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2026年中考数学常考考点专题之分式方程
一．选择题（共12小题）
3 x
1．（2025•高要区一模）解方程 =1- ，去分母后正确的是（ ）
x-1 x+1
A．3（x+1）＝1﹣x（x﹣1）
B．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）
C．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x+1）
D．3（x﹣1）＝1﹣x（x+1）
x 3a
2．（2025•前进区校级二模）若关于x的分式方程 + =2a无解，则a的值为（ ）
x-3 3-x
1 1 1
A．1 B． C．1或 D．﹣1或-
2 2 2
3．（2025•兴庆区校级二模）实验室的一个容器内盛有 150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该
容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的 3 倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程
10 10
3× = ，则未知数x表示的意义是（ ）
150 150-x
A．增加的水量 B．蒸发掉的水量
C．加入的食盐量 D．减少的食盐量
4．（2025•越秀区校级二模）随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快
递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到4800件，平均每
人每周比原来多投递60件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件．设
原来平均每人每周投递快件x件，则可列方程为（ ）
3600 4800 3600 4800
A． = B． +60=
x x+60 x x
3600 4800 3600 4800
C． -60= D． =
x x x x-60
x 3
5．（2025•韶关模拟）方程 - =1的解是（ ）
x-1 x+1
第1页（共27页）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝﹣3 D．x＝3
m 3
6．（2025•东坡区校级模拟）若关于x的分式方程 + =1的解为正实数，则实数m的取值范围是
x-2 2-x
（ ）
A．m＜1 B．m＞1 C．m＜1且m≠﹣2 D．m＞1且m≠3
7．（2025•邻水县二模）实验室需要配制10%的盐水溶液，现有100克5%的盐水、50克盐（100%浓度）
和100克水．若需将原溶液浓度提升至10%，需加入多少克盐列方程正确的是（ ）
x+5 10 5 10
A． = B． =
100+x 100 100+x 100
x 10 10+x 10
C． = D． =
100+x 100 100+x 100
x m+1
8．（2025•工农区校级模拟）若关于x的分式方程 + =2的解的取值范围为x≤3，则m的取值范
x-2 2-x
围是（ ）
A．m≥3 B．m≤3 C．m≥0且m≠1 D．m≤0且m≠1
3 6
9．（2025•香坊区三模）方程 = 的解是（ ）
x-1 x+2
A．x＝﹣4 B．x＝4 C．x＝﹣5 D．x＝3
3 a
10．（2025•江阳区校级模拟）若关于x的分式方程 = -2的解为正数，且关于x的一元一次不等
x-1 x-1
{ x-4≤0
式组 有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
2x-3≥a
A．6 B．9 C．11 D．14
11．（2025•兴庆区校级三模）在古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构使得建筑物连接牢固，工匠们制
作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多 0.5千克．已知用30千克木材制
作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同，设制作1个榫需要的木材为x千克，则符合题意的方
程是（ ）
30 25 30 25
A． = B． = +0.5
x x-0.5 x x
第2页（共27页）30 25 30 25
C． +0.5= D． =
x x x+0.5 x
a+b
12．（2025•临平区模拟）对于实数 a，b，定义一种新运算“☆”为：a☆b= ．例如：1☆
1-ab
1+3
3= =-2，则方程（﹣2）☆x＝1的解是（ ）
1-1×3
A．x＝1 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝﹣1
二．填空题（共8小题）
m 1-x
13．（2025•长沙一模）如果关于x的方程 - =0无解，则m的值是 ．
3-x x-3
x+1 m
14．（2025•成都校级三模）若关于 x 的分式方程 = 的解大于 0，则 m 的取值范围为
x-3 x-3
．
a+x
{ ≥x-2
2
15．（2025•江北区校级二模）若整数a使关于x的不等式组 的解集为x＜2，且使关于y
x 2
-(x-2)＞
3 3
y-1 a+5
的分式方程 + =-4有正整数解，则满足条件的a的值之和为 ．
4- y y-4
16．（2025•崂山区校级三模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一送题译为白
话文是：把一份文件用慢马送到1000里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所
需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可
列方程为 ．
{2x-11
＜3x+1，
17．（2025•重庆校级模拟）若关于x的一元一次不等式组 3 至少有两个整数解，且关
4x≤a+x+3
a+2 y-1
于y的分式方程 + =-4的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
y-2 2- y
2-x 1
18．（2025•武侯区校级模拟）分式方程 + =1的解是 ．
x-3 3-x
19．（2025•铜梁区校级一模）“5•12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段 120米的
铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？若原计划
第3页（共27页）每天修x米，所列方程正确的是 ．
k x
20．（2025•苏州模拟）已知关于x的分式方程 +2= 的解是非负数，则k的取值范围是
x-1 1-x
．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•海城市三模）葫芦岛北到哈尔滨西的铁路里程约为660km，从葫芦岛北乘“G”字头列车A和
“T”字头列车B都可到达哈尔滨西．已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少3h（中
间站停车时间忽略不计），请根据以上信息，求出列车A车的平均速度．
22．（2025•紫金县校级一模）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买 A、B两种
型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每
天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的
机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．设购买A型机器
人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式，并求出最少购买金额．
23．（2025•济阳区一模）新能源汽车有着动力强、油耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某
汽车4S店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车进价的 1.2
倍，若用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆．
（1）求每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为多少万元？
（2）该汽车4S店决定购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5
倍，问购进乙型汽车多少辆时，可使投资总额最少？最少投资总额是多少万元？
24．（2025•兴庆区校级四模）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人
机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为
30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟．
（1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时；
（2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8
分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务．
25．（2025•兴庆区校级二模）下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题：
2x-1 x-1
解分式方程： = -2
3x+6 x+2
第4页（共27页）2x-1 x-1
解：
= -2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第一步
3(x+2) x+2
2x﹣1＝3（x﹣1）﹣6（x+2）……………………第二步
2x﹣1＝3x﹣3﹣6x+12…………第三步
………
（1）第二步的解题依据是 ；
A．分式的性质；B．等式的性质；C．单项式乘以多项式法则．
（2）以上解方程步骤中，第 步开始错误的，错误原因是 ；
（3）请写出该分式方程的正确解答过程．
第5页（共27页）2026年中考数学常考考点专题之分式方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C B A A D A C B C A
题号 12
答案 C
一．选择题（共12小题）
3 x
1．（2025•高要区一模）解方程 =1- ，去分母后正确的是（ ）
x-1 x+1
A．3（x+1）＝1﹣x（x﹣1）
B．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）
C．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x+1）
D．3（x﹣1）＝1﹣x（x+1）
【考点】解分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】分式方程左右两边同乘（x+1）（x﹣1）去分母得到结果，即可作出判断．
【解答】解：去分母得：3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）．
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
x 3a
2．（2025•前进区校级二模）若关于x的分式方程 + =2a无解，则a的值为（ ）
x-3 3-x
1 1 1
A．1 B． C．1或 D．﹣1或-
2 2 2
【考点】分式方程的解．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】将原方程去分母得x﹣3a＝2ax﹣6a，整理得（2a﹣1）x＝3a，根据题意分类讨论并求得对应
的a的值即可．
【解答】解：原方程去分母得x﹣3a＝2ax﹣6a，
第6页（共27页）整理得（2a﹣1）x＝3a，
1
当2a﹣1＝0，a= 时，
2
3
0x= 无解，则原方程无解，符合题意，
2
1
当a≠ 时，
2
若原方程无解，那么它有增根x＝3，
则3（2a﹣1）＝3a，
解得：a＝1，
1
综上，a的值为1或 ，
2
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．
3．（2025•兴庆区校级二模）实验室的一个容器内盛有 150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该
容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的 3 倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程
10 10
3× = ，则未知数x表示的意义是（ ）
150 150-x
A．增加的水量 B．蒸发掉的水量
C．加入的食盐量 D．减少的食盐量
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据晓华列的方程可知x表示的意义是蒸发掉的水量，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
未知数x表示的意义是蒸发掉的水量，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
第7页（共27页）4．（2025•越秀区校级二模）随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快
递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到4800件，平均每
人每周比原来多投递60件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件．设
原来平均每人每周投递快件x件，则可列方程为（ ）
3600 4800 3600 4800
A． = B． +60=
x x+60 x x
3600 4800 3600 4800
C． -60= D． =
x x x x-60
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
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【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件
（x+60）件，根据快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件
（x+60）件，
3600 4800
依题意得： = ．
x x+60
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
x 3
5．（2025•韶关模拟）方程 - =1的解是（ ）
x-1 x+1
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝﹣3 D．x＝3
【考点】解分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
x 3
【解答】解： - =1，
x-1 x+1
x（x+1）﹣3（x﹣1）＝（x+1）（x﹣1），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝2是原方程的根，
故选：A．
第8页（共27页）【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
m 3
6．（2025•东坡区校级模拟）若关于x的分式方程 + =1的解为正实数，则实数m的取值范围是
x-2 2-x
（ ）
A．m＜1 B．m＞1 C．m＜1且m≠﹣2 D．m＞1且m≠3
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】先解分式方程为x＝m﹣1，再由方程的解是正实数，可得m﹣1＞0且m﹣1≠2，求出m的范围
即可．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：m﹣3＝x﹣2，
解得x＝m﹣1，
∵分式方程的解为正实数，
∴m﹣1＞0且m﹣1≠2，
解得m＞1且m≠3．
故选：D．
【点评】本题主要考查分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，
扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
7．（2025•邻水县二模）实验室需要配制10%的盐水溶液，现有100克5%的盐水、50克盐（100%浓度）
和100克水．若需将原溶液浓度提升至10%，需加入多少克盐列方程正确的是（ ）
x+5 10 5 10
A． = B． =
100+x 100 100+x 100
x 10 10+x 10
C． = D． =
100+x 100 100+x 100
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】计算出原溶液中溶质的质量，根据浓度公式列方程即可，
5+x 10
【解答】解：根据题意可得方程 = ，
100+x 100
第9页（共27页）故选：A．
【点评】本题考查了分式方程，熟知等量关系列方程是解题的关键．
x m+1
8．（2025•工农区校级模拟）若关于x的分式方程 + =2的解的取值范围为x≤3，则m的取值范
x-2 2-x
围是（ ）
A．m≥3 B．m≤3 C．m≥0且m≠1 D．m≤0且m≠1
【考点】分式方程的解．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先将分式方程化为整式方程求出方程的解，再根据方程解的取值范围以及分母不为零的条件
确定m的取值范围．
【解答】解：原方程变形得：
x m+1
- =2．
x-2 x-2
解得x＝3﹣m．
由条件可知3﹣m≤3，
∴m≥0．
∵分母不能为0，即x﹣2≠0，
把x＝3﹣m代入得3﹣m﹣2≠0，
解得m≠1．
∴m的取值范围是m≥0且m≠1，
故选：C．
【点评】此题考查的是根据分式方程解的情况，求参数的取值范围，掌握分式方程的解法和分式方程
的增根是解决此题的关键．
3 6
9．（2025•香坊区三模）方程 = 的解是（ ）
x-1 x+2
A．x＝﹣4 B．x＝4 C．x＝﹣5 D．x＝3
【考点】解分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．
3 6
【解答】解： = ，
x-1 x+2
第10页（共27页）方程两边同时乘（x﹣1）（x+2），得3（x+2）＝6（x﹣1），
去括号，得3x+6＝6x﹣6，
解得：x＝4，
检验：把x＝4代入（x﹣1）（x+2）≠0，
∴分式方程的解为x＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
3 a
10．（2025•江阳区校级模拟）若关于x的分式方程 = -2的解为正数，且关于x的一元一次不等
x-1 x-1
{ x-4≤0
式组 有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
2x-3≥a
A．6 B．9 C．11 D．14
【考点】分式方程的解；解分式方程；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组
的整数解．
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【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用．
【答案】C
a-1
【分析】根据解分式方程的方法，求出x= ，由题意可得x＞0且x≠1，由此可得a＞1且a≠3．再
2
a+3 a+3
解一元一次不等式组可得： ≤x≤4，由一元一次不等式组有解，可得 ≤4，即可得出a≤5，
2 2
得出符合题意的a值，进而得出答案．
3 a
【解答】解： = -2，
x-1 x-1
方程两边同时乘（x﹣1），得3＝a﹣2（x﹣1），
去括号，得3＝a﹣2x+2，
a-1
解得：x= ，
2
∵分式方程的解为正数，
∴x＞0且x≠1，
a-1 a-1
∴ ＞0且 ≠1，
2 2
解得：a＞1且a≠3．
第11页（共27页）{ x-4≤0①
解一元一次不等式组 ，
2x-3≥a②
由①，得x≤4，
a+3
由②，得x≥ ，
2
a+3
∴不等式组的解集为 ≤x≤4，
2
∵一元一次不等式组有解，
a+3
∴ ≤4，
2
解得：a≤5，
∴1＜a≤5且a≠3，
∴a是整数解为2，4，5，
∴满足条件的整数a的值之和为：2+4+5＝11．
故选：C．
【点评】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一
次不等式组的整数解，掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式组的方法，解一元一次不等式的方
法是解题的关键．
11．（2025•兴庆区校级三模）在古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构使得建筑物连接牢固，工匠们制
作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多 0.5千克．已知用30千克木材制
作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同，设制作1个榫需要的木材为x千克，则符合题意的方
程是（ ）
30 25 30 25
A． = B． = +0.5
x x-0.5 x x
30 25 30 25
C． +0.5= D． =
x x x+0.5 x
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
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【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为（x﹣0.5）千克，根据用30千克
木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同，列出分式方程即可．
【解答】解：设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为（x﹣0.5）千克，
第12页（共27页）30 25
由题意得： = ，
x x-0.5
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
a+b
12．（2025•临平区模拟）对于实数 a，b，定义一种新运算“☆”为：a☆b= ．例如：1☆
1-ab
1+3
3= =-2，则方程（﹣2）☆x＝1的解是（ ）
1-1×3
A．x＝1 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝﹣1
【考点】解分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据定义的新运算列得分式方程，解方程并检验即可．
-2+x
【解答】解：由题意可得 = 1，
1+2x
去分母得：﹣2+x＝1+2x，
解得：x＝﹣3，
经检验，x＝﹣3是分式方程的解，
故选：C．
【点评】本题考查解分式方程，理解题意并列得正确的方程是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
m 1-x
13．（2025•长沙一模）如果关于x的方程 - =0无解，则m的值是 2 ．
3-x x-3
【考点】分式方程的解．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】解分式方程，根据其无解，得出x＝3，即可得到答案．
【解答】解：方程去分母得：m+（1﹣x）＝0，
∴m＝x﹣1，
∵关于x的分式方程无解，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
∴m＝x﹣1＝3﹣1＝2．
第13页（共27页）故答案为：2．
【点评】本题考查了分式方程的知识，分式方程无解的条件是去分母后所得整式方程无解，或解这个
整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
x+1 m
14．（2025•成都校级三模）若关于x的分式方程 = 的解大于0，则m的取值范围为 m ＞ 1 且
x-3 x-3
m ≠4 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】m＞1且m≠4．
【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，再用m表示出该方程的解集，结合该分式方程的解大于
0，即得出关于m的不等式，即可解出m的取值范围．最后结合分式有意义的条件即可进一步确定 m
的取值范围．
x+1 m
【解答】解： = ，
x-3 x-3
去分母，得：x+1＝m，
解得：x＝m﹣1．
∵该分式方程的解大于0，
∴m﹣1＞0，
∴m＞1．
又∵x﹣3≠0，
∴x≠3，即m﹣1≠3，
∴m≠4．
综上可知，m＞1且m≠4．
故答案为：m＞1且m≠4．
【点评】本题考查根据分式方程的解的情况求值．把分式方程化为整式方程和掌握分式有意义的条件
是解题关键．
a+x
{ ≥x-2
2
15．（2025•江北区校级二模）若整数a使关于x的不等式组 的解集为x＜2，且使关于y
x 2
-(x-2)＞
3 3
y-1 a+5
的分式方程 + =-4有正整数解，则满足条件的a的值之和为 1 2 ．
4- y y-4
第14页（共27页）【考点】分式方程的解；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
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【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】12．
{x≤a+4
【分析】先解一元一次不等式组，可得 ，再根据不等式组的解集为x＜2，可得a+4≥2，由此
x＜2
y-1 a+5 10-a
解得：a≥﹣2．解分式方程 + =-4，可得y= ，且y≠4，即可得出a≠﹣2，再由分式方
4- y y-4 3
程有正整数解，即可得出符合条件的a值，进而得出答案．
a+x
{ ≥x-2①
2
【解答】解： ，
x 2
-(x-2)＞ ②
3 3
解不等式①，得x≤a+4，
解不等式②，得x＜2，
∵不等式组的解集为x＜2，
∴a+4≥2，
解得：a≥﹣2．
y-1 a+5 10-a
解分式方程 + =-4，得y= ，
4- y y-4 3
10-a
∵y≠4，即 ≠4，
3
解得：a≠﹣2．
∵分式方程有正整数解，即10﹣a是3的正整数倍，
设10﹣a＝3k（k为正整数），则a＝10﹣3k，
∵a≥﹣2，
∴10﹣3k≥﹣2，
解得：k≤4，即k＝1，2，3，4．
当k＝4时，a＝﹣2不符合题意，舍去．
∴当k＝1时，a＝7，k＝2时，a＝4，k＝3时，a＝1，
∴满足条件的a的值之和为：7+4+1＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，
第15页（共27页）掌握解分式方程的方法，分式方程解的定义，解一元一次不等式组的方法，一元一次不等式组解的定
义是解题的关键．
16．（2025•崂山区校级三模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一送题译为白
话文是：把一份文件用慢马送到1000里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所
需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可
1000 1000
列方程为 ×2= ．
x+1 x-3
【考点】由实际问题抽象出分式方程；数学常识．
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【专题】分式方程及应用；应用意识．
1000 1000
【答案】 ×2= ．
x+1 x-3
【分析】根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为（x+1）天，快马
所需的时间为（x﹣3）天，利用速度＝路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的
分式方程，此题得解．
【解答】解：∵规定时间为x天，
∴慢马所需的时间为（x+1）天，快马所需的时间为（x﹣3）天，
又∵快马的速度是慢马的2倍，
1000 1000
∴可列出方程 ×2= ．
x+1 x-3
1000 1000
故答案为： ×2= ．
x+1 x-3
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是
解题的关键．
{2x-11
＜3x+1，
17．（2025•重庆校级模拟）若关于x的一元一次不等式组 3 至少有两个整数解，且关
4x≤a+x+3
a+2 y-1
于y的分式方程 + =-4的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是 5 ．
y-2 2- y
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】5．
【分析】根据关于x的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定a的取值范围a≥﹣3，再把分式方程
第16页（共27页）5-a
去分母转化为整式方程，解得y= ，由分式方程的解为正数，确定a的取值范围a＜5且a≠﹣1，
3
进而得到﹣3≤a＜5且a≠﹣1，根据范围确定出a的取值，相加即可得到答案．
{2x-11
＜3x+1①
【解答】解： 3 ，
4x≤a+x+3②
解①得：x＞﹣2，
a+3
解②得：x≤ ，
3
∵不等式组至少有两个整数解，
a+3
∴ ≥0，
3
解得：a≥﹣3，
a+2 y-1
+ =-4，
y-2 2- y
a+2 y-1
- =-4，
y-2 y-2
a+2﹣y+1＝﹣4y+8，
3y＝5﹣a，
5-a
y= ，
3
∵关于y的分式方程的解为正数，
5-a 5-a
∴ ＞0且 ≠2，
3 3
解得：a＜5且a≠﹣1，
∴﹣3≤a＜5且a≠﹣1，
则所有满足条件的整数a的值之和是﹣3+（﹣2）+0+1+2+3+4＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，先解不等式组，
2-x 1
18．（2025•武侯区校级模拟）分式方程 + =1的解是 x ＝ 2 ．
x-3 3-x
【考点】解分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝2．
第17页（共27页）【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式方程
的解．
【解答】解：去分母得：2﹣x﹣1＝x﹣3，
移项合并得：2x＝4，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
故答案为：x＝2．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方
程求解．解分式方程一定注意要验根．
19．（2025•铜梁区校级一模）“5•12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段 120米的
铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？若原计划
120 120
每天修x米，所列方程正确的是 - =4 ．
x x+5
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
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【答案】见试题解答内容
【分析】要求的未知量是工作效率，有工作路程，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：
“提前4天开通了列车”；等量关系为：原来所用的时间﹣实际所用的时间＝4．
120 120 120 120
【解答】解：原来所用的时间为： ，实际所用的时间为： ．所列方程为： - =4．
x x+5 x x+5
【点评】题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．找到关
键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
k x
20．（2025•苏州模拟）已知关于x的分式方程 +2= 的解是非负数，则k的取值范围是 k ≤2
x-1 1-x
且 k ≠﹣ 1 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】k≤2且k≠﹣1．
【分析】将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有
意义进行求解即可．
k x
【解答】解：关于x的分式方程 +2= 化为整式方程得，
x-1 1-x
k+2（x﹣1）＝﹣x，
第18页（共27页）2-k
解得x= ，
3
2-k
由于分式方程的解为非负数，即 ≥0，
3
所以k≤2，
当x＝1时，k＝﹣1，
因此k的取值范围为k≤2且k≠﹣1，
故答案为：k≤2且k≠﹣1．
【点评】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•海城市三模）葫芦岛北到哈尔滨西的铁路里程约为660km，从葫芦岛北乘“G”字头列车A和
“T”字头列车B都可到达哈尔滨西．已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少3h（中
间站停车时间忽略不计），请根据以上信息，求出列车A车的平均速度．
【考点】分式方程的应用．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】A车的平均数速度为220km/h．
【分析】设B车的平均速度为x km/h，则A车的平均数速度为2x km/h，然后依据A车行驶时间比B
车少3h列方程求解即可．
【解答】解：设B车的平均速度为x km/h，则A车的平均数速度为2x km/h，
660 660
根据题意列分式方程得， = -3，
2x x
整理得，6x＝660，
解得x＝110，
经检验，x＝110是原方程的解，
∴2x＝2×110＝220，
即A车的平均数速度为220km/h，
答：A车的平均数速度为220km/h．
【点评】本题主要考查的是分式方程的应用，找出题目的相等关系是解题的关键．
22．（2025•紫金县校级一模）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买 A、B两种
型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每
天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
第19页（共27页）（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的
机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．设购买A型机器
人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式，并求出最少购买金额．
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．
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【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x+10）吨，根
据A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．列出分式方程，
解方程即可；
（2）先根据题意求出w与m的函数关系式，再根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出 m
的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）
吨，
540 600
由题意得： = ，
x x+10
解得：x＝90；
经检验：x＝90 是原方程的解，且符合题意，
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨；
（2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人为（30﹣m）台，
∴w＝1.2m+2（30﹣m）＝﹣0.8m+60，
{90m+100(30-m)≥2830
由题意得： ，
1.2m+2(30-m)≤48
解得：15≤m≤17，
∵﹣0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝17时，w有最小值＝﹣0.8×17+60＝46.4，
即w与m的函数关系式为w＝﹣0.8m+60（15≤m≤17），最少购买金额为46.4万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组好一次函
数关系式．
23．（2025•济阳区一模）新能源汽车有着动力强、油耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某
第20页（共27页）汽车4S店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车进价的 1.2
倍，若用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆．
（1）求每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为多少万元？
（2）该汽车4S店决定购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5
倍，问购进乙型汽车多少辆时，可使投资总额最少？最少投资总额是多少万元？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
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【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）每辆甲型汽车的进价为12万元，每辆乙型汽车的进价为10万元；
（2）购进乙型汽车40辆，可使投资总额最少，最少投资总额是1120万元．
【分析】（1）设乙型汽车的进价为每辆x万元，则甲型汽车的进价为每辆1.2x万元，根据用2400万
元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲型汽车m辆，则购进乙型汽车（100﹣m）辆，根据购进的甲型汽车不少于乙型汽车的
1.5倍，列出一元一次不等式，解得m≥60，再设投资总额为w元，由题意列出w关于m的一次函数关
系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设每辆乙型汽车的进价为x万元，则每辆甲型汽车的进价为1.2x万元，
2400 1800
依题意得： - = 20，
1.2x x
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝12，
答：每辆甲型汽车的进价为12万元，每辆乙型汽车的进价为10万元；
（2）设购进甲型汽车m辆，则购进乙型汽车（100﹣m）辆，
依题意得：m≥1.5（100﹣m），
解得：m≥60，
设投资总额为w元，
依题意得：w＝12m+10（100﹣m）＝2m+1000，
∵2＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝60时，w有最小值＝2×60+1000＝1120，
此时，100﹣m＝40，
答：购进乙型汽车40辆，可使投资总额最少，最少投资总额是1120万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
第21页（共27页）（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数
关系式．
24．（2025•兴庆区校级四模）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人
机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为
30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟．
（1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时；
（2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8
分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务．
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
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【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）无人机的配送速度是40千米/时，传统车辆的配送速度是60千米/时；
（2）无人机的速度至少要提到70千米/时，才能完成此次配送任务．
【分析】（1）设无人机的配送速度是x千米/时，则传统车辆的配送速度是1.5x千米/时，根据采用传
统车辆匀速配送，公路距离为30千米，但所用时间要比无人机配送多6分钟，列出分式方程，解方程
即可；
（2）设无人机的速度要提到y千米/时，才能完成此次配送任务，根据10分钟后接到医院通知，急救
药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设无人机的配送速度是x千米/时，则传统车辆的配送速度是1.5x千米/时，
30 16 6
由题意得： - = ，
1.5x x 60
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×40＝60，
答：无人机的配送速度是40千米/时，传统车辆的配送速度是60千米/时；
（2）设无人机的速度要提到y千米/时，才能完成此次配送任务，
10 8
由题意得：40× + y≥16，
60 60
解得：y≥70，
答：无人机的速度至少要提到70千米/时，才能完成此次配送任务．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
25．（2025•兴庆区校级二模）下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题：
第22页（共27页）2x-1 x-1
解分式方程： = -2
3x+6 x+2
2x-1 x-1
解： = -2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第一步
3(x+2) x+2
2x﹣1＝3（x﹣1）﹣6（x+2）……………………第二步
2x﹣1＝3x﹣3﹣6x+12…………第三步
………
（1）第二步的解题依据是 B ；
A．分式的性质；B．等式的性质；C．单项式乘以多项式法则．
（2）以上解方程步骤中，第 三 步开始错误的，错误原因是 括号前是“﹣”号，去括号后，
括号内第二项没有变号 ；
（3）请写出该分式方程的正确解答过程．
【考点】解分式方程；单项式乘多项式．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）B；
（2）三；括号前是“﹣”号，去括号后，括号内第二项没有变号；
14
（3）x=- ．
5
【分析】（1）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）第二步的解题依据是等式的性质，
故答案为：B；
（2）以上解方程步骤中，第三步开始错误的，错误原因是括号前是“﹣”号，去括号后，括号内第二
项没有变号，
故答案为：三；括号前是“﹣”号，去括号后，括号内第二项没有变号；
（3）该分式方程的正确解答过程如下：
2x-1 x-1
= -2，
3x+6 x+2
2x-1 x-1
= - 2，
3(x+2) x+2
2x﹣1＝3（x﹣1）﹣6（x+2），
14
解得：x=- ，
5
第23页（共27页）14
检验：当x=- 时，3（x+2）≠0，
5
14
∴x=- 是原方程的根．
5
【点评】本题考查了解分式方程，单项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
第24页（共27页）考点卡片
1．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它
合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
2．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把
所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能
漏乘；③注意确定积的符号．
3．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产
生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
4．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
5．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和
追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
6．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单
第25页（共27页）位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作
时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
7．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同
类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不
等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形
式．
8．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题
的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等
关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
9．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组
的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些
解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
第26页（共27页）10．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下
一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对
结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
11．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
12．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又
要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条
件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
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