高三数学试卷参考答案!理科"
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综上#这样的五位数有6(!*$!7个!
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果的个数5"%!!--#-!6"#所以6!5"$!--<-!6$6-!
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所以这*--个脐橙中质量不低于!--;的个数是-!""<*--$!!-!……………………6分
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!*"这*--个脐橙的质量的平均数的估计值为"<!-!-*< (-!-)< (-!-)
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因为##1平面#%7#所以771平面#%7! ……………………*分
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因为#%3平面#%7#所以771#%!………………………………,分
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因为<为#%的中点#且4#%7是等边三角形#所以7<1#%!…&分
因为7<#773平面77<#且77’7<$7#所以#%1平面77<!
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………………………………………………………………………"分
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//. //. //.
<为坐标原点#<%#<7#<<的方向分别为$#*#"轴的正方向#建立如图所示的空间直角坐
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标系!
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//. //. //. //.
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设平面#7<的法向量为!$!$#*#""#
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设平面#%7 的法向量为"$!$#*#""#
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6"*#%$*$$-#
*
则5 令*$槡,#得"$!-#槡,#’!"!……………………5分
//. *
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! * * *
设平面#7<与平面#%7 所成的锐二面角为!#
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$!*"$ ! 槡!-
则9:1!$$9:1-!#".$$ $ $ #……………………………………!!分
$!$$"$ 槡!-<* *-
槡!-
即平面#7<与平面#%7 所成锐二面角的余弦值为 !…………………………!*分
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{#{QQABDYYUggCgABBAABhCAQXoCkIQkBAACIoOQEAIsAIBABNABAA=}#}*-!!!"解)由题意可得#!-#&"#%!-#’&"#设4!$#*"#
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则+ $ ! #+ $ ! #所以+ *+ $ ! !……………………………………!分
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$* ** !&*’**"’*
因为点4在椭圆7上#所以 !( !$!#所以$*$ ! #…………………………*分
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则+ *+ $’ $’ !…………………………………………………………………,分
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因为*’$6#且’*$&*(@*#所以’*$5#&*$&#……………………………………………&分
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故椭圆7的标准方程为 ( $!!………………………………………………………"分
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!*"证明)设9!$#*"#<!$#*"#显然直线4A不会垂直于$轴#
* * - -
设直线4A的方程为*$+$(!!
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由5$* ** 消去*得!&(5+*"$*(!7+$’*)$-!
( $!#
75 &
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因为点!-#!"在椭圆7的内部#所以#%-#$($$’ #$$$’ ! ……)分
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设直线#4的方程为*$ ! $(*#直线%9的方程为*$ * $’*#………………7分
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所以*(*$ ! * *!*’*"!………………………………………………………5分
- $!*’*" -
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*’* *(* & $!*(*" 5 !*(*"!*(*" 5
由!!"知 ! * ! $ ’ #可 得 ! * $ ’ * ! * $ ’ *
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!+$(,"!+$(," 5 +*$$(,+!$($"(5 5 ’*)+*’"&+*(5!5+*(&"
! * $’ * ! * ! * $’ * $,! …
$$ & $$ & ’*)
! * ! *
…………………………………………………………………………………………!!分
因此*$&#即点<在直线*$&上! ……………………………………………………!*分
-
*!!!!"证明)()!$"$>$’1%2$’$*’!#要证(!$"&()!$"#
!
只需证>$(9:1$’ $,’$&>$’1%2$’$*’!# ………………………………………!分
,
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即证槡*1%2!$( "& $,’$*($’!!……………………………………………………*分
& ,
!
设函数-!$"$ $,’$*($’!!$,,"#则-)!$"$!$’!"*,-#则-!$"在&,#(."上单
,
调递增#………………………………………………………………………………………,分
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则-!$",-!,"$*%槡*,槡*1%2!$( "# ………………………………………………&分
&
! !
所以当$(&,#(."时#槡*1%2!$( "& $,’$*($’!得证#
& ,
从而当$(&,#(."时#(!$"&()!$"得证!………………………………………………"分
!*"解)()!$"的导数(B!$"$>$’9:1$’*$!令函数:!$"$>$’9:1$’*$#:)!$"$>$(
1%2$’*#
当$--时#:)!$"&-!………………………………………………………………………6分
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{#{QQABDYYUggCgABBAABhCAQXoCkIQkBAACIoOQEAIsAIBABNABAA=}#}:)!$"的导数:B!$"$>$(9:1$#当$%-时#:B!$"%-#则:)!$"在!-#(."上单调递增!
……………………………………………………………………………………………)分
因为:)!-"$’!#:)!!"$>’*(1%2!%-#所以8$(!-#!"#:)!$"$-! ……………7分
- -
所以当$&$ 时#:)!$"&-#:!$"单调递减(当$%$ 时#:)!$"%-#:!$"单调递增! ……
- -
……………………………………………………………………………………………5分
又:!-"$-#所以当$(!’.#-"时#:!$"%-(当$(!-#$"时#:!$"&-! …………!-分
-
所以()!$"在!’.#-"上单调递增#在!-#$"上单调递减#
-
当$(!’.#$"时#()!$"-()!-"$-#…………………………………………………!!分
-
所以$$-不是(!$"的极值点! …………………………………………………………!*分
$ &
**!解)!!"由$$,C#得C$ #代入*$&C’!#得*$ $’!#………………………………!分
, ,
所以直线;的普通方程为&$’,*’,$-!………………………………………………*分
!
同理可得直线;的普通方程为槡,$’*$-!………………………………………………&分
*
!*"圆7的圆心为7!,#&"#半径0$$-$!…………………………………………………6分
6$&<,’,<&’,$
%$-$#
槡&*(!’,"*
依题意可得5 ……………………………………………………7分
$槡,<,’&$
%$-$#
7槡!槡,"*(!’!"*
&’,槡, ,槡,’& &’,槡, ,槡,’&
解得 &-& #即-的取值范围是! #-"9!-# "! ………!-分
* * * *
*,!解)!!"因为(!$"$$$’’$($$(&$,$$’’’!$(&"$$$’(&$#……………………,分
所以(!$"的最小值为$’(&$! ……………………………………………………………&分
!*"因为’%-#&$-#所以(!$"$$$’’$($$$!’%-"#
6’’*$#$--#
则(!$"$5’#-&$&’#……………………………………………………………………6分
7*$’’#$,’!
’
当$--时#’’*$&*’#解得’ &$--(…………………………………………………)分
*
当-&$&’时#’&*’恒成立( ……………………………………………………………7分
,’
当$,’时#*$’’&*’#解得’-$& !…………………………………………………5分
*
’,’
综上#不等式(!$"&*’的解集为!’ # "!……………………………………………!-分
* *
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