （女3，女2） （女3，男1） （女3，男2）
男1 （男1，女1） （男1，女2） （男1，女3） （男1，男2）
男2 （男2，女1） （男2，女2） （男2，女3） （男2，男1）
共有20种等可能结果，其中满足条件的有12种，
故 .
方法二：树状图法：如图，
共有20种等可能结果，其中满足条件的有12种，
故 ．
【点睛】题目主要考查条形统计图与扇形统计图，列表法或树状图法求概率，用样本估计总体等，理解题
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意，综合运用这些知识点是解题关键．
20. “游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼 的高
度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为 ，再将
无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为 ，求奇楼 的高度．（结果精确
到1m，参考数据： ， ， ）
【答案】
【解析】
【分析】延长 ，交 的延长线于点C，根据题意得出 ， ，再由等腰直角三
角形得出 ，然后解直角三角形即可．
【详解】解：延长 ，交 的延长线于点C，
则
由题意得， ， ，
在 中， ，
则
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∴ ，
在 中， ，
解得 ，
∴奇楼的高度 约为 ．
【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．
21. 阅读下面材料：
将边长分别为a， ， ， 的正方形面积分别记为 ， ， ， ．
则
例如：当 ， 时，
根据以上材料解答下列问题：
（1）当 ， 时， ______， ______；
（2）当 ， 时，把边长为 的正方形面积记作 ，其中n是正整数，从（1）中的计算
结果，你能猜出 等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当 ， 时，令 ， ， ，…， ，且
，求T的值．
【答案】（1） ，
（2）猜想结论： ，证明见解析
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（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；
（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；
（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．
【小问1详解】
解：
当 ， 时，
原式 ；
当 ， 时，
原式 ；
【小问2详解】
猜想结论：
证明：
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；
【小问3详解】
．
【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键．
22. 如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上一点，连接 ，且
．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若直径 ，求 的长．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论；
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(2)根据已知条件可知 ，再根据正切的定义和相似三角形的性质得到线段的关系即可求得线
段 的长度．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵在 中，
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∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
又∵ ，
即 ，
解得 （取正值），
∴ ，
【点睛】本题考查了圆周角的性质，切线的判定定理，正切的定义，相似三角形的性质和判定，找出正切
的定义与相似三角形相似比的关联是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与 x 轴交于点 和点
两点，与y轴交于点 ．点D为线段 上的一动点．
22【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求 周长的最小值；
（3）如图2，过动点D作 交抛物线第一象限部分于点P，连接 ，记 与 的
面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3） ，
【解析】
【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为 ，将 代入求解即可；
（2）作点O关于直线 的对称点E，连接 ，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形
为正方形， ，连接AE，交 于点D，由对称性 ，此时 有最小值为AE
的长，再由勾股定理求解即可；
（3）由待定系数法确定直线 的表达式为 ，直线 的表达式为 ，设
，然后结合图形及面积之间的关系求解即可．
【小问1详解】
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解：由题意可知，设抛物线的表达式为 ，
将 代入上式得： ，
所以抛物线的表达式为 ；
【小问2详解】
作点O关于直线 的对称点E，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵O、E关于直线 对称，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
连接 ，交 于点D，由对称性 ，
此时 有最小值为 的长，
∵ 的周长为 ，
， 的最小值为10，
∴ 的周长的最小值为 ；
24【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问3详解】
由已知点 ， ， ，
设直线 的表达式为 ，
将 ， 代入 中， ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
同理可得：直线 的表达式为 ，
∵ ，
∴设直线 表达式为 ，
由（1）设 ，代入直线 表达式
的
得： ，
∴直线 的表达式为： ，
由 ，得 ，
∴ ，
25【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵P，D都在第一象限，
∴
，
∴当 时，此时P点为 .
．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数
法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键．
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