文档内容
泸州市二〇二四年初中学业水平考试
数学试题
全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分．考试
时间共120分钟．
注意事项：
1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将
试卷和答题卡一并交回．
2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应
题号位置作答，在试卷上作答无效．
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）．
1. 下列各数中，无理数是（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：① 类，
如 ， 等；②开方开不尽的数，如 ， 等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如
（两个1之间依次增加1个0）， （两个2之间依次增加1个1）等．
【详解】解：根据无理数的定义可知，四个数中，只有D选项中的数π是无理数，
故选：D．
2. 第二十届中国国际酒业博览会于2024年3月21-24日在泸州市国际会展中心举办，各种活动带动消费
亿元，将数据 用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，一般形式为 ，其中 ，确定 的值时，要看原
1数变成 时，小数点移动了多少位， 的值与小数点移动位数相同，确定 与 的值是解题关键．
【详解】解： ，
故选：B．
3. 下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三视图．主视图、左视图是分别从物体正面、左面所看到的图形．依此即可求解．
【详解】解：A、主视图为三角形，左视图为三角形，故本选项不符合题意；
为
B、主视图 三角形，左视图为三角形，故本选项不符合题意；
C、主视图为矩形，左视图为矩形，故本选项符合题意；
D、主视图为矩形，左视图为三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
4. 把一块含 角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角的运算，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用平行线性
质得到 ，再根据平角的定义求解，即可解题．
【详解】解：如图，
2直角三角板位于两条平行线间且 ，
，
又 直角三角板含 角，
，
，
故选：B．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式和合并同类项等计算，熟知相
关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、 与 不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算正确，符合题意；
D、 ，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
6. 已知四边形 是平行四边形，下列条件中，不能判定 为矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
3【分析】本题考查了矩形的判定．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是
矩形、有一个角是直角的平行四边形是矩形判断即可．
【详解】解：如图，
A、 ，能判定 为矩形，本选项不符合题意；
B、∵ ， ，∴ ，能判定 为矩形，
本选项不符合题意；
C、 ，能判定 为矩形，本选项不符合题意；
为
D、 ，能判定 菱形，不能判定 为矩形，本选项符合题意；
故选：D．
7. 分式方程 的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程方法和步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数
化为1，检验）求解，即可解题．
【详解】解： ，
，
，
，
4，
，
经检验 是该方程的解，
故选：D．
8. 已知关于x的一元二次方程 无实数根，则函数 与函数 的图象交点个数
为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k
的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置．
【详解】解：∵方程 无实数根，
∴ ，
解得： ，则函数 的图象过二，四象限，
而函数 的图象过一，三象限，
∴函数 与函数 的图象不会相交，则交点个数为0，
故选：A．
9. 如图， ， 是 的切线，切点为A，D，点B，C在 上，若 ，则
（ ）
5A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是
解题关键．
根据圆的内接四边形的性质得 ，由 得 ，由
切线长定理得 ，即可求得结果．
【详解】解：如图，连接 ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ， 是 的切线，根据切线长定理得，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
610. 宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形
沿对角线 翻折，点 落在点 处， 交 于点 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等知识点，
利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键．
设宽，根据比例表示长，证明 ，在 中，利用勾股定理即可求得结果．
【详解】解：设宽为 ，
∵宽与长的比是 ，
∴长为： ，
由折叠的性质可知， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
7∴ ，
设 ，
在 中， ，
变形得： ，
， ，
∴ ，
故选A．
11. 已知二次函数 （x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取
值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与 轴有2个交点，开口向上，
而且与 轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可．
【详解】解： 二次函数 图象经过第一、二、四象限，
且 ， ，
解得 ．
故选：A．
8的
12. 如图，在边长为6 正方形 中，点E，F分别是边 上的动点，且满足 ，
与 交于点O，点M是 的中点，G是边 上的点， ，则 的最小值是
（ ）
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，
先证明 得到 ，进而得到 ，则由直角三角形的性质可
得 ，如图所示，在 延长线上截取 ，连接 ，易证明 ，
则 ，可得当H、D、F三点共线时， 有最小值，即此时 有最小值，最小
值即为 的长的一半，求出 ，在 中，由勾股定理得 ，责
任 的最小值为5．
9【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点M是 的中点，
∴ ；
如图所示，在 延长线上截取 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当H、D、F三点共线时， 有最小值，即此时 有最小值，最小值即为 的长的
一半，
∵ ， ，
∴ ，
10∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ 的最小值为5，
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）．
13. 函数 中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
14. 在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸
出一个球是白球的概率是 ，则黄球的个数为______．
【答案】3
【解析】
【分析】此题考查了分式方程的应用，以及概率公式的应用．设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列
方程，解此分式方程即可求得答案．
【详解】解：设黄球的个数为x个，
根据题意得： ，
解得： ，
11经检验， 是原分式方程的解，
∴黄球的个数为3个．
故答案为：3．
15. 已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，
若该方程的两个实数根为 ， ，则 ， ．先根据根与系数的关系得到 ，
，再根据完全平方公式的变形 ，求出 ，由此即
可得到答案．
【详解】解： ， 是一元二次方程 的两个实数根，
， ，
，
，
．
故答案为： ．
16. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移 个单位，再绕原点按逆时针方向旋转
角度，这样的图形运动叫做图形的 变换．如：点 按照 变换后得到点 的坐标为
，则点 按照 变换后得到点 的坐标为______．
【答案】
【解析】
12【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形．根据题意，点 向上平移2个单位，得到点
，再根据题意将点 绕原点按逆时针方向旋转 ，得到 ，
，据此求解即可．
【详解】解：根据题意，点 向上平移2个单位，得到点 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
根据题意，将点 绕原点按逆时针方向旋转 ，
∴ ，
作 轴于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
1317. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的
加减运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化简各式，然后再进行加减计算即可解答．
【详解】解：原式 ，
，
．
18. 如图，在 中，E，F是对角线 上的点，且 ．求证： ．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到
，则 ，再证明 ，即可证明 ．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
1419. 化简： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先将括号里的通分，再将除法转化为乘法，然后根据完全平方公式和平方差公式整理，最后约分即可得出
答案．
【详解】解：
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20. 某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取16株
麦苗，测得苗高（单位： ）如下表．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
甲 7 8
0 1 1 2 3 3 4 4 4 4 5 6 6 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
乙 7
0 3 1 8 2 3 3 0 3 3 4 5 6 1 7
将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计表格和频数分布直方图．
苗高分组 甲种小麦的频数
a
b
7
3
15小 麦
种类 甲 乙
统计量
平均数 12.875 12.875
众数 14 d
中位数 c 13
方差 8.65 7.85
根据所给出的信息，解决下列问题：
（1） ______， ______，并补全乙种小麦的频数分布直方图；
（2） ______， ______；
（3）甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是______（填甲或乙）；若从栽种乙种小麦的试验田中随机
抽取1200株，试估计苗高在 （单位： ）的株数．
【答案】（1）2，4，乙种小麦的频数分布直方图见解析；
（2）13，13.5；
（3）乙，375．
【解析】
【分析】本题考查的是数据的整理，画频数分布直方图，众数和中位数的定义，根据方差作决策，用样本
估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）根据题中数据和频数分布直方图的，即可直接得到 、 ，以及乙种小麦 的株数，再画
出频数分布直方图，即可解题；
（2）根据众数和中位数的概念，即可解题；
（3）可根据方差的意义作出判断，根据统计表和统计图得到乙种小麦苗高在 的所占比，再利
16用总数乘以其所占比，即可解题．
【小问1详解】
解：由表可知：甲种小麦苗高在 的有7、8，故 ；
甲种小麦苗高在 的有10、11、11、12，故 ，
（株），
补全后的乙种小麦的频数分布直方图如下：
故答案为：2，4；
【小问2详解】
解：由表可知：乙种小麦苗高 最多，为5次，故 ；
将甲种小麦苗高从小到大排列得7、8、10、11、11、12、13、13、14、14、14、14、15、16、16、18，故
中位数为 ，即 ；
故答案为： ；
【小问3详解】
解： 乙种小麦方差 甲种小麦方差8.65，
甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙，
由题可知：乙种小麦随机抽取16株麦苗中苗高在 有5株，
若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，苗高在 的株数为：
17（株）．
21. 某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2
件B商品总费用为620元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？
（2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品
按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，
则购进A商品的件数最多为多少？
【答案】（1）A，B两种商品每件进价各为100元，60元；
（2）购进A商品的件数最多为20件
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：
（1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，根据购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购
进5件A商品和2件B商品总费用为620元列出方程组求解即可；
（2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为 件，根据利润不低于1770元且购进B
商品的件数不少于A商品件数的2倍列出不等式组求解即可．
【小问1详解】
解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，
由题意得， ，
解得 ，
答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元；
【小问2详解】
解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为 件，
由题意得， ，
解得 ，
∵m为整数，
18∴m的最大值为20，
答：购进A商品的件数最多为20件．
五、本大题共2小题，每小题8分，共16分．
22. 如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一
段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西 方向上，再沿北偏东 方向继续航行一段时间后到达D
点，这时测得小岛C位于北偏西 方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的
数据不取近似值）．
【答案】C，D间的距离为 ．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．作 于点 ，利用方向角的定义求得 ，
， ，证明 是等腰直角三角形，在 中，求得 的长，再证明
， ，在 中，利用三角函数的定义即可求解．
【详解】解：作 于点 ，
由题意得 ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
19∴ ，
在 中， ，
在 中， ， ，
在 中， ，
答：C，D间的距离为 ．
23. 如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 与x轴相交于点 ，与反比例函数
的图象相交于点 ．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直线 与反比例函数 和 的图象分别交于点C，D，且
，求点C的坐标．
【答案】（1）一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合：
（1）利用待定系数法求解即可；
20（2）先利用反比例函数比例系数的几何意义得到 ，进而得到 ；
再证明 ，推出 ，设 ，则 ，求出
，可得 ，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：把 代入 中得： ，解得 ，
∴反比例函数解析式为 ；
把 ， 代入 中得： ，
∴ ，
∴一次函数解析式为 ；
【小问2详解】
解：如图所示，过点B作 轴于E，设 与x轴交于F，
∵直线 与反比例函数 和 的图象分别交于点C，D，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
21∵ 轴，点B在反比例函数 的图象上，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
经检验 是原方程 解的，且符合题意，
∴ ．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24. 如图， 是 的内接三角形， 是 的直径，过点B作 的切线与 的延长线交于点
D，点E在 上， ， 交 于点F．
22（1）求证： ；
（2）过点C作 于点G，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到 ，则 ，由切线的性质推
出 ，则 ，再由同弧所对的圆周角相等和等边对等角得到
， ，据此即可证明 ；
（2）由勾股定理得 ，利用等面积法求出 ，则 ，同理可得 ，
则 ，进而得到 ；如图所示，过点C作 于H，则 ，证明
，求出 ，则 ；设 ，则 ，证明
，推出 ，在 中，由勾股定理得
，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵ 是 的直径，
23∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
24∴ ，
∴ ；
如图所示，过点C作 于H，则 ，
由（1）可得 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
25解得 或 （舍去），
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，直
径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的
关键．
25. 如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 ，与y轴交于点B，且
关于直线 对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当 时，y的取值范围是 ，求t的值；
（3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线 于点D，在y轴上是否存
在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为 或2
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论
的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分 和 ，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．
26（3）分 为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线 经过点 ，与y轴交于点B，且关于直线 对称，
∴ ，解得： ，
∴ ；
【小问2详解】
∵抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，
∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，
∵ 时， ，
①当 时，则：当 时，函数有最大值，即： ，
解得： 或 ，均不符合题意，舍去；
②当 时，则：当 时，函数有最大值，即： ，
解得： ；
故 ；
【小问3详解】
存在；
当 时，解得： ，当 时， ，
∴ ， ，
设直线 的解析式为 ，把 代入，得： ，
∴ ，
27设 ，则： ，
∴ ， ，
，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当 为边时，则： ，即 ，
解得： （舍去）或 ，
此时菱形的边长为 ；
②当 为对角线时，则： ，即： ，
解得： 或 （舍去）
此时菱形的边长为： ；
综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为 或2．
28
