文档内容
吉林省 2024 年初中学业水平考试
数学试题
数学试卷共7页，包括六道大题，共26道小题，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域
内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无
效．
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1. 若 的运算结果为正数，则 内的数字可以为（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出 与四个选项中
的数的乘积即可得到答案．
【详解】解： ， ， ， ，
四个算式的运算结果中，只有3是正数，
故选：D．
2. 长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达
，数据 用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为
整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
1【详解】解：
故选B．
3. 葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（
）
A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图与俯视图都相同
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义找到葫芦的三视图即可得到答案．
【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和俯视图都是下面一个较大的圆，中间一
个较小的圆，上面是一条线段，
故选：A．
4. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．
分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．
【详解】解：A、 ，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；
B、 ，解得： ，故本选项符合题意；
C、 ， ，解得 ，故本选项不符合题意；
D、 ， ，解得 ，故本选项不符合题意．
故选：B．
25. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点C的坐标为 ．以 为边作矩形
，若将矩形 绕点O顺时针旋转 ，得到矩形 ，则点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到 ，
再由矩形的性质可得 ，由旋转的性质可得 ，
，据此可得答案．
【详解】解：∵点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，
∴ ，
是
∵四边形 矩形，
∴ ，
∵将矩形 绕点O顺时针旋转 ，得到矩形 ，
∴ ， ，
∴ 轴，
∴点 的坐标为 ，
故选：C．
6. 如图，四边形 内接于 ，过点B作 ，交 于点E．若 ，则
的度数是（ ）
3A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据 得到 ，再由四边形 内接于 得到 ，
即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∴ ,
故选：C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
7. 当分式 的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为______．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得 ，则 ，据此可得答案．
【详解】解：∵分式 的值为正数，
4∴ ，
∴ ，
∴满足题意的x的值可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
8. 因式分解：a2﹣3a=_______．
【答案】a（a﹣3）
【解析】
【分析】直接把公因式a提出来即可．
【详解】解：a2﹣3a=a（a﹣3）．
故答案为a（a﹣3）．
9. 不等式组 的解集为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小
大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集为 ，
故答案为： ．
10. 如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是______．
5【答案】两点之间，线段最短
【解析】
【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．
【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，
其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短
故答案为：两点之间，线段最短．
11. 正六边形的每个内角等于______________°．
【答案】120
【解析】
【详解】解：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，
∴正六边形的每个内角为： ，
故答案为：120
12. 如图，正方形 的对角线 相交于点O，点E是 的中点，点F是 上一点．连接
．若 ，则 的值为______．
6【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到 ，
，再证明 ，进而可证明 ，由相似三角形的性质可得
，即 ．
【详解】解：∵正方形 的对角线 相交于点O，
∴ ， ，
∵点E是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
13. 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中
， 于点C， 尺， 尺．设 的长度为x尺，可列方程为______．
【答案】
【解析】
7【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．
设 的长度为x尺，则 ，在 中，由勾股定理即可建立方程．
【详解】解：设 的长度为x尺，则 ，
∵ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
故答案为： ．
的
14. 某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制 铅球场地设计图如图所示，该场地由
和扇形 组成， 分别与 交于点A，D． ， ， ，则阴影
部分的面积为______ （结果保留 ）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
故答案为： ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
815. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，6
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，先利用平方差公式化简，再进行合并同类项，最后代
入求值即可．
【详解】解：原式
，
当 时，
原式
．
16. 吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，
推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取
一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免
费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同
一个项目的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或
两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．画出树状图，可知共有 9种
等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件A、B、C，可画树状图为：
由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，
9∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目 的概率 ．
17. 如图，在 中，点O是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点E，求证：
．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出
，再由线段中点的定义得到 ，据此可证明
，进而可证明 ．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵点O是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
18. 钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．
求白色琴键和黑色琴键的个数．
【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个
【解析】
【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键．
设黑色琴键x个，则白色琴键 个，可得方程 ，再解方程即可．
10【详解】解：设黑色琴键x个，则白色琴键 个，
由题意得： ，
解得： ，
∴白色琴键： （个），
答：白色琴键52个，黑色琴键36个．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格
点上．图①中已画出四边形 ，图②中已画出以 为半径的 ，只用无刻度的直尺，在给定的
网格中按要求画图．
（1）在图①中，面出四边形 的一条对称轴．
（2）在图②中，画出经过点E的 的切线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等：
（1）如图所示，取格点E、F，作直线 ，则直线 即为所求；
（2）如图所示，取格点 ，作直线 ，则直线 即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，取格点E、F，作直线 ，则直线 即为所求；
易证明四边形 是矩形，且E、F分别为 的中点；
11【小问2详解】
解：如图所示，取格点 ，作直线 ，则直线 即为所求；
易证明四边形 是正方形，点E为正方形 的中心，则 ．
20. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关
系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
（2）当电阻R为 时，求此时的电流I．
【答案】（1）
（2）
12【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出当 时I的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：设这个反比例函数的解析式为 ，
把 代入 中得： ，
解得 ，
∴这个反比例函数的解析式为 ；
【小问2详解】
解：在 中，当 时， ，
∴此时的电流I为 ．
21. 中华人民共和国 年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．
根据以上信息回答下列问题：
（1） 年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？
（2）直接写出 年全国居民人均可支配收入的中位数．
（3）下列判断合理的是______（填序号）．
13① 年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．
② 年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，2020年
全国居民人均可支配收入最低．
【答案】（1） 元
（2） 元
（3）①
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布折线图，中位数：
（1）用2023年的全国居民人均可支配收入减去2019年全国居民人均可支配收入即可得到答案；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）根据统计图的数据即可得到答案．
【小问1详解】
解： 元，
答： 年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多 元．
【小问2详解】
解： 年这五年的全国居民人均可支配收入分别为 元， 元， 元，
元， 元，
∴ 年全国居民人均可支配收入的中位数为 元；
【小问3详解】
解：由统计图可知 年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势，故①正确；
由统计图可知 年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中，
2019年全国居民人均可支配收入最低，故②错误；
故答案为：①．
22. 图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度
，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角 ，看塔底D的俯角 ，求
14吉塔的高度 （结果精确到0.1m）．（参考数据： ， ， ）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意和添加辅助线是解题的关键．
先 解 得 到 ， 再 解 ，
，即可求解 ．
【详解】解：延长 交 于点G，由题意得 ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
15∴ ，
答：吉塔的高度 约为 ．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；
第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，
请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的
设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的
位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为 ，凳面的宽度为 ，
记录如下：
.
19
以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 23.1 26.4 29.7
8
凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
16【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应
的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
（2）当凳面宽度为 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
【答案】（1）在同一条直线上，函数解析式为：
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知
识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）将 代入函数解析式，解方程即可．
【小问1详解】
，
解：设函数解析式为： ，
∵当 ， ，
17∴ ，
解得： ，
∴函数解析式为： ，
经检验其余点均在直线 上，
∴函数解析式为 ，这些点在同一条直线上；
【小问2详解】
解：把 代入 得：
，
解得： ，
∴当凳面宽度为 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为 ．
24. 小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：
【探究论证】
（1）如图①，在 中， ， ，垂足为点D．若 ， ，则
______．
（2）如图②，在菱形 中， ， ，则 ______．
18（3）如图③，在四边形 中， ，垂足为点O．若 ， ，则
______；若 ， ，猜想 与a，b的关系，并证明你的猜想．
【理解运用】
（4）如图④，在 中， ， ， ，点P为边 上一点．
小明利用直尺和圆规分四步作图：
为
（ⅰ）以点K 圆心，适当长为半径画弧，分别交边 ， 于点R，I；
（ⅱ）以点P为圆心， 长为半径画弧，交线段 于点 ；
（ⅲ）以点 为圆心， 长为半径画弧，交前一条弧于点 ，点 ，K在 同侧；
（ⅳ）过点P画射线 ，在射线 上截取 ，连接 ， ， ．
请你直接写出 的值．
【答案】（1）2，（2）4，（3） ， ，证明见详解，（4）10
【解析】
【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可；
（2）根据菱形的面积公式计算即可；
（ 3 ） 结 合 图 形 有 ， ， 即 可 得
，问题随之得解；
（4）先证明 是直角三角形，由作图可知： ，即可证明 ，再结合
（3）的结论直接计算即可．
【详解】（1）∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
19∴ ，
故答案为：2；
（2）∵在菱形 中， ， ，
∴ ，
故答案为：4；
（3）∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ，
猜想： ，
证明：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
20∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（4）根据尺规作图可知： ，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴根据（3）的结论有： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定
理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，在 中， ， ， ， 是 的角平分线．动点P从点
A出发，以 的速度沿折线 向终点B运动．过点P作 ，交 于点Q，以
21为边作等边三角形 ，且点C，E在 同侧，设点P的运动时间为 ， 与 重
合部分图形的面积为 ．
（1）当点P在线段 上运动时，判断 的形状（不必证明），并直接写出 的长（用含t的代
数式表示）．
（2）当点E与点C重合时，求t的值．
（3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
【答案】（1）等腰三角形，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）过点Q作 于点H，根据“平行线+角平分线”即可得到 ，由
，得到 ，解 得到 ；
（2）由 为等边三角形得到 ，而 ，则 ，故 ，解得
22；
（3）当点P在 上，点E在 上，重合部分为 ，过点P作 于点G，
，则 ，此时 ；当点P在 上，点E在 延长线上
时，记 与 交于点F，此时重合部分为四边形 ，此时 ，因此
，故可得 ，此时
；当点P在 上，重合部分为 ， 此时 ，
，解直角三角形得 ，故
，此时 ，再综上即可求解．
【小问1详解】
解：过点Q作 于点H，由题意得：
23∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ；
【小问2详解】
解：如图，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
24由（1）得 ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
【小问3详解】
解：当点P在 上，点E在 上，重合部分为 ，过点P作 于点G，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
由（2）知当点E与点C重合时， ，
∴ ；
25当点P在 上，点E在 延长线上时，记 与 交于点F，此时重合部分为四边形 ，如图，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当点P与点D重合时，在 中， ，
∴ ，
∴ ；
当点P在 上，重合部分为 ，如图，
26∵ ，
由上知 ，
∴ ，
∴此时 ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴当点P与点B重合时， ，
解得： ，
∴ ，
综上所述： ．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角
27形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．
26. 小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为
时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6．
（1）直接写出k，a，b的值．
（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）．
Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
Ⅱ．若关于x的方程 （t为实数），在 时无解，求t的取值范围．
Ⅲ．若在函数图像上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为 ．小明对P，Q
之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接
写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）Ⅰ： 或 ；Ⅱ： 或 ；Ⅲ： 或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，
正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的额关键．
（1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x，y的值代入所给的y关于x的函数解析式种解方程或方程组
即可；
（2）Ⅰ：可知一次函数解析式为： ，二次函数解析式为： ，当 时，
28，对称为直线 ，开口向上，故 时，y随着x的增大而增大；当 时，
， ，故 时，y随着x的增大而增大；
Ⅱ：问题转化为抛物线 与直线 在 时无交点，考虑两个临界状态，当 时，
抛物线 与直线 在 时正好一个交点，因此当 时，抛物线
与直线 在 时没有交点；当 ， ，故当 时，抛物线 与直线
在 时正好一个交点，因此当 时，抛物线 与直线 在 时没
有交点，当 或 时，抛物线 与直线 在 时没有交点，即方程
无解；
Ⅲ： 可求点P、Q关于直线 对称，当 ， ，当 时， ，当图像对应函
数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当 时， ， 时， ，故①当 ，
由题意得： ，则 ；②当 ，由题意得： ，则 ，
综上： 或 ．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴将 ， 代入 ，
得： ，
解得： ，
29∵ ，
∴将 ， 代入
得： ，
解得： ；
【小问2详解】
解：Ⅰ，∵ ，
∴一次函数解析式为： ，二次函数解析式为：
当 时， ，对称为直线 ，开口向上，
∴ 时，y随着x的增大而增大；
当 时， ， ，
∴ 时，y随着x的增大而增大，
综上，x的取值范围： 或 ；
Ⅱ，∵ ，
∴ ，在 时无解，
∴问题转化为抛物线 与直线 在 时无交点，
∵对于 ，当 时，
∴顶点为 ，如图：
30∴当 时，抛物线 与直线 在 时正好一个交点，
∴当 时，抛物线 与直线 在 时没有交点；
当 ， ，
∴当 时，抛物线 与直线 在 时正好一个交点，
∴当 时，抛物线 与直线 在 时没有交点，
∴当 或 时，抛物线 与直线 在 时没有交点，
即：当 或 时，关于x的方程 （t为实数），在 时无解；
Ⅲ：∵ ，
∴ ，
∴点P、Q关于直线 对称，
当 ， ，当 时， ，
∵当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当 时， ， 时， ，
31∴①当 ，如图：
由题意得： ，
∴ ；
②当 ，如图：
由题意得： ，
32∴ ，
综上： 或 ．
33
