青岛版9年级数学下册高清教材_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_02科三专项（笔记真题思维导图教学设计版本二）

(cid:736) (cid:736)(cid:3)(cid:1206)(cid:3)(cid:3075)(cid:3)(cid:5484)(cid:3)(cid:3075)(cid:3)(cid:4917)(cid:3)(cid:755) (cid:1206) (cid:3075) (cid:3733)(cid:33)(cid:4305) (cid:5484) (cid:3075) (cid:4917) (cid:755) (cid:3733) (cid:4305) (cid:3733) (cid:33)(cid:33) (cid:4305) (cid:2549) (cid:3150) (cid:2346) (cid:33)(cid:33) (cid:2549)(cid:3150)(cid:2346)(cid:33)(cid:33)(cid:4144)(cid:1449) (cid:4144) (cid:1449) (cid:2383)(cid:2029)(cid:3260)(cid:4890)(cid:4052)(cid:2173)(cid:470)(cid:2907)(cid:1856)(cid:1984)(cid:2383)(cid:2029)(cid:2179)(cid:503)(cid:51)(cid:49)(cid:51)(cid:51)(cid:505)(cid:49)(cid:51)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:53) (cid:4974)(cid:5347)(cid:1278)(cid:1156)(cid:790)(cid:1461) (cid:2569)(cid:1298)(cid:1737)(cid:2246)(cid:470)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54) (cid:1768)(cid:2383)(cid:470)(cid:50)(cid:49)(cid:47)(cid:57)(cid:57)(cid:33)(cid:4590) QINGDAOCHUBANSHE义 务 教 育 教 科 书 数 学 九年级 下册 QINGDAOCHUBANSHE书 名 义务教育教科书 数学（九年级下册） 主任编编 展 涛 出版发行 青岛出版社 社 址 青岛市海尔路 182 号（266061） 本社网址 http://www.qdpub.com 责任编辑 刘海波 戴振宇 美术编辑 路渊源 制 版 济南汇海科技有限公司 印 刷 昌邑市新华印刷有限公司 出版日期 2014 年 7 月第 2 版 2021 年 12 月第 16 次印刷 开 本 16 开（787mm×1092mm） 印 张 11.75 字 数 170 千 书 号 ISBN 978-7-5436-3786-3 定 价 10.88 元 编校质量、盗版监督服务电话 4006532017 （0532）68068638亲爱的同学： 时间过得真快！转眼之间，已经进入九年级下学期. 在九年义务教育阶段的最后一学期，你打算怎样学习数学？ 函数是你的老朋友，早在七年级，就结识了函数，在八（下）又 学习过一次函数及其图象. 在本书中，你将在此基础上，更进一步地 认识函数，通过研究两种常见的函数——反比例函数、二次函数和 它们的图象，探索它们的性质，熟悉它们的应用，积累活动经验， 从而进一步体会研究函数的基本方法，感悟数学模型和数形结合的 思想. 在本书中，你将学习频数和频数分布的意义，会画频数直方图， 利用频数直方图解释数据中蕴涵的信息. 你还将通过一些大量的重复 试验，了解事件的概率并尝试用频率估计概率，并学习一些简单的概 率计算. 通过本书，你还将进一步认识几种简单的几何体，了解直棱柱、 圆锥、圆锥的侧面展开图，了解中心投影、平行投影和正投影，会画 几种简单几何体的三视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描 述简单的几何体，进一步发展你的空间观念. 数学是研究数量关系和空间形式的科学，数学与人类的发展和社 会的进步息息相关. 学习数学不仅使你掌握必要的数学知识与技能， 为你的未来生活、工作和学习打下良好的基础，还可使你的思维能力 和创新意识都得到培养和发展. 在学习数学的过程中，充满着快乐也充满着挑战. 相信你会在独 立思考、合作交流的氛围中，不怕困难，勤于思考，勇于探索，敢于 创新，胜利地完成本学期和义务教育阶段的数学学习任务.目 录 目 录 第 5 章 对函数的再探索⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 5.1 函数与它的表示法 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 5.2 反比例函数 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 5.3 二次函数 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 27 5.4 二次函数的图象和性质 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 31 5.5 确定二次函数的表达式 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 43 5.6 二次函数的图象与一元二次方程 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 46 5.7 二次函数的应用 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 50 回顾与总结 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 58 综合与实践 实际问题与分段函数模型 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 62 第 6 章 事件的概率 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 70 6.1 随机事件 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 72 6.2 频数与频率 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 75 6.3 频数直方图 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 78 6.4 随机现象的变化趋势 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 87 6.5 事件的概率 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 92 6.6 简单的概率计算 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 101 6.7 利用画树状图和列表计算概率 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 112 回顾与总结 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 119 综合与实践 质数的分布 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 124 1目 录 第 7 章 空间图形的初步认识 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 128 7.1 几种常见的几何体 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 130 7.2 直棱柱的侧面展开图 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 134 7.3 圆柱的侧面展开图 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 143 7.4 圆锥的侧面展开图 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 149 回顾与总结 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 154 第 8 章 投影与识图 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 158 8.1 中心投影 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 160 8.2 平行投影 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 164 8.3 物体的三视图 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 171 回顾与总结 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 181 2第5章 对函数的再探索 23第5章 对函数的再探索 5.1 函数与它的表示法 观察与思考 你还记得什么是函数吗？ 在现实生活中，函数关系是处处存在的. 你知道表示函数关系的方法通常有 哪几种吗？ （1）黄河的一条支流上的 某水文站记录了该支流当天 9 时至 21 时河水水位的变化情况 （图 5-1）. 你从图中能获取哪 些信息？ 在这个实际问题中，有哪 图 5-1 两个变量？这两个变量之间是函数关系吗？如果是，函数关系是用哪种方法表 示的？你能从图 5-1 中看出自变量是在哪个范围内取值的吗？与同学交流. （2）一根弹簧原长 15 cm，在弹簧一端所受到的拉力不超过 40 N 的弹性限 度内，每增加 10 N 的拉力，弹簧就伸长 2 cm，请你填写下表： 拉力x / N 0 10 20 30 35 40 弹簧长度 y / cm 在这个实际问题中，弹簧长度 y 与拉力 x 之间是函数关系吗？如果是，函数 关系是用哪种方法表示的？其中，自变量是在哪个范围内取值的？ （3）物体从 490 m 的高度处自由下落，物体距地面的高度 h（m）与物体下 落的时间 t（s）之间的关系满足表达式 h = 490 - 4.9t2. 在这个实际问题中，物体距地面的高度 h 与物体下落的时间 t 之间是函数关 系吗？如果是，它们之间的函数关系是用哪种方法表示的？其中，自变量是在 哪个范围内取值的？ 45.1 函数与它的表示法 （4）上述问题（1）（2）（3）中，分别是用图象法、列表法及解析法来表 示两个变量之间的函数关系的. 你还能分别举出用上述三种方法表示函数的例子 吗？你体会表示函数关系的三种方法各有哪些优点和不足？与同学交流. 图象法的优点是直观，能够形象地反映出当自变量的值变化时函数值的 变化趋势，所以常用来研究函数的性质和变化趋势，不足之处是不能准确地由 已知自变量的值求出函数值；列表法的优点是已知表中给出的部分自变量的值 时，可以不通过计算直接查出对应的函数值，不足之处是只能表示出自变量的 有限个离散值及其函数值；解析法的优点是全面、准确、方便，对于自变量在 可以取值的范围内任取一个确定的值，都可以通过表达式计算求出它的函数 值，不足之处是不够形象直观，而且并不是每一个函数都可写出它的表达式， 例如上面问题（1）中的函数关系就无法用一个表达式表示. 因此在研究函数 时，往往将三种表示方法联合运用，互相补充. 过去学习一次函数时，就是联合 运用三种方法，研究它的特征、图象和性质的. （5）利用问题（2）表中给出的数据，画出 y 与 x 的函数图象. 你发现弹簧的 长度 y 是拉力 x 的一次函数吗？为什么？写出 y 与 x 的表达式. 如图 5-2，它的图象是以 A（0，15）和 B（40，23） y/cm 30 为端点的一条线段. 由此可设函数的表达式为 y = kx + 15 25 B（40，23） （k 是常数，0 ≤ x ≤ 40）. 20 15 A（0，15） 将 x = 40，y = 23 代入上式，得 10 5 x/ N 23 = 40k + 15， 0 10 2030 40 50 1 解得 k = . 图 5-2 5 1 所以这个函数的表达式为 y = x + 15 （0 ≤ x ≤ 40）. 5 （6）你会用描点法画出问题（3）中的函数图象吗？ 由问题（3）的实际意义和函数表达式 h = 490 - 4.9t2，先确定自变量 t 可以 取值的范围是 0 ≤ t ≤ 10. 根据函数的表达式和自变量可以取值的范围，列出下面的表格： t / s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 h / m 490 485.1 470.4 445.9 411.6 367.5 313.6 249.9 176.4 93.1 0 5第5章 对函数的再探索 以时间 t 为横轴、高度 h 为纵轴画出直 h / m 500 角坐标系（根据该问题的实际背景，横轴和 450 400 纵轴选取不同的单位长度），然后以上表中 350 300 的每一个有序实数对（t，h）为坐标，在直 250 角坐标系中描出相应的各点，用一条平滑的 200 150 曲线按自左向右的顺序顺次连接它们，便得 100 50 函数 y = 490 - 4.9t2（0≤t≤10）的图象. 它是 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10t / s 一段曲线（图 5-3）. 图 5-3 练 习 1. 一辆汽车在一段行驶过程中，速度 v 随行驶时间 t 变化的情况如图所示. （1）在这个问题中，速度 v 与行驶时间 t 之间的函数关系是用哪种方法表示的？ （2）这个过程中汽车共行驶了多少分钟？在哪个时间段内，汽车行驶速度最大？最 大速度是多少？ （3）在哪个时间段内汽车的行驶速度逐渐增加？在哪个时间段内行驶速度逐渐减 少？在哪个时间段内汽车按匀速运动行驶？按匀速运动行驶时，速度是多少？ （4）根据图象，填写下表： t / min 0 20 40 60 80 100 120 v /（km/h） v/（km/h） 150 120 A 90 r 60 O 30 t/min B C 0 20 40 60 80100120 （第 1 题） （第 2 题） 2. 如图，正三角形 ABC 内接于圆 O，设圆的半径为 r . 你能写出图中阴影部分的面积 S 与 半径 r 之间的函数关系吗？你认为用哪种方法表示它们之间的函数关系比较方便？ 65.1 函数与它的表示法 观察与思考 进一步研究本节开始时的问题（1）（2）（3），思考下列问题： （1）在这些问题中，自变量可以取值的范围分别是什么？ （2）在这些问题中，对于自变量在可以取值的范围内每取一个确定的值， 另一个变量的值是否唯一确定？你是如何看出来的？ 在这些问题中，对于自变量每 取一个确定的值，另一个变量都有 唯一确定的值和它对应. （3）由此你对函数有了哪些进一步的认识？与同学交流. 在同一个变化过程中，有两个变量 x，y . 如果对于变量 x 在可以取值的范 围内每取一个确定的值，变量 y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 y 是 x 的函数. （4）观察图 5-4 ① ~ ④，你认为它们所表示的变量 y 与变量 x 之间的对应关 系都是函数关系吗？如果 y 是 x 的函数，请指出自变量的取值范围；如果 y 不是 x 的函数，请说明理由. y y y y 1 1 1 1 x x x x 0 1 0 1 -1 0 1 0 1 -1 ① ② ③ ④ 图 5-4 （5）设 x 是非负数，如果 y 是 x 的算术平方根，当 x 变化时，y 是 x 的函数 吗？如果 y 是 x 的负的平方根呢？如果 y 是 x 的平方根呢？如果是，分别写出它们 之间的函数表达式，指出自变量可以取值的范围，并用描点法画出它的图象. 7第5章 对函数的再探索 例1 求下列函数中自变量x可以取值的范围： 1 （1）y = 3x - 2； （2）y = ； 2x+1 x （3）y = ； （4）y = . x-1 3-5x 解 （1）当 x 取任意实数时，3x - 2 都有意义. 所以，自变量 x 可以取值 的范围是全体实数； 1 （2）函数有意义的条件是分式的分母 2x + 1 ≠ 0，即 x ≠ - . 所以，自变 2 1 量 x 可以取值的范围是 x ≠ - 的实数； 2 （3）函数有意义的条件是被开方式 x - 1 ≥ 0，即 x ≥ 1. 所以，自变量 x 可 以取值的范围是 x ≥ 1； 3 （4）函数有意义的条件是分式分母中的被开方式 3 - 5x > 0，即 x < . 所 5 3 以，自变量 x 可以取值的范围是 x < . 5 对于用解析法表示的函数表达式，为确定其 自变量可以取值的范围，必须使函数表达式有意 义. 在解决实际问题时，还要使实际问题有意义. 挑战自我 1 如果函数 y = 中自变量 x 可以取值的范围是全体实数，你能确定 m x2-2x+m 的取值范围吗？与同学交流. 练 习 1. 求下列函数中自变量 x 可以取值的范围： 3x-1 x （1）y = ； （2）y = ； 2 x2-4x+3 85.1 函数与它的表示法 （3）y = 6-2x； （4）y = 3x+2 . 2. 用 18 cm 的铁丝围成一个等腰三角形，写出底边长 y（cm）与一腰腰长 x（cm）之间的 函数表达式，指出自变量 x 可以取值的范围，并画出它的图象. 3. 油箱中有油 300 L，油从管道中匀速流出，1 小时流完. 写出油箱中剩余的油量 （L） 与油流出时间 t（s）之间的函数表达式，指出自变量 t 可以取值的范围，并画出它的 图象. 观察与思考 为了鼓励节约用电，某市按以下标准对居民用户收取电费：当一户居民月 用电量不超过 200 kW·h 时，按 0.5 元 / kW·h 收费. 当一户居民月用电量超过 200 kW·h 时，超过部分按 0.7 元 / kW·h 收费. （1）设用电量为 x kW·h，电费为 y 元，你能按上述标准写出一户居民的每 月应缴电费 y（元）与 x（kW·h）之间的函数表达式吗？ 上面的收费标准是分段收费的，当 0 ≤ x ≤ 200 时，y = 0.5x；当 x > 200 时，y = 0.5×200 + 0.7×（x - 200）= 0.7x - 40 . 函数表达式是 { 0.5x，0 ≤ x ≤ 200； y = 0.7x-40，x > 200 . （2）你能用描点法画出这个函数的图象吗？与同学交流. （3）图 5-5 是所画出 y 与 x 的函数图象，你发现它的图象具有什么特征？ y / 元 200 它是由线段 OA A 100 和以 A 为端点的一 条射线组成的. O 100 200 300 400 x/kW·h 图 5-5 9第5章 对函数的再探索 （4）当某户居民月用电量是 190 kW·h时，电费是多少？如果月用电量是 210 kW·h 时呢？分别在图象上用 B，C 表示出相应的点. 像这样，函数关系是分段给出的，我们把它叫做分段函数. （5）图 5-5 中点 A 是图象中线段 OA 的一个端点，又是射线 AC 的端点，因 此，它是图象上的一个分段点. 你发现分段点与图象上其他点的区别是什么？ 在图 5-5 中，随着自变量的增加，当图象上的点 经过分段点时，函数的对应关系发生了变化：分段点 左边函数关系满足 y = 0.5x，右边满足 y = 0.7x - 40. 例2 某校住校生放学后到学校锅炉房水箱 y/L A 打水，每人接水 2 L. 开始时水箱中有水 96 L，两个 96 B 80 C 龙头同时放水，经过 2 min 后，水箱内的余水量为 72 80 L. 此时其中一个龙头因故障而关闭. 如果前后两 人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，水箱内 0 2 4 x/min 的余水量 y（L）与放水时间 x（min）的函数图象如 图 5-6 图 5-6 所示. 已知放水 4 min 时，水箱中的余水量为 72 L. （1）写出水箱的余水量 y 与放水时间 x 之间的函数表达式； （2）前 15 位同学接水共用了多少时间？ 解 （1）由题意和图 5-6 知，y 与 x 之间的函数是分段函数. 其中线段 AB 表示两个水龙头同时放水时 y 与 x 的对应关系. 设这段函数的表达式是 y = k x + b ，将（0，96），（2，80）代入该式，得 1 1 { b = 96， 1 2k + b = 80 . 1 1 解得 k = -8，b = 96 . 1 1 所以这段函数的表达式是 y = -8x + 96，0 ≤ x ≤ 2. 同样地将（2，80），（4，72）代入 y = k x + b ，可以求出当只有一个水龙 2 2 头放水时，y 与 x 之间函数的表达式为 y = -4x + 88 . 令 y = 0，得 x = 22（min）. 所以当只有一个水龙头放水时，函数表达式是 105.1 函数与它的表示法 y = -4x + 88，2 < x ≤ 22 . 由此得到 y 与 x 之间的函数表达式是 { -8x + 96，0 ≤ x ≤ 2； y = -4x + 88，2 < x ≤ 22 . （2）前 15 位同学共接水 2×15 = 30（L），当第 15 位同学接完水时水箱余 水量为 96 - 30 = 66 < 80 . 由图 5-6 可以看出，此时只有一个水龙头放水. 将 y = 66 代入 y = -4x + 88，得 66 = -4x + 88，解得 x = 5.5（min）. 所以，前 15 位同学接水共用时间 5.5 min. 你还能利用例 2 的情境，提出一个可以解决的数学问题吗？与同学交流. 挑战自我 天泉村服装厂今年前 5 个月中生产服装的总件数 S / 件 S（件）与时间 t（月）的函数关系如图 5-7 所示. 在 下面的四个说法中，你能判断哪个是正确的吗？ （A）1 月至 3 月每月生产总件数逐月增加，4， O 1 2 3 4 5 t /月 5 两月每月生产总件数逐月减少 图 5-7 （B）1 月至 3 月每月生产总件数逐月增加，4，5 两月停止生产 （C）1 月至 3 月每月生产总件数逐月增加，4，5 两月每月生产总件数与 3 月 持平 （D）1 月至 3 月每月生产总件数不变，4，5 两月停止生产 练 习 1. 某工程队开挖一段河渠，施工进度 y（m）与施工时间 x（天）之间的函数关系如图所示. 根据图象所提供的信 息，解答下列问题： （1）开挖到 25 m 时，用了多少时间？ （2）写出开工后前 6 天内 y 与 x 之间的函数表达式； （3）前 2 天施工进度是每天 m，从第 3 天开始到 （第 1 题） 第 6 天施工进度是每天 m . 11第5章 对函数的再探索 习题5.1 复习与巩固 1. 一个竖直放置的圆柱形容器，原有水面的高度为 50 cm，继续向容器内均匀注水，注 水时间和容器内水面高度如下表所示： 注水时间 t/s 5 10 15 20 25 30 水面高度 h/cm 60 70 80 90 100 110 （1）写出 h 与 t 之间的函数表达式； （2）当 t = 18 s 时，水面高度是多少？ 2. 某航空公司托运行李的费用 y（元）与托运行李的质量 x（kg）之间的函数关系如右图所示. 根据图中的信息， 求免费托运行李质量的范围. 3. 小球由静止开始沿斜面向下滚动，从第2秒起，速度每秒 都比上一秒增加 2 m/s. 当小球到达斜面底部时，小球速 度达到 40 m/s. （第 2 题） （1）写出小球速度 v（m/s）与时间 t（s）之间的函数表达式； （2）指出 t 可以取值的范围； （3）当 t = 3.5 s 时，求小球的速度； （4）当 t 为何值时，小球的速度为 16 m/s？ 4. 某实验田的农作物在生长期每天的需水量 y（kg）与生长 y / kg 时间 x（天）之间的函数关系如图所示. 这些农作物在生 长期第 10 天、第 30 天的需水量分别为 2 000 kg，3 000 kg . 3 000 2 000 在第 40 天后每天的需水量比前一天增加 100 kg . （1）写出 y 与 x 之间的函数表达式； O 10 30 40 x / 天 （2）如果这些作物每天的需水量大于等于 4 000 kg 时需 （第 4 题） 要进行人工灌溉，那么应从第几天开始进行人工灌溉？ 5. 一根合金棒在不同的温度下，其长度也不同. 经测定，该合金棒长度与温度之间有如 表所示的关系： 温 度 /℃ ⋯ -5 0 5 10 15 20 ⋯ 长 度 /cm ⋯ 9.995 10 10.005 10.01 10.015 10.02 ⋯ （1）上表反映了合金棒长度与温度之间的函数关系，其中 是自变量， 是 函数； 125.1 函数与它的表示法 （2）当温度是 10 ℃ 时，合金棒的长度是多少？ （3）如果合金棒的温度在 50 ℃〜150 ℃ 时，根据表中数据推测，此时合金棒长度应 在 cm〜 cm 的范围内； （4）假设温度为 x ℃，合金棒的长度是 y cm，根据表中数据，写出 y 与 x 之间的函数 表达式； （5）当温度是 -20 ℃ 或 100 ℃ 时，合金棒的长度分别是多少？ 拓展与延伸 6. 小亮设计了一个计算机的计算程序，输入数 x 和输出数 y 如下表所示： x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 y 2 5 10 17 26 在这个问题中，输出数 y 与输入数 x 之间的函数关系是用哪种方法表示的？你能用图 象法及解析法表示它们之间的函数关系吗？ 7. 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 的一边 BC 上，有一点 P 从 D C B 点运动到 C 点，设 PB = x，四边形 APCD 的面积为 y . （1）写出 y 与 x 之间的函数表达式； P （2）指出自变量 x 可以取值的范围； （3）求函数值 y 的变化范围. A B （第 7 题） 探索与创新 8. 某地端午节举行龙舟比赛，赛程为 800 m . 甲、乙两队比赛时，路程 y（m）与时间 x（min） 的函数关系如图所示. （1）最先到达终点的是哪个队？比另一个队提前多少时间到达？ （2）写出图中点 A 和点 B 的坐标，并解释它们的实际意义； （3）假设乙队在第一次加速后，继续保持这个速度前进，那么乙队何时到达终点？ y / m 乙甲 800 700 600 500 450 B 400 300 200 100 A O 1 2 3 44.45 x / min （第 8 题） 13第5章 对函数的再探索 5.2 反比例函数 观察与思考 思考下面的问题，并与同学交流： （1）时代中学要修建一个面积为 84 m2 的矩形花圃，写出矩形的宽 y（m） 与长 x（m）之间的函数表达式； （2）甲、乙两地相距 200 km，一辆汽车从甲地驶往乙地. 写出汽车行驶的 时间 t（h）与汽车的平均速度 v（km/h）之间的函数表达式； （3）已知两个实数的乘积为 -10. 写出其中的一个因数 q 与另一个因数 p 之 间的函数表达式； 这三个问题中的函数表达式分别 84 200 -10 为 y = ，t = ，q = . x v p （4）想一想，上述问题中的函数表达式在形式上具有什么共同特征？ k 上述问题中的函数表达式都具有 y = 的形式，其中 k 为不等于 0 的常数. x k 一般地，形如 y = （k 是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数（inverse x proportional function）. k 对于函数 y = ，当 k > 0 时，变 x 量 y 与 x 是成反比例的量. 你能举出一些反比例函数的例子吗？与同学交流 . 145.2 反比例函数 例1 写出下列问题中 y 与 x 之间的函数表 小资料 达式，并判断是否为反比例函数. 在同一个变化过程 （1）三角形的面积为 36 cm2，底边长 y（cm） 中，如果两个变量 x 与 y 的 与该底边上的高 x（cm）； 积等于一个不为 0 的常数 （2）圆柱的体积为 60 cm3，它的高 h（cm） k，那么变量 y 是自变量x 与底面的面积 S（cm2）； 的反比例函数. （3）圆柱的体积为 60 cm3，它的高 h（cm） 与底面的半径 r（cm）. 1 72 解 （1）由三角形的面积公式，得 xy = 36，于是 y = . 2 x 所以当三角形的面积为定值 36 cm2 时，y 是 x 的反比例函数. 60 （2）由圆柱的体积公式，得 Sh = 60，于是 h = . S 所以当圆柱的体积为定值 60 cm3 时，h 是 S 的反比例函数. 60 （3）由圆柱的体积公式得 πr2h = 60，于是 h = ，由于分母上自变量 r 的 πr2 次数是 2，所以，h 不是底面半径 r 的反比例函数. 例2 已知 y 是 x 的反比例函数，且当 x = 2 时，y = -3，求这个反比例函 数的表达式. k 解 设所求的反比例函数的表达式为 y = . x 将 x = 2，y = -3 代入上式，得 k - 3 = ， 2 -6 解得 k = -6 . 所以，这个反比例函数的表达式为 y = . x 想一想，例 2 中确定常数 k 时，运用了什么方法？ 挑战自我 以下三个表格分别列出了三个函数的两个变量之间的部分对应值，你认为哪 个表格中的函数关系可能是反比例函数？如果可能是，写出可能的反比例函数表 达式. 15第5章 对函数的再探索 表 1 x ⋯ 1 2 3 ⋯ y ⋯ 3 2 1 ⋯ 表 2 x ⋯ 1 2 3 ⋯ y ⋯ 10 5 2 ⋯ 表 3 x ⋯ -3 -2 -1 ⋯ y ⋯ 2 3 6 ⋯ 练 习 1. 分别写出下列函数的表达式，并指出哪些是反比例函数： （1）当物体的质量 m 一定时，物体的密度 ρ 与体积 V 之间的函数关系； （2）当压力 F 一定时，压强 p 与受力面积 S 之间的函数关系； （3）当电压 U 一定时，电流 I 与电阻 R 之间的函数关系； （4）当梯形面积 S 与上底 a 一定时，梯形高 h 与下底 x 之间的函数关系. 2. 已知 y 与 x 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 7 . （1）写出 y 与 x 之间的函数表达式； （2）当 x = 1 时，求 y 的值； （3）当 y = 1 时，求 x 的值. 我们过去曾经学习过一次函数，还记得当时是怎样研究一次函数的图象及 其性质的吗？类比一次函数的研究方法，你认为应当怎样探索反比例函数的性 质？ 实验与探究 8 （1）反比例函数 y = 的自变量 x 可以取值的范围是什么？ x 165.2 反比例函数 8 （2）为了画出 y = 的图象，需要先列表. 列表时，应选取哪些自变量 x 的 x 值呢？ （3）在 x≠0 的范围内，选定 x 的下列值，计算出对应的 y 值，完成下面的 表格： 所取的 x 的值 必须在自 应有利于计算对应 变量可以取值 的 y 值和描点，还 的范围内选取 要能整体地反映出 x 的值. 函数的图象. x -8 -6 -4 -2 -1 1 2 4 6 8 y （4）以表中每对 x，y 的值作为点的坐标，在直角坐标系中描出对应的点 （图 5-8）. y 8 （5）连线时，所描出的相邻两点如 A（2，4）与 6 B（4，2）之间，能不能用线段来连接？为什么？如 4 2 -8-6-4-2 果不能，应当如何连接？ O 2 4 6 8 x -2 8 在 2 < x < 4 的范围内，取 x = 3，代入 y = ， -4 x -6 8 -8 得点 C（3， ），因为线段 AB 的表达式为 y = -x + 3 图 5-8 8 6，如果将 x = 3 代入该式，得 y = 3. 由 < 3，可知点 C 在线段 AB 的下方. 然后 3 8 再分别在 2 < x < 3 和 3 < x < 4 范围内各取一点，同样可以判断这段 y = 图 x 象上的点也都在相应线段的下方. 类似地可以判断，当 x > 0 时在其他描出的相 8 邻的各点中，函数 y = 的图象上的各点都分别在以它们为端点的线段的下方， x 因此连线时要用向下凹的平滑曲线连接描出的各点. 而当 x < 0 时，情况相反， 连线时要用向上凸的平滑曲线连接描出的各点. 17第5章 对函数的再探索 （6）想一想，在图 5-8 中能用线段或平滑的曲线将点（-1，-8）与点 （1，8）连接吗？为什么？ （7）用平滑的曲线按自变量由小到大的顺序顺次连接在图 5-8 中各点，便 8 画出函数 y = 的图象（图 5-9）. x -8 （8）你能用上面的方法画出反比例函数 y = 的图象吗？试一试（图 x 5-10）. y y 8 8 6 6 4 4 2 2 -8-6-4-2 2 4 6 8 O 2 4 6 8 x -8-6-4-2 O x -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 图 5-9 图 5-10 6 -6 类似地，可以画出反比例函数 y = 和 y = 的图象（图 5-11 ①，②）. x x y y 6 6 4 4 2 2 -6 -4 -2 2 4 6 O 2 4 6 x -6 -4 -2 O x -2 -2 -4 -4 -6 -6 ① ② 图 5-11 观察与思考 （1）类比利用一次函数的图象研究其性质的过程，你认为可以通过观察图 象（图 5-9、图 5-10、图 5-11）的哪些特征认识反比例函数的性质？ 可以通过观察这些图象的形状、 位置和变化趋势，归纳出函数的性质. 185.2 反比例函数 8 -8 6 -6 （2）观察函数 y = 与 y = 以及 y = 与 y = 的图象，你发现它们的 x x x x 形状、位置有哪些共同特征和不同点？ 它们的形状基本相同，都由两支曲线组成；图象 都不经过原点；并且与两坐标轴都不相交. 但它们在 8 6 坐标系中的位置不同，y = 和 y = 的图象在第一、 x x -8 -6 三象限，y = 和 y = 的图象在第二、四象限. x x k （3）由（2）你猜测反比例函数 y = 的图象的位置是受什么因素决定的？ x 你能利用函数的表达式说明你的结论吗？ k 反比例函数 y = 的图象的位置是由 k 决定的. 当 k > 0 时，图象的两个分支 x 分别在第一、三象限；当 k < 0 时，分别在第二、四象限. 这是因为由表达式可 得 xy = k，当 k > 0 时，点的横、纵坐标 x，y 同号；当 k < 0 时，x 与 y 异号. 8 （4）在第一象限内，随着图象上点的横坐标不断增大，y = 图象的变化情 x 况是怎样的？这说明在第一象限，当 x 的值不断增大时，对应的 y 值增大还是减 小？当 x > 0 且 x 越来越接近 0 时图象的变化情况又是怎样的呢？类似地，请你 8 讨论双曲线 y = 在第三象限内的情况. x 8 在第一象限内，如果在反比例函数 y = 的图象上任取两点（x ，y ）， x 1 1 （x ，y ），且 0 < x < x ，那么可以画出这两点的纵坐标 y ，y 所对应的线段. 比 2 2 1 2 1 2 8 较它们的长度，可以发现 y > y . 观察 y = 在第三象限内的分支，也会得出同 1 2 x 8 样的结论. 这说明 y = 在每一象限内，y 随 x 值的增大而减小. 由 xy = 8 可知在 x 8 双曲线 y = 上总有 x≠0 且 y≠0，因此，图象永远不会与 x 轴及 y 轴相交. x 6 -8 （5）反比例函数 y = 的图象的变化情况是怎样的？反比例函数 y = x x -6 k 与 y = 呢？由此你能归纳出当 k > 0 和 k < 0 时，函数 y = 图象的变化情况分 x x 19第5章 对函数的再探索 别是怎样的吗？ 通过以上探索，可以得到反比例函数的以下性质： k 反比例函数 y = 的图象称作双曲线（hyperbola）. 当 k > 0时，图象的两 x 个分支分别位于第一、三象限内，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k < 0 时，图象的两个分支分别位于第二、四象限内，在每个象限内，y 随 x 的 增大而增大. （6）通过以上探索过程，你对运用“数形结合”思想研究函数的性质、解 决与函数相关的问题有什么体会？ 挑战自我 （1）已知 P（x ，y ），P（x ，y ），P（x ，y ），P（x ，y ）是反比例函 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 -3 数 y = 上的四个点，且 x < x < 0 < x < x ，如何比较y ，y ，y ，y 的大小关系？ x 1 2 3 4 1 2 3 4 k k （2）已知点P （2，b ），P （2，b ）分别在双曲线y = 1 和y = 2 上，如 1 1 2 2 x x 果 b < b ，如何比较k ，k 的大小关系？ 1 2 1 2 练 习 3 3 1. 画出函数 y = 与 y = - 的图象，并分别说出它们的性质. x x k 2. 将正比例函数 y = kx 与反比例函数 y = 的图象和性质进行对比，填写下面的表格， x 找出它们有哪些相同点和不同点： 自变量可以取 图象 表达式 值范围 形状 位置 变化情况 k > 0 y = kx（k≠0） k < 0 k > 0 k y = （k≠0） x k < 0 205.2 反比例函数 例3 如图 5-12，已知点 C，P 的坐标分别为（2，y） y 12 和（x，2 2），这两点在反比例函数 y = 的图象上. 过点 x C B C，P 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 A， . 过点 C，P 作 y 轴 P R D 的垂线，垂足分别为点 B，R. O A x （1）矩形 OACB 与矩形 O PR 的面积分别是多少？ 图 5-12 （2）设 CA 与 PR 交于点 D，求矩形 OACB 与矩形 O PR 公共部分的面积. 12 12 解 （1）将点 C，P 的坐标分别代入 y = ，得 y = 6，x = = 3 2 . x 2 2 所以，点 C 的横坐标为 2，纵坐标为 6，矩形 OACB 的面积为 2×6 = 12 . 同样地，P 点横坐标为 3 2，纵坐标为 2 2 . 矩形 O PR 的面积为 3 2 ×2 2 = 12 . 因此，矩形 OACB 和 O PR 的面积相等，且都等于表达式中的常数 12 . k 一般地，从反比例函数 y = 图象上任一 x 点 P，向 x 轴和 y 轴作垂线，以点 P 的两个垂 足及坐标原点为顶点的矩形面积等于常数 | k |. （2）点 D 的横坐标等于点 C 的横坐标 2，即 DR = 2，点 D 的纵坐标等于点 P 的纵坐标 2 2，即 DA = 2 2 . 所以，矩形 OACB 与矩形 O PR 的公共部分即矩形 OADR 的面积为 2×2 2 = 4 2 . k y 例4 如图 5-13，已知反比例函数 y = 的图象与 x 直线 y = ax + b 相交于点 A（-2，3），B（3，m）. 求 k 及 A 3 a，b 的值. 3 -2 O x k B 解 因为 A（-2，3）在函数 y = 的图象上，所 x k 以 3 = ，k = -6 . -2 图 5-13 -6 -6 又因为 B（3，m）在函数 y = 图象上，所以 m = = -2，因此点 B 的 x 3 坐标为（3，-2）. 21第5章 对函数的再探索 将 A（-2，3），B（3，-2）分别代入 y = ax + b，得 { 3 = -2a + b， -2 = 3a + b， 解这个二元一次方程组，得 { a = -1， b = 1. 挑战自我 k k 在同一个直角坐标系中，反比例函数 y = 1 与 y = 2（k ≠k ）的图象能相 x x 1 2 交吗？说明理由. 练 习 k 1. 如图 A 是反比例函数 y = 的图象上的一点，过 A 作 AB⊥Ox，垂足为 B . 已知 △OAB x 面积为 3，求这个反比例函数的表达式. y R P 2 2 A R P 1 1 O B x O 2 1 （第 1 题） （第 2 题） 4 2. 如图，已知函数 y = 的图象与直线y = x，y = 2x分别交于第一象限内的点P 和P ， x 1 2 过P 分别作x轴、y轴的垂线 P ，P R ，垂足分别为 ，R ，过P 分别作x轴、y轴 1 1 1 1 1 1 1 2 的垂线 P ，P R ，垂足分别为 ，R . 你能分别求出四边形 O P R 和 O P R 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 的周长并比较它们的大小吗？ 例5 一辆汽车以 80 km/h 的平均速度从甲地驶往乙地，用 5 h 到达，然后 按原路返回. （1）如果规定该车限速 120 km/h，写出返回甲地所用的时间 t 与平均速度 v 的函数表达式，并画出它的图象； 225.2 反比例函数 （2）如果汽车必须在 4 h 内回到甲地，求返程时的平均速度的范围. 解 （1）由已知，可求出从甲地到乙地的路程为 S = 80×5 = 400（km）. 由 vt = 400 及限速条件，可得 t 与 v 之间函数的表达式为 400 t = ，0 < v ≤120. v 400 其图象为双曲线 t = 在第一象限内的一段（图 5-14）. v （2）当 t = 4 时， 400 v = = 100（km/h）. 4 所以，如果汽车必须在 4 h 内回到甲地，那么100 ≤ v ≤ 120，即返程时平 均速度的范围不低于 100 km/h、不大于 120 km/h. 加油站 t/ h 反比例函数是实际生活和生产中的 一类问题的数学模型. 解决这类问题时， 5 需要先列出符合题意的函数表达式，然后 利用反比例函数的性质，以及综合运用方 O 60 80 100120 v（/ km/h） 程、方程组、不等式等相关知识求解. 图 5-14 例6 某校对教室采用药薰法进行灭蚊. 根据药 y/（mg/m3） 品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药 6 量 y（mg/m3）与药物点燃后的时间 x（min）成正比 3 例，药物燃尽后，y 与 x 成反比例（图 5-15）. 已知药 O 4 8 16 x/min 物点燃后 8 min 燃尽，此时室内每立方米空气中含药 图 5-15 量为 6 mg . （1）求药物燃烧时，y 与 x 之间函数的表达式； （2）求药物燃尽后，y 与 x 之间函数的表达式； （3）根据灭蚊药品使用说明，当空气中每立方米的含药量低于 1.6 mg 时， 对人体是安全的. 那么从开始药薰，至少经过多少时间，学生才能进入教室？ 23第5章 对函数的再探索 （4）根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于 3 mg 且持续 时间不低于 10 min 时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为 什么？ 解 （1）当药物燃烧时，y 是 x 的正比例函数，设它的表达式为 y = k x（0 ≤ x ≤ 8）. 1 3 将分段点（8，6）代入上式，得 6 = 8k ，解得k = . 1 1 4 所以，药物燃烧时，y 与 x 之间的函数表达式为 3 y = x，0 ≤ x ≤ 8 . 4 k （2）当药物燃尽后，y 是 x 的反比例函数，设它的表达式是 y = 2 （x > 8）. x k 将分段点（8，6）代入上式，得 6 = 2 ，解得 k = 48 . 8 2 所以，药物燃尽后，y 与 x 之间函数的表达式为 48 y = ，x > 8. x 48 （3）将 y = 1.6 代入 y = ，得 x = 30（min）. x 所以，从灭蚊开始至少需经过 30 min，学生才能进入教室. 3 48 （4）将 y = 3 分别代入 y = x 和 y = ，分别得 x = 4 和 x = 16（图 5-15）， 4 x 1 2 因此，从药物点燃 4 min 到 16 min 时，室内每立方米空气中含药量超过 3 mg， 由于x - x = 16 - 4 = 12（min）> 10（min），所以此次灭蚊有效. 2 1 练 习 P / Pa 4 000 1. 在压力不变的情况下，某物体承受的压强 P（Pa）是 3 000 它的受力面积 S（m2）的反比例函数，其图象如右 2 000 图所示. 1 000 （1）求 P 与 S 之间的函数表达式； S / m2 （2）求当 S = 0.5 m2 时的物体承受的压强 P . O 0.1 0.2 0.3 0.4 （第 1 题） 2. 选择题：已知某种品牌电脑显示屏的使用寿命大约 为 2×104 h . 如果该显示屏工作天数为 d（天），平均每天工作时间为 t（h），那么能 245.2 反比例函数 正确表示 d 与 t 之间函数关系的图象是（ ）. d / 天 d / 天 d / 天 d / 天 1×104 2×104 1×104 1×104 2 O 2 t / h O 2 t / h O 2 t / h O t / h （A） （B） （C） （D） （第 2 题） 习题5.2 复习与巩固 1. 指出下列函数中的反比例函数： -x 1 1 3 （1）y = ； （2）y = ； （3）y = - ； （4）y = . 2 x x 3x 2.（1）学校食堂用 1 200 元购买大米，写出所购买的大米质量 y（kg）与单价 x（元 / kg） 之间的函数表达式. y 是 x 的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水 90 m3，现用放水管以 x（m3 / h）的速度排水，经过 y（h）排空. 写出 y 与 x 之间的函数表达式. y 是 x 的反比例函数吗？ 3. 某县现有人口 82 万，人均占有耕地面积为 0.125 公顷. 如果该县的总耕地面积不变， （1）写出该县人均占有耕地面积 y（公顷/人）与人口总数 x（人）之间的函数表达式. y 是 x 的反比例函数吗？ （2）当该县人口增加到 100 万时，人均占有耕地面积是多少公顷？ 4. 一定质量的氧气，它的密度 ρ（kg / m3）是它的体积 V（m3）的反比例函数. 当 V = 10 m3 时，ρ = 1.43 kg / m3 . （1）求 ρ 与 V 之间的函数表达式； （2）当 V = 2 m3 时，求氧气的密度 ρ. k 5. 已知反比例函数 y = （k≠0）的图象过点（1，2），求 k 的值. x 6. 已知 y 是 x 的反比例函数，（ 2，- 2）是它图象上的一点. （1）写出这个反比例函数的表达式； 1 3 （2）该图象是否经过点 P（-6， ）， （- 3， ）？ 3 2 2m-1 7. 已知反比例函数 y = 的图象在第一、三象限，求 m 的取值范围. x 25第5章 对函数的再探索 5 8. 如果点（x ，y ），（x ，y ）都在反比例函数 y = 的图象上，并且x 0，x > 0）在第一象限内图象上 x 的点，过 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 E，F，正 B C P 方形 OABC 的面积为 9，矩形 OAGF 的面积为 S . F G （1）求点 B 的坐标和 k 值； O A E x 9 （第 15 题） （2）当 S = 时，求点 P 的坐标； 2 （3）写出 S 与 m 之间的函数表达式. 6 16.（1）写出第一象限内函数 y = 的图象上所有横、纵坐标都是整数的点； x （2）如果 P（m，y ）， （-3，y ）是该函数图象上的点，且 y > y ，求 m 的取值范 1 2 1 2 围. 探索与创新 17. 在矩形 ABCD 中，AB = 2，BC = 3，P 是 BC 边上一个动 A D 点. 设 PA = x，点 D 到 PA 的距离为 y . 求 y 与 x 之间的函 数表达式，并求出自变量 x 的取值范围. E B C P （第 17 题） 5.3 二次函数 观察与思考 思考下列问题，并与同学交流： （1）把一根长为 60 cm 的铁丝，围成一个矩形. 写出矩形的面积 S（cm2）与 它的一边长 x（cm）之间的函数表达式. 27第5章 对函数的再探索 矩形的一边长为 x cm，则它的另一边为（30-x）cm，因此矩形的面积 S = x（30 - x）， 整理得 S = -x2 + 30 x . （2）如图 5-16，一个小球由静止开始沿斜坡向下滚 动，5 s 时到达斜坡的底部. 测得小球滚动的距离 s（m）与 时间 t（s）的对应数据如下表所示： 图 5-16 时间 t/s 0 1 2 3 4 5 距离 s/m 0 2 8 18 32 50 分析上面的数据，你发现当 t 增加时，s 的变化有什么规律？你能写出 s 与 t 之间的函数表达式吗？ （3）某企业去年的产值为 1 200 万元. 如果三年内该企业年产值平均每年的 增长率为 x，你能写出明年该企业年产值 y（万元）与 x 之间的函数表达式吗？ 因为去年的年产值为 1 200 万元，所以该企业今年的年产值为 1 200 + 1 200 x， 即 1 200（1 + x）. 因而，明年该企业的年产值 y（万元）与增长率 x 之间的函数表达式为 y = 1 200（1 + x）+ 1 200（1 + x）·x = 1 200（1 + x）2 . 上面的函数表达式还可以进一步整理成 y = 1 200 x2 + 2 400 x + 1 200 . （4）经过整理，以上三个问题中的函数表达式分别是： S = -x2 + 30x； s = 2t2； y = 1 200 x2 + 2 400 x + 1 200 . 观察这些函数表达式，你发现它们具有什么共同特征？ 这些函数表达式都是关于自 变量的二次整式 . 一般地，形如 y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常数，且 a≠0）的函数叫做二次 函数（quadratic function）. 285.3 二次函数 你能分别说出上述三个二次函数表达式中的二次项系数、一次项系数和常数 项吗？ （5）你能说出二次函数 y = ax2 + bx + c 中自变量 x 的取值范围吗？你能分 别说出问题（1）（2）（3）中自变量可以取值的范围吗？ 二次函数 y = ax2 + bx + c 的自变量 x 可以 取值的范围是全体实数，但在具体问题中， 还要结合实际背景确定自变量的取值范围. 例1 如图 5-17，从半径为 15 的圆形铁片上，挖去一个半径为 x 的圆. 写出 剩余部分的面积 y 与 x 之间的函数表达式，并指出自变量 x 可以取值的范围. 解 原来圆形铁片的面积为 S = π×152 = 225π. x 挖去部分的面积为 πx2 . 15 所以，剩余部分的面积 y 与 x 之间的函数表达式为 y = 225π - πx2 图 5-17 = -πx2 + 225π . 根据题意，小圆在大圆的内部，所以自变量 x 可以取值的范围是 0 < x < 15 . 练 习 1. 当系数 a，b，c 满足什么条件时，函数 y = ax2 + bx + c 是二次函数？是一次函数？是 正比例函数？ 2. 已知正方形的边长是 3，当边长增加 x 时，面积增加 y . 写出 y 与 x 之间的函数表达式. 29第5章 对函数的再探索 习题5.3 复习与巩固 1. 指出下列函数中哪些是二次函数. 如果是二次函数，写出它的二次项系数、一次项系 数和常数项： （1）y = 2x + 1； （2）y = 2x2 + 1； 1 5 （3）y = x（2 - x）； （4）y = （x - 1）2 - ； 2 2 8 （5）y = ； （6）y = x2 （x - 1）-1. 3x2 2. 已知直角三角形的一个锐角是 30°，写出它的面积 y（cm2）与斜 A D 边长 x（cm）之间的函数表达式，并指出自变量 x 可以取值的 范围. y F 3. 如图，在正方形 ABCD 中，AB = 4 . E，F 分别是边 BC，CD 边 上的动点，且 AE = AF. 设△AEF 的面积为 y，EC 的长为 x . 写 B E x C 出 y 与 x 之间的函数表达式，并指出自变量 x 可以取值的范围. （第 3 题） 拓展与延伸 4. 设人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定 期储蓄转存. 如果本金是 10 000 元，写出两年后的本息之和 y（元）与年利息 x 之间的 函数表达式. 5. 如图，一块草地是长为 100 m、宽为 50 m 的矩形，要在中间修 小 路 筑互相垂直且宽为 x（m）的小路，如果草坪面积为 y（m2），求 y 与 x 之间的函数表达式. （第 5 题） 探索与创新 6. 某商品的进价为每件 20 元，如果按标价为每件 30 元销售，商店每月可售出 400 件. 为 了提高利率商店拟提高每件的售价，但根据销售经验，销售价格每提高 1 元，每月的 销售量会相应减少 20 件. （1）写出每月的利润 y 与单价 x 之间的函数表达式； （2）求自变量 x 可以取值的范围. 305.4 二次函数的图象和性质 5.4 二次函数的图象和性质 我们已经知道，一次函数的图象是直线，反比例函数的图象是双曲线，并 且根据它们的图象，得到了一次函数和反比例函数的性质. 二次函数的图象形状 是怎样的？它有哪些性质？ 根据我们的经验，研究二次函数的图象应该从最简单的二次函数即 y = ax2 开始，取得对它的图象和性质的认识，进而再研究更复杂、更一般的二次函数 的图象和性质. 实验与探究 （1）如何用描点法画出函数 y = x2 的图象呢？与同学交流. 在自变量可以取值的范围内，选定 x 的一些值，求出对应的 y 值，列出表格. x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 以表中的每个有序实数对（x，y）作为点的坐标，在直角坐标系中描出相 应的各点（图 5-18）. y y 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 -3-2-1 O1 2 3 x -3-2-1 O1 2 3 x 图 5-18 图 5-19 31第5章 对函数的再探索 （2）用平滑的曲线由左至右顺次连接描出的各点，便得出函数 y = x2 的图 象（图 5-19）. （3）观察（2）中得到的函数 y = x2 的图象形状、开口方向和轴对称性，找 出图象与对称轴的交点，研究图象在交点的左边和右边的变化情况，你有什么 发现？与同学交流. 函数 y = x2 的图象是一条抛物线（parabola）. 它的开口向 ；图象 是轴对称图形，它的对称轴是 ；图象与对称轴的交点坐标是 ，交点是图象的最 点；当 x < 0 时，y 随 x 的增大而 ；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而 . （4）请你再画出二次函数 y = -x2 的图象，研究它的特征，并与同学交流. 观察二次函数 y = -x2 的图象（图 5-20）可以看出，函数 y = -x2 的图象也 是一条抛物线. 它的开口向 ；图象是轴对称图形，它的对称轴是 ； 图象与对称轴的交点坐标是 ，交点是图象的最 点；当 x < 0 时，y 随 x 的增大而 ；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而 . y -3-2-1 O1 2 3 x y y=2x2 y=x2 -1 y= 1 x2 -2 2 -3 -4 -5 O x -6 -7 1 y=- x2 -8 2 -9 y=-2x2 y=-x2 图 5-20 图 5-21 1 （5）在同一直角坐标系中，分别画出二次函数 y = x2，y = x2，y = 2x2， 2 1 y = - x2，y = -x2 ，y = -2x2 的图象（图 5-21）. 观察这些图象，你发现二次 2 函数 y = ax2 的图象有什么共同性质？ 二次函数 y = ax2 的图象是抛物线. 我们把二次函数 y = ax2 的图象也叫做抛 物线 y = ax2，它的对称轴是 y 轴. 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 抛物线 y = ax2 的顶点是坐标原 点. 当 a > 0 时，它的开口向上，顶点是它的最低点；当 a < 0 时，它的开口向 下，顶点是它的最高点. 325.4 二次函数的图象和性质 广角镜 漫谈抛物线 炮弹发射之后飞行的路线是怎样的？ 火炮发明之后，人们对这个问题并不十分明白. 从发射炮弹的一方看来，以为炮弹 离开炮筒后是沿着炮筒所在的射线飞出的，敌方也以为炮弹是从空中沿直线方向飞下来 的，于是当时人们总认为炮弹飞行的路线是一条折线（图 5-22）. 图 5-22 意大利著名学者伽利略更正了这种错误认识. 他指出炮弹并不是沿着折线飞行的， 而是沿着一条曲线飞行的，他把这条曲线叫“抛物线”. 就像斜抛一个物体后，物体在 空中划过的曲线的形状，“抛物”的名称正是从此而来 . 在现实生活中，你会发现有不少曲线的形状是抛物线，如喷泉喷出的水滴行进的路 线，跳水运动员起跳后至入水前运动的路线，某些桥梁的桥拱等. 抛物线有许多有用的性质. 如果将一束平行于抛物线的对称轴 的光线射入抛物线，经过抛物线反射后，这些光线会聚于一点 F， 点 F 叫做抛物线的焦点（图 5-23）. 反之，在抛物线的焦点处安装 F 一个点光源，经抛物线反射出的是平行光线. 利用这个原理，人们 制出锅型天线、太阳灶、探照灯等器具. 图 5-23 练 习 1 1. 分别说出抛物线 y = -4x2，y = x2 的开口方向、对称轴，并分别写出它们的顶点、 2 最高点或最低点的坐标. 2. 已知抛物线 y = ax2 通过点（1，3），求 a 的值. 33第5章 对函数的再探索 观察与思考 在上一课时，你已经知道了最简单的二次函数 y = ax2 的图象和性质. 在此基 础上，我们继续从一些特殊的二次函数入手，探索更一般的二次函数的图象和 性质. 思考下面的问题： （1）比较 y = x2 + 1 与 y = x2 的表达式，你发现它们有哪些联系与区别？ 它们都是二次函数，二次项的系数都 是1，一次项都是 0，区别是它们的常数 项不同，前者是 1，后者为 0. 对于自变量x的同一个值，函数 y = x2+1 的对应值比 y = x2 的对应值多 1. y （2）你会利用描点法画出二次函数 y = x2 + 1 的 10 9 图象吗？ 8 7 利用列表、描点，得到二次函数 y = x2 + 1 的图 6 5 象（图 5-24）. 4 3 （3）观察图 5-24，你发现二次函数 y = x2 + 1 的 2 图象的形状、开口方向、对称性、顶点坐标有什么 1 O -3-2-1 1 2 3 4 x -1 特征？ -2 图 5-24 二次函数 y = x2 + 1 的图象是抛物 线，开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是 图象的最低点，顶点坐标为（0，1）. 345.4 二次函数的图象和性质 （4）利用（1）（3）中的结论，比较你在画 y = x2 + 1 和 y = x2 的图象时列出 的表格以及图 5-19 和图 5-24，你猜想如果把这两条抛物线画在同一个直角坐 标系中，它们有怎样的关系？ 它们的形状相同，只是在坐标系中的 位置不同，如果将抛物线 y = x2 沿 y 轴向上 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 y = x2 + 1 . （5）类似地，把 y = x2 - 1 和 y = x2 的图象画在同一个直角坐标系中（图 5-25），你有什么发现？ 它们的形状相同，只 是在坐标系中的位置不同. 将抛物线 y = x2 沿 y 轴向 下平移 1 个单位长度就得到抛 物线 y = x2 - 1. 图 5-25 一般地，二次函数 y = ax2 + c 的图象是抛物线，它与抛物线 y = ax2 的形 状相同，将抛物线 y = ax2 沿 y 轴向上或向下平移 | c | 个单位长度便得到抛物线 y = ax2 + c . 当 c > 0 时，向上平移；当 c < 0 时，向下平移. 1 1 1 （6）比较 y = - x2，y = - （x-1）2，y = - （x+1）2 的表达式，你发现 2 2 2 它们之间有什么联系和区别？ 1 1 （7）在同一直角坐标系中，分别画出二次函数 y = - x2，y = - （x-1）2 2 2 1 与 y = - （x+1）2 的图象（图 5-26）. 你有什么发现？ 2 35第5章 对函数的再探索 1 1 可以看出，二次函数 y = - （x-1）2，y = - （x+1）2 的图象也都是抛物 2 2 1 线. 它们与抛物线 y = - x2 的形状相同，只是位置不同. 2 1 1 （8）观察图 5-26，抛物线 y = - （x-1）2，y = - （x+1）2 可由抛物线 2 2 1 y = - x2 分别经过怎样的平移而得到？ 2 将抛物线 y = - 1 x2 沿 x 2 y=- 1 （x+1）2 轴向右平移 1 个单位长度就 2 1 y=- （x-1）2 1 2 得到 y = - （x-1）2；向左 2 平移 1 个单位长度就得到抛 1 物线 y = - （x + 1）2. 2 1 y=- x2 2 图 5-26 （9）一般地，由抛物线 y = ax2 经过怎样的平移得到抛物线 y = a（x-h）2 ？ 与同学交流. 练 习 1. 如图，在同一直角坐标系中，有五条抛物线，它们对应的二 次函数表达式分别是： （1）y = 2x2； （2）y = 2x2 + 1； （3）y = 2x2 + 2； （4）y = 2x2 - 1；（5）y = 2x2 - 2. 你能把图中的抛物线用它们的表达式的编号分别标注出来 吗？ 2. 写出满足下列条件的一个二次函数的表达式： （第 1 题） （1）图象的顶点在 x 轴的负半轴上； （2）图象的开口方向向下. 365.4 二次函数的图象和性质 观察与思考 1 1 （1）观察二次函数 y = （x - 4）2 + 3 的表达式，它与 y = （x - 4）2 有什么 2 2 1 联系和区别？它与 y = x2 有什么联系和区别？ 2 （2）在同一个直角坐标系中，用描点法 1 y= （x-4）2+3 2 1 1 分别画出二次函数 y = x2，y = （x - 4）2 和 y= 1 x2 2 2 2 y = 1 （x - 4）2 + 3 的图象. 比较它们之间的联 y= 1 2 （x-4）2 2 1 系与区别，你能说出二次函数 y = （x - 4）2 + 3 2 图 5-27 的图象有哪些性质吗？ 1 1 二次函数 y = （x - 4）2 + 3 的图象是抛物线，它的形状与抛物线 y = x2 相 2 2 同，顶点是（4，3），对称轴是直线 x = 4（图 5-27）. 1 （3）由二次函数 y = （x - 4）2 的图象，经过怎样的平移，可以得到二次函 2 1 数 y = （x - 4）2 + 3 的图象？ 2 1 （4）由二次函数 y = x2 的图象，如果沿 x 轴方向和 y 轴方向依次进行怎样 2 1 的平移，便得到二次函数 y = （x - 4）2 + 3 的图象？ 2 （5）一般地，二次函数 y = a（x - h）2 + k 的图象可以由抛物线 y = ax2 经过 怎样的平移而得到？由此你能说出二次函数 y = a（x - h）2 + k 有哪些性质吗？ 与同学交流. 二次函数 y = a（x - h）2 + k 的图象是抛物线，它与 y = ax2 的图象形状 相同，只是位置不同. 因此，它可由抛物线 y = ax2 经过平移而得到. 二次函 数 y = a（x - h）2 + k 及其图象有如下性质： （1）a > 0 时，开口向上，顶点是图象最低点；a < 0时，开口向下，顶 点是图象最高点； 37第5章 对函数的再探索 （2）对称轴是经过点（h，0）且平行于 y 轴的直线 x = h； （3）顶点坐标是（h，k）； （4）如果 a > 0，当 x < h 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > h 时，y 随 x 的 增大而增大. 如果 a < 0，当 x < h 时，y 随 x 的增大而增大；当 x > h 时，y 随 x 的增大而减小 . 5 例1 试讨论二次函数 y = - （x + 3）2 - 2 的性质. 2 5 解 由函数 y = - （x + 3）2 - 2 的表达式可知，它有以下性质： 2 （1）图象是抛物线，开口向下； （2）对称轴为直线 x = -3； （3）顶点是图象的最高点，坐标为（-3，-2）； （4）当 x < -3 时，函数值随 x 的增大而增大；当 x > -3 时，函数值随 x 的 增大而减小. 练 习 1. 填表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = 2x2 + 3 1 y = - （x - 1）2 2 y = 4（x + 5）2 + 2 2. 写出符合下列两个条件的一个二次函数的表达式： （1）图象的顶点在第四象限； （2）当 x < 3 时，y 随 x 的增大而减小. 交流与发现 （1）你已经知道了二次函数 y = a（x - h）2 + k 的图象和性质，一般地，怎 1 样画出一个二次函数的图象呢？例如二次函数 y = x2 - 6x + 21 能通过配方，把 2 它的表达式化成 y = a（x - h）2 + k 的形式吗？ 385.4 二次函数的图象和性质 1 y = x2 - 6x + 21 2 1 = （x2 - 12x + 42） 2 1 = （x2 - 12x + 36 + 42 - 36） 2 1 = （x - 6）2 + 3 . 2 1 1 （2）根据配方后的表达式 y = （x - 6）2 + 3，你能说出二次函数 y = x2 2 2 - 6x + 21 有哪些性质？与同学交流. 1 （3）上面（2）中所得到的结论，对于用描点法画出二次函数 y = x2 - 6x 2 + 21 的图象会有哪些帮助？ 1 通过把 y = x2 - 6x + 21 配方，可知它的图象是一 2 条开口向上的抛物线，其顶点坐标是（6，3），于是 大致了解它在坐标系中的位置. 列表时可以先确定顶 点，描出对称轴一侧的图象上的若干个点，然后利用 对称性，描出这些点关于这条直线的对称点. （4）列表时先填入顶点坐标（6，3），适当选取满足 x > 6（或 x < 6）的一 些值，再根据表达式求出相应的 y 值，得到下表： x 6 7 8 9 1 y = （x - 6）2 + 3 3 3.5 5 7.5 2 （5）然后利用对称性，在表中的空白处直接写出与（7，3.5），（8，5）， （9，7.5）对应的各有序数对，并在直角坐标系中描出对应各点，再用平滑的 1 曲线连接，便得到 y = x2 - 6x + 21 的图象（图 5-28）. 2 39第5章 对函数的再探索 1 （6）通过以上对二次函数 y = x2 - 6x + 21 的图象和性质的探索，你认为 2 应当怎样得到二次函数 y = ax2 + bx + c 图象的性质？ y 10 8 先把函数表达式通过 6 配方化成 y = a（x - h）2 + k 4 y= 1 x2-6x+21 2 的形式 . 2 -4 -2 O 2 4 6 8 10 x -2 图 5-28 y = ax2 + bx + c b c = a（x2 + x + ） a a b b b c = a［x2 + 2· x +（ ）2 -（ ）2 + ］ 2a 2a 2a a b 4ac-b2 = a（x + ）2 + . 2a 4a 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象是抛物线，它的对称轴是直线 b b 4ac-b2 x = - ，顶点坐标是（- ， ）. 若 a > 0，抛物线的开口向上. 当 x < 2a 2a 4a b b - 时，y 随 x 的增大而减小，当 x > - 时，y 随 x 的增大而增大，顶点是这 2a 2a b 条抛物线的最低点. 若 a < 0，抛物线的开口向下. 当 x < - 时，y 随 x 的增大 2a b 而增大，当 x > - 时，y 随 x 的增大而减小，顶点是这条抛物线的最高点 . 2a 挑战自我 抛物线 y = ax2 + bx + c 与抛物线 y = ax2 有什么联系和区别？它可以由抛 物线 y = ax2 经过怎样的平移得到？ 405.4 二次函数的图象和性质 练 习 1. 利用配方法写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 这些抛物线分别有最高 点还是有最低点？当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？当 x 取何值时，y 随 x 的增大 而减小？ （1）y = x2 - 3x； （2）y = x2 + 3x - 1； 1 5 5 （3）y = x2 + 3x + ； （4）y = x - 2 - 3x2 . 2 2 2 2. 画出二次函数 y = -x2 + 4x + 3 的图象. 习题5.4 复习与巩固 1 1. 写出与抛物线 y = - x2 关于 x 轴对称的抛物线的表达式. 4 2. 判断下列说法的正误： （1）抛物线 y = ax2 经过点（-1，a）； （2）如果点（m， n）在抛物线 y = ax2 上，那么点（-m，n）也在这条抛物线上； 1 （3）抛物线 y = - x2 有最低点； 6 （4）抛物线 y = 6x2 与抛物线 y = -6x2 关于 x 轴成轴对称. 1 3. 画出二次函数 y = - x2 的图象，根据图象，求： 2 （1）当 x = -1.7 时，y 的值（精确到 0.1）； （2）当 y = -5.8 时，x 的值（精确到 0.1）. 4. 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 1 1 1 y = x2，y = x2 + 2，y = x2 - 2 . 4 4 4 观察这三个函数图象的位置关系，分别指出它们的开口方向、顶点坐标、对称轴、最 低点或最高点的坐标. 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？当 x 取何值时，y 随 x 的增 大而减小？ 5. 指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明当 x 取何值时，y 随 x 的增大 而增大；当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小： （1）y = 4（x + 1）2 - 4； （2）y = -2（x - 1）2 + 3. 6. 写出把二次函数 y = x2 的图象向左平移 2 个单位长度再向下平移 1 个单位长度后，所 得到的图象的表达式. 41第5章 对函数的再探索 7. 画出函数 y = x2 - 2x - 3的图象，根据图象回答下列问题： （1）写出图象的开口方向和顶点坐标； （2）当 x 取什么值时，y 随 x 的增大而增大？ （3）当 x 取什么值时，y 随 x 的增大而减小？ 8. 小亮在用描点法画二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象时，列出了下面的表格： x ⋯ -2 -1 0 1 2 ⋯ y ⋯ 11 2 -1 2 5 ⋯ 由于粗心，他算错了其中一个 y 值，你能帮他指出表中的错误吗？ 9. 当 b < 0 时，抛物线 y = 2x2 + bx - 5 的顶点在哪个象限？ 10. 如何平移二次函数 y = 4（x + 3）2 - 7 的图象，可得到二次函数 y = 4x2 的图象？ 1 11. 如果点（2，a）与（b，-8）都在抛物线 y = - x2 上，求 a 和 b 的值. 2 12. 已知点 A（2，-1）和 B（-3， m）在抛物线 y = ax2 上，求 m 的值. 拓展与延伸 13. 已知抛物线 y = ax2 + bx + c，其中 a < 0，b > 0，c > 0 . 回答下 y 4 列问题，并说明理由： 3 （1）抛物线与 y 轴的交点在原点的上方还是原点的下方？ 2 1 （2）抛物线的对称轴在 y 轴的左侧还是右侧？ O x （3）抛物线的顶点在哪一象限或哪条坐标轴上？ -1 -2 14. 抛物线 y = x2 - 6x + c 的一段如图所示. -3 （1）求这条抛物线的对称轴； -4 （2）它可以由抛物线 y = x2 经过怎样的平移而得到？ （第 14 题） （3）画出这条抛物线. 15.（1）选择一组你认为适当的 a，b，c 的值，使二次函数 y = ax2 + bx + c 满足以下条件： ① 它的图象开口向下； ② 对称轴为 x = 2 . （2）满足上述条件的 a，b，c 有多少组？如果不止一组，请你再写出一组与（1）不 同的答案. 探索与创新 16. 二次函数 y = ax2 的图象与过 A（2，0），B（0，2）的直 2 线 l 交于 P， 两点，P 点横坐标为 1. 1 2 （1）求直线 l 及二次函数的表达式； 1 42 （2）求△OP 的面积 .5.5 确定二次函数的表达式 5.5 确定二次函数的表达式 如果已知二次函数图象上某些点的坐标，你能利用待定系数法确定二次函 数的表达式吗？ 如果已知图象的顶点坐标，把它的表达式 写成 y = a（x + h）2 + k 的形式，其中（-h，k）已 知，那么只要再知道抛物线上其他一点的坐标便 可以利用待定系数法确定系数 a 的值. 例1 二次函数图象的顶点坐标是（-1，-6），并且图象经过点（2，3）. 求这个函数的表达式 . 解 因为二次函数图象的顶点坐标是（-1，-6）， 所以，可以设二次函数的表达式为 y = a（x + 1）2 - 6 . 又因为图象经过点（2， 3），将这点的坐标代入上式，得 3 = a（2 + 1）2 - 6 . 解得 a = 1 . 所以，这个二次函数的表达式是 y =（x + 1）2 - 6 = x2 + 2x - 5 . * 例2 已知点 A（-1，6），B（4，6）和 C（3，2），求经过这三点的二次 函数的表达式 1 . 解 设所求的二次函数的表达式为 y = ax2 + bx + c . 1 由给定不共线三点的坐标确定一个二次函数的表达式是选学内容，不作为考试要求. 43第5章 对函数的再探索 二次函数的图象经过点 A（-1，6），B（4，6）和 C（3，2）. 将这三点坐标分别代入 y = ax2 + bx + c，得 { a - b + c = 6， 加油站 16a + 4b + c = 6， 在二次函数 y=ax2+bx+c 的表达 9a + 3b + c = 2. 式中，a，b，c 是待定系数，如果已知 { a = 1， 不共线的三点的坐标将它们分别代入这 解得 b = -3， 个表达式，便可得到一个关于a，b， c 的三元一次方程组，解这个方程组， c = 2. 便可确定表达式中的未知系数. 这就是 说，知道不共线的三点的坐标，便可确 所以，这个二次函数的表达式为 定经过这三点的抛物线. y = x2 - 3x + 2. 智趣园 有趣的“切饼问题” 如图 5-29，把一张烙饼切一刀可以把它切成两块，切两刀最多可以把它切成 4 块，切三刀最多可以把它切成 7 块. 如果切四刀，切五刀，最多能把这张烙饼切成几块？切 n 刀呢？ 图 5-29 用 y 表示切 x 刀最多可以把一张烙饼切成的块数. 列出下表： x 0 1 2 3 4 5 ⋯ y 1 2 4 7 11 16 ⋯ 你能写出 y 与 x 之间的函数表达式吗？ 在如图 5-30 所示的直角坐标系中，横轴表示切的刀数 x，纵轴表示最多可切成的块 数 y，以表中每对 x，y 的值作为点的坐标，描出对应的各点，把这些点用平滑的曲线连 接起来，观察这条曲线的形状，可以猜测这些点分布在一个二次函数的图象上. 设这个 二次函数的表达式为 445.5 确定二次函数的表达式 y = ax2 + bx + c . ① y 16 将其中三点（0，1），（1，2），（2，4）的坐标代入 ① 14 式，得到 12 10 { c = 1， 8 6 a + b + c = 2， 4 2 4a + 2b + c = 4 . O 1 2 3 4 5 x 解这个三元一次方程组，得 图 5-30 1 1 ∴ a = ，b = ，c = 1 . 2 2 1 1 因此，经过这三点的抛物线的表达式是 y = x2 + x + 1. 2 2 我们还需要验证点（3，7），（4，11），（5，16）是否都满足这个二次函数的表达式. 1 1 分别令 x = 3，4，5，依次代入 y = x2 + x + 1，得 y = 7，11，16. 这说明，上面 2 2 表中列出的前 6 个有序数对（x，y）所对应的点都在这个二次函数的图象上. 你还可以继续验证，当 x = 6，7，8，⋯时，切的刀数和最多可以切成的块数也满足 1 1 y = x2 + x + 1. 2 2 事实上，对于 x 为任意正整数时，这个结论仍然成立，其严格证明将会在今后的学 习中得到解决. 练 习 1. 抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标为（2，1），且抛物线与 x 轴的一个交点坐标是 （3，0）. 求： （1）这条抛物线的表达式； （2）这条抛物线与 x 轴另一个交点的坐标. *2. 已知二次函数的图象经过点 A（1，-2），（-1，6）和（2，-9），求这个二次函数的 表达式. 习题5.5 复习与巩固 1. 二次函数 y = x2 + bx + c 的图象经过 A（0，1）与 B（2，-1），试判断点 P（-1，2） 45第5章 对函数的再探索 是否在这个二次函数的图象上. 2. 某涵洞的横断面呈抛物线形，现测得底部的宽 AB = 1.6 m，涵洞顶部到底面的最大高 度为 2.4 m. 在如图所示的直角坐标系中，求抛物线所对应的二次函数的表达式. y O x AA B （第 2 题） （第 3 题） 3. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图所示，求这个函数的表达式. 4. 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象，经过（0，-1）与（3，5）两点，对称轴是直线 x = 1. 求这个二次函数的表达式. y 拓展与延伸 A E D *5. 在如图所示的直角坐标系中，正方形 ABCD 的边长为 4. （1）求图象经过 B，E，F 三点的二次函数的表达式； O F x （2）求（1）中二次函数图象的顶点坐标 . B C 探索与创新 （第 5 题） 6. 抛物线 y = ax2 + bx + c 经过点（0，1）与点（2，-3）. （1）写出满足上述条件的两个函数的表达式； （2）当抛物线开口向下、对称轴在 y 轴的左侧时，求 a 的取值范围. 5.6 二次函数的图象与一元二次方程 观察与思考 （1）比较二次函数 y = x2 - 2x - 3 的表达式与一元二次方程 x2 - 2x - 3 = 0， 你能说出二者之间有什么联系吗？ （2）一元二次方程 x2 - 2x - 3 = 0 有没有实根？如果有实根，它的实根是 465.6 二次函数的图象与一元二次方程 什么？ （3）观察二次函数 y = x2 - 2x - 3 的图象（图 5-31）. 图象与 x 轴有公共点 吗？如果有，有几个公共点？公共点的坐标分别是什么？ （4）当 x 取何值时，函数 y = x2 - 2x - 3 的值是 0？ （5）一元二次方程 x2 - 2x - 3 = 0 的实根和二次函数 y = x2 - 2x - 3 的图象 与 x 轴的交点的横坐标有什么关系？ y y 2 3 2 1 1 -3 -2-1 O 1 2 3 x -1 1 2 -2 -3 - 1 O 1 1 3 x 2 2 2 1 -4 - 2 图 5-31 图 5-32 1 （6）通过以上的探索活动，你发现一元二次方程 x2 - x + = 0 与二次函数 4 1 y = x2 - x + 的图象（图 5-32）有什么联系？ 4 （7）一般地，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有实根，那么该方程的实 根和二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的公共点的横坐标有什么关系？ 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有实根，那么二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有公共点，且公共点的横坐标是这个一元二次方程的实根； 反之，如果二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有公共点，那么公共点的 横坐标就是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的实根. 例1 利用二次函数图象，求一元二次方程 y 2 x2 - 3x - 2 = 0 的近似解（精确到 0.1）. 1 -2 -1 O 1 2 3 4 x 解 （1）画出二次函数 y = x2 - 3x - 2 的图 -1 -2 象（图 5-33）. -3 -4 （2）观察图象，发现图象与 x 轴有两个交点，左 -5 交点在（-1，0）与（0，0）之间，右交点在（3，0） 图 5-33 47第5章 对函数的再探索 与（4，0）之间，由此可知一元二次方程 x2 - 3x - 2 = 0 在 -1 与 0 之间以及 3 与 4 之间各有一个实根. （3）观察图 5-33 可知，当 x 由 -1 增加到 0 时，图象由 x 轴上方穿过 x 轴下降 到 y 轴的下方，也就是说，当 x = -1 时，y > 0，当 x = 0 时，y < 0 . 为了进一步确定图象与 x 轴的左交点的位置，在 -1 与 0 之间取 x = -0.5，求 出对应的 y = -0.25，y < 0，因此图象与 x 轴的左交点在（-1，0）到（-0.5，0）之 间. 为了求出左交点横坐标精确到 0.1 的近似值. 再将点（-1，0）与（-0.5，0）之 间的线段分为 5 等份，把每个分点的横坐标作为 x 值，分别代入 y = x2 - 3x - 2， 利用计算器求出所对应的函数值，列表得 x -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 y 2 1.51 1.04 0.59 0.16 -0.25 由上表看出，当 x = -0.6 时，y > 0；当 x = -0.5 时，y < 0. 这就是说，图象 上的点（-0.6，0.16）在 x 轴上方，点（-0.5，-0.25）在 x 轴下方. 因此图象与 x 轴左交点在点（-0.6，0）和（-0.5，0）之间. 所以 -0.6 或 -0.5 都可作为图象与 x 轴左交点的横坐标的近似值，因此二次方程 x2 - 3x - 2 = 0 的较小根的近似值 为 x ≈ -0.6 或 x ≈ -0.5（精确到 0.1）. （4）同样地，可以求出函数 y = x2 - 3x - 2 与 x 轴的右交点横坐标的近似值. 列表得 x 3.0 3.5 3.6 y -2 -0.25 0.16 由上表看出，当 x = 3.5 时，y < 0；当 x = 3.6 时，y > 0. 这就是说，图象与 x 轴的右交点的横坐标在 3.5 和 3.6 之间，所以一元 二次方程 x2 - 3x - 2 = 0 较大根的近似值为 x ≈ 3.5 或 x ≈ 3.6（精确到 0.1）. 例2 利用二次函数的图象讨论一元二次方程 x2 - 2x + 3 = 0 的根. 解 （1）画出二次函数 y = x2 - 2x + 3 的图 48 象（图 5-34）. 图 5-345.6 二次函数的图象与一元二次方程 （2）由于图象与 x 轴没有公共点，所以一元二次方程 x2 - 2x + 3 = 0 没有 实根. 挑战自我 已知抛物线 y = ax2 + bx + c，当 a，b，c 满足什么条件时， （1）抛物线与 x 轴有两个公共点？ （2）抛物线与 x 轴只有一个公共点？ （3）抛物线与 x 轴没有公共点？ 练 习 1. 求二次函数 y = 2x2 - 4x - 1 的图象与 x 轴的公共点的坐标. 2. 利用二次函数的图象求一元二次方程 x2 - 8x + 6 = 0 的近似解（精确到 0.1）. 习题5.6 复习与巩固 1. 判断下列二次函数的图象与 x 轴是否有公共点. 如果有，有几个公共点？ 1 （1）y = - x2 + x - 1； （2）y = x2 + x + 2； （3）y = x2 - 3x - 4. 4 1 2. 利用二次函数的图象，求方程 - x2 - 2x + 1 = 0 的近似解（精确到 0.1）. 2 拓展与延伸 3. 当 m 取何值时，抛物线 y = x2 + 3x + m 与 x 轴有两个交点？ 4. 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图所示 . （1）不求 a，b，c 的值，写出方程 ax2 + bx + c = 0 的两 个根； （2）当 x 取何值时，y > 0？由此写出不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集； （3）若图象顶点的纵坐标是 2，写出二次函数的表达式. 49第5章 对函数的再探索 5. 如图所示的抛物线是二次函数 y = ax2 - 3x + a2 - 1 的图 y 象，求 a 的值. 探索与创新 O x 6. 如果关于 x 的一元二次方程 ax2 + 2x - 5 = 0 的两根中恰有 一个根大于 0 而小于 1，求 a 的取值范围. 5.7 二次函数的应用 二次函数也是一个重要的数学模型. 生活实际中的许多问题，可以运用二次 函数的知识加以解决. 例1 用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形菜园，已知篱笆的长度为 60 m. 应该怎样设计才使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解 如图 5-35，设矩形菜园的宽为 x（m），则菜园的长为（60 - 2x）m， 面积为 y（m2）. 根据题意，y 与 x 之间的函数表达式为 y = x（60 - 2x） = -2（x2 - 30x） = -2（x2 - 30x + 225 - 225） 图 5-35 = -2［（x - 15）2 - 225）］ = -2（x - 15）2 + 450 . 因为 a = -2 < 0，所以这个二次函数的图象开口向下，顶点（15，450）是 图象的最高点. 这就是说，当 x = 15 时，y 有最大值，最大值为 450 . 根据问题的实际意义，自变量 x 可以取值的范围是 0 < x < 30 . 由于 x = 15 在这个范围内，所以二次函数 y = x（60 - 2x）的最大值，就是该实际问题的最 大值 . 所以，当菜园的宽为 15 m 时，菜园面积最大，最大面积是 450 m2 . 505.7 二次函数的应用 一般地，因为抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点是抛物线的最低（高）点， b 所以当 x = - 时，二次函数 y = ax2 + bx + c 有最小（大）值，最小（大） 2a 4ac-b2 值为 . 4a 例2 如图 5-36，ABCD 是一块边长为 2 m 的正方形 D C 铁板，在边 AB 上选取一点 M，分别以 AM 和 MB 为边截取 两块相邻的正方形板材. 当 AM 的长为何值时，截取的板材 面积最小？ 解 设 AM 的长为 x（m），则 BM 的长为（2 - x）m， A x M B 2 以 AM 和 BM 为边的两个正方形面积之和为 y（m2）. 图 5-36 根据题意，y与x之间函数的表达式为 y = x2 +（2 - x）2 = 2x2 - 4x + 4 = 2（x - 1）2 + 2. 因为 a = 2 > 0， 于是，当 x = 1 时，y 有最小值，最小值是 2 . 根据问题的实际意义，自变量 x 可以的取值范围是 0 < x < 2，由于 x = 1 在 这个范围内，所以二次函数 y = x2 +（2 - x）2 的最小值就是该实际问题的最小值. 所以，当 AM = 1 m 时，截取的板材面积最小，最小面积为 2 m2 . 挑战自我 10 m 如图 5-37，用篱笆围成一个一面靠墙（墙的最大 A D 可用长度为 10 m）、中间隔有一道篱笆的矩形菜园. 已 知篱笆的长度为 24 m. 设菜园的宽 AB 为 x（m），面积 B C 为 y（m2）. 图 5-37 （1）写出 y 与 x 之间的函数表达式及自变量 x 可以取值的范围； （2）围成菜园的最大面积是多少？这时菜园的宽 x 等于多少？ 51第5章 对函数的再探索 练 习 1. 菱形的两条对角线的和为 40 cm . （1）如果菱形的面积为 y（cm2），一条对角线的长为 x（cm），写出 y 与 x 之间函数的 表达式，并指出自变量 x 可以取值的范围； （2）当这两条对角线的长分别为多少时，菱形的面积最大？最大面积是多少？ 5 例3 运动员掷一枚铅球，铅球抛出时离地面的高度为 m，抛出后，铅 3 球行进的路线是一段抛物线，行进时距离地面的最大高度是 3 m，此时铅球沿水 平方向行进了 4 m. 求铅球从抛出到落地走过的水平距离 . 解 如图 5-38，以铅球出手点 A 所在的铅垂线为 y 轴，铅垂线与地面的 交点为 O 点，射线 OA 的方向为 y 轴的正方向. 铅球的落地点为 C 点，直线 OC 为 x 轴，射线 OC 的方向为 x 轴的正方向，x 轴、y 轴均以 1 m 为单位长度，建立直 角坐标系. 由题意可知，抛物线的顶点 B 的坐标是（4，3）. y B 3 A O 4 C x 图 5-38 设抛物线的表达式为 y = a（x - 4）2 + 3. 这里，y 表示铅球运行时离地面的高度，x 表示铅球沿水平方向运行的距离. 5 当 x = 0 时，y = ，代入 y = a（x - 4）2 + 3，得 3 5 = a（0 - 4）2 + 3 . 3 1 解得 a = - . 12 所以，抛物线的表达式为 1 y = - （x - 4）2 + 3 . 12 525.7 二次函数的应用 令 y = 0，得 1 - （x - 4）2 + 3 = 0 . 12 解这个一元二次方程，得 x = -2，x = 10 . 1 2 代入实际问题中检验，x = -2（m）不合题意，舍去；x = 10（m）符合题意. 1 2 所以，铅球从抛出到落地走过的水平距离为 10 m . * 例4 图 5-39 是龙泉镇最近 5 年财政总收 6.9 入情况的折线统计图. 图中点 A，B，C，D，E E 5 的横坐标分别代表年度，纵坐标代表该年度的 3.8 D 3 C 2.6 财政总收入（单位：亿元）. 试根据折线图的发 B A 展趋势，预测该镇第 6 年的财政总收入. 解 设图象过 A，C，D 三点的二次函数 图 5-39 的表达式为 加油站 y = ax2 + bx + c . 将这三点的坐标（1，2.6），（3，3.8）， 由图 5-39，可以看出 A，B， （4，5）分别代入上式，得 C，D，E 近似分布在一条抛物 线上，因此可以选取其中的三个 { 2.6 = a·12 + b·1 + c， 点，求出由这三点确定的二次函 3.8 = a·32 + b·3 + c， 数的表达式，然后验证其他各点 5 = a·42 + b·4 + c. 是否也靠近这条抛物线，如果靠 近，便可推测第 6 年的财政总收 解 得 { a = 0.2， 入也符合以上规律. 从而可以预测 b = -0.2， 第 6 年的财政总收入. c = 2.6 . 所以，经过 A，C，D 三点的二次函数的表达式为 y = 0.2x2 - 0.2x + 2.6 . 当 x = 2 时，代入 y = 0.2x2 - 0.2x + 2.6，得 y = 3，与 B 点纵坐标相等，这 说明点 B 在经过 A，C，D 三点的二次函数的图象上，即这条抛物线上相应的点的 纵坐标反映了该镇第 2 年的财政收入. 当 x = 5 时，代入 y = 0.2x2 - 0.2x + 2.6， 得 y = 6.6，E 点纵坐标为 6.9，相差 0.3（亿元），这说明点 E 虽不在经过 A，C， D 三点的二次函数的图象上，但比较接近，即这条抛物线上相应的点的纵坐标 53第5章 对函数的再探索 可以近似反映该镇第 5 年的财政收入. 由此可知，二次函数 y = 0.2x2 - 0.2x + 2.6 可以近似地反映该镇最近 5 年财政收入情况的发展趋势，因此可利用前 5 年的发 展趋势，预测第 6 年的财政收入. 当 x = 6 时，代入 y = 0.2x2 - 0.2x + 2.6，得 y = 8.6 . 所以，可以预测 2010 年该镇的财政收入约为 8.6 亿元. 挑战自我 将若干小正方形按图 5-40 的方式排列，自上而下、自左而右填入正整数 1，2，3，4，⋯ 按这个规律，继续做下去，再把其中奇数行的中间的小正方形 用粗线条描出，则这些小正方形的序号及小正方形中的数 1 字组成一个 整数对序列： 2 3 （1，1），（2，5），（3，13），⋯⋯ 4 5 6 （1）写出这个序列中第 4，5，6 个数对； 7 8 9 10 （2）将这些数对在直角坐标系中描出； 11 12 13 14 15 （3）你猜测这些点分布在一条什么样的曲线上？你 图 5-40 能验证你的猜测是正确的吗？ 广角镜 平均数、方差与二次函数 在科学实验中，经常需要测定某一个量 a 的大小. 由于受到测量工具和测量方法的 限制，所得到测量的结果往往只是 a 的近似值. 为此，需对它作 n 次观测，测得 n 个数据 _ a +a +⋯+a a ，a ，⋯，a . 然后取它们的平均数 x = 1 2 n，作为对 a 的测定值. 你能说出这 1 1 n n 种方法的道理吗？ 设 x 是一个未知的可以用来近似表示量 a 大小的变量，考虑 x 的二次函数 1 y = ［（x - a ）2 +（x - a ）2 + ⋯ +（x - a ）2］. （1） n 1 2 n 对 a 的测定值应使这个二次函数的值达到最小. 将（1）式展开并化为二次函数的一般形式，得 545.7 二次函数的应用 1 y = ［ nx2 - 2（a + a + ⋯ + a ）x +（a 2 + a 2 + ⋯ + a 2）］ n 1 2 n 1 2 n 2 1 = x2 - （a + a + ⋯ + a ）x + （a 2 + a 2 + ⋯ + a 2）. n 1 2 n n 1 2 n a +a +⋯+a _ _ 当 x = 1 2 n = x 时，这个二次函数取得最小值，将 x = x 代入（1）式，得 n 1 _ _ _ y = ［（x - a ）2 +（x - a ）2 + ⋯ +（x - a ）2］. 最小 n 1 2 n y 正是数据 a ，a ，⋯，a 的方差. 最小 1 2 n _ 因此，在科学实验中通常把 n 次观测数据的平均数 x 作为所要观测量的测定值. 练 习 1. 某排球队员站在发球区发球，排球发出后向正前方行进，行进高度 y（m）与水平距 1 1 10 离 x（m）之间函数的表达式是 y = - x2 + x + . 求： 15 3 3 （1）已知发球点到排球网的水平距离为 9 m，网高 2.43 m，排球是否能打过网？ （2）当排球走过的水平距离是多少时，排球距离地面最高？ （3）已知排球场地的长为 18 m，排球将落在界内还是界外？ *2. 图 ① 是某条河流河床横断面的示意图，设河面的最大宽度为 2x（m），相应的河水 的最大深度为 y（m）. 查阅河段的水文资料，得到下表中的数据： x/m 5 10 20 30 40 50 y/m 0.125 0.5 2 4.5 8 12.5 （1）以上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，在图 ② 所示的坐标系中画出 y 关 于 x 的函数图象； y / m 14 12 10 8 x x 6 4 2 O 10 20 30 40 50 60 x / m ① ② （第 2 题） 55第5章 对函数的再探索 （2）根据所画出的函数图象，猜想 y 与 x 之间的函数表达式； （3）利用你猜想的函数表达式，判断当水面宽度为 36 m 时，一艘吃水深度（船底到 水面的距离）为 1.8 m 的货船能否在这个河段安全通过？请说明理由. 习题5.7 复习与巩固 1. 炮弹以一定的初速度和发射角射出后，上升的高度 y（m）与相应的水平距离 x（m） 之间的函数表达式是 1 1 y = - x2 + x . 54 000 3 试求炮弹能达到的最大高度. 2. 某种烟花点燃后垂直升空，其离地面的高度 h（m）和点燃后的时间 t（s）的函数表达式 1 为 h = v t - gt2（0 < t ≤ 2），其中重力加速度 g ≈ 10 m/s2 . 烟花点燃后以 v = 20 m/s 0 2 0 的初速度上升. （1）这种烟花在地面上点燃后，经过多少时间离地面 15 m？ （2）在烟花点燃后的 1.5 s 至 1.8 s 这段时间内，判断烟花是上升，或是下降？说明理由. 3. 某公园草坪的护栏是由 50 段形状相同的抛物线形组成的. 为牢固起见，每段护栏需按 间距 0.4 m 加设不锈钢管支柱（如图 ①，单位：m）. 为了计算所需不锈钢管的总长 度，设计人员建立如图 ② 所示的直角坐标系进行计算. 求该抛物线的表达式，并计算 所需不锈钢管的总长度至少为多少（精确到 1 m）. ① ② 拓展与延伸 4. 把边长为 40 cm 的正方形硬纸板（图 ①），在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折 成一个长方体形的无盖盒子，折纸厚度忽略不计. 565.7 二次函数的应用 （1）要使折成的盒子的底面积为 484 cm2， 剪掉的正方形边长应是多少？ （2）折成的长方体盒子侧面积有没有最大 值？如果没有，说明理由；如果有， 求出这个最大值，并求出此时剪掉的 ① ② 正方形边长. 5. 某公司开发一种新的软件，年初上市后，公司经历了扭亏为盈的过程. 下图中的图象 是抛物线的一段，它刻画了该软件上市以来累积利润 S / 万元 S（万元）与销售时间 t（月）之间的函数关系（即前 t 4 个月的利润总和 S 与 t 之间的函数关系）. 根据图象提供 3 2 的信息，解答下列问题： 1 （1）由图象上的哪些点的坐标，便可求出 S 与 t 之间的 -2-1O 1 2 3 4 5 6 t /月 -1 函数表达式？ -2 （2）截止到几月末，公司累积利润可达 30 万元？ （3）求公司第 5 个月所获的利润 . 6. 如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，点 O 恰在圆形水面中心，OA = 1.25 m. 由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向 的路线都是抛物线 . （1）为使水流形状美观，要求设计成水流在与柱子 OA 的水 B 平距离为 1 m 处达到距水面最大高度 2.25 m . 如果不计 其他因素，那么水池的半径至少为多少时才能使喷出的 A 水流不致落到池外？ （2）如果水池的半径为 3.5 m，要使水流不落到池外，此时 O C 水流的最大高度应达到多少（精确到 0.1 m）？ 探索与创新 A 7. 在生产中，为了节约原材料，常利用一些边角余料加 工零件. 如图所示，△ABC为一块锐角三角形余料， BC = 12 cm，BC 边上的高 AD = 8 cm . 在△ABC 上截 P E N 取矩形 P MN，使点 ，M 在 BC 边上，点 P，N 分别 B C 在边 AB，AC 上. 设 MN = x，PN = y . D M （1）用含 x 的代数式表示 y ； （2）当 x 和 y 分别取什么值时，矩形 P MN 面积最大？最大面积是多少？ 57第5章 对函数的再探索 回顾与总结 1. 本章学习了哪些内容？总结一下，并与同学交流. 2. 你学过本章后，对函数的概念有了哪些进一步的认识？函数有哪三种表示法？举出例 子说明. 3. 什么是分段函数？你能举出分段函数的实例吗？ 4. 什么是反比例函数？你是怎样通过图象了解反比例函数性质的？ 5. 什么是二次函数？请说明二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象及性质. 6. 抛物线 y = ax2 + bx + c 与抛物线 y = ax2 有哪些区别与联系？ 7. 怎样确定二次函数的表达式？你学了哪些方法？ 8. 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 与二次函数 y = ax2 + bx + c 之间有怎样的联系？ 9. 怎样利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解？ 10. 举出利用反比例函数、二次函数解决实际问题的例子，并与同学交流. 11. 你对利用数形结合思想研究函数的图象和性质有哪些体会？请以你在本章中学过的 函数为例，谈谈研究函数的基本方法. 综合练习 复习与巩固 1. 填空： 2 （1）函数 y = 的图象是 ，当 x < 0 时，图象在第 象限，y 3x 随 x 的增大而 ； （2）函数 y =（x - 2）2 + 1的图象是 ，当 x > 2 时，y 随 x 的增大而 ； （3）抛物线 y = -2x2 - x + 6 与 y 轴的交点坐标是 ，与 x 轴的交点坐标是 . 2. 一辆汽车出发后，前 320 km 在柏油路面行驶，速度为 100 km/h，然后转入沙石路 面，速度为 60 km/h，行驶了 240 km，到达目的地. 写出行驶总路程 y（km）与行驶时 间 t（h）的函数表达式. 58回顾与总结 3. 求下列函数自变量 x 可以取值的范围： 1 （1）y = -6x2 - x + 2； （2）y = ； x2+2x-3 x+1 （3）y = x-1 - 1； （4）y = . 2-x 4. 如图，已知一次函数 y = kx + b 的图象与 x 轴，y 轴分别相交于 A，B 两点，且与反比 m 例函数 y = 在第一象限的图象交于点 C，CD 垂直于 x 轴，垂足为 D . 如果 OA = OB x = OD = 1，求： （1）点 C 的坐标； （2）这个一次函数和这个反比例函数的表达式. （第 4 题） （第 5 题） 5. 小亮利用一个最大电阻为 200 Ω 的滑动变阻器及一个电流表测一个电源两端的电压， 随着滑动变阻器的电阻 R 的改变，电流 I 也随之改变，且它们之间的函数关系如图所 示. （1）该电源两端的电压是多少？电流 I 与电阻 R 之间的函数关系怎样表示？ （2）如果滑动变阻器的可变电阻在 2 Ω ~ 200 Ω 之间，那么通过该滑动变阻器的电流 应在什么范围内？ （3）如果该滑动变阻器的限制电流不超过 20 A，那么该滑动变阻器的可变电阻应在 什么范围内？ 6. 指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并判断有最大值还是有最小值： 1 3 （1）y = x2 - 4x + 5； （2）y = - x2 - x + 4； 4 2 1 （3）y = 3x2 - 2x + 1； （4）y = - x2 + 2x + 1. 2 7. 二次函数的图象经过点（-1，-1），且不经过第一象限，写出满足上述条件的一个二 次函数的表达式. 59第5章 对函数的再探索 8. 小莹用描点法画二次函数 y = ax2 + bx + c 时，列出了下表： x ⋯ -2 -1 0 1 2 ⋯ 13 5 5 y ⋯ - -4 - -2 - ⋯ 6 2 2 （1）你能根据表格中的信息，求出该二次函数当 x = 3 时，y 的值吗？ （2）试从表中选择适当的数据，求出该二次函数的表达式. 9. 二次函数 y = ax2 + 2x - c 的图象经过点（-1，-6）和点（2，3）. （1）求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴； （2）写出两个二次函数的表达式，使它们图象的对称轴都与上面的二次函数图象的 对称轴相同，并且常数项也相同. 10. 利用二次函数图象求下列一元二次方程的近似解（精确到 0.1）： （1）x2 - 5x + 2 = 0； （2）x2 + x - 7 = 0 . 11. 已知抛物线 y = x2 - 2bx + 4 的顶点在 x 轴上，求 b 的值. 12. 已知 a > 0，b > 0，c < 0，且 a - b + c = 0，请在直角坐标系中画出函数 y = ax2 + bx + c 的图象的草图. 13. 某蓄水池有两个进水口和一个出水口，每个进水口的进水速度是 10 m3 / h，出水口的 出水速度是 20 m3 / h . 如果某天蓄水池排空水后，从 0 时到 2 时打开两个进水口，关 闭出水口；从 2 时到 3 时，只开一个进水口，同时打开出水口；从 3 时到 6 时，两个 进水口和一个出水口全部打开. （1）写出这天从 0 时到 6 时该水池的蓄水量 y（m3）与时间 x（h）之间的函数表达 式； （2）画出 y 与 x 之间的函数图象. 拓展与延伸 1 14. 选择题：如图，A，B 是函数 y = 的图象上关于原点 O 对称 x 的任意两点，AC 平行于y 轴，BC 平行于 x 轴，△ABC 的面积 为 S，那么（ ）. （A）S = 1 （B）S > 2 （C）S = 2 （D）1 < S < 2 2 （第 14 题） 15. 如图，在反比例函数 y = （x > 0）图象上，有点 P ，P ， x 1 2 P ，P ，它们的横坐标依次为 1，2，3，4 . 分别过这些点，作 x 轴的垂线，过 P ， 3 4 1 60回顾与总结 P ，P ，P 再分别作 y 轴的垂线. 图中阴影部分的面积从左到右依次为 S ，S ，S ， 2 3 4 1 2 3 则 S + S + S 等于多少？ 1 2 3 y P 1 S 1 P 2 SSSSSSSS P 2222 3 S P 3 4 O 1 2 3 4 x （第 15 题） （第 16 题） 16. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图所示，在以下四个结论中，试判断哪些是 正确的，哪些是错误的，并说明理由. （1）abc > 0； （2）b < a + c； （3）4a + 2b + c > 0； （4）a + b > 0. 17. 已知抛物线 C 的表达式是 y = 2x2 - 4x + 5，抛物线 C 与抛物线 C 关于 x 轴对称，求 1 2 1 抛物线 C 的表达式. 2 探索与创新 k 18. 如图，A，B 是反比例函数 y = （k > 0） 图象上的两个 x 点，AC⊥x 轴，垂足为点C，BD⊥y 轴，垂足为点 D，连接 AD，AB，BC . 比较△ADB 与△ACB 面积的大小. 19. 已知抛物线 y = x2 - 2x + a 与直线 y = x + 1 有两个公共点 A（x ，y ），B（x ，y ），且 x > x ≥ 0 . 1 1 2 2 2 1 （1）求 a 的取值范围； （第 18 题） （2）作 AE⊥x 轴，E 为垂足，BF⊥x 轴，F 为垂足. 求四边形 ABFE 面积的最大值. 20. 如图，在直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 A，B 的 y N 坐标分别为（3，0），（3，4）. 动点 M 从点 O 出发，以每 C B 秒 1 个单位长度的速度，沿 OA 向终点 A 移动，点 N 从点 B 出发沿 BC 向终点 C 以同样速度移动. 过点 N 作 NP⊥BC 交 AC 于 P，连接 MP . P x （1）当动点运动了 x s 时，求 P 点的坐标（用含 x 的代数式 O M A 表示）； （第 20 题） （2）求△MPA 面积的最大值，并求此时的 x 值； （3）当x为何值时，△MPA 是一个等腰三角形？ 61综合与实践 综合与实践 实际问题与分段函数模型 数学模型是由数字、字母或其他数学符号组成，描述现实对象规律的数学 式子、图形或算法. （1）在初中数学的学习中，你已认识了哪些数学模型？ 方程（一元一次方程、一次方程组、分式 方程、一元二次方程⋯），不等式（一元一次 不等式、一元一次不等式组⋯），函数（一次 函数、反比例函数、二次函数⋯）⋯ （2）函数是刻画现实世界数量变化关系的数学模型. 你能结合本册第 5 章的 学习，谈谈是如何建立和求解函数模型的吗？ 函数反映了事物间的广泛联系，揭示了现实世界中的运动和变化规律，现 实生活中的许多实际问题诸如合理下料、最大获利、最小成本、前景预测、方 案最优化问题，常常可以建立函数模型求解. 建立模型的过程，包括从现实生活或具体情境中发现并提出数学问题，然 后把这一问题由普通语言转化成数学文字语言，再抽象为符号语言，识别问题 中的常量和变量以及自变量和函数，利用函数的表示方法（解析法、列表法或 图象法）刻画数学问题中的数量关系和变化规律，从而建立实际问题的数学模 型. 然后运用相关的数学知识，对数学模型求解，最后回归到实际问题，检验数 学模型的解答是否合理，从而做出实际问题的解答. 数学建模不仅是一种解决实际问题的强有力的手段，而且还是一种重要的 数学思维方式，同时，求解数学模型的研究也推动了数学自身的发展. 在本次“综合与实践”活动中，你将再一次经历建立和求解数学模型的过 程，体验和感受数学模型的思想方法. 62实际问题与分段函数模型 观察与思考 问题：为了保持室内空气的清新，某车间的自动换气窗采用了以下设计： 如图 1，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个边长与矩形的 长相等的等边三角形组成的. 该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿 度也可以自动打开窗子上的通风口换气. 通风口是一个倒立的等腰三角形，其顶 点固定在矩形的底边的中点上，底边是可以沿换气窗的左右边框上下滑动且长 度可自动伸缩的水平横杆. 图 1、图 2 是通风口打开时横杆的两种不同位置. 如果已知矩形的长为 2 m，高为 1 m，当横杆沿窗子的边框上下平移时，通 风口的最大面积是多少？ E N P B C F A D M 图 1 图 2 图 3 （1）为了建立数学模型，请你在上面的图形中，标出适当的字母，并结合 实际问题的背景，对图形的性质进行初步的探究，你有什么发现？ 以下是小亮的探究结果： 设五边形为 EBADC，M 为 AD 的中点（图 3），P， 分别在边 AB，BE 和边 DC，CE 上，且 P ∥AD，连接 EM 交 P 于 N，连接 BC 交 EM 于 F. 由于四边形 BADC 是矩形，△EBC 可看作是以矩形的一边 BC 向外作的等边 三角形，根据矩形和等边三角形的轴对称性可知，五边形 EBADC 是以 EM 所在 直线为对称轴的轴对称图形，△MP 也是关于这条直线成轴对称的等腰三角形. 由轴对称的基本性质，EM 垂直并平分 AD，BC 与 P . 当点 P 在边 AB 上移动时 （图 1），P AD，当点 P 在边 BE 上移动时（图 2），P ∥AD，但 P 的长发 生变化. （2）在上面的问题中，如果用 S 表示△MP 的面积，你认为 S 与哪些量的 大小有关？要表示 S 的变化规律，你认为哪个量作为自变量比较合理和方便？ 63综合与实践 可以选取△MP 的高即 MN 的长作为自变量 x，然后把 S 表示 为 x 的函数. （3）如何根据图 1 和图 2，确定面积 S 与△MP 的高 x 之间函数的表达式以 及自变量 x 的可以取值的范围呢？ 因为 MF = AB = 1，EB = BC = 2，BF = AM = 1，所以 EF = EB2 - BF2 = 3，从而 EM = MF + EF = 1 + 3 . 由于当 P 沿换气窗的左右边框由 AD 滑动 到 BC，进而滑动到点 E 时，面积 S 与高 x 的对应关系不同，所以应当分 0 ≤ x ≤ 1 和1 < x ≤ 1+ 3 两种情况，分别列出 S 与 x 的函数表达式. （4）根据以上的分析，可以列出函数的表达式 { x， 0 ≤ x ≤ 1， S = 3 3 - x2 +（1 + ）x，1＜x ≤ 1 + 3 . 3 3 这便是上面实际问题中通风口的面积与它的面积之间关系的数学模型，它 是一个分段函数. （5）你会根据上面的分段函数的表达式，画出这个分段函数的图象吗？能 结合图象求出函数 S 的最大值吗？最大值在 x 取什么值时达到？你能将根据数学 模型求出的结果代回到原实际问题进行检验，并给出实际问题的答案吗？ 小莹的解答是： 在 0≤x≤1 范围内，函数是正比例函数，图象是一条线段，当 x = 1 时取得 这一范围的最大值 S = 1. 在 1＜x≤1 + 3 范围内，函数是二次函 S / m2 1 3 + 数，图象是一段抛物线 2 3 1 3 3 S = - x2+（1 + ）x 3 3 x / m 3 1 + 3 1 3 1 1+ 3 2 1+ 33 = - （x - ）2+（ + ）. 0 2 3 2 3 2 图 4 64实际问题与分段函数模型 1 + 3 1 3 因而当 x = （m）时，S 取得这一范围的最大值 + （m2）. 2 2 3 1 3 因为 + ＞1，所以函数在 0≤x≤1 + 3 整个范围内，最大值应是两 2 3 1 3 段函数的最大值中的较大者，即 S = + （m2）. 最大 2 3 1 + 3 这就是说，当图 3 中 MN = m，即 N 为 EM 的中点时，通风口面积 2 1 3 最大，最大面积是（ + ）m2 . 经检验，与实际问题相符合. 2 3 （6）在以上建立和求解数学模型的过程中，你运用了哪些数学知识和方 法？你对模型思想有了哪些新的体会和感受？ 交流与发现 （1）某商场为了促销，开展购物“积分换奖品”活动，“积分”的方法是： 以百元为单位，顾客一次购物每满 1 百元记 1 分，不足 1 百元的部分不记分. 如 果一位顾客一次购物 525 元应记多少分？如果一次购物 899 元呢？ 在这里，如果把 525 元和 899 元都以百元为计价单位，那么它们可分别写 成 5.25 百元和 8.99 百元，而 5 与 8 分别是这两个十进小数精确到百元的不足近似 值，取近似值的方法是去尾法（把不足百元的尾数去掉）. （2）在实数范围内，任何一个数都可以写成一个整数与 0 或一个正的纯小 数的和的形式. 例如 1.5 = 1+ 0.5， = 3 + 0.141 5 ⋯，2 = 2 + 0，- 1.5 = -2 + 0.5， 0 = 0 + 0，其中的整数叫做这个数的整数部分，0 或正的纯小数叫做这个数的小 1 数部分，你能分别说出 0.5，-5，- ，- 3 的整数部分和小数部分吗？ 2 （3）设 x 为一个实数，x 的整数部分记作［x］（可读作方括号 x），你能利用 ［x］的定义，分别求出［1.8］，［ 2］，［-3］，［- 2］的值吗？ （4）如果 x 是一个变量，y 是不大于 x 的最大整数，y 是 x 的函数吗？如果 是，它的表达式可以怎样写出？ 因为当 0 ≤ x ＜ 1 时，［x］= 0； 当 1 ≤ x ＜ 2 时，［x］= 1； 当 2 ≤ x ＜ 3 时，［x］= 2. ⋯⋯ 65综合与实践 另一方面， 当 -1 ≤ x ＜ 0 时，［x］= -1； 由此可见，对于每一个确定的实 当 -2 ≤ x ＜ - 1 时，［x］= -2； 数 x，总有一个唯一确定的值［x］和 ⋯⋯ 它对应，因此 y =［x］ 是 x 的函数. 所以 y 与 x 之间的函数表达式可 以写成 y =［x］，或写成 y = n，n ≤ x ＜ n + 1，n 是整数. 函数 y=［x］叫做实数 x 的取整函 数，它是首先由德国数学家高斯提出 的，所以取整函数也称为高斯函数. （5）你能画出函数 y=［x］的图象吗？观察画出的图象，发现它有什么特 征？ 函数 y =［x］实际上是一个分段函数，其图象（图 5）由无数条包含左端点 而不包含右端点的相互平行的“线段”组成. 由于 y = x y 与通常意义的长度为 1 的线段相比，它们只是少 3 y =［x］ 了一个点，因此也可以把它们的长度都看做是 1. 2 1 这些“线段”中，只有一条在 x 轴上，其余都与x -2 -1 x 0 1 2 3 4 轴平行，且呈阶梯形依次分布在第一象限和第三 -1 -2 象限，相邻两条线段的距离都等于 1. 整个图象在 图 5 每条“线段”的左、右端点处出现间断，且各条 “线段”左端点的横、纵坐标相等，因此左端点都在直线 y = x 上. （6）由［x］的意义可知，［x］是不大于 x 的最大整数，［x］+1 是大于 x 的最 小整数. 对任意的实数 x，都满足不等式 ［x］≤x<［x］+1. ① 不等式 ① 是取整函数的一个性质. 利用不等式 ①，你会求［ 135］和［ n2 + n + 1］（n 是正整数）吗？ 112＜135＜122，11＜ 135＜12， 所以［ 135］= 11. 66实际问题与分段函数模型 因为 n 是正整数，于是 n2＜n2 + n + 1＜n2 + 2n + 1=（n + 1）2， 所以 n＜ n2 + n + 1＜n + 1， 因此［ n2 + n + 1］= n . （7）如果 x 满足［3x + 2］= 5，你能确定 x 的取值范围吗？ 利用不等式 ①，问题（7）可转化为解不等式 5≤3x + 2 < 6， 4 解得 1≤x < . 3 （8）你能写出满足［x］= 2x 的所有解吗？ 因为不论 x 取何值，［x］总是整数，由［x］= 2x，所以 2x 也总是整数. 由 不等式①，问题转化为解不等式 2x≤x < 2x + 1，解得 -1 < x≤0 . ∴ -2 < 2x≤0，因为 2x 是整数，所以 2x = -1 或 2x = 0 . 1 解得 x = - 或 0. 2 也可以借助图象求解. 在同一个直角坐标系 y x 中画出 y =［x］和 y = 2x 的图象（图 6），它们 2 2 = y 1 有且只有两个交点（0，0）和（- ，-1），交 2 1 -2 -1- 1 2 点的横坐标 0 或 - 1 就是［x］= 2x 的解. x 2 0 1 2 -1 -2 图 6 挑战自我 （1）利用实数 x 的整数部分［x］，你能表示出它的小数部分吗？ （2）如果把实数 x 的小数部分记作｛x｝（可读作花括号 x），它是 x 的函数 67综合与实践 吗？为什么？画出小数部分函数 y =｛x｝的图 2 象，研究它的性质（图 7）； 1 （3）提出一个有关小数部分函数的问题， -2 -1 0 1 2 3 4 并运用已学过的数学知识加以解决. 图 7 广角镜 几个著名的分段函数 研究下面的问题： 若 x 是一个变量. 当 x 取 0 或正数时，变量 y 的值是 1；当 x 取负数时，变量 y 的值是 -1. （1）y 与 x 之间的关系是函数关系吗？ （2）如果是函数关系，你能用表达式表示这个函数吗？ （3）你能画出这个函数的图象吗？ 因为变量 x 在实数范围内每取一个确定的值，另一个变量 y 都有唯一确定的值与它 对应，所以 y 是 x 的函数. 它们之间函数的表达式是 { 1，x≥0； y = - 1，x＜0. 它的图象如图 8 所示. y 在画这个图象时，应注意点（0，1）在函数图象上， 并且是射线 y = 1（x≥0）的端点，所以这个点应描成实心 1 圆点. 而点（0，-1）不在函数图象上，图象在第三象限的 部分是不包括端点的“射线”，因而（0，-1）应画成空 O x 心圆点. -1 |x| （4）想一想，你会画出函数 y= 的图象吗？这里 |x| 图 8 x 是 x 的绝对值. 你会画出函数 |x| { ，x≠0， x y = 0，x = 0 . 的图象吗？ 68实际问题与分段函数模型 这两个函数的图象与图 8 有什么相同点和不同点？ （5）比上述两个函数还要奇妙的是狄利克雷函数. 德国数学 家狄利克雷（Dirichlet，1805—1859）在给出函数定义时提出了 自变量 x 与另一个变量 y 之间的现代观念的对应关系. 同时，他还 提到“完全不必要求 y 按同一规律依赖于 x. 确实没有必要认为函 数仅仅是用数学运算表示的那种关系.”为此，他举出了一个著 名的例子： 狄利克雷 { 1，x 为有理数， y = 0，x 为无理数. 这个函数既没有通常意义下的表达式，甚至连图象也无法画出，但 y 的确是自变量 x 的函数. 人们为了赞赏他在函数研究上的贡献，便以他的名字为这个函数命名，称 为狄利克雷函数. 习 题 1. 根据取整函数的意义，你能解决以下问题吗？ （1）从 1 到 1 000 的整数中，有多少个数是 13 的倍数？ （2）从 1 000 到 2 000 的整数中，有多少个数是 87 的倍数？ 2. 设 x 为非负实数，将 x“四舍五入”到整数的值记为〈x〉（可读作尖括号 x），即当非 1 1 负实数 x 满足 n - ≤ x < n + 时，其中 n 为整数，则〈x〉= n. 如〈0〉=〈0.48〉= 0， 2 2 〈5.5〉= 6，〈3.49〉= 3. （1）如果〈x+2〉= 5，求 x 的取值范围； （2）设 m 为非负整数，求证〈x + m〉=〈x〉+ m； （3）画出函数 y =〈x〉，x ≥ 0 的图象； 4 （4）求满足 x =〈 x〉的所有非负实数； 3 （5）设 x，y 是任意非负实数，等式〈x〉+〈y〉=〈x + y〉是否成立？如果成立，请 说明理由；如果不成立，举出一个反例. 69第6章 事件的概率 6.1 随机事件 交流与发现 现实生活中经常会遇到下面的问题： 明晨在泰山极顶会看到日出吗？ 明年亚洲会发生 7 级以上地震吗？ 超市明天的营业额会比今天多吗？ 图 6-1 图钉 一枚图钉从高处落到地面上，可能钉尖朝上，也可能钉尖触地（图 6-1）. 一支铅笔从桌上落下，笔尖可能摔断，也可能摔不断. 小亮到公交车站乘车，等汽车的时间可能不到 5 分钟，也可能超过 5 分钟. 今天全校出勤的学生人数，可能与昨天相等，也可能不相等. 这些问题事先都没有确定无误的答案. 想一想，这是为什么？与同学交流. 再例如：在日常生活中，经常可以见到各种 体育比赛、各种电视大奖赛、各种抽奖活动等. 这 些活动的结果，事先谁都不能准确地预知，其发 生的可能性与个人的愿望无关. 正因为如此，才使 得这些活动悬念丛生，跌宕起伏，魅力无穷. 你还能举出生活中事先无法准确预料结果的 排球比赛 事件吗？ 上面列举的事件，可能发生也可能不发生，事先无法确定，像这种可能发 生也可能不发生的事件叫做随机事件（random event），也叫做不确定事件. 现实生活中也的确存在着一些可以准确预知将会发生或不会发生的事件. “太阳从东方升起，从西方落下”、“过了初一是初二”等都是必然会发生的 事件，称为必然事件. 而“在一个标准大气压下，温度为-10℃ 时冰雪会融化”、 “两位同班同学的学生证号码完全相同”等都是不可能发生的事件，称为不可 能事件. 你还能举出几个现实中的必然事件和不可能事件吗？ 726.1 随机事件 必然事件和不可能事件，结果都是确定的，统 在现实生活中， 称确定事件（definite event）. 随机事件比确定事件 例1 将标有数字 1，2，3，4，5 的五个乒 的存在更加普遍. 乓球放进一个不透明的袋子中，从中任意摸出一个 球，叫做一次试验，读出这个球上所标的数字. 分别指出下列 事件是随机事件、必然事件，还是不可能事件，并说明理由. （1）球上所标的数字不大于 5； （2）球上所标的数字大于 5； （3）球上所标的数字是 3； （4）球上所标的数字是偶数； （5）同时摸出两个球，球上所标的数字之和等于 6. 解 事件（1）是必然事件. 因为球上的数字只能是 1，2，3，4，5 中的 某一个数，不论摸出哪一个球，球上所标的数字都不大于 5，也就是说，在从袋 子中任意摸出一个球的试验中，事件“球上所标的数字不大于 5”一定会发生， 所以事件（1）是必然事件； 事件（2）是不可能事件. 因为不论摸出哪个球，球上所标的数字都不会大 于 5，也就是说，在从袋子中任意摸出一个球的试验中，事件“球上所标的数字 大于 5”不会发生，所以事件（2）是不可能事件； 事件（3）（4）（5）都是随机事件. 因为从袋子中任意摸出一个球时，球上 的数字可能是 3，也可能是 1，2，4，5；可能是偶数 2，4，也可能是奇数 1， 3，5；摸出两个球时，球上所标的数字之和可能是 6，也可能是 3，4，5，7， 8，9. 也就是说，这三个事件都是可能发生也可能不发生的事件，所以这三个事 件都是随机事件. 你还能通过例 1 中的摸球试验，举出几个随机事件和确定事件的例子吗？ 练 习 1. 下面的事件各属于随机事件、必然事件、不可能事件中的哪一类？ （1）明年 8 月 5 日广东沿海没有台风； （ 事件） （2）抛掷一枚硬币，硬币落定时正面朝上； （ 事件） 73第6章 事件的概率 （3）投出铅球后，经过一段时间铅球落到地面上； （ 事件） （4）从一副扑克牌中任意抽出两张，都是“红桃 A”； （ 事件） （5）买一张电影票，排号和座号都是奇数. （ 事件） 2. 选择题：下列的事件中，不可能事件是（ ）. （A）金鱼离开水不久便死亡 （B）从一个只放有 6 个红球的袋子中，摸出一个是黑球 （C）一辆行驶中的公共汽车，下一站恰有 3 人上车 （D）弟弟的个子比哥哥高 习题6.1 复习与巩固 1. 在下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ （1）某医院明天会有 10 名患感冒的病人就诊； 甲 乙 （2）小亮明天早上经过第一个十字路口时遇到绿灯； 9 8 （3）任作一个三角形，其内角和为 180°； 8 6 （4）某电子公司 5 月份生产的产品都是一等品； 7 7 （5）从 1，2，⋯，10 这 10 个连续自然数中任取两个数，其平 8 9 方和大于 200. 8 6 2. 举出必然事件、不可能事件和随机事件各两个实例. 9 7 3. 甲、乙两个射手 7 次打靶的成绩如右表. 你认为“下次的打靶成 8 7 绩甲比乙好”是必然事件、不可能事件，还是随机事件？ （单位：环） （第 3 题） 拓展与延伸 4. 将一枚图钉连续抛掷 10 次，落定后，分别记录钉尖朝上及钉尖朝下的次数. （1）哪种情况出现的次数较多？ （2）如果你再将图钉抛掷 10 次，出现钉尖朝上的次数与前 10 次抛掷的结果一定一样 吗？ （3）“将一枚图钉连续抛掷 10 次，钉尖朝上与钉尖朝下出现的次数一样多”，是什么 事件 746.2 频数与频率 探索与创新 5. 下列成语，哪些刻画的是必然事件？哪些刻画的是不可能事件？哪些刻画的是随机事 件？ （1）万无一失； （2）胜败乃兵家常事； （3）水中捞月； （4）十拿九稳； （5）海枯石烂； （6）守株待兔； （7）百战百胜； （8）九死一生. 你还能举出类似的成语吗？ 6.“从长度分别为 1，2，3，4，5，6，7，8 的 8 条线 段中随机地抽取 3 条，用它们能够组成一个三角 守株待兔 形”是什么事件？为什么？ （第 5 题） 6.2 频数与频率 实验与探究 （1）取 6 个质地、大小都相同的乒乓球，将其中的两个标上字母 A，两个标 上字母 B，其余两个分别标上字母 C，D，然后装进一个不透明的袋子里. 摇匀后 从中随机地摸出一个球，有几种可能发生的结果？如果把同一种可能发生的结果 看做一个事件，哪个事件发生的可能性大，哪个事件发生的可能性小？ （2）进行了一次摸球试验后，记下摸出的球上所标的字母，把球仍放回袋中. 如果重复这样的摸球试验 50 次，你能猜出将会得到怎样的结果？ （3）进行上面的试验 50 次，分别统计出标有各个字母的球被摸到的次数. 如果把上面 50 次摸球试验所出现的全部结果看做一个总体，按 4 种可能发 生的事件，将总体分为 4 组. 把 50 次摸球试验中某个事件一共发生的次数叫做该 事件发生的频数（absolute frequency），把该事件发生的频数与摸球试验的总次 数的比值，叫做该事件发生的频率（relative frequency）. （4）利用划“正”的方法，分别统计（1）中各个可能发生的事件的频数， 75第6章 事件的概率 并计算出相应的频率，把结果填入下面的频数、频率分布表的相应空格处： 组 别 A B C D 划 记 频数/次 频 率 （5）观察你完成的频数、频率分布表，你能得到哪些信息？从而你体会 频数、频率分布表对于描述试验的结果有什么作用？与同学交流. 频数、频率分布表能集中 反映出在总体中各种结果所出现 的次数和所占比重的大小. （6）分别计算上表中各组结果的频数之和与频率之和，你有什么发现？ 可以发现，将 50 次摸球试验的结果分组后，各组的频数之和等于摸球实验 的总次数，各组的频率之和等于 1. 一般地，将总体中的数据按同一个标准分组后，各组数据的频数之和等 于总体中数据的个数，各组数据的频率之和等于 1. 例1 时代中学就“每年过生日时，你是否会向妈妈道一声‘谢谢’”这 个问题对本校 66 名同学进行了问卷调查，结果如下： 否 是 是 有时 否 是 否 是 否 有时 有时 有时 否 否 有时 有时 是 否 有时 否 有时 否 否 有时 否 是 有时 有时 有时 否 否 否 有时 有时 是 是 有时 有时 否 否 是 否 是 否 是 否 是 是 否 是 否 是 否 有时 否 是 否 否 是 否 是 是 是 否 是 否 （1）整理上述结果，按“是”“有时”“否”将它们分组，列出相应的频 数、频率分布表（频率精确到 0.01）； 766.2 频数与频率 （2）根据（1）中各组的频率，制作相应的扇形统计图. 解 （1）将上述调查结果，按“是”、“有时”、“否”分为三组，分别统 计各组的频数，计算出频率，得到下面的频数、频率分布表： 回答内容 是 有时 否 划 记 正正正正 正正正 正正正正正 频 数 21 17 28 频 率 0.32 0.26 0.42 （2）回答“是”的频率为 0.32，即这一部分同学的人数占样本总数的 32% . 在扇形统计图中相应的圆心角为 360°× 32% ≈ 115°； 回答“有时”的在扇形统计图中相应的圆心角为 360°× 26% ≈ 94°； 是 回答“否”的在扇形统计图中相应的圆心角为 有时 32% 26% 360°× 42% ≈ 151°. 否 42% 于是，得到右面的扇形统计图（图6-2）. 通过对以上调查结果的数据分析，你有什么感想？ 图 6-2 练 习 1. 统计你班同学的出生月份（不计年），把结果进行整理，按出生月份分组，列出相应 的频数、频率分布表（频率精确到 0.01）. 习题6.2 复习与巩固 1. 九年级一班对全班 40 名同学关于“自己的衣服谁来洗”进行了一次调查，结果如下： C A B A C D A A B A C C A B A B B B A B B D C A A D B A B A D C A A B C A A B C 77第6章 事件的概率 其中 A 表示自己洗，B 表示有时自己洗，C 表示家里其他人帮助洗，D 表示送洗衣店 洗. 列出四种结果相应的频数、频率分布表. 2. 下列数据，是随机抽取的某居民小区 20 户居民的家庭人口数： 3，4，3，3，2，5，6，6，3，3，3，5，4，3，3，3，4，6，4，3. （1）按适当的标准，将以上数据加以分组，列出相应的频数、频率分布表； （2）根据你的分组，用扇形统计图表示出这 20 户居民家庭人口数的分布情况. 拓展与延伸 3. 你能阅读下面的一段英文短文吗？ Every day we ask questions such as:‘Is it going to rain today？’‘Will our football team win this weekend？’‘Will my best friend and I both be selected to represent our class？’ The answers to these questions are not straightforward. 这篇短文中共有 181 字符（不含标点符号）. 统计其中字母 e，t，s，z 出现的次数， 列出频数、频率分布表. 6.3 频数直方图 观察与思考 小莹从气象网站上，收集了今年 3 月上旬某一天我国 34 个城市的最低气温 （单位：℃），如下表所示： 城 哈尔 呼和 乌鲁 北京 长春 沈阳 天津 银川 西宁 兰州 西安 拉萨 成都 重庆 贵阳 昆明 太原 市 滨 浩特 木齐 最低气温 4 -1 -1 -1 4 -7 -3 -1 -4 6 4 0 10 10 10 11 0 x/℃ 786.3 频数直方图 城 石家 济南 郑州 合肥 南京 上海 武汉 长沙 南昌 杭州 福州 台北 南宁 海口 广州 香港 澳门 市 庄 最低气温 5 7 8 10 10 8 14 15 15 9 15 18 20 22 20 18 18 x/℃ 思考下列问题，并与同学交流： （1）如何根据表中的信息设计出一个关于上述城市当天最低气温的频数、 频率分布表？ ① 确定所有数据中最大值与最小值，并计算二者的差. 在上表中，各城市当天最低气温的最大值是 22 ℃，最小值是 -7 ℃，由此 可知，当天最低气温数据的分布范围是 -7 ℃ ~ 22 ℃，它们的差为 22 -（-7） = 29（℃）. ② 确定组数、组距，并进行分组. 参照总体中数据的个数是 34，数据的最大值与最小值的差是 29，可以设定 组数为 6. 由于总体中数据的最大值与最小 加油站 值的差 ÷ 组数 = 29 ÷ 6 ≈ 4.8，为了分组方 便，可取与 4.8 最相近的一个整数 5 作为组 将数据进行分组时，组数的 多少应适当，组数太少，不能充 距（每组数据的上限与下限的差）. 于是可 分显示数据的分布情况；组数太 把总体数据按以下范围分为 6 组： 多，不仅繁琐，且容易把性质相 -7 ≤ x ＜ -2，-2 ≤ x ＜ 3，3 ≤ x ＜ 8， 近的同类数据分散到各组，从而 也不能正确显示数据分布的特征 8 ≤ x ＜ 13，13 ≤ x ＜ 18，18 ≤ x ＜ 23. 和规律. 一般地，数据在 100 个 其中 -2，3，8，13，18 是各组的界限. 以内，可按情况分为 5~12 组. ③ 列出相应的频数、频率分布表. 利用划记，统计各组中包含的最低气温数据的频数，并计算出相应的频 率，填写下面的频数、频率分布表： 最低气温 x /℃ -7≤x＜-2 -2≤x＜3 3≤x＜8 8≤x＜13 13≤x＜18 18≤x＜23 划 记 正 频 数 9 4 频 率 0.26 0.12 0.18 79第6章 事件的概率 （2）怎样根据列出的频数、频率分布表，制作相应的条形统计图？ 用横轴表示最低气温，纵轴表示频数，在 频数 10 横轴上先标出各组的上限和下限. 由于分组时 9 8 7 各组的组距相等，并且各组的界限既不重叠又 6 5 不间断，标注界限时应注意各组的组距相等， 4 3 自左向右气温由低到高连续排列，相邻的两组 2 1 之间没有间隔. 这样就在横轴上标出了首尾相 -7 -2 3 8 13 18 23 最低气温 x/℃ 连的 6 条线段. 注意由于这里横轴的原点没有标 图 6-3 出，所以纵轴的原点不是横轴的原点. 然后分别以各组的上下限为端点的线段为 宽、以各组的频数为高，向上分别作 6 个矩形条，便得到图 6-3. （3）通过观察图 6-3 ，你能得到数据中蕴含的哪些信息？你能看出总体中 三月上旬 34 个城市的最低气温的分布情况吗？与同学交流. 通过图 6-3，可以直接比较各组的 频数的差异，即一个组内城市的个数与 另一个组内城市的个数相差几个. 可以看出该天最低气温在 8 ℃~13 ℃ 之 间的城市最多，有 9 个城市，而且该组相应 的小矩形在直方图的中间位置，这些城市都 分布在我国地理纬度的中部地区和西南地区. 像图 6-3 这样根据频数的分布绘制的条形统计图叫做频数直方图. 例1 时代中学为了了解全校学生参加课外锻炼的情况，抽样调查了 50 名 学生一周内平均每天参加课外锻炼的时间（单位：min），将抽查得到的数据分 成 5 组，下面是尚未完成的频数、频率分布表： 806.3 频数直方图 组 别 分 组 频数（人数） 频 率 1 10 ≤ t < 20 5 2 20 ≤ t < 30 0.22 3 30 ≤ t < 40 20 4 40 ≤ t < 50 5 50 ≤ t < 60 0.04 （1）将表中空格处的数据补全，完成上面的频数、频率分布表； （2）画出相应的频数直方图； （3）这 50 名学生中，平均每天参加课外锻炼时间不少于 30 min 的有多少 人？如果该校有 2 000 名学生，估计全校每天参加课外锻炼时间不少于 30 min 的 人数. 5 解 （1）由样本中数据的个数为 50，可求得第 1 组的频率为 = 50 20 0.1，第 3 组频率为 = 0.40；第 2 组的频数为 50×0.22 = 11，第 5 组的频数为 50 50×0.04 = 2. 12 由此可知，第 4 组频数为 50 -（5 + 11 + 20 + 2）= 12，频率为 = 0.24. 50 将以上数据补入频数、频率分布表，得 组 别 分 组 频 数 频 率 1 10 ≤ t < 20 5 0.1 2 20 ≤ t < 30 11 0.22 3 30 ≤ t < 40 20 0.40 4 40 ≤ t < 50 12 0.24 5 50 ≤ t < 60 2 0.04 （2）利用（1）中完成的频数分布表，在直角坐 频数 / 人 20 标系中画出相应的频数直方图（图 6-4）. 15 （3）这 50 名学生中平均每天参加课外锻炼时间 12 11 10 不少于 30 min 的为第 3，4，5 组学生，合计为 20 + 5 12 + 2 = 34（人），该三组数据的频率为 0.68，由此 每天锻炼 2 时间 t / min 可以估计全校学生平均每天参加课外锻炼时间不少 102030405060 于 30 min 的约为 2 000×0.68 = 1 360（人）. 图 6-4 81第6章 事件的概率 练 习 1. 从九年级一班学生中选举 1 名代表参加市毕业生座谈会，选举结果如下表所示： 被选人 小莹 小亮 大刚 吴勇 李大为 合计 划 记 正正 正正正正 正 正 频 数 频 率 请完成上面的频数、频率分布表，并画出频数直方图. 例2 九年级一班开展“孝敬父母，帮做家务”的 6% 4% 活动，班主任老师统计了全班 50 名学生在上周中做家务 的时间，并把结果分为如下的 5 组，制作了扇形统计图 E A B D （图 6-5）： 20% 30% A 组：2.5 h ≤ t ＜ 3 h，B组：2 h ≤ t ＜ 2.5 h， 40% C C 组：1.5 h ≤ t ＜ 2 h，D组：1 h ≤ t ＜ 1.5 h， E 组：0.5 h ≤ t ＜ 1 h. 图 6-5 （1）请按照以上分组列出相应的频数、频率分布 表，并画出频数直方图； （2）估计该班学生在这次活动中做家务的平均时间； （3）该班学生上周做家务时间的中位数落在哪个小组内？说明理由. 解 （1）由题目中的信息，可知共分为 5 组，组距为 0.5 h. 各组的频率 依次为0.04，0.2，0.4，0.3，0.06；总体数据的个数为 50. 分别计算出各组的频 数，得 A 组：50 × 0.04 = 2；B 组：50 × 0.2 = 10；C 组：50 × 0.4 = 20；D 组： 50 × 0.3 = 15；E 组：50 × 0.06 = 3. 由此可以列出频数、频率分布表： 826.3 频数直方图 组 别 做家务时间 t / h 频 数 频 率 A 2.5 ≤ t ＜ 3 2 0.04 B 2 ≤ t ＜ 2.5 10 0.2 C 1.5 ≤ t ＜ 2 20 0.4 D 1 ≤ t ＜ 1.5 15 0.3 E 0.5 ≤ t ＜ 1 3 0.06 根据上表，画出频数分布直方图（图 6-6）. （2）取各组做家务时间的下限与上限的 中间值（组中值）近似地表示该组学生上周做 家务的平均时间. 例如取 E 组数据的上限与下 0.5 + 1 限的平均数 = 0.75（h）近似地表示 E 2 组学生上周做家务的平均时间，从而该班学生 平均做家务的时间可按照加权平均数的计算方 图 6-6 法，估计为 _ 0.75 × 3 + 1.25 × 15 + 1.75 × 20 + 2.25 × 10 + 2.75 × 2 x = 50 = 1.68（h）. 因为50名学生每人做家务的时间并没有真 _ 正计入，所以这里 x 只是实际平均数的近似值. （3）因为总体数据的个数为 50，且在分组时将 50 个数据（学生做家务时 间）按由大到小的顺序排列，所以该班学生上周做家务时间的中位数是第 25 名 学生与第 26 名学生做家务时间的平均数，由频数、频率分布表可知，落入 A， B 两组的数据个数共 2 + 10 = 12（个），落入 C 组的数据为 20 个，故中位数应 落入 C 组内. 83第6章 事件的概率 挑战自我 在上面问题（2）中，如果取该班学生做家务时间的上、下限的平均数，即 0.5 + 3 = 1.75（h），作为全班学生上周做家务的平均时间的估计值，你认为合 2 理吗？为什么？ 练 习 1. 天泉村秋收前对玉米进行估产，从农田中随机抽取了 100 株玉米，分别称得每株玉米 的产量如下（单位： kg）： 0.25， 0.14， 0.16， 0.18， 0.14， 0.15， 0.19， 0.20， 0.13， 0.10， 0.17， 0.14， 0.17， 0.16， 0.14， 0.09， 0.09， 0.14， 0.16， 0.15， 0.15， 0.25， 0.12， 0.18， 0.18， 0.20， 0.19， 0.17， 0.13， 0.10， 0.19， 0.18， 0.19， 0.12， 0.14， 0.11， 0.09， 0.10， 0.13， 0.12， 0.14， 0.22， 0.11， 0.24， 0.19， 0.13， 0.16， 0.19， 0.12， 0.13， 0.17， 0.12， 0.16， 0.22， 0.20， 0.13， 0.25， 0.17， 0.20， 0.10， 0.18， 0.16， 0.17， 0.09， 0.14， 0.13， 0.14， 0.15， 0.20， 0.12， 0.17， 0.15， 0.19， 0.15， 0.20， 0.09， 0.18， 0.22， 0.12， 0.12， 0.16， 0.17， 0.18， 0.23， 0.20， 0.12， 0.17， 0.18， 0.20， 0.10， 0.19， 0.17， 0.16， 0.17， 0.17， 0.12， 0.15， 0.13， 0.08， 0.16. （1）将以上数据适当进行分组，列出相应的频数、频率分布表，并画出频数直方图； （2）从频数直方图中你能了解哪些信息？ 习题6.3 复习与巩固 1. 某电信部门为了解用户使用家庭电话的情况，随机地抽取了 56 户在同一周内打出电 话的次数： 80，89，72，72，10，23，13，67，28，15，66，36，12，72，63，48，25，67， 846.3 频数直方图 28，52，42，2，53，69，78，54，17，52，7，55，33，27，50，24，2，49，57， 34，23，59，17，56，44，16，62，5，51，3，61，35，58，33，64，8，50，21. 将上述数据适当进行分组，列出相应的频数、频率分布表，并画出频数直方图. 2. 时代中学部分学生举行投篮比赛，每人投篮 10 次. 如图所示是将比赛结果整理后，画 出的频数直方图. （1）共有多少学生参加比赛？ （2）投篮命中数在 5 次以上的学生与参赛人数的比是多少？ （3）投篮命中数的平均数、中位数、众数和方差分别是多少？ 频数 频数 30 8 7 25 6 20 5 4 15 3 10 2 1 5 所用时间t / min 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 命中数 / 次 0 5 10 15 20 25 （第 2 题） （第 3 题） 拓展与延伸 3. 某银行为改进服务，随机调查了 100 名储户等待办理业务所用的时间 t（单位：min）. 下面是这次调查统计分析得到的频数、频率分布表，上图为频数直方图. 组 别 1 2 3 4 5 等待时间 0 ≤ t ＜ 5 5 ≤ t ＜ 10 10 ≤ t ＜ 15 15 ≤ t ＜ 20 20 ≤ t ＜ 25 频 数 10 20 频 率 0.3 0.25 0.15 （1）在上表中填写所缺数据； （2）补全频数直方图； （3）据调查，顾客对等待办理业务时间的满意度如下表所示： 等待时间/ min 顾客满意度 0 ≤ t ＜ 10 满意 10 ≤ t ＜ 15 基本满意 15 ≤ t ＜ 25 不满意 请结合频数、频率分布表或频数直方图画出该次抽样调查顾客满意度的扇形统计图. 85第6章 事件的概率 4. 时代中学为了解九年级学生星期日参加户外活动的 频数 时间，随机抽取了部分同学进行调查，并把结果分 为 6 组，绘制了如图所示的频数直方图. 自左向右分 别代表第 1，2，⋯，6 组，各组活动时间都包括下 12 限而不包括上限. 已知前两组频率之和为 0.12，活动 时间 / min 时间不少于 80 min 的同学占 96%，第 2，3，4 组的 6080100120140160180 频数之比为 4∶17∶15. 根据以上信息，回答下列问 （第 4 题） 题： （1）这次共调查了多少人？ （2）活动时间不少于 140 min 的有多少人？ 探索与创新 5. 八位数 12 345 679 有两个特点：一是各数位上所出现的数字不重复；二是各数位上 出现的数字中缺少数字“8”. 像这样的数，人们称为“缺 8 数”，它有一些奇妙的性 质. 请你用计算器分别计算“缺 8 数”与几个整数的乘积： 12 345 679 × 1 = ，12 345 679 × 2 = ， 12 345 679 × 4 = ，12 345 679 × 5 = ， 12 345 679 × 7 = ，12 345 679 × 8 = ， 12 345 679 × 11 = . （1）观察上面每个乘式的积，都是缺 8 数吗？ （2）把上面所有乘积中各数位上出现的数字看作一组数据，分别统计数字 1，2，3， 4，5，6，7，8，9，0 在这组数据中出现的频数，填写下面的频数、频率分布 表： 数 字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 划 记 频 数 频 率 （3）观察上表，你发现了什么结论？从而你体会数据分析方法对于发现问题和解决 问题有什么作用？ 866.4 随机现象的变化趋势 6.4 随机现象的变化趋势 实验与探究 （1）你认为青少年的身高与体重有关系吗？如果有，它们之间的关系是正 比例关系吗？是函数关系吗？ 为了研究这个问题，九年级一班数学兴趣小组随机抽取了本班 13 名男生， 测量出他们的身高（单位：cm）和体重（单位：kg），得到了下表中的两组数据： 身高 / cm 153 147 153 145 170 174 165 170 159 180 172 162 170 体重 / kg 41 45 48 42 60 71 52 64 56 68 67 48 51 （2）为了研究这个样本的身高和体重之间的关系，怎样才能将上表中的两 组数据直观地表示出来呢？与同学交流. 能把每人的身高和体重分别作为点的坐标， 在直角坐标系中描出对应的各点，然后通过观察 这些点的分布情况探究它们之间的关系吗？ 如果要建立直角坐标系，怎样确 定横轴和纵轴所代表的意义以及它们 的度量单位呢？ （3）分别找出表中身高与体重数据的最大值和最小值，你能由此确定 13 名 男生身高与体重的范围吗？这对于我们画出直角坐标系有什么帮助呢？ 上表中这些男生的身高范围是 145 cm ~ 180 cm，体重范围是 41 kg ~ 71 kg. 可以设想，在画直角坐标系时，应当适当选择度量单位，使身高和体重的范围 在坐标轴上的位置居中，从而使根据表中的数据描出的各点，离坐标轴不至于 87第6章 事件的概率 太远，以便于观察. 对于这些范围之外的部分，由于没有已知的数据，不必留出 过多空间. （4）根据（3）中的讨论，画出直角坐标系 体重/ kg 80 （图 6-7）. 用横轴表示身高（cm），纵轴表示 70 体重（kg）. 由于 13 名学生的身高数据的范围是 60 145 cm ~ 180 cm，可在横轴上先标出了一个比它 50 40 略大一些的范围 140 cm ~ 190 cm. 确定范围的端 身高/ cm 0 140 150160170180 190 点后，将该线段 5 等分. 将各分点自左向右依次 图 6-7 标上刻度 140，150，160，170，180，190. 类似 地，在纵轴上标记出 40，50，60，70，80. 横轴与纵轴的公共原点记为 0. 在两 个坐标轴上，0 与横轴上的刻度 140 以及纵 加油站 轴上刻度 40 之间的部分通常画成破格线， 以表示数值的连接. 图6-7中，两个坐标轴的单 （5）在画出的直角坐标系中，将上表 位长度不同，表示的意义也不同. 但是只要刻度之间的比例关系一 中每位男生的身高和体重数据作为一个有 致，坐标系中的点所表达的意义 序数对，在坐标系中，描出上述 13 个有序 就是合理的. 因此，在确定坐标 数对所对应的点（图 6-7）. 轴的单位长度时，要注意具体问 题具体分析. 观察与思考 （1）观察图 6-7，找出样本中个子最高的同学所对应的点，他的体重是多 少？他的体重是样本中最重的吗？个子最矮的同学的体重是多少？他的体重是 样本中最轻的吗？ （2）在上述样本中，有没有身高相同的同学？如果有，他们的体重也相同 吗？在直角坐标系中，你发现他们的数据所对应的点有什么特征？ 我发现身高 170 cm 的有三位同学，他们的体 重分别是 51 kg，60 kg，64 kg . 看来身高并不能 确定体重，因此体重与身高之间不是函数关系. 886.4 随机现象的变化趋势 在上面的问题中，如果把样本的身高看作一组随机变化的量，将样本的身 高按从小到大的顺序排列，从图 6-7 可以看出样本的体重与身高之间具有某种 相关关系. 这些点的位置具有一定的随机性，但大体上分布在一个带形区域内. 这就是说，这些男生的体重与身高之间的关系虽然不是函数关系，但随机抽样 的数据显示，二者之间并非毫无关联，而有一定的规律，即体重随着身高的增 加呈现一种线性的增长趋势. 体重/ kg （3）在图 6-7 中，怎样用一条直线近似 80 b a 70 地表示体重随身高的增长趋势？ 60 小亮和小莹在图 6-7 中分别画出了直线 a 50 和 b（图 6-8）. 比较他们所画出的直线，你认 40 身高/ cm 0 为哪条直线更合适一些？ 140 150160170180 190 一方面，这些点的分布应大致分布在所 图 6-8 画出的直线的两侧，对于直线 a 来说， 加油站 有 10 个点在它的上方，有 3 个点在它的 由于画出的直线只是近似地表示 下方；而对于直线 b，有 7 个点在它的 图中各点的变化趋势，所以实际上还 上方，6 个点在它的下方；另一方面， 可以画出很多条直线，有没有比直线 各点到直线 b 的距离整体上比到直线 a b 更“合适”的直线？怎样比较精确 地确定“合适”的直线？这类问题将 的距离要小. 相比而言，直线 b 要比直 在高中阶段的学习中去解决. 线 a 更合适. 这就是说，直线 b 能够更近似地代表图 6-8 中各点的分布，因此它比直线 a 能更好地反映样本中男生的体重与身高的相关关系. 例1 某超市随机抽取了 12 天的日利润与日营业额，如下表所示： 日营业额/万元 14.1 5.1 8.0 7.2 5.8 12.3 9.8 10.8 9.3 15.1 4.2 13.2 日利润/万元 2.8 1.0 1.4 1.3 1.4 2.2 2.0 1.8 1.9 2.3 1.1 2.3 （1）在直角坐标系中，用横轴表示日营业额、纵轴表示日利润，描出上述 12 个数对对应的数据点； （2）在坐标系中，画出一条直线，使它能近似地反映样本中日利润与日营 业额的相关关系； 89第6章 事件的概率 （3）估计这家超市的日营业额为 16 万元时，日利润大约多少万元？ 解 （1）将 12 对数据对应的点描在如 日利润/ 万元 3 图 6-9 所示的直角坐标系中. 2.5 （2）在这个坐标系中画出一条较“合适” 2 的直线（图 6-9）. 1.5 1 日营业额/ 万元 （3）在这条直线上取横坐标为 16 的点，其 0 4 6 8 10 12 14 16 18 纵坐标为 2.8. 所以由此估计当这家超市日营业 图 6-9 额为 16 万元时，日利润约为 2.8 万元. 广角镜 随机现象中变量之间的相关关系 在客观世界中，相互联系的随机现象中变量之间的相关关系存在两种不同的类型： 一种是变量之间具有严格的依存关系，即对于某一个变量的取值，另一个变量都有确定 的值与它对应. 这种关系，即通常所说的函数关系. 如在价格不变的情况下，一种商品的 销售额与商品销售量之间的关系；在银行利率不变的情况下，储户利息与本金的关系 等. 另一种类型则是相关关系，对于其中一个变量随机产生的数据确定以后，另一个变 量与它相关的值却不能完全确定，然而它们之间又遵循某种客观规律. 例如粮食产量与 作物的施肥量之间的关系，在一定范围内，施肥量多，农作物的产量就高，但是不能由 施肥量完全确定农作物的产量；人的年龄和他的身高、体重的关系，家庭收入水平与支 出的关系，商店的销售额与顾客人数的关系等都属于这种类型. 对于这种相关关系进行 分析时，常常利用图象及某个函数关系的表达式作为研究随机现象之间关系的数学模 型. 如本节的例子是用某个一次函数（其图象为直线）来近似表达学生体重与身高的关 系以及超市日利润与营业额之间的关系. 当然客观世界随机现象之间的相关关系是非常 复杂的，仅用一次函数的模型是不够的，有些情况还往往涉及其他类型的函数模型. 对于变量之间的相关关系的研究始于英国生物学家、统计学家高尔顿（Galton， 1822—1911）. 1877 年，他在研究人类身高的遗传问题时，发现矮个子父亲的儿子平均 身高往往比父辈高，但比本种族的平均身高矮；高个子父亲的儿子平均身高比父辈矮， 但高于本种族的平均身高. 由此他得到儿子的身高有返回本种族平均身高的趋势. 他把这 一现象称为“回归”，后来又引进了线性回归、非线性回归等. 906.4 随机现象的变化趋势 对随机现象之间相关关系的分析广泛地应用于工农业生产、科学研究、社会科学及 经济管理等领域，是一种重要的统计方法. 练 习 1. 在例 1 中，当产品日营业额为 9 万元时，日利润大约为多少万元？ 2. 以下是某企业某种产品的销售额与所投入的广告费的数据资料： 广告费/万元 5 4 8 2 5 7 销售额/万元 50 40 70 30 60 70 在直角坐标系中，描出有序数对（广告费、销售额）对应的点，并试用一条直线近似 地反映销售额与广告费之间的相关关系. 习题6.4 复习与巩固 支出/万元 1. 某小区随机抽查了 18 户居民在去年第四季度的 1.5 收入与消费支出的情况，画出了如图所示的数据 1.0 图. 在图中画出能近似地表示这些居民支出与收 0.5 入的相关关系的一条直线. 收入/万元 2. 山青林场为了了解某种乔木的树高与胸径（指乔 0 0.5 1 1.5 木离地面 1.3 m 处的直径）的关系，随机抽取了 （第 1 题） 10 株，统计了它们的树龄，并测量了它们的胸径，结果如下表所示： 树龄 / 年 15 10 10 35 30 25 25 20 35 15 胸径 / cm 15.0 11.1 10.8 33.6 29.1 24.3 24.9 19.8 33.0 15.9 在直角坐标系中，描出表中各有序数对（树龄，胸径）对应的点. 画出能近似地反映 胸径与树龄之间相关关系的一条直线，并利用这条直线估计树龄为 40 年的这种乔木 的胸径. 拓展与延伸 3. 查阅 2001 ~ 2010 年我国进出口总量（单位：亿元）与国内生产总值（GDP）的资 料，利用在直角坐标系中描点刻画二者的相关关系，并用直线近似地表示发展趋势. 91第6章 事件的概率 探索与创新 4. 某厂产品的产量与单位成本在本年度前三季度的资料如下表所示： 月 份 产量 x / 千件 单位成本 y /（万元 / 千件） 1 29 5.3 2 28 5.1 3 28.5 5.4 4 29.5 4.93 5 30 4.82 6 31 4.75 7 32 4.5 8 32.5 4.45 9 33 4.42 （1）在直角坐标系中，用横轴表示产量、纵轴表示单位成本，描出各有序数对（产 量，单位成本）对应的点； （2）画出能近似地表示产量与单位成本之间相关关系的一条直线. 观察这条直线，探 索随着产量增加，单位成本发生怎样的变化； （3）估计当产量为 34 千件时，单位成本是多少万元？ （4）所画的直线与本节例题中的直线有什么不同？ 6.5 事件的概率 实验与探究 （1）你做过掷币试验吗？任意抛掷一枚质地均匀的硬币，落定后朝上的一 面有两种可能结果：或者是正面或者是反面. 猜一猜，出现正面朝上的可能性大 还是反面朝上的可能性大？ 我猜测出现正面朝上与出现反面朝上 的可能性一样大，因为我曾做过两次掷币试 验，结果是一次正面朝上，一次反面朝上. 926.5 事件的概率 （2）你同意小亮的说法吗？请你也做两次掷币试验，看与小亮的试验结果 是否一致？试一试，并与同学交流. 做两次掷币试验，有的同学与小亮的结果 一致，有的不一致. 我抛掷的结果是两次都是正 面朝上，还有的同学两次都是反面朝上. 虽然我 也猜测出现正面和反面的可能性一样大，但看 来只凭两次试验的结果不能说明这个结论. （3）为了验证任意抛掷一枚硬币后，出现正面朝上与反面朝上的可能性相 等，你认为还需要做多少次试验？做 10 次可以吗？ （4）每人做 10 次抛掷硬币的试验，记录出现正面朝上的次数，并与同学交 流试验的结果，你发现每人的试验结果是否一样？从而你认为能用 10 次抛掷的 结果解释小亮的猜测吗？ 抛掷一枚硬币，落定后出现“正面朝上”和“反面 朝上”都是随机事件，每人抛掷 10 次，这 10 次出现的结 果也是随机的. 还不足以说明出现“正面朝上”和“反面 朝上”的机会是否一样多. 为此，必须做大量的重复试验. （5）请大家重复进行 50 次掷币试验. 每两名同学作为一组. 试验时，每人各做抛掷硬币试验 25 次，同时另一人 用划记法记录试验的次数和出现正面朝上的频数. 将全班各小组 50 次试验的结果在黑板上进行统计，分别计算各组 50 次试验 m 中出现“正面朝上”的频率 ，把统计结果填入下表： n 组别 1 2 3 4 5 ⋯ 试验次数（n） 50 50 50 50 50 ⋯ 正面朝上的频数（m） ⋯ m 正面朝上的频率（ ） ⋯ 50 93第6章 事件的概率 （6）观察完成后的上表，你发现各组试验的结果是否一致？你能给出合理 的解释吗？你认为通过 50 次试验，能说明掷币试验中出现正面朝上和反面朝上 的可能性一样大吗？如果还无法说明，除了各组可以再继续重复试验外，利用 表中已有的数据，能进一步探索当试验次数继续增加时，出现“正面朝上”与 “反面朝上”的可能性一样大吗？ 由于每次出现的结果都是随机的，所以各组得 到的数据不一致，也都是随机的. 能不能按小组顺序 逐次累加 2 个、3 个、4 个⋯小组的试验数据，这不 就相当于做了100 次、150 次、200 次⋯试验了吗？ 小亮的想法有些道理，但需要改进，按 小亮的意见，因为每次累加都把第 1 小组的 数据算进去，而其他小组的数据越靠后累加 的次数越少，这样利用数据不公平. （7）为了统计试验 100 次、150 次、200 次⋯的结果，你能设计一个公平使 用各组试验数据的方案吗？与同学交流. 将全班各小组的编号分别写在纸签上，放到一个不透明的袋子里，并充分 搅匀. 推选一名同学，从袋子中先随机地抽出两个纸签，分别读出纸签上小组的 编号，将这两个小组的试验数据相加，填写在下表的左数第 1 列中： 试验次数（n） 100 150 200 250 300 ⋯ 正面朝上的频数（m） ⋯ m 正面朝上的频率（ ） ⋯ n 然后把这两个纸签卷好，重新放回纸盒搅匀，由另一名同学从袋子中随机 抽取 3 个纸签，得到三个小组的数据，相加后填入表中左数第 2 列，再把三个纸 946.5 事件的概率 m 签放回. 这样继续做下去，随着数据的不断增加，你发现频率 有什么规律？ n （8）建立如图 6-10 所示的直角坐标系. 用横轴表示试验的次数，纵轴表示 m m 频率 ，按照（7）中列出的表格，在坐标系中描出点（n， ）： n n m 频率 n 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 n/次 图 6-10 观察图 6-10 中描出的各点，你发现通过大量的重复试验，随着试验次数 n m 的增加，频率 的变化情况有什么规律？由此你能得出什么结论？ n 对于每一次掷币试验，“正面朝上”的结果可能发生也可能不发生，但随着 m 1 试验次数 n 的增加，“正面朝上”的频率 总在一个固定的数值 附近波动，表 n 2 现出一定的稳定性. 从而可以推断抛掷一枚质量均匀的硬币，出现“正面朝上” 1 的可能性为 . 这就是说，出现正面朝上和正面朝下是等可能性的. 2 （9）类似地，你还可以与同学们再做一个猜球游戏. 在一个不透明的袋子里 放有质地和大小都相同的红色和白色的乒乓球，共 6 个，如果事先不知道其中 有几个红球. 利用摸球试验，即每次从袋子中摸出一个球，看清它的颜色后再将 球放回. 经过大量的重复试验，能否利用事件“摸出红球”的频率，估计出袋子 里的红球个数？试一试. 由于袋子中球的总数和红球的个数都是固定的，通过大量的重复试验，你 会发现随着试验次数 n 的逐渐增加，摸出红球的次数 m 与试验次数 n 的比值，即 95第6章 事件的概率 m 摸出红球的频率 会表现出一定的稳定性，并在某个固定的数值附近波动，由 n 此估计出袋子中红球的个数. m 1 例如，频率 的值在 附近波动，由此可以知道事件“摸出红球”发生 n 3 1 的可能性是 ，于是可估计出袋子里的 6 个球中有 2 个红球，由此还可推断另外 3 4 个是白球. 一般地，一个事件发生的可能性的大小可以用一个数来表示，我们把这 个数叫做这个事件发生的概率（probability），通常记为 P（事件）. 在进行大 量重复试验时，随着试验次数的增加，一个随机事件发生的频率总在这个事 件发生的概率附近波动，显示出一定的稳定性. 从而可以用事件发生的频率 估计事件发生的概率. 1 1 在掷币试验中，P（正面朝上）= ，摸球试验中，P（摸出红球）= . 2 3 一个事件发生的频率是已发生的，也是可测的，而这个事件发生的概率是某 个客观存在的确定的数值，但可能事先并不知道，用频率来估计概率可以实现 由已知去探求未知，从偶然中去发现必然，它蕴含了一种深刻的数学思想. 史海漫游 布丰的投针试验 我们知道，圆周率 π 是一个无理数，它等于圆的周长与其直径之比. 古代数学家曾 在计算圆内接或外切正多边形的周长与圆的直径的比时，发现当正多边形边数不断增加 时，这个比值越来越接近一个常数，从而求出 π 的近似值. 然而， 你是否知道 π 的值还可以用一项“神奇”的投针试验而得到？ 阅读下面的一则数学故事： 布丰（Buffon，1707—1788）是法国数学家、自然科学家. 布丰经常搞出点有趣的实验让朋友们感到惊奇. 据说 1777 年的一 天，布丰又约朋友们去他家做客. 他拿出了一把小针，在一张大 的白纸上让一位朋友按相邻两条平行线的距离等于针长两倍的要 布 丰 966.5 事件的概率 求画满平行线. 然后，布丰说：“请诸位把这些小针往纸上随便扔吧.”于是客人们好奇地 把小针一根根地往纸上乱扔. 然后布丰与大家一起统计出投针的次数共 2 212 次，其中小 针与平行线相交了 704 次，用 2 212 除以 704，得数为 3.142. 他笑着说：“这正是圆周率 π 的一个近似值！”众宾客一片愕然：“圆周率 π？投针结果与 π 沾不上边啊？”布丰满有 把握地说：“诸位不必怀疑，只要你有耐心，投掷的次数比较多，试验的次数与针落在 平行线上次数的比值总会是 π 的一个近似值.”这就是历史上著名的布丰“投针试验”. 这个试验揭示了频率与概率之间所存在的必然联系：在纸上画出一组平行线， 用一根长度为线间距离一半的针随机地抛到纸上（图 6-11），如果用 n 表示投针的次 m 数，用 m 表示针与直线相交的频数，频率为 . 布丰证 n 1 明，针与直线相交的概率为 ，当抛掷次数大量增加 π m 1 n 时，频率 在 附近波动，也就是说 在 π 附近波动. n π m 历史上，还有不少数学家多次重复投针试验，下表是 图 6-11 他们的试验结果. 实验者 年代 投掷次数 得出 π 的近似值 沃尔夫 1850 5 000 3.159 6 史密斯 1855 3 200 3.155 3 德·摩根 1880 600 3.137 福克斯 1884 1 100 3.141 9 赖纳 1925 2 520 3.179 5 布丰投针试验是用几何形式表达概率问题的首例，开创了用随机数据处理确定性数 学问题的方法. 练 习 1. （1）连续抛掷一枚均匀的硬币，如果落定后，3 次都是正面朝上，那么第 4 次一定正 面朝上吗？一定反面朝上吗？第 4 次出现正面朝上的可能性有多大？ （2）连续抛掷一枚均匀的硬币 10 次，落定后，如果出现 7 次正面朝上、3 次反面朝 上，能断定连续抛掷 100 次，一定会有 70 次正面朝上、30 次反面朝上吗？ 例1 某林场要考察一种树苗移植后的成活率，对这种树苗移植后成活情 况进行跟踪调查，并将结果经过整理后，根据选取不同容量的样本得出的成活 97第6章 事件的概率 频率，绘制成如图 6-12 所示的统计图，根据图 6-12 回答下面的问题： 成活的频率 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0 200 400 600 800 1000 1200 样本容量/株 图 6-12 （1）这种树苗成活的频率稳定在什么数值附近？成活率（成活的概率）估 计为多少？ （2）该林场已经移植这种树苗 5 万株，估计能成活多少万株？ （3）如果计划成活 18 万株这种树苗，那么需要移植多少万株？ 解 （1）由图 6-12 可见，当样本的容量逐渐增大时，树苗移植后成活 的频率逐渐稳定在 0.9 附近，由此可估计，这种树苗移植后的成活率为 0.9. （2）移植这种树苗 5 万株，估计能成活 5×0.9 = 4.5（万株）. （3）如果计划成活 18 万株这种树苗，那么需要移植树苗 18÷0.9 = 20（万 株）. 挑战自我 某种子站需要根据不合格种子所占比例，对新进的一批稻米种子进行定 级，你能用频率估计概率的方法帮助种子站设计一个方案吗？ 练 习 1. 某工厂新生产的一种节能灯泡，设计使用寿命为 10 000 h，现从产品中抽取若干只， 在同等条件下，进行使用寿命检验，规定使用寿命不少于 10 000 h 为合格品. 有关数 据如下： 986.5 事件的概率 试验灯泡数/只 20 40 100 200 400 1 000 合格灯泡数/只 19 37 91 179 361 902 合格频率 （1）计算各批灯泡的合格频率； （2）根据频率的稳定值，估计这种灯泡的合格率（合格品的概率）（精确到 0.1）. 2. 某农场从某品种玉米种子中抽取 6 批在同一条件下进行发芽实验，有关数据如下： 种子数/粒 100 400 800 1 000 2 000 5 000 发芽频数 85 298 652 793 1 604 4 005 发芽频率 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801 这种玉米种子发芽频率稳定在什么数值？由此你估计这种玉米发芽率是多少？ 习题6.5 复习与巩固 1. 100 枚图钉撒落在地上，共有 63 枚钉尖触地，其余的钉尖朝上. 你能由此估计一枚图 钉落地时钉尖触地的概率大约是多少吗？ 2. 你能从用频率估计概率的观点解释日常用语中的治愈率、有效率、成活率、近视 率、收视率、合格率等词汇的含义吗？你还能举出生活中类似的例子吗？ 3. 在一个不透明的袋子里装有 8 个白球，若干个黄球，它们除颜色外其余均相同. 小亮 将球摇匀后，从袋子中随机摸出 1 个球，记下它的颜色，然后将球放回袋子中，摇匀 后再重新摸球. 如此重复试验 150 次，共摸出黄球 90 次，你估计袋中黄球有多少个？ 4. 圆周率 是一个无限不循环小数，有人对 的前 n 位小数中数字 6 出现的频数作了统 计，得出下表： n 数字 6 出现的频数 数字 6 出现的频率 100 9 200 16 500 48 1 000 94 2 000 200 5 000 512 99第6章 事件的概率 10 000 1 004 50 000 5 017 100 000 99 548 （1）算出相应的频率，填入表中； （2）估计 的各位小数中 6 出现的概率是多少？ 5. 下面是某篮球运动员在 5 月份 6 场比赛中投篮的记录： 日 期 5 月 1 日 5 月 2 日 5 月 6 日 5 月 12 日 5 月 18 日 5 月 30 日 投篮次数 21 12 15 17 8 20 命中次数 10 5 6 7 3 8 你能由此估计出该运动员投篮时的命中率吗？ 拓展与延伸 6. 选择题：下列事件中，概率最大的是（ ），概率最小的是（ ）. （A）抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率 （B）抛掷一枚骰子，掷出的点数为奇数的概率 （C）在一副扑克牌中随机地抽取一张，恰好是“红桃”的概率 （D）在不透明的袋子里装有除颜色外都相同的 2 个红球、1 个黄球、3 个白球，从中 随机地摸出一个球，不是红球的概率 7. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币 3 次，落定后都正面朝上，抛掷第 4 次时，落下后正面 朝上的概率是多少？ 8. 服装商店对一周内进入该店的顾客人次进行了统计，经整理后得出下表（单位：人 次）. （1）估计一名顾客进入该店后购买商品的概率是多少? （2）估计哪一种性别的顾客进入该店后购买商品的可能性较大？ 购 买 不购买 男 性 505 1 352 女 性 1 529 9 203 探索与创新 9. 养鱼专业户李大伯用下面的方法估计鱼塘中鱼的条数： （1）从鱼塘中捕获 k 条鱼，每条鱼做上记号后，重新放回鱼塘； （2）放养一段时间后，从鱼塘中捞出 m 条鱼； 1006.6 简单的概率计算 （3）统计这 m 条鱼中有原来做记号的鱼的数目，设为 n，便可估计出整个鱼塘中鱼 的数量. 你能说出这种方法的道理吗？估计这个鱼塘中共有鱼多少条？ 6.6 简单的概率计算 交流与发现 （1）利用大量的重复试验，可以估计抛掷一枚硬币出现“正面朝上”的概 率，那么是否能通过直接计算，求出这一事件发生的概率呢？ 在掷币试验中，硬币落定后只有两种结果：可能“正面朝上”，也可能“反 正朝上”. 由于硬币的质量是均匀分布的，所以出现“正面朝上”和“反面朝 出现“正面朝上”的结果数 1 1 上”的可能性相等，计算比值 ，得到 ，而 恰为 2 2 掷币所有结果的总数 在一次掷币试验中，事件“正面朝上”所发生的概率. （2）在本章 6.5 节“实验与探究”问题（9）的摸球游戏中，如果袋子里有 6 个乒乓球，其中有 2 个是红球，能利用（1）中的方法，直接计算摸出一个球 是红球的概率吗？ 在摸球游戏中，袋子中有 6 个乒乓球，从中摸出 1 个球时，每个球都可 能被摸出，并且每个球被摸出的可能性是相等的. 所以，试验可能出现的结 果共有 6 个，这 6 个结果是等可能的. 其中摸出红球的结果有 2 个，利用比值 摸出红球的结果数 2 1 1 ，得到 = ，而 恰为一次摸球试验中，事件“摸出红 6 3 3 摸球所有结果的总数 球”发生的概率. （3）在试验的结果只有有限个，且结果是等可能的情况下，由（1）（2）， 如何根据试验的所有可能结果，以及指定事件发生的所有可能结果，计算指定 事件发生的概率呢？ 101第6章 事件的概率 一般地，在一次试验中，如果共有有限个可能发生的结果，并且每种结果 发生的可能性都相等，用 m 表示一个指定事件 E 包含的结果数，n 表示试验可能 出现的所有结果的总数，那么事件 E 发生的概率可利用下面的公式计算： m P（E）= . n 上面的概率公式只适合于试验结果有限个且 等可能的情况. 例如掷一枚图钉，只有两种可能结 果：钉尖朝上、钉尖触地. 但这两种结果不是等可 能的，所以求 P（钉尖朝上）就不能用上面的公式. 例1 把英文单词“PROBABILITY”中的字母依次写在大小相同的 11 张 卡片上，每张卡片上只能写其中的 1 个字母. 然后将卡片洗匀，从中随机抽取 1 张卡片，恰为写有字母 I 的卡片的概率是多少？ 解 从 11 张卡片中随机抽取 1 张卡片的试验中，11 张卡片中取到每张 的可能性是相同的，因此，共有 11 个等可能的结果，其中写有字母 I 的卡片有 2 张，抽取到写有字母 I 的卡片的结果有 2 个. 所以随机抽取出一张，事件“抽取 2 到写有字母 I 的卡片”的概率是 P（抽取到写有字母 I 的卡片）= . 11 例2 如图 6-13，抛掷一枚骰子（6 个面上分别刻有 1，2，3，4，5，6 个 点的均匀的小正方体）. 落定后， （1）骰子朝上一面的“点数不大于 6 ”是什么事件？它的概 率是多少？“点数大于 6”是什么事件？它的概率是多少？ （2）骰子朝上一面的“点数是质数”是什么事件？它的概率 图 6-13 是多少？ 解 骰子落定后，朝上一面的点数共有 6 种可能的结果：1，2，3，4， 5，6，并且它们出现的可能性相同. 朝上一面的“点数不大于 6”是必然事件， 它发生的结果数等于所有等可能结果的总数 6；“点数大于 6”是不可能事件，它 发生的结果数是 0；“点数是质数”是随机事件，因为在数字 1〜6 中，质数只有 1026.6 简单的概率计算 2，3，5，它包含的结果数是 3. 所以， 一个事件 E 发生 6 （1）P（点数不大于 6） = = 1； 6 的概率 P（E）的取值 0 范围是什么？ P（点数大于 6） = = 0； 6 3 1 （2）P（点数是质数） = = . 6 2 一般地，当事件 E 是必然事件时，P（E） = 1； 当事件 E 是不可能事件时，P（E） = 0； 当事件 E 为随机事件时，P（E） 在 0 与 1 之间. 总之，任何事件 E 发生的概率 P（E）都是 0 和 1 之间（包括 0 和 1）的数，即 0 ≤ P（E）≤ 1 . 广角镜 比赛结果的预测 每四年一届的世界杯足球赛，世人瞩目. 赛前，许多国家的球迷及媒体搜集参赛队 的比赛资料及近年的战绩，对比赛结果进行预测. 比如，甲、乙两队将在赛场上相逢. 赛前一名记者根据甲、乙两队近年来交战的情 况作了如下的分析：“两队曾五次交锋，甲队的战绩是三胜一平一负. 如正常发挥，甲队 获胜的希望很大”. 3 从概率的角度来预测，甲获胜的概率只有 . 如此看来，用“很大”一词欠妥. 5 由于每人手中的资料不同，预测的方法也有差异，比赛双方临场发挥也会受到多种 因素的影响，经常出现比赛的结果与赛前的预测并不一致，甚至大相径庭的情况. 有的 队在整个赛程中，连胜五场，一直保持不败，偏偏在第六场比赛中负于一匹“黑马”. 气象台预报明天降水的概率是10%，后天是90%，然而却有可能第二天下起雨来， 第三天并没有下雨. 买彩票中一等奖的概率是几百万分之一，但却偏偏有人只买一张彩票就中了大奖. 万物都在变化. 根据过去、现在来预测随机事件发生的概率，只能帮助人们做到 “心中有数”，但并不能提供确定无误的结论，概率大的事件并不一定发生，概率小的 事件也不一定不发生. 这是由于随机现象的本质决定的. 103第6章 事件的概率 练 习 1. 一副扑克牌共 54 张，从中随机抽出 1 张，抽到“牌上点数为 2”的概率是多少？ 2. 在一个不透明的纸袋中放有除颜色外都相同的 3 个红球、5 个白球、7 个黄球. 从暗箱 中随机摸出 1 个球，摸到红球的概率是多少？摸到的球不是红球的概率是多少？ 观察与思考 你玩过“剪刀、石头、布”的游戏吗？ 小亮和小莹玩“剪刀、石头、布”游 戏，游戏的规则是：两人同时出“剪刀、石 头、布”中的一种手势，规定“剪刀”胜 “布”，“布”胜“石头”，“石头”胜“剪刀”. 如果两人出的手势相同，则为平局，重新进 “剪刀、石头、布”游戏 行游戏. 思考下面的问题： （1）如果二人都随机出一个手势，那么在第一次“出手”时，小亮获胜的 概率多大？小莹获胜的概率呢？ 两人出手一次看作一次试验，如果两人所出的手势用括号（小亮的手势， 小莹的手势）表示，将所有可能出现的结果列举如下： （剪刀，布），（剪刀，石头），（剪刀，剪刀），（石头，剪刀），（石头，石 头），（石头，布），（布，剪刀），（布，石头）， （布，布）. 列举试验所有可 共有 9 种不同的情况，而且它们都是等可能 能出现的结果时，应 注意做到不重不漏. 的. 其中事件“小亮获胜”的结果有 3 种，即（剪刀， 布），（布，石头），（石头，剪刀）. 所以，小亮获胜的概率为 3 1 P（小亮获胜）= = . 9 3 事件“小莹获胜”的结果也有 3 种，即（剪刀，石 1046.6 简单的概率计算 头），（石头，布），（布，剪刀）. 所以小莹获胜的概率为 3 1 P（小莹获胜）= = . 9 3 （2）两人同时出手后，出现平局的概率有多大？ 事件“出现平局”的结果也有 3 种，即（剪刀，剪刀），（石头，石头）， （布，布）. 所以出现平局的概率为 3 1 P（出现平局）= = . 9 3 （3）假设两人经过 n 次出手，皆为平局. 直到第 n + 1 次出手试验才决出胜 负，那么在第 n + 1 次出手时，甲、乙两人获胜的概率分别是多大？ 由于在第 n + 1 次时没有出现平局，因此所有出现的结果只有 6 种： （剪刀，布），（剪刀，石头），（石头，剪刀），（石头，布），（布，剪刀）， （布，石头）. 其中事件“小亮获胜”的结果仍然是 3 种，所以小亮获胜的概率为 3 1 P（第 n + 1 次时小亮获胜）= = . 6 2 事件“小莹获胜”的概率为 3 1 P（第 n + 1 次时小莹获胜）= = . 6 2 （4）由以上讨论，你认为这个游戏对双方公平吗？ （5）通过解决这个问题，你体会到利用本节的公式来计算事件概率时，包 括哪几个步骤？应注意哪些问题？ 例3 某快餐店为了招揽顾客，推出一种“转盘” 游戏：一个圆形转盘被分成了 12 个圆心角都相等的扇形， 其中有 2 个扇形涂成红色，4 个扇形涂成绿色，其余涂成 黄色（图 6-14）. 顾客消费满 200 元后，可以自由转动一次 转盘. 如果转盘停止后，指针落在绿色区域获得二等奖，落 在红色区域获得一等奖. 凭奖券顾客下次来店就餐时，可分 图 6-14 别享受九折、八折优惠. （1）这个游戏一、二等奖的中奖率分别是多少？ （2）这个游戏的中奖率是多少？ 105第6章 事件的概率 指针落在转盘的位置实际上有无限多个 等可能的结果，将转盘等分为若干扇形后， 就转化为只有有限多个等可能结果的情况， 从而可以利用公式来计算概率. 解 由于 12 个扇形的圆心角彼此相等，所以自由转动一次转盘，作为一 次试验，转盘停止后，指针落在 12 个扇形中任何一个的可能性是完全相同的， 指针的位置共有 12 种不同的情况，即有 12 个等可能结果. （1）“指针落入绿色的扇形区域”是一个事件，包含 4 个可能的结果，所以 二等奖的中奖率 4 1 P（指针落在绿色区域）= = . 12 3 同样地，“指针落在红色区域”这一事件包含 2 个可能的结果，所以一等奖 的中奖率 2 1 P（指针落在红色区域）= = . 12 6 （2）当指针落在红色区域或绿色区域时中奖，因此 2+4 1 P（中奖）= = . 12 2 例4 你知道田忌赛马的故事吗？据《史记》 记载，战国时期，齐威王和他的大臣田忌各有上、 中、下三匹马. 在同等级的马中，齐威王的马比田 忌的马跑得快，但每人较高等级的马都比对方较低 等级的马跑得快. 有一天，齐威王要与田忌赛马， 双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马只赛一次，赢得两局者为胜 1 . 1 田忌赛马的故事出自《 史记 》卷六十五《孙子吴起列传第五》. 原文是：“忌数与齐诸公子驰逐重 射 ⋯⋯孙子曰：‘今以君之下驷与彼上驷，取君上驷与彼中驷，取君中驷与彼下驷. ’既驰三辈毕，而田忌 一不胜而再胜，卒得王千金. ”这里孙子指孙膑. 1066.6 简单的概率计算 齐威王的马按上、中、下顺序出阵，假如田忌的马随机出阵，田忌获胜的 概率是多少？ 解 田忌的马随机出阵，共有 6 种 小资料 可能的顺序：（上、中、下），（上、下、 由于在实际赛马时，田忌 中），（中、上、下），（中、下、上）， 采用了孙膑制定的战胜对方的最 （下、上、中），（下、中、上）. 每种出阵 优策略，以弱胜强，不仅传为 的顺序的可能性相同. 其中，只有当田忌的 千古佳话，也成为近代数学的分 马按下、上、中的顺序出阵时，田忌才能 支——“对策论”中的精彩案例. 取胜，按其他方式出阵，均为齐威王取胜. 1 所以如果田忌的马随机出阵，那么田忌取胜的概率只有 . 6 练 习 1. 一枚均匀的小正方体，把它的两个面涂成红色，两个面涂成黄色，其余的两个面分 别涂成蓝色和白色，任意抛掷这枚小正方体，落定后，朝上一面为红色的概率是多 少？如果把白色一面也改为红色，落定后，朝上一面为红色的概率将是多少？ 2. 将正面分别写有 2，-3，4，-5 的 4 张同样的卡片背面朝上摆放，随机地取出 2 张， 卡片上的两数之和是负数的概率是多少？ 例5 2 路公交车站每隔 5 min 发一班车. 小亮来到这个汽车站，候车时间 不超过 1 min 的概率是多少？候车时间等于或超过 3 min 的概率是多少？ 解 如图 6-15，画一条长为 5 个单位长 0 1 2 3 4 5 度的线段，表示相邻两次发车的间隔时间. 用左 图 6-15 端点表示上一班车开走的时刻，记为 0 min，右端点表示下一班车开走的时刻， 记为 5 min . 将线段五等分，分点顺次标上 1，2，3，4 分别表示上一班车已开走的时 间，每一份表示长为 1 min 的时间段，小亮到达汽车站的时刻看作一个点，这个 点落在线段中的哪一位置是随机的，因此他出现在每一小段时间中的概率是相 等的. 当小亮在上一班车发车 4 min（不足 5 min）后到达该汽车站时，他候车时 107第6章 事件的概率 间不超过 1 min . 1 所以，P（候车时间≤1 min）= . 5 当小亮在上一班汽车发车 2 min 以内（包括 2 min）到达该汽车站时，他候 车时间等于或超过 3 min . 2 所以，P（候车时间≥3 min）= . 5 例6 某十字路口设有交通信号灯，南北向 信号灯的开启规律如下：南北向绿灯开启 1.5 min 后关闭，紧接着红灯开启 1 min，按此规律循环下 去. 如果不考虑其他因素，当一辆汽车沿南北方向 随机地行驶到该路口时，遇到绿灯的概率是多少？ 解 这个十字路口从绿灯开启到红灯关闭（同时下一次绿灯开启）共 2.5 min，其中绿灯 1.5 min，红灯 1 min . 画一条长度为 2.5 单位的线段 AB，表示从绿灯开启到红灯关闭的间隔时间. 在 AB 上取点 C，使 AC = 1.5 单位（图 6-16），表示 A C B 绿灯开启的时间段. 汽车到达十字路口的时刻是随机 图 6-16 的，它出现在每一时刻的概率是相等的，把这一时刻看作一个点，该点落在线 1.5 3 段 AC 上的概率是 P（点落在 AC）= = . 2.5 5 所以，当一辆汽车沿南北方向随机地行驶到该路口时， 3 P（遇到绿灯）= . 5 挑战自我 长 10 m 的绳子任意堆放在地上，如果随机地剪成两段，则每段长度不小于 3 m 的概率是多少？ 智趣园 有趣的“等人问题” 小亮、大刚二人相约星期天上午 9∶00〜10∶00 在新华书店门前见面，以便共同 1086.6 简单的概率计算 选购课外书籍. 他们约好：若其中一人先到，要等另一个人 20 min，过时不再等候. 假 定他们二人到达约定地点的时间都在约定的 1 小时以内，且都是随机的. 试问他们见面 的概率是多少？ 这个问题看起来有点复杂，可以利用画图帮助我们分析. 建立如图 6-17 所示的直角坐标系，用 x，y 分别表 y/min 示小亮、大刚二人在 9 时后到达约定地点的时间（单 位：min），由已知条件 0 ≤ x ≤ 60，0 ≤ y ≤ 60 . 60 （1）如果小亮 9∶00 到达书店，即 x = 0，这时只有 40 当大刚在 9∶00〜9∶20 即 0 ≤ y ≤ 20 的时间段内到达 20 书店，他们才能见面. x/min O 20 40 60 （2）如果小亮 9∶20 到达书店，即 x = 20，这时只 图 6-17 有当大刚在 9∶00〜9∶40 即 0 ≤ y ≤ 40 的时间段内到 达书店，他们才能见面. （3）如果小亮 9∶40 到达书店，即 x = 40，这时只有当大刚在 9∶20〜10∶00 即 20 ≤ y ≤ 60 的时间段内到达书店，他们才能见面. （4）如果小亮 10∶00 到达书店，即 x = 60，这时只有当大刚在 9∶40〜10∶00 即当 40 ≤ y ≤ 60 的时间段内到达书店，他们才能见面. y 在图 6-17 中，用粗实线分别表示小亮在 9∶00， 60 9∶20，9∶40，10∶00 到达书店且能见到大刚的时间段， 然后从左到右分别连接四条粗实线的上端点与四条粗实线 P 20 的下端点，便得到图 6-18 的一个六边形区域. 小亮和大刚分别在时间段 9∶00〜10∶00 内到达书店的 x O 20 60 时刻（x，y）对应于图 6-18 中正方形内的点 P（x，y），由 图 6-18 于他们各自到达书店的时刻是随机的，所以点 P 在正方形内 任何一处出现的可能性都是相同的. 只有当点 P 落在六边形区域内，二人才能见面. 因为图 6-18 中所有的小方格数是 9，六边形区域所占的小方格数是 5，所以六边形 5 602 - 402 5 5 区域占正方形面积的 （也可由 = 得出），所以他们见面的概率等于 . 9 602 9 9 练 习 1. 某广播电台“听众信箱”节目每晚 20∶00〜21∶30 播出，其间平均有 30 个热线电话 接入，每次通话时间约 2 min . 小亮在这个节目播出期间拨打热线电话，他恰好拨通 109第6章 事件的概率 的概率是多少？ -3 4 2. 如图，数轴上有两点 A，B，在线段 AB 上随机地取一点 A O B C，则点 C 到原点 O 的距离不大于 2 的概率是多少？ （第 2 题） 习题6.6 复习与巩固 1. 在 100 件同类产品中有 95 件一等品，从这些产品中任取 1 件恰为一等 品的概率是多少？ 2. 如图，密码锁有 3 个拨盘，每个拨盘上都有 0〜9 十个不同的数字. 转 动拨盘后，只有当显示的 3 位数恰好是设定的密码时，才能将锁打开. 任意拨出一个 3 位数，这时恰好把锁打开的概率是多少？ （第 2 题） 3. 从正面分别写有 1，2，4，6，7，8 的 6 张卡片中，任意抽出 1 张，得到下列结果的概 率是多少？ （1）卡片上的数是奇数； （2）卡片上的数是偶数； （3）卡片上的数小于 7 . 4. 在如图所示的月历表中任取 1 天，恰为下列情况的概 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 率各是多少？ 4 5 6 7 8 9 10 （1）这一天是星期日； 11 12 13 14 15 16 17 （2）这一天是星期一至星期五中的一天. 18 19 20 21 22 23 24 5. 从一副扑克牌中去除“大王”、“小王”，将牌洗匀， 25 26 27 28 29 30 31 然后从中随机摸出 1 张，记下它的花色和数字，再把 （第 4 题） 牌放回，洗匀后，重复上面的试验，如果连续摸牌 1 000 次， （1）你估计摸出花色是“红桃”的次数大约是多少？ （2）你估计摸出牌面是“A”（不计花色）的次数大约是多少？ 6. 某火车站的显示屏，显示列车班次的信息，时间持续 2 min，然后是 1 min 的广告，接 着重新显示列车班次 2 min，如此循环下去. 某人到达该车站时，显示屏上正好显示列 车班次信息的概率是多少？ 7. 某单位查号台值班员上午 8〜12 时平均每小时接待查询电话 36 个，每个电话处理时 间约 50 s . 张老师在这段时间内，给该单位打查询电话，恰好接通的概率是多少？ 1106.6 简单的概率计算 拓展与延伸 8.（1）圆形转盘被分成 5 个扇形，并分别涂上不同的颜色，其中涂红色的扇形圆心角为 60°，涂绿色的扇形圆形角为 30°，涂蓝色的扇形圆心角为 120°，涂黄色的扇形 圆心角为 90°，还有 1 个扇形涂成白色. 自由转动转盘，停止后，指针落在各个 扇形中的概率分别是多少？ （2）一个袋子中装有除颜色外其他都相同的 5 种颜色的球，其中有红球 2 个，绿、 蓝、黄、白色球各若干个. 如果随机摸出一个球是红、绿、蓝、黄、白色球的 概率分别与（1）中指针落在相应的各色扇形中的概率相等. 估计袋子中绿、 蓝、黄、白色的球各多少个？ 9. 如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，4），四边形 COBA 是一个正方形，连续两次掷一枚骰子，把第 1 次、第 2 次朝上一面的数字分别作为一个点的横、纵坐标. 求这个点 落在正方形 COBA 上及其内部的概率. 探索与创新 （第 9 题） 10. 在本班同学中随机地挑选两名同学，恰为同年出生的概率与恰为同一个月（可以是不 同年）出生的概率哪个大？在一个城市中任选两个人呢？为什么？ 11. 小亮与小莹玩一种“字母棋”游戏. 棋子共有 10 枚，正面分别标有字母 A，B，C， D，其中 A 棋 1 枚，B 棋 2 枚，C 棋 3 枚，D 棋 4 枚. 游戏规则为： ① 游戏时，先将棋子反面朝上洗匀，两人先后从中各摸 1 枚，摸出的棋子不再放回； ② 双方亮出自己摸出的棋子，A 棋胜 B 棋、C 棋，B 棋胜 C 棋、D 棋，C 棋胜 D 棋， D 棋胜 A 棋，相同的棋子不分胜负. 回答下列问题： （1）如果小莹先摸，小莹摸到 C 棋的概率是多少？ （2）如果小莹先摸到 C 棋，小莹恰能获胜的概率是多少？ （3）如果小莹先摸，小莹先摸到哪种棋子获胜的概率最大？ 111第6章 事件的概率 6.7 利用画树状图和列表计算概率 如图6-19，甲、乙两 村之间有 A，B 两条道路， 小亮从甲村去往乙村，大 刚从乙村去往甲村，二人 同时出发. 如果每人从 A， B 两条道路中随机选择一 图 6-19 条，而且他们都不知道对方的选择，那么二人途中相遇的概率是多少？ 为了列举出这个问题中所有可能的结果，以及二人相遇的所有可能结果. 可 以利用画图帮助我们分析：由于小亮走道路 A 或 B 有两种可能，可画出同一点 出发的两个箭头分别表示小亮走 A 或走 B . 当小亮走道路 A 时，由于大刚走道路 A 或 B 也有两种可能，所以在表示小亮走 A 的箭头前面再画出两个箭头，分别表 示当小亮走道路 A 时大刚可能走道路 A 或道路 B . 同样地，在表示小亮走 B 的箭 头前面再画出两个箭头，分别表示当小亮走道路 B 时，大刚可能走道路 A 或道 路 B . 于是得到图 6-20 . 小亮 大刚 图 6-20 1126.7 利用画树状图和列表计算概率 由图 6-20 可以直观地看出，这个问题的所有可能结果共有 4 个：AA， AB，BA，BB，分别表示小亮走道路 A，大刚走道路 A；小亮走道路 A，大刚走 道路 B；小亮走道路 B，大刚走道路 A；小亮走道路 B，大刚走道路 B . 而且每 个结果发生的可能性都相等，事件“两人相遇”包含其中的 2 个结果，即 AA， BB. 由已学过的概率计算公式，可得 2 1 P（两人相遇） = = . 4 2 1 所以，两人相遇的概率是 . 2 图 6-20 像一棵横倒的树，我们叫它树状图（tree derivation）. 你体会利用画 树状图对于列举出问题中的所有结果以及指定事件发生的所有可能的结果有哪 些帮助？ 在上面问题中，小亮与大刚所处的地位是相同的，你能将两人顺序交换， 先考虑大刚所走的道路，画出相应的树状图吗？ 上面的问题，还可以通过列表分析出所有等可能的结果： 小亮 走A 走B 大刚 走A AA AB 走B BA BB 表中上面的第 1 行表示小亮走道路 A 或 B 的两种可能，左边第 1 列表示大刚 走道路 A 或 B 的两种可能，从而可在表中的其他 4 个位置列出本题所有等可能的 4 种结果：AA，AB，BA，BB，其中可找出“两人相遇”这一事件包含的结果 共有 2 个. 于是 2 1 P（两人相遇）= = . 4 2 树状图或列表能帮助我们将所有等可能的结 果直观地列举出来，做到既不重复也没有遗漏. 113第6章 事件的概率 例1 在 A，B 两个盒子里各装入分别写 有数字 0，1 的两张卡片. 分别从每个盒子中随机 取出 1 张卡片，两张卡片上的数字之积为 0 的概 率是多少？ 解 从 A 盒或 B 盒中任取 1 张卡片，上 面写有数字 0 或 1 的可能性相等，利用树状图 图 6-21 （图 6-21）可以看出，两张卡片上的数字之积共有 4 个等可能结果，从中可找 出“两数之积为 0”这一事件的结果有 3 个. 于是 3 P（两数之积为 0）= . 4 3 所以，两张卡片上的数字之积为 0 的概率为 . 4 你能通过列表分析所有等可能结果吗？将对应的乘积填在下表中的空格处： A 0 1 B 0 1 P（两数之积为 0）= ________. 挑战自我 小亮、小莹和大刚三人中要选派一人参加全年级的演讲比赛. 他们设计了一 个游戏决定谁去参加： 随机抛掷两枚均匀的硬币，落定后，如果两枚都是正面朝上，小亮参加； 如果都是反面朝上，小莹参加；如果一枚正面朝上、一枚反面朝上，则大刚参 加. 你认为这个游戏对他们三人公平吗？为什么？ 练 习 1. 连续 2 次抛掷一枚质量均匀的硬币，落定后，两次都是正面朝上的概率是多少？至少 一次正面朝上的概率是多少？ 1146.7 利用画树状图和列表计算概率 2. 在本节例 1 中，分别从每个盒子中任取 1 张卡片，两张卡片上的数字之和为 1 的概率 是多少？ 例2 甲、乙两只不透明的袋子里装有除颜色外都相同的球. 甲袋装有 红、蓝、黄色球各 1 个，乙袋装有红、蓝色球各 1 个. 从每个袋子里分别随机地 摸出 1 个球，两个球恰为同色的概率是多少？ 解 从甲袋中随机摸出 1 个球，球的颜色有 3 个等可能的结果，从乙 袋中随机摸出 1 个球，球的颜色有 2 个等可能的结果. 从两个袋子中各摸出 1 个 球，所有可能的结果可用树状图（图 6-22）表示如下： 图 6-22 由图 6-22 可知，共有 6 个等可能的结果，其中事件“同色”包含 2 个结 果，于是 2 1 P（同色） = = . 6 3 1 所以，两个球恰为同色的概率为 . 3 你能通过列表解答例 2 吗？试一试. 例3 同时抛掷两枚骰子，落定后，两枚骰子朝上一面的点数之和可能是 哪些数？其中，概率最大的是什么数？概率最小的是什么数？ 解 抛掷一枚骰子时，点数 1，2，3，4，5，6 出现的概率相等，都是 115第6章 事件的概率 1 . 同时抛掷两枚骰子，一枚骰子上出现的点数不受另一枚的影响. 6 这个问题如果画树状图，需要先画出 6 个箭头，每个箭头又要引出 6 个箭头，过于 繁琐. 可以通过列表列出所有可能的结果. 列出右边的表格，在表的左下角写上一个 6 “+”号，然后在“+”号所在横行的每个小方格 5 中，由左至右依次填入数字 1，2，3，4，5，6，表 4 示掷第 1 枚骰子可能出现的点数；然后在“+”号 3 2 所在竖列的每个小方格中，从下往上依次填上数字 1 1，2，3，4，5，6，表示掷第 2 枚骰子可能出现的 + 1 2 3 4 5 6 点数. 将各行与各列中对应数字之和分别填入相应的 小方格中. 观察你填好的表，可以发现抛掷两枚骰子，朝上一面的点数之和共有 36 个 等可能结果，每个结果在表中各占一个小方格. 分别统计各个小方格中的点数之 和及相应的小方格数，可列出下表： 点数之和 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 小方格数 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 从上表可知，两个骰子的点数之和共有 11 种不同的情况，即和为 2，3， ⋯，12，其中小方格的个数最多的有 1 种情况，为 6 个小方格，所对应的点数之 和为 7；这就是说，事件“两个骰子的点数之和是 7”包含的可能结果数最多， 有 6 个结果，而方格的个数最少的情况有 2 种，各只有 1 个小方格，分别对应的 点数之和为 2 和 12，这就是说，事件“两个骰子的点数之和是 2”和“两个骰 子的点数之和是 12”包含的可能结果数最少，各有 1 个结果. 6 1 所以，抛掷两枚骰子出现“点数之和为 7”的概率最大，是 = ，而出 36 6 1 现“点数之和为 2”以及“点数之和为 12”的概率最小，都是 . 36 1166.7 利用画树状图和列表计算概率 挑战自我 下午放学后，小亮、小莹和大刚到学校乒乓球室去打乒乓球. 当时只有一 副空球桌，他们打算用“手心、手背”的方法决定哪两人先上场. 游戏规则是： 三人同时伸手心或手背，如果恰好其中有两人伸出的手势相同，那么这两人上 场，否则重新开始. 假如这三个人每个人伸出手心或手背都是随机的，经过一次伸手试验，小 亮上场的概率是多少？ 练 习 1. 一个盒子里装有分别写有数字 1，3，5 的三张卡片，另一个盒子里装有分别写有 2，4 的两张卡片. 现从两个盒子各任取一张卡片，卡片上的数字为相邻整数的概率是多少？ 2. 一只盒子里放有分别是草莓味、柠檬味的两种糖各 1 块，另一只盒子里放有分别是草 莓味、柠檬味、杏仁味的三种糖各 1 块，糖的外形相同. 小亮从两只盒子中各随机取 出一块糖，两块糖恰是不同味的概率是多少？ 习题6.7 复习与巩固 1. 连续两次掷一枚骰子，落定后，朝上一面的数字都是偶数的概率是多少？数字之积是 6 的概率是多少？ 2. 有三张纸牌，分别写有数字 1，2，3，从中任取两张，求： （1）两张纸牌分别写有“1”和“2”的概率； （2）其中一张纸牌上写有“1”的概率. 3. 在 3 个乒乓球中有 2 个正品、1 个次品，从中任取 2 个，求两个球都是正品的概率. 4. 某旅游团计划在 3 天内游览 3 个景点 A，B，C，每天只能游览其中的 1 个景点. 将 A， B，C 分别写在 3 张纸条上，采用抽签的方法决定游览顺序. （1）共有几种不同的安排方案？ （2） 第 1 天游览景点 A，第 2 天游览景点 B，第 3 天游览景点 C 的概率是多少？ （3） 第 1 天游览景点 A 的概率是多少？ 5. 在一个不透明的盒子里，共有 1 枚白色围棋子和 2 枚黑色围棋子，它们除颜色以外， 117第6章 事件的概率 其他都相同. （1）随机地从盒子里取出 1 枚棋子，恰好是白色棋子的概率是多少？ （2）随机地从盒子里取出 1 枚棋子，不放回，再取第 2 枚棋子，恰好是“一黑一白” 的概率是多少？ （3）随机地从盒子里取出 1 枚棋子，看到颜色后，放回盒子里摇匀，再取出第 2 枚棋 子，恰好是“一黑一白”的概率是多少？ 6. 甲、乙二人报名参加运动会 100 米比赛. 预赛分 A，B，C 三组进行，运动员通过抽签 决定参加哪个小组. 甲、乙恰好分到同一个组的概率是多少？恰好都分到 A 组的概率 是多少？ 拓展与延伸 7. 小亮从家里到学校要经过两个设置有红绿灯的路口. 第 1 个路口红绿灯的转换时间 是：红灯 60 秒、绿灯 30 秒；第二个路口红绿灯的转换时间是：红灯 50 秒、绿灯 50 秒. 路口之间红绿灯的转换互不相关. 小亮上学时两次都遇到绿灯的概率是多少？ 8. 一枚棋子放在如图所示的正六边形 ABCDEF 的顶点 A 上，通过摸球确定这枚棋子下一 步走到正六边形的哪个顶点的位置. 规则是：在一个不透明的袋子中标号分别是 1， 2，3 的三个相同的小球，搅匀后，从中随机摸出 1 个，记下标号后放回袋中搅匀，然 后从袋中再随机摸出 1 个. 两次摸出的小球的标号之和是几，棋子就按顺时针方向沿 正六边形的边走到第几个顶点的位置，叫做走一步. 棋子走一步到达哪个顶点的可能 性最大？求出棋子走到该点的概率. S S 1 3 A B S S F C 2 4 E D （第 8 题） （第 9 题） 9. 如图，随机地闭合开关 S ，S ，S ，S 中两个，能够使灯泡发光的概率是多少？ 1 2 3 4 探索与创新 10. 如图，A，B 是固定箭头的两个转盘. 均被分成三 个面积相等的扇形，转盘 A 上的扇形分别写有数 字 1，6，8，转盘 B 上的扇形分别写有数字 4， 5，7. 如果你和小亮各选择其中一个转盘，同时 将它们转动，规定如果转盘停止时，箭头指的数 A B 字较大者获胜. 你会选择哪个转盘？说明理由. （第 10 题） 118回顾与总结 11. 一个不透明的袋子里共放有 2 个红球和 3 个白球，它们除颜色外，其余都相同. （1）从袋子中随机地摸出 1 个球，摸到红球的概率是多少？ （2）小亮想：“如果随机地从袋子里同时摸出两个球，那么摸出两个红球的概率是上 面问题（1）的答案的 2 倍”. 小亮的想法正确吗？说明理由. 回顾与总结 1. 本章学习了哪些内容？总结一下，并与同学交流. 2. 什么是随机事件？什么是必然事件？什么是不可能事件？举例说明. 3. 什么是频数？什么是频率？频数与频率有怎样的关系？ 4. 怎样绘制频数直方图？举例说明，利用频数直方图能解释数据中蕴涵的哪些信息. 5. 什么叫做一个事件发生的概率？当经过大量的重复试验，一个随机事件发生的频率总 是逐渐稳定在该事件发生的概率附近，从而可以用频率估计概率. 你能举例说明吗？ 6. 在一次试验中，有 n 个等可能的结果，如果其中事件 E 包含 m 个结果，怎样计算事件 E 发生的概率？ 7. 画树状图和列表在分析事件的所有等可能的结果以及指定事件发生的所有结果时起什 么作用？ 8. 举出生活实际中变量之间相关关系的例子，在本章中你是如何利用坐标系中的直线研 究某些随机现象的变化趋势以及随机现象之间的相关关系的？ 9. 学过本章后，你有哪些收获和体会？ 综合练习 复习与巩固 1. 天气预报说：“明天本市下雨的概率是 80%”. 你认为这句话的含义是下面说法中的哪 一种？ （1）明天本市 80% 的地区下雨； （2）明天本市 80% 的时间下雨； （3）有 80% 的人认为明天本市下雨； （4）在多次类似于明天的天气条件下，其中约 80% 的天数会下雨. 2. 时代中学生物兴趣小组对校内树木的种类和棵数作了统计，结果如下： 119第6章 事件的概率 杨树 81 棵 槐树 62 棵 枫树 35 棵 柳树 28 棵 法桐 68 棵 松柏树 79 棵 按照上面的分组及数据，列出频数、频率分布表，画出频数直方图. 3. 20 名同学参加电脑汉字输入速度测试，成绩如下（单位：字 / 分）： 98，101，92，102，98，94，95，97，96，128， 98，95，92，96，95，94，99，95，112，126. 将上面的数据适当分组，列出频数、频率分布表，并画出频数直方图. 4. 某公用电话亭任意抽取了 100 名顾客的通话时间. 如果通话不足 1 min，按 1 min 计 时，超过 1 min、不足 2 min，按 2 min 计时，依此类推. 统计结果如下： 通话时间/ min 1 2 3 4 5 5 以上 人 数/人 36 25 12 9 7 11 按通话时间分成 6 组，列出频数、频率分布表，画出频数直方图. 5. 时代中学九年级举行安全知识竞赛，有 3 频数/人 人得 100 分. 竞赛成绩（得分为整数）的频 31 数直方图如右图所示. 回答下列问题： （1）共有多少名学生参加比赛？ （2）分布在 90 分~100 分这一组的频率是 4 3 2 多少？ （3）这次测试成绩的众数在哪个小组中？ 0 60~69 70~79 80~89 90~100 分数/分 （4）如果 80 分以上（含 80 分）为优良， （第 5 题） 那么优良率是多少？ 1 6. 判断题：已知抛掷一枚硬币正面朝上的概率是 ，下列说法中错误的是 2 （1）抛掷这枚硬币 10 次，“出现有 5 次正面朝上”是必然事件. （2）抛掷这枚硬币 10 次，“10 次正面朝上”是不可能事件. （3）大量重复抛掷这枚硬币，平均 100 次中出现正面朝上 50 次. （4）通过抛掷这枚硬币确定谁先发球的比赛规则对双方是公平的. 7. 某电视机厂对生产的电视机进行抽样检测，得到的数据如下表所示： 抽取台数（n） 50 100 200 300 500 1 000 优等品数（m） 40 92 192 285 478 954 m 优等品频率（ ） n 120回顾与总结 （1）分别计算表中相应的优等品频率； （2）估计该厂生产的电视机优等品的概率是多少（精确到 0.01）？ 8. 一栋教学楼共有 15 间教室，新来的管理员将各教室门锁的钥匙混在了一起，难以分 辨. 如果从中随机地取 1 把钥匙，能打开九年级一班教室门锁的概率是多少？ 9. 某城市的固定电话号码由 8 位数字组成，其中以 6 220 开头的电话用户号码共 2 865 个，如果任意写出一个以 6 220 开头的 8 位数，这个数恰为该市一个电话用户号码的 概率是多少？ 10. 某电视台 20∶00 时后平均每播送 18 min 节目便插播 1 min 广告，这期间随机地打 开电视机收看该台，恰好遇到广告的概率是多少？ 11. 一部书有上、中、下三册，将它们的顺序随机排放，自左至右恰好为上、中、下的 概率是多少？ 12. A 盒内装有除颜色外都相同的 2 枚黑色棋子和 1 枚白色棋子，B 盒内装有除颜色外 都相同的 1 枚黑色棋子和 2 枚白色棋子. 小亮从 A 和 B 两个盒子中各随机地取出 1 枚棋子，这两枚棋子同色的概率是多少？ 13. 小亮从语文、数学、外语 3 本课本中随机地抽取 1 本，又在这 3 门课的作业本中随 机地抽取 1 本，课本和作业本恰为同一门课的概率是多少？ 14. 在 10〜99 的整数中随机地取一个整数，这个整数是 4 的倍数的概率是多少？ 拓展与延伸 15. 某社会调查部门抽样调查了龙泉镇 6 户居民月人均生活费及食品类开支占个人生活 费的比重，结果如下表所示： 人均生活费/（元/月） 386 423 590 597 724 900 食品类开支占生活费比重/ % 66.8 63.7 58.9 56.1 52.1 47.7 （1）在直角坐标系中，用横轴表示月人均生活费，纵轴表示食品类开支占生活费的 比重； （2）描出表中数对对应的数据点； （3）画出能近似地表示食品类开支占生活费的比重与月人均生活费关系的一条直线. 16. 学校对九年级男生进行一次“引体向上”测试，将学生成绩按连续做 0 次〜4 次、5 次〜9 次、10 次〜14 次、15 次〜19 次以及 20 次以上（含 20 次）分为 5 组. 已知前 3 组的频率分别为 0.05，0.15，0.25，第 4，5 组的频数分别为 30，25. 回答下列问题： （1）前 3 组的频数分别是多少？ （2）参加本次测试的学生共有多少人？ 121第6章 事件的概率 （3）如果连续做 10 次以上（含 10 次）为及格，那么此次测试的及格率是多少？ （4）画出频数直方图. 17. 一枚鼓形象棋棋子的正面刻有“兵”字，它的反面是平的. 抛掷这枚棋子，假定侧面 不能立住，落定后只有两种可能，即“兵”字朝上和“兵”字朝下. 为了估计“兵” 字朝上的概率，小亮和小莹连续做了棋子抛掷试验. 试验数据如下表所示： 累计实验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 “兵”字朝 38 47 78 上的频数 “兵”字朝 0.7 0.45 0.52 0.55 0.55 上的频率 （1）请将上表补充完整； （2）画出“兵”字朝上的频数直方图； （3）估计抛掷这次棋子“兵”字朝上的概率. 你能解释这枚棋子质量的分布是否均匀 吗？ 18. 从山下到山顶有 A，B，C 三条道路，其中道路 C 是单向的，即从山顶不能沿道路 C 走到山下，道路 A，B 是双向的. 如果小亮开始上山时，小莹开始下山，两人分别从 3 条道路中随机地选 1 条，求他们途中相遇的概率. 19. 如图，有两个可以自由转动的转盘 A，B，盘面 都被分为 4 等份，并在每份分别标有相应的数字. 自由转动 A，B 两个转盘，停止后，将两个指针 所指数字相加. （1）两数之和为零的概率是多少？ （第 19 题） （2）在两数之和的所有情形中，概率最大的是哪种情形？ （3）在两数之和的所有情形中，概率最小的是哪种情形？ 20. 某公司历年在某市纯销售额的多少，主要决定于该市消费品购买力的大小. 已知最近 9 年内该公司的纯销售额和消费品购买力资料如下： 年度序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纯销售额/亿元 0.19 0.22 0.23 0.25 0.29 0.30 0.35 0.39 0.41 消费品购买力/亿元 1.8 1.9 2.2 2.5 3.1 3.5 4.0 4.4 4.8 （1）在直角坐标系中，用横轴表示消费品购买力，纵轴表示纯销售额，描出上述10 个数据对应的数据点； （2）在直角坐标系中，画出一条直线，使它能近似地反映样本中纯销售额与消费品 购买力的相关关系； 122回顾与总结 （3）估计当消费品购买力为 5.2 亿元时，纯销售额是多少亿元？ 探索与创新 21. 有一个边长为 a 的正三角形纸板，用针随机地在纸板上扎一小孔，如果针孔在纸板 a 上任何一处的可能性都相等，求针孔到正三角形三个顶点距离都大于 的概率. 2 22. 甲、乙、丙三人相互随机地传球，由甲发球. （1）求经过 3 次传球后，球回到甲手中的概率； （2）经过 4 次传球，球回到甲手中的概率是多少？从发球到甲的手中有哪几种可能的 传球方式？ 23. 从分别标有数字 2，3，4，5，6，7 的 6 张扑克牌中，每次随机地抽取两张，记录牌面 上两个数字之和，再将两张牌放回. 然后重复上述试验，所得到的数据如下表所示： 牌面数字之和 5 6 7 8 9 10 11 12 13 频 数 6 7 12 13 18 12 11 6 7 （1）一共试验了多少次？ （2）对应于牌面数字之和为 6，9，12 的频率各是多少？ （3）你估计牌面上两数字之和是多少的概率最大？两数字之和是多少的概率最小？ （4）你能用较简单的方法，分别直接计算出牌面数字之和为 5，9，13 的概率吗？ 24. 如图，把一个木制正方体的表面都涂成红色，分别在它的从同 一个顶点出发的三条棱上等距离地垂直切割三次，将正方体分 割成 64 个小正方体. 从这些小正方体中随机地取出一个. 求取 出的小正方体 （1）三面涂有红色的概率； （2）两面涂有红色的概率； （第 24 题） （3）各个面都没有涂红色的概率. 123综合与实践 综合与实践 质数的分布 观察与思考 你还记得什么是质数吗？ 一个大于 1 的整数，如果除了它本身和 1 以外，不能再被其他整数整除，这 样的数叫做质数. 例如 2，3，5，7，11 都是质数，质数也称为素数. 1 到 10 之间 有 4 个质数，11 到 20 之间有 4 个质数，21 到 30 之间有 2 个质数. 你能找出 50 以 内的所有质数吗？试一试，与同学交流. 如果要找出 100 之内、200 之内、1 000 之内的所有质数，你能找出来吗？ 利用质数的定义，一个 个地试，太麻烦了！ 古希腊数学家埃拉托塞尼（Eratosthenes，约前 276〜约前 195）发明了一种 简便可行的方法——筛法，它像用筛子把石块从沙子里筛出来一样，能把质数 从正整数中“筛”出来. 例如，要求出 100 之内的全部质数，你可以按下面的步骤做： （1）写出 100 以内的全部正整数； （2）划去 1，因为 1 不是质数； （3）圈起 2，2 是最小的质数，然后划去所有 2 的倍数； （4）圈起下面第一个未被划去的数 3，划去所有 3 的倍数； （5）圈起下面第一个未被划去的数 5，划去所有 5 的倍数； （6）继续上述过程，直至 100 之内的所有数，要么被圈起，要么被划去 （如图 1）. 124质数的分布 图 1 这样，圈起的数便是 100 以内的所有质数，共有 25 个. 想一想，为什么这样得到的数是 100 以内的所有质数？ 实验与探究 两人一组，完成以下工作： （1）利用筛法找出 500 以内的所有质数. 有兴趣的同学可以找出 1 000 以内 的所有质数. （2）分别统计数段 1〜100，101〜200，201〜300，301〜400，401〜500 中 质数出现的频数. 频数 （3）分别算出这 5 个数段中质数出现的频率. 25 （4）列出频数、频率分布表. （5）画出频数直方图（图 2）. （6）上述 5 个数段中，哪个数段质数出现的 频率最高？ 0 100 200 300 400 500 图 2 125综合与实践 交流与发现 （1）观察“实验与探究”（5）中得到的频数直方图，你发现在图中的 5 个 数段中，随着数的增大，质数的分布越来越密集还是越稀少？ （2）用 （n）表示不超过正整数 n 的质数的个数，即在 n 以内的质数出现 （n） 的频数，则 是 n 以内的质数出现的频率，完成下表： n n 10 100 500 1 000 105 106 109 频数（n） 9 593 78 498 50 847 478 （n） 频率 0.168 0.096 nn （n） 随着 n 的逐渐增大，你猜测频率 的变化趋势是什么？如果 n 继续增 n 大呢？ （n） 逐渐趋向于 0 . n （3）观察图 1，在 50 以内你能最多找出几个连续整数它们都不是质数？在 100 以内呢？请你猜测，能有 100 个连续的整数，它们都不是质数吗？说明理由. 事实上，我们可以用下面的方法找出任意有限个连续的正整数，它们都是 合数. 如果想找出 n 个这样的合数，可以先找到整数 N = 2 × 3 × 4 × ⋯× n × （n + 1）， 那么 n 个连续的整数 N + 2，N + 3，⋯，N + n，N +（n + 1） 都是合数. 也就是说，它们之中没有一个质数，因为它们分别可被 2，3，⋯， n，n+1 整除. 因此，2 × 3 × ⋯ × 100 × 101 + 2，2 × 3 × ⋯ × 100 × 101 + 3，⋯，2 × 3 × ⋯ × 100 × 101 + 100，2 × 3 × ⋯ × 100 × 101 + 101 便是 100 个连续的合数. 126质数的分布 这就说明，随着正整数的增大，质数的分布越来越稀少. 但是，质数有无限 多个，不存在最大的质数. 而人们所知道的质数却是有限的，到 2005 年，已发 现的最大质数有 9 152 052 位. 质数还有许许多多有趣的性质. 请你查询有关的资料，并与同学交流. 习 题 复习与巩固 1.（1）算出 1〜40，41〜80，81〜120，121〜160，161〜200 各数段中质数出现的频数； （2）分别算出这个数段质数出现的频率； （3）列出频数、频率分布表； （4）画出频数直方图； （5）这 5 个数段中哪个数段质数出现的频率最高？ 2. 相差 2 的两个质数叫做孪生质数，如 17 和 19，41 和 43. 求出 200 以内的孪生质数出现 的频数和频率（一对孪生质数计为 2 个质数）. 探索与创新 3. 对每个不等于 1 的正整数 n，都可以分解为若干个质数的积，即 n = p p ⋯ p（k ≥ 1）， 1 2 k 其中 p ，p ，⋯，p 都是质数（可以相同），所以对于每个不等于 1 的正整数 n，如 1 2 k 果 n 不是质数，那么必定 n 有一个因数是质数. 有人用这个性质说明质数有无限多个： “假设质数只有有限多个，设全部质数是 p ，p ，⋯，p . 将它们相乘后再加 1，便得 1 2 n 到正整数 m = p p ⋯ p + 1. 1 2 n m 大于 p ，p ，⋯，p 中任何一个，即 m 大于所有质数，所以 m 不是质数. 而且 p ， 1 2 n 1 p ，⋯，p 中任何一个都不能整除 m，即任何质数不能整除 m，因此 m 也是质数，这 2 n 与 m 不是质数矛盾. 所以质数有无限多个”. （1）你认为这个证明正确吗？ （2）写出 100 以内所有可以表示为不同质数乘积加 1 形式的质数来，如 7 = 2×3 + 1， 23 = 2×11+1，67 = 2×3×11+1 等. 不超过 100 的这种质数的频数是多少？这种 质数在不超过 100 的所有质数中出现的频率是多少？ 127第7章 空间图形的初步认识 128129第7章 空间图形的初步认识 7.1 几种常见的几何体 观察与思考 （1）图 7-1 中的每个几何体各有多少个面？每个面分别是什么图形？ 图 7-1 （2）这些几何体有什么共同特征？ 它们都是由多边 形围成的. 像这样，由多边形围成的几何体叫做多面体（polyhedron）. 围成多面体的 多边形的边叫做多面体的棱，多边形的顶点叫做多面体的顶点. 图 7-2 是在陕西出土的西魏时期（535〜557）制作的文物“煤精组印”，它的 形状是一个多面体，由 26 个面围成，其中有 18 个面是正方形、8 个面是正三角形. （3）图 7-3 是体育比赛使用的道次桩. 它的形状是多面体吗？每个道次桩有 多少个面？多少条棱？多少个顶点？ 1307.1 几种常见的几何体 煤精组印 道次桩 图 7-2 图 7-3 （4）你还能举出生活中多面体形状的物体的实例吗？与同学交流. （5）下面三种几何体（图 7-4）是多面体吗？为什么？它们有什么共同特征？ 圆柱 圆锥 球 图 7-4 围成它们的面不是多边形，所以 不是多面体. 它们都有一个面是曲面. （6）你过去学过哪些几何体的表面积公式和体积公式？你能用字母将它们 分别表示出来吗？ 例1 四颗人造地球卫星在各自的轨道上运行. 在某一时刻，测得每一颗 人造卫星与其他三颗人造卫星的距离都相等. 请你说出这一时刻四颗人造地球卫 星的相对位置. 如果用火柴棒演示这一时刻四颗卫星的相互位置，至少需要多少 根火柴棒？ 解 四颗人造地球卫星这一时刻所在的位置用点 A，B，C，D 表示. 由 题意知，这四个点中，每个点与其他三点的距离都相 A 等，即 AB = BC = CD = DA，因此，点 A，B，C，D 中，以每三个点为顶点的三角形即 △ABC，△ACD， D △ABD，△BCD ，它们都是全等的正三角形. 在空间 B C 中，它们围成一个所有棱长都相等的四面体. A，B，C， 图 7-5 131第7章 空间图形的初步认识 D 是这个四面体的四个顶点（图 7-5）. 由于这个四面体有六条棱，所以至少需 要 6 根火柴棒才可演示这一时刻四颗人造卫星的相互位置. 例2 一个蓄水池分为深水区及浅水区，图 7-6 是该蓄 水池的纵断面示意图，它的横断面是矩形. 如果以固定流速 h 向空池内注水，在图 7-7 中，能反映池内最大水深 h 与注水 图 7-6 时间 t 之间函数关系的图象是哪一个？ h h h h O t O t O t O t （A） （B） （C） （D） 图 7-7 解 根据这个蓄水池纵断面和横断面的形状，可以 ② 想象这个蓄水池的形状是由长方体 ① 和长方体 ② 组合而成 （图 7-8），长方体 ② 在长方体 ① 的上方，且 ② 的底面积 ① 大于 ① 的底面积. 注水过程中，水先注入 ①，随着注水时 图 7-8 间 t 的增加，当水注满长方体 ①，开始注入长方体 ② 时，由于注水速度固定， 水面高度 h 上升的速度比向 ① 注水时变慢. 所以在图象中，此时应出现一个分段 点. 也就是说，在整个注水过程中，最大水深 h 是注水时间 t 的分段函数. 由此可见，图象（C）能够反映 h 与 t 之间的函数关系. 而图象（A）表示注 水时，水深 h 上升的速度始终是均匀的；图象（B）表示当水注满长方体 ① 后， 水面高度不再上升；图象（D）表示当水注满长方体 ① 后，水面高度上升的速 度加快，因此都不正确. 挑战自我 你能数出图 7-2 中煤精组印共有多少条棱、多少个顶点吗？与同学交流. 练 习 1. 用一个平面截一个球，所得的截面是什么形状的图形？ 2. 用一个平面截一个正方体，所得到的截面可能是什么形状？ 1327.1 几种常见的几何体 习题7.1 复习与巩固 1. 把一个长、宽、高分别是 3a，2a，a 的礼品盒打包，打包的 方式如图所示. 打包带的长度至少是多少？ 2. 下图第二排中的立体图形分别是由第一排的哪个平面图形旋转 （第 1 题） 后得到？请用线分别把它们连起来. （第 2 题） 3. 选择题：在雨地里放置一个无盖的容器，如果雨水均匀地落入容器，容器内水面高度 h与时间 t 的函数图象如图所示，那么这个容器的形状可能是（ ）. （A） （B） （C） （D） （第 3 题） 拓展与延伸 4. 大刚放学后发现没有把家庭作业中的一个图形画下来， 便打电话向小亮求助，小亮面对图中的立体图形应怎样 向大刚描述？ （第 4 题） 133第7章 空间图形的初步认识 探索与创新 5. 瑞士数学家欧拉（Euler，1707-1783）发现并证明了多面体的顶点数 V、面数 F、 棱数 E 之间存在一个有趣的关系式，这个关系式被后人称为欧拉公式. 观察下面画 出的多面体，解答下列问题： 四面体 长方体 八面体 五棱柱 （第 5 题） （1）完成表格中的空格： 多面体 顶点数 V 面数 F 棱数 E 四面体 4 4 长方体 8 6 12 八面体 8 12 五棱柱 10 7 你发现各个多面体顶点数 V、面数 F、棱数 E 之间存在的关系式是 __________； （2）一个多面体的面数比顶点数多 8，且有 30 条棱，这个多面体是几面体？ （3）一个玻璃饰品的外形是多面体，它的表面是由三角形和八边形两种多边形围 成，且一共有 24 个顶点，每个顶点处都有 3 条棱. 这个玻璃饰品是几面体？ 7.2 直棱柱的侧面展开图 生活中，有许多物体呈棱柱的形状（图 7-9）. 你还能举出棱柱形状的物体 的例子吗？ 笔筒 石料 三棱镜 图 7-9 1347.2 直棱柱的侧面展开图 棱柱分为直棱柱和斜棱柱（图 7-10），本书只研究直棱柱. 直棱柱 斜棱柱 图 7-10 观察与思考 （1）长方体是直棱柱吗？在如图 7-11 所示的长方体 B' C' 中，ABCD 和A′B′C′D′分别是它的下底面和上底面，它们 A' D' B C 的形状和大小有什么关系？ A D （2）在如图 7-12 所示的直棱柱中，五边形 A'B'C'D'E' 图 7-11 是它的上底面. 你能说出它的下底面是几边形吗？它的上、下底面的形状和大小 有什么关系？ 直棱柱的底面是几边形就叫做直几棱柱，如长方体也叫做直四棱柱，图 7-12 中的棱柱叫做直五棱柱，图 7-10 中的直棱柱叫做直六棱柱. 在棱柱中，除 上、下底面以外，其他的面叫做它的侧面. 相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的 侧棱. （3）长方体有几个侧面？各个侧面都是什么图形？长方体有几条侧棱？相 邻的两条侧棱有什么关系？直五棱柱和直六棱柱呢？ 由（1）（2）（3），你能概括出直棱柱有哪些性质吗？ 直棱柱的上、下底面是全等 的多边形，各个侧面都是矩形. 侧棱数、侧面数都等于底面的边 数，相邻的两条侧棱平行且相等. 图 7-12 （4）图 7-13 中的“六扇屏”是由 6 个全等的矩形屏扇依次相连而成的，如 果将它按照图 7-14 中所示的方式围起来，你发现这 6 个矩形围成一个怎样的立 135第7章 空间图形的初步认识 体图形？如果把一个直六棱柱沿它的一条侧棱剪开，再将各个侧面铺在同一个 平面内，得到一个怎样的图形？ 图 7-13 图 7-14 同样地，把一个直三棱柱沿着它的一条侧棱剪开，将各个侧面铺在同一个 平面内，得到一个怎样的图形？直四棱柱、直五棱柱呢？ 一般地，将一个直棱柱沿它的一条侧棱展开，将各个侧面铺在同一个平面 内，所得到的图形叫做这个直棱柱的侧面展开图. 直棱柱的侧面展开图是矩形， 矩形的宽等于直棱柱的侧棱长，矩形的长等于直棱柱底面的周长. （5）如果用 c 表示直棱柱的侧棱长，l 表示直棱柱底面的周长，S 表示直棱 侧 柱的侧面积，你能写出直棱柱侧面积的计算公式吗？ 例1 已知直四棱柱的底面是菱形，它的一条边长为 3，一个角为 60°， 直四棱柱的侧棱长为 6. 求出它的表面积. 解 由题意可知，该直四棱柱的侧面展开图是一个宽为 6、长为 12 的矩形. ∴ S = 6×12 = 72. 侧 该直四棱柱的底面 ABCD 如图 7-15 所示. 已 知 AB = 3，∠ABC = 60°，所以 AC = AB = 3， 3 3 BO = AB·cos∠ABO = 3·cos30°= . 2 图 7-15 1 1 9 3 ∴ S = （AC·BD）= （3×3 3）= . 菱形ABCD 2 2 2 ∴ S = S + 2S = 72 + 9 3. 表 侧 菱形ABCD 挑战自我 有一块 50 cm×30 cm 的铁片，准备用它加工一些棱长为 10 cm 的无盖正方 体铁盒，请画图说明怎样下料才能使加工成的盒子数最多，最多可加工几个？ 1367.2 直棱柱的侧面展开图 练 习 1. 图 ① 是一个正方体，各个面上按图 ① 所示分别标有字母 A，B，C，D，E，F . 如果 将这个正方体沿它的某些棱剪开，然后各个面都铺在同一个平面上，能得到图 ② 吗？如果能，请在图 ② 中的各个面上分别填上相应的字母. 如果有几种不同的填法， 请请画画图图说说明明. ① ② （第 1 题） （第 2 题） 2. 如图，一个无盖的长方体盒子表面积为 S，底面为边长为 a 的正方形. 求它的体积. 例2 某种长方体形肥皂在出厂前按每组 4 块进行打包，肥皂的尺寸为 3 cm×6 cm×9 cm. （1）你能设计出几种打包方式？画图说明. （2）在你设计的打包方式中，哪一种方式打包最节省包装材料？ 解 （1）例如有以下 6 种不同的打包方式，图示如下： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 图 7-16 （2）分别计算图 7-16 ① ~ ⑥ 长方体的表面积，得 ① 2×（4×6×9）+ 2×（4×3×9）+ 2×（3×6）= 684（cm2）； ② 2×（4×6×9）+ 2×（3×9）+ 2×（4×3×6）= 630（cm2）； ③ 2×（4×6×9）+ 2×（2×3×9）+ 2×（2×3×6）= 612（cm2）； ④ 2×（2×6×9）+ 2×（2×3×9）+ 2×（4×3×6）= 468（cm2）； ⑤ 2×（6×9）+ 2×（4×3×9）+ 2×（4×3×6）= 468（cm2）； 137第7章 空间图形的初步认识 ⑥ 2×（2×6×9）+ 2×（4×3×9）+ 2×（2×3×6）= 504（cm2）. 在上述长方体的表面积中，长方体 ④ 和 ⑤ 的表面积最小，所以按图 7-16 ④ 或 ⑤ 所示的方式包装，最节省包装材料. 例3 如图 7-17，一只苍蝇停落在一个无盖的棱长为 1 m 的正方体形箱子 的顶点 D′处. 藏在箱子底部的点 B 处的一只蜘蛛发现了这只苍蝇. （1）如果蜘蛛沿着 BB′-B'A′-A'D′的路径去捕捉苍 蝇，需要爬行多少路程？ （2）如果蜘蛛沿着 BA′-A'D′的路径去捕捉苍蝇，需 要爬行多少路程？ （3）蜘蛛沿箱子内壁上的哪条路径去捕捉苍蝇，爬行 的路程最短？最短路程是多少？ 图 7-17 解 （1）如图 7-17，BB′，B'A′，A'D′是该正方体的三条棱， 所以，路径BB′-B'A′-A'D′的长为 BB′+ B'A′+ A'D′= 1 + 1 + 1 = 3（m）. 即这时蜘蛛需要爬行 3 m 长的路程. （2）如图 7-17，BA′是正方形 ABB'A′的对角线. 在 Rt△A'AB 中，由勾股定 理，得 BA′= AB2+AA′2 = 12+12 = 2（m）. 所以，路径BA′- A'D′的长为 BA′+ A'D′=（ 2 + 1）（m）. 即这时蜘蛛需要爬行（ 2 + 1）m 长的路程. （3）将这个箱子的侧面沿侧棱 CC′展开，便得到这个箱子的侧面展开图 （图 7-18）. 图 7-18 图 7-18 中，由基本事实“两点之间，线段最短”可知，B，D′两点的最短 路径为线段 BD′，设 BD′与 AA′的交点为 E，由 Rt△EAB ≌ Rt△EA'D′，可知 AE = A'E，即 E 为 AA′的中点. 1387.2 直棱柱的侧面展开图 如图 7-19，取 AA′的中点 E，分别连接 BE，ED′，此时，路径 BE—ED′的 长（图 7-18）为 BD′= BD2+DD′2 = 22+12 = 5（m）. 所以，蜘蛛沿路径 BE—ED′爬行的路径最短，最短路程为 5 m. 通过几何体的表面展开 图，可以把空间图形的问题转 化为平面图形的问题来解决. 图 7-19 你还能画出从 B 点沿箱子内壁到达 D′点的另外一条最短路径吗？ 智趣园 杜登尼的“苍蝇和蜘蛛问题” 杜登尼（Dudeney，1857—1930）是英国著名的谜题创作者，被誉为近代趣味数学 的开创人之一. 他也提出了一个“苍蝇和蜘蛛问题”，并刊登在 1903 年的英国报纸上. 据 说，这道谜题对世界难题爱好者的挑战长达四分之三世纪. 杜登尼的“苍蝇和蜘蛛问题”是这样的：一个长方体形的房 30 间，宽和高都是 12 英尺 ，长为 30 英尺. 有一只蜘蛛在朝前一面正 B 方形内墙壁的中间，距离天花板 1 英尺的点 A 处，一只苍蝇停在 A 12 对面内墙壁的中间，距离地板 1 英尺的点 B 处（图 7-20）. 为了捉 到苍蝇，蜘蛛沿墙壁或天花板或地板爬行的最短路径是怎样的？ 12 图 7-20 最短路径的长是多少？ 你可能一眼就看出一条貌似最短的路径：从点 A 向上，沿天花板到达点 B 的正上 方，再沿对面墙壁向下到达点 B . 这条路径长为1 + 30 + 11 = 42（英尺）. 还有一条路径是 从点 A 向下，沿地板到达点 B 的正下方，沿对面墙向上到达点 B . 这条路径也是 42 英尺. 你千万不要忙着下结论：最短路径长为 42 英尺. 这道题的有趣和奇妙之处就在于真正的 最短的路径恰恰不是你想的这两条！ 设想把房间的六个面按图 7-21 的方式展开到同一个平面上，从图中可以看出， 1 英尺是英制长度单位，1 英尺 = 0.304 8 m . 139第7章 空间图形的初步认识 AC = 1 + 30 + 1 = 32，BC = 6 + 12 + 6 = 24，AB = 322+242 = 40（英尺）. 12 地 板 B 12 12 显然，这条路径比你想的两条路径要短. 这 时，蜘蛛爬行的实际路径是从点 A 沿点 A 所在正 12 左 墙 12 方形墙面向左上方到天花板，然后沿天花板向左 前方爬行至左墙，再沿左墙斜下至地板，又沿地 12 A C 天 花 板 板向右前方爬到对面墙壁再沿对面墙壁斜上到达 点 B. 这就是蜘蛛捉到苍蝇的最短路径，你能在图 12 右 墙 7-20 中把它画出来吗？ 30 这个长方体的表面展开图有多种不同的形 图 7-21 式，图 7-22 是其中的几种. 在每个展开图中，连 接 AB 都可以得到一条路径，但这些路径的长都大于 40 英尺. 因此你可以体会该题的难 度，并感受到在寻求几何体表面上两点间的最短路径问题的答案时，选择最合适的表面 展开图是多么重要！ 地 板 地 板 地 板 左 墙 左 墙 B 左 墙 A 天花板 B A 天花板 天花板 右 墙 右 墙 A 右 墙 B ① ② ③ 地 板 地 板 B 地 板 左 墙 左 墙 A 左 墙 B 天花板 B 天花板 天花板 A 右 墙 A 右 墙 右 墙 ④ ⑤ ⑥ 图 7-22 练 习 A 1. 如图，已知直三棱柱中，AB = 8 cm，BC = 10 cm，AC = 6 cm， B C 直三棱柱的侧棱 AA′= 15 cm. 求该直三棱柱的表面积. 2. 已知一个长方体长为 4 cm，宽为 5 cm，高为 5 cm，求： A′ （1）长方体所有棱长之和； （2）长方体的表面积. B′ C′ （第 1 题） 1407.2 直棱柱的侧面展开图 习题7.2 复习与巩固 1.（1）如图是一个直三棱柱的表面展开图，其中用粗实线标出的各边 分别与哪条边原来是同一条棱？请你在图中用不同颜色的彩笔 把它们分别标出来； （2）如果这个直三棱柱的底面是边长为 5 cm 的正三角形，侧棱长 为 10 cm. 这个三棱柱的表面积是多少？ （第 1（1）题） 2. 一个直四棱柱的侧面展开图是边长为 40 cm 的正方形，它的底面也是正方形. 求这个 直四棱柱的表面积. 3. 有两块规格为 21 cm×15 cm 的矩形纸板，分别以它的长和宽作为底面的周长，围成 两个底面是正三角形的直三棱柱的侧面. 哪种围法围成的棱柱的体积较大？ 4. 如图是一个蔬菜种植大棚的示意图. 其中，AB = 3 m， A 1 BC = 6 m，AA = 28 m，∠BCD = 45°，AB⊥BC，DE 1 D 1 A = 1 m，面 ADD A 和 DCC D 都用钢架制成并用塑料 B 1 1 1 1 F 1 D C 1 薄膜覆盖. 已知墙体及其他设备的造价为 3 200 元，钢 B 架及塑料薄膜的平均价格为 50 元/m2，修建一个这样 E C 的蔬菜大棚总造价为多少元（精确到 1 元）？ （第 4 题） 拓展与延伸 5. 为了计算图中几何体的表面积，除已标出的数据 a，b，c 外，你认为还需要补充哪 些数据？用你补充的数据求出它的表面积. 对比棱长分别为 a，b，c 的长方体的表面 积，你发现了什么？ 6. 有人在古玩市场出售一只被称为是印加遗物的“护身符”（如图），这个环状物外形 可以看作是从一个直六棱柱形中挖去一个直六棱柱后的剩余部分，两个直六棱柱的底 面都是正六边形，其尺寸如图所示. 据记载，这种印加遗物的体积应当等于它中间被挖 去的直六棱柱的体积，否则就是赝品. 你能帮助购买者鉴定它的真伪吗？ 2 cm 4 cm 6 cm （第 5 题） （第 6 题） 141第7章 空间图形的初步认识 7. 如图，图 ① 是由五个边长为 1 的正方形纸片连接而成的，过点 A 的直线 MN 分别与 1 BC ，BE 交于点 M，N，且图 ① 被直线 MN 分为面积相等的上、下两部分. 1 （E） （F） ① ② （第 7 题） 1 1 （1）求 + 的值； BM BN （2）分别求线段 BM，BN 的长； （3）将图 ① 按图 ② 所示的方式折成一个无盖的正方体纸盒，使点 B 与点 E 重合， 点 B 与点 F 重合，求图 ② 中点 M 与点 N 之间的距离. 1 探索与创新 8. 一个可用电加热的浴盆呈直六棱柱形，它的底面是边长为 0.8 m 的正六边形，浴盆中已 放有高为 0.8 m 的水，水温为 32 ℃. 在说明书的表格中列出了不同体积的水升温 10 ℃ 需 要的时间. 请计算要将这些水加热至 42℃ 时所需要的大约时间（精确到 1 min）. 温度升高10 ℃所需的时间 水的体积 / L 1 000 1 100 1 200 1 300 1 400 1 500 1 600 1 700 加热时间 / min 11 12 13 14 15 16 17 18 9.（1）收集一些商品的长方体形的空包装纸盒，分别计算它们的体积和表面积； （2）将这些盒子沿它的某些棱拆开，观察它们是怎样裁剪和粘接起来的. 选择其中的 两个盒子按适当的比例尺画出它们的表面展开图； （3）取一块 A4 纸大小的矩形纸板，根据（2）中的发现，裁剪、折叠出一个无盖的 长方体形的盒子（粘接部分不计），并计算出它的体积； （4）与同学比较谁制作的纸盒体积较大，分析怎样能作一个体积更大一些的长方体形 的盒子. 1427.3 圆柱的侧面展开图 7.3 圆柱的侧面展开图 观察与思考 如图 7-23 ①，将矩形 OAA'O' 以它的一条边 OO′为轴旋转一周， 所得到的立体图形是一个圆柱. 由 矩形的边 OA，O′A′旋转所成的面 ① ② 分别是圆柱的下底面与上底面，矩 图 7-23 形的边 AA′旋转所成的面是圆柱的侧面. 线段 AA′叫做圆柱的母线. 思考下面的问题： （1）圆柱的高与母线有什么关系？ （2）将圆柱的侧面沿它的母线剪开，然后铺在平面上，得到一个怎样的图形 （图 7-23 ②）？ （3）比较圆柱和它的侧面展开图，你发现侧面展开图的两边与圆柱的底面 周长和母线有怎样的关系？ （4）由（3），如果已知圆柱的底面圆的半径为 r，母线长为 l，那么圆柱的 侧面积等于多少？ 圆柱的侧面展开图是一个矩形，它的一边是圆柱的母线，另一边的长等 于底面圆的周长. 圆柱侧面积等于圆柱的侧面展开图的面积，即 S = 2πrl，其 侧 中 r 是圆柱的底面半径，l 是圆柱的母线长. 例1 如图 7-24，要用钢板制作一个无盖的圆柱形水 箱，它的高为 2.5 m、容积为 10 m3 . 求需用钢板的面积（不 计加工余量， 精确到 0.1 m2）. 解 由题意可知，h = 2.5 m，V = 10 m3 . 设水箱底面 半径为 r（m），由 V = S ·h = πr2h，得 图 7-24 底 143第7章 空间图形的初步认识 V 10 r = ≈ ≈ 1.13（m）. πh 3.14×2.5 S = 2πrh ≈ 2×3.14×1.13×2.5 ≈ 17.75（m2）. 侧 S = πr2 ≈ 3.14×1.132 ≈ 4.01（m2）. 底 S = S + S ≈ 17.75 + 4.01 ≈ 21.8（m2）. 表 侧 底 所以，共需钢板约 21.8 m2 . 例2 如图 7-25，在一个高与底面直径相等的圆柱内放 4 置一个体积最大的球. 已知球的体积公式为 V = πr3，表面 球 3 积公式为 S = 4πr2，其中 r 为球的半径. 求该球与它的外切圆 球 柱的体积的比及它们的表面积的比. 图 7-25 解 设圆柱的体积为 V ，圆柱的全面积为 S ，圆柱的底面半径为 圆柱 圆柱 r，那么圆柱的高等于 2r，圆柱内放置的体积最大的球的半径等于 r . 4 ∵ V = πr2·2r = 2πr3， V = πr3， 圆柱 球 3 4 πr3 V 3 2 ∴ 球 = = . V 2πr3 3 圆柱 ∵ S = 2S + S = 2πr·2r + 2πr2 = 6πr2， S = 4πr2， 圆柱 底 侧 球 S 4πr2 2 ∴ 球 = = . S 6πr2 3 圆柱 2 由例 2 可知，球的体积等于它的外切圆柱的体积的 ；球的表面积也等于它 3 2 的外切圆柱表面积的 . 这就是古希腊数学家阿基米德在 2 300 年前发现并证明 3 的“圆柱容球定理”. 史海漫游 “数学之神”阿基米德 阿基米德（Archimedes，前 287 ~ 前 212）被认为是人类文明史上与牛顿、高斯并 列的三位最伟大的数学家之一，素有“数学之神”的美誉. 阿基米德出生于古希腊西西 里岛的叙拉古，早年曾在位于埃及的当时世界上最大的科学文化中心亚历山大城跟随欧 几里得的弟子学习数学. 1447.3 圆柱的侧面展开图 阿基米德的研究范围非常广泛，他在数学、天文学、物理学 诸领域均有卓著贡献，仅保留下的专著就有 10 种之多. 他利用计算 22 223 圆的外切与内接正 96 边形周长求得圆周率在 和 之间，即在 7 71 3.142 9 和 3.140 8 之间. 这个结果在数学史上是最早的. 他用原始的积 分法的思想计算出球和柱体的体积及表面积，论述了阿基米德螺线 引出的面积和切线问题，发现并证明了抛物线与直线围成弓形的面 阿基米德 积等一系列定理. 他的关于抛物线、双曲线和椭圆旋转所形成的立体 图形的许多研究结果，成为微积分学的早期萌芽. 在天文学上，他发明并制作了天象仪. 更 可贵的是阿基米德提出了地球环绕太阳旋转的观点，先于哥白尼一千八百年. 在物理学方 面，阿基米德发现并创立了著名的浮力原理、杠杆定律、平面图形的重心求法等. 值得一提的是，圆柱容球定理是阿基米德的最得意之作，所以在他去世后，人们在 他的墓碑上刻绘了“圆柱容球”的几何图形（图 7-25）. 练 习 1. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，求这个圆柱的表面积与侧面积之比. 2. 已知圆柱侧面积为 32π cm2，母线长 4 cm，求它的底面半径. 例3 如图 7-26，一个圆柱体的底面周长为 24 cm， 母线 AB 为 4 cm，BC 是上底的直径. 一只蚂蚁从下底面的点 A 处出发爬行到上底面的点 C 处. D （1）如果它沿圆柱体的侧面爬行，其最短路径长是多 图 7-26 少（精确到 0.1 cm）？ （2）如果将蚂蚁“沿圆柱体的侧面”改为“沿圆柱体的表面”，（1）中的答 案还是最短路径吗？ （3）当圆柱体底面半径 r 变化，而母线长 h 不变时，试比较沿圆柱体侧面由 A 处爬行到 C 处的最短路径与沿母线 AB 再沿上底面直径 BC 爬行到 C 处的路径的 长短. 需要通过侧面展开图，转化 为平面图形问题来解决. 145第7章 空间图形的初步认识 解 （1）将圆柱体的侧面沿母线 AB 剪开，得到它的侧面展开图矩形 ABB A （图 7-27）. 1 1 由已知，BB = 24 cm . 1 1 ∵ BC = BB ， 2 1 ∴ BC = 12 cm. D 图 7-27 ∵ 在 Rt△ABC 中，AB = 4 cm. 由勾股定理，得 AC = AB2+BC2 = 42+122 ≈ 12.6（cm）. 由于圆柱的侧面展开图是平面图形，A，C 是该平面内 的两点，在 A，C 两点的连线中，线段 AC 最短，所以，蚂 蚁从点A沿着圆柱体侧面爬行到点 C时，如果沿着路径 AC 爬行（图 7-28），爬行的路径最短，最短路径约为 12.6 cm. D （2）因为底面圆的周长为 24 cm，所以底面圆的直径 图 7-28 24 BC = ≈ 7.6. π 蚂蚁由 A 处先沿母线 AB 爬到 B 处，再沿上底面直径 BC 爬到 C 的路径长为 AB + BC ≈ 4 + 7.6 = 11.6 < 12.6. 所以，如果将蚂蚁“沿圆柱侧面”改为“沿圆柱的表面”，（1）中的答案. 不再是最短路径. （3）当圆柱体底面半径 r 变化，圆柱体母线长 h 不变时，设沿圆柱体侧面从 A 处到 C 处的最短路径长为 l ，由图 7-27，可知 1 l = h2+π2r2 . 1 设路径 A → B → C 的长为 l ，则 2 l = h + 2r. 2 设 d = l2- l2，则 d 1 2 d =（h2 + π2r2）-（h + 2r）2 =（π2 - 4）r2 - 4hr . 其中 h 为常量，d 是 r 的二次函数，它的图象（图 O A r 4h 4h 7-29）与 r 轴交于点 O（0，0）和点 A（ ，0）. π2-4 π2-4 图 7-29 1464h （1）当 0 < r < 时，d < 0，即 l 2 < l 2，此时 l < l； π2-4 1 2 1 2 4h （2）当 r = 时，d = 0，此时 l = l； π2-4 1 2 4h （3）当 r > 时，d > 0，即 l 2 > l 2，此时 l > l . π2-4 1 2 1 2 挑战自我 （1）在例 3 中，如果蚂蚁从点 A 出发沿圆柱的侧面爬行到点 C，再沿侧面继 续爬回到点 A，最短路径的长是多少？ （2）在例 3 中，如果蚂蚁从点 A 出发沿圆柱的侧面爬行穿过母线 CD 后到达 点 B，最短路径的长是多少？ 智趣园 圆柱螺旋线 有一道我国古代数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠 绕而上，七周而达其顶，问葛藤之长几何？”你能解决这个问题吗？ A D B C ① ② 图 7-30 147 尺02 7.3 圆柱的侧面展开图 21尺 图 7-31 把枯木看作是一个圆柱体（图7-30 ①），它的底面周长为 3 尺. 侧面展开图是一个 宽 3 尺、长 20尺的矩形. 将 7 个这样的矩形按图 7-30 ② 中的方式并排而放，得到一个长 21 尺、宽 20 尺的矩形 ABCD，于是对角线 BD 的长即为葛藤的长. BD = 212+202 = 29. 所以葛藤的长为 29 尺. 如图 7-31，把一张直角三角形的纸卷到一个圆筒上，直角三角形的斜边沿圆柱面第7章 空间图形的初步认识 形成的空间曲线叫做圆柱螺旋线. 葛藤在枯木上缠绕形成的曲线正是一条圆柱螺旋线. 圆柱螺旋线在生活和生产实际中的应用很广泛. 例如弹簧、机器零件中的螺杠的螺 纹、楼房中旋转形的楼梯的形状都是圆柱螺旋线（图 7-32）. 弹簧 螺杠 螺旋楼梯 DNA双螺旋结构 图 7-32 图 7-33 DNA 是一种纪录着生物遗传信息的大生物分子，它存在于一切生物体的细胞核内. 科学家们发现 DNA 是双螺旋结构（图 7-33），它的形状是两条圆柱螺旋线. 练 习 1. 已知圆柱的底面半径为 5 cm、高为 10 cm，BD 为下底面的一条直 径，AB，CD 为母线，求圆柱侧面上由点 A 沿圆柱侧面到下底面 BD 的中点 F 的最短路径长（精确到 0.1 cm）. （第 1 题） 习题7.3 复习与巩固 1. 圆柱形油桶的高为 1.2 m、底面半径为 0.4 m，要将 100 个这种油桶的外侧面刷上防锈 漆，每平方米费用是 2 元，总费用大约多少元（精确到 1 元）. 2. 两个圆柱的高相等，其中一个圆柱的底面积与另一个圆柱的底面积的比为 2∶1，求 这两个圆柱的侧面积的比. 3. 一个长 4 cm、宽 3 cm 的矩形分别绕它的长和宽所在的直线旋转一周，所得到的两个 圆柱体的侧面积相等吗？体积相等吗？如果不相等，哪个大？ 4. 用一张边长为 20 cm 的正方形硬纸片围成一个圆柱形的侧面，求这个圆柱的底面直径 （精确到 0.1 cm）. 1487.4 圆锥的侧面展开图 拓展与延伸 5. 如图，经过圆柱形木块的轴将它剖开，剖面是矩形 ABCD. 已知 AD = 10 cm，AB = 15 cm，求“半个”圆柱形木块 的表面积（精确到 0.1 cm2）. 6. 圆柱形易拉罐的母线长为 10 cm，侧壁厚度和底部厚度 都是 0.02 cm，顶部厚部是 0.06 cm . 设易拉罐底面半径 （第 5 题） 为 x（cm），制造一只易拉罐用铝 y（g），铝的比重为 2.7 g/cm3，求 y 与 x 之间的函数表达式. 探索与创新 7. 如图，一个透明的无盖圆柱筒形容器的底面直径为 10 cm，在其内 壁距上沿 5 cm 处的点 B 处有一滴蜂蜜，在外壁点 B 正对着的另一 面距上沿 8 cm 的点 A 处有一只甲虫. 如果筒壁厚度忽略不计，甲 虫由点 A 爬到点 B 处，至少要爬行多长的路程（精确到 0.1 cm）. （第 7 题） 7.4 圆锥的侧面展开图 观察与思考 如图 7-34 ①，将 Rt△OAB 以它一条直角边 OA 为轴旋转一周，所得到的立 体图形是一个圆锥. 另一条直角边 OB 旋转所成的面是圆锥的底面，斜边 AB 旋转 所成的面是圆锥的侧面，点 A 叫做圆锥的顶点，线段 AB 叫做圆锥的母线，AO 叫做圆锥的高. ① ② 图 7-34 149第7章 空间图形的初步认识 思考下面的问题： （1）圆锥的高、底面半径与母线之间有什么关系？ （2）将圆锥的侧面沿母线剪开，然后铺在平面上，得到一个怎样的图形（图 7-34 ② ）？ （3）比较圆锥和它的侧面展开图，你发现圆锥的母线与侧面展开图的半径 有什么关系？圆锥的底面周长与侧面展开图中扇形的弧长有怎样的关系？ （4）由（3），如果已知圆锥的底面半径为 r、母线长为 l，那么圆锥的侧面 积等于多少？ 圆锥的侧面展开图是以圆锥的顶点为圆心、以母线为半径的扇形，扇 形的弧长等于圆锥底面的圆周长. 圆锥侧面积等于圆锥的侧面展开图的面 积，即 S = 1 cl = πrl，其中 c 是圆锥的底面圆的周长，r 是底面圆的半径，l 侧 2 是圆锥的母线长. 例1 如图 7-35，已知圆锥形工件的底面直径是 80 cm、母线长 50 cm. （1）求侧面展开图的圆心角，并画出侧面展开图； （2）求圆锥的侧面积（精确到 1 cm2）. 解 （1）由题意可知，圆锥的侧面展开图的扇形半径为 50 cm，扇形弧 长为 80π cm. m 50 c 288° m 80 cm 50 c 图 7-35 图 7-36 180×80π ∴ 扇形圆心角的度数 n = = 288（度）. 50π 画出半径为 50 cm，圆心角为 288°的扇形，便得到该圆锥的侧面展开图 （图 7-36）. 1 （2）S = ×50×80π ≈ 6 283. 侧 2 所以，这个圆锥的侧面积约为 6 283 cm2 . 1507.4 圆锥的侧面展开图 例2 如图 7-37，已知圆锥的底面直径为 2、高为 2 2 . 求圆锥的母线长及表面积. A 解 连接圆锥的顶点 A 与底面圆心 O . 在Rt△AOB 中，由题意可知 AO = 2 2，OB = 1. B C O 由勾股定理，得 图 7-37 AB = AO2+OB2 = （2 2）2+12 = 9 = 3. 1 1 S = cl = ×2π×3 = 3π， 侧 2 2 S = πr2 = π×12 = π . 底 ∴S = S + S = 3π + π = 4π . 表 侧 底 所以，这个圆锥的母线长为 3、表面积为 4π. 练 习 1. 已知圆锥的侧面积为 14π，母线长为 7，求圆锥的表面积. 2. 已知圆锥的底面半径为 5 cm，母线长为 9 cm，求它的侧面展开图的圆心角及侧面积. 例3 如图 7-38，将半径为 1、圆心角为 90°的扇形 薄铁片 OAB 卷成一个圆锥的侧面，小亮认为卷成后圆锥的 高等于扇形的圆心 O 到弦 AB 的距离 OC. 小亮的看法正确 吗？如果不正确，圆锥的高与 OC 哪个大？ 解 如图 7-38，在 Rt△OAC 中， 图 7-38 OA = 1，∠AOC = 45°， 2 ∴ OC = OA·cos∠AOC = . 2 扇形 OAB 所围成圆锥的侧面如图 7-39 所示，O′为底面的圆心，O′A 为底 面的半径，OO′为圆锥的高，母线 OA = 1. 由于 OC 在扇形的侧面上，因此 OC 不是圆锥的高 OO′，小亮的看法不正确. 151第7章 空间图形的初步认识 ⌒ ∵ 底面 ⊙O′的周长等于图 7-38 中 AB 的长， O 1 ∴ 2π·O′A = ×2π×1， 4 1 解得 O′A = . 4 （B）A 在 Rt△OO′A 中， O′ 图 7-39 圆锥的高 OO′= OA2-O′A2 = 12-（ 1 ）2 = 15 . 4 4 2 15 ∵ < ， 2 4 ∴ OC < OO′. 例4 如图 7-40，一顶帐篷的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形. 已知圆 柱的底面半径为 2.4 m、母线长 1.6 m，圆锥的高为 1 m. （1）制作一顶这样的帐篷（接缝不计）大约需要用多少帆布（精确到 0.1 m2）？ （2）帐篷的容积大约是多少（精确到 0.1 m3）？ 解 （1）圆柱底面周长 l = 2π×2.4 ≈ 15.07， ∴ S = lh ≈ 15.07×1.6 = 24.11 . 圆柱侧 在 Rt△SOD 中，SO = 1，OD = 2.4，由勾股定理，得 S SD = SO2+OD2 = 12+2.42 = 2.6. D O C 1 1 ∴ S = ·l·SD ≈ ×15.07×2.6 ≈ 19.59. 圆锥侧 2 2 A O′ ∴ S + S ≈ 24.11 + 19.59 = 43.7. 圆柱侧 圆锥侧 图 7-40 所以，制作一顶这样的帐篷大约需要用帆布 43.7 m2. （2）V = πr2h ≈ 3.14×2.42×1.6 ≈ 28.95. 圆柱 1 1 V = πr2h ≈ ×3.14×2.42×1 ≈ 6.03. 圆锥 3 3 ∴ V + V ≈ 28.95 + 6.03 ≈ 35.0. 圆柱 圆柱 所以，帐篷的容积大约 35.0 m3 . 1527.4 圆锥的侧面展开图 练 习 1. 选择题：如图，左边的圆锥的侧面积最接近右边的圆柱（ ）的侧面积. 9 9 9 5 5 6 2 6 3 6 （A） （B） （C） （D） （第 1 题） 2. 一个等腰直角三角形的三角尺，它的斜边长为 8 cm，以斜边所在直线为轴旋转一周， 求得到的几何体的侧面积（精确到 0.1 cm2）. 习题7.4 复习与巩固 1. 圆锥的底面半径为 40 cm、高为 60 cm，求它的侧面积和表面积（精确到 0.1 cm2）. 2. 圆锥的侧面展开图是直径为 10 cm 的半圆，求圆锥的体积. 3. 如图，圆锥的侧面展开图是圆心角为 120°、半径为 30 cm 的扇形. 求这个圆锥的表面积（精确到 0.1 cm2）和体积 （精确到 0.1 cm3）. 4. 已知扇形圆心角为 240°、母线长为 x，将扇形围成一个 30 cm 120° 圆锥的侧面，写出这个圆锥底面面积 S 与母线长 x 之间 （第 3 题） 的函数表达式 . 5. 直角三角形的两条直角边的长分别为 3和 4，分别以它们所在的直线 为轴旋转一周，求所得到的立体图形的表面积. 6. 如图，一个圆锥内接于一个圆柱，它们的底面半径为 r、高为 h，求 圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比以及圆柱的体积与圆锥体积之比. 当 h = 2r 时，这两个比值各是多少？ （第 6 题） 拓展与延伸 7. 如图 ①，圆锥的底面半径为 28 cm、高为 60 cm . 将两个这样的圆锥的侧面展开图粘成 153第7章 空间图形的初步认识 一个扇形（图 ②），再把它卷成一个新圆锥的侧面，这个新圆锥的体积是多少（精确 到 0.1 cm3）？ O 0 1 A 28 cm F E 10 （第 8 题） 8. 如图是一个底面直径为 10，母线 OE 长也为 10 的圆锥 . A 是母线 OF 上的一点，FA = 2 . 从点 E 沿圆锥侧面到点 A 的最短路径长是多少？ 探索与创新 9. 要制作一个底面直径为 20 cm、母线长 12 cm 的圆锥形烟囱帽，现有四块矩形板料， 尺寸分别为：12 cm×35.4 cm，22.4 cm×32 cm，24 cm×22.4 cm ，24 cm×28 cm， 请从中选择大小最合适的一块. 10. 如图，有一张半径为 18 的圆形纸片，打算 从这张纸片上裁剪出一个扇形，用它制作圆 锥的侧面，再用剩下的部分剪出一个最大的 圆，作为这个圆锥的底面. 求制作出的圆锥 的表面积. （第 10 题） 回顾与总结 1. 本章学习了哪些内容？总结一下，并与同学交流. 2. 多面体是由__________围成的几何体. 直棱柱是一种特殊的多面体，它的上下底面是 ________的多边形，各个侧面都是________形. 3. 圆柱是由________绕它的________旋转而成；圆锥是由________绕它的________旋转 而成. 4. 直棱柱、圆柱、圆锥的侧面都可以展开成平面图形. 直棱柱的侧面展开图是__________________； 圆柱的侧面展开图是____________________； 圆锥的侧面展开图是____________________. 5. 利用直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，如何计算这些几何体的侧面积、表面积和体积？ 154 mc 06 ① ② （第 7 题）回顾与总结 6. 你发现直棱柱与圆柱的侧面展开图、侧面积公式及体积公式有哪些共同之处？ 7. 通过认识直棱柱、圆柱、圆锥以及它们的侧面展开图，你对平面图形与空间图形、直 与曲的相互转化有哪些认识？ 8. 通过本章的学习，你有哪些收获？ 综合练习 复习与巩固 1.（1）如图 ①，将一根长为 20 cm 的细木筷斜放在一个高 15 cm，底边半径为 4 cm 的无 盖圆柱形杯子内. 木筷露在杯子外面的部分至少有多长？ （2）如果将（1）中的筷子斜放在一个高 15 cm、底面边长为 7 cm 的正方形的无盖的长 方体的容器内（图 ②）. 木筷露在容器外面的部分至少有多长（精确到 0.1 cm）？ 1 6 2 4 5 3 ① ② （第 1 题） （第 2（1） 题） （第 2（2） 题） 2. 选择题： （1）如图，小莹要用纸片制成一个高 4 cm、底面周长为 6π cm 的圆锥形漏斗模型， 如果不计接缝和损耗，则所需纸片的面积是（ ）； （A）12π cm2 （B）15π cm2 （C）18π cm2 （D）24π cm2 （2）把如图所示的平面图形沿线折叠成一个各面带有数字的正方体，则相交于同一 个顶点的三个面上的数字之和最小是（ ）. （A）7 （B）8 （C）9 （D）10 3. 下列图形分别是哪种几何体的表面展开图？试画出这些几何体的草图. ① ② ③ ④ （第 3 题） 155第7章 空间图形的初步认识 4. 用一块边长为 60 cm 的正方形薄铝片制作一个无盖的长方体容器，使它的底面积为 1 600 cm2. （1）请你设计一种符合要求的制作方案，画出草图，并附以简单的文字说明； （2）求该容器的容积. 5. 以边长为 a 的正方形的一个顶点为圆心，以这个正方形的边长为 半径画弧，得到一个扇形. 再将这个扇形围成一个圆锥面，求圆 锥的高. 6. 锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上、下 两部分是圆锥，中间部分是一个圆柱（如图）. 按图中所标出的 尺寸，计算它的表面积（精确到 1 cm2）. （第 6 题） 拓展与延伸 7. 一个无盖的棱长为1的正方体形纸盒（图 ①）的表面展开图如图 ② 所示. C C' （1）在该展开图中，可画出的最长线段的 A B 长是多少？这样的线段可画几条？ A' （2）比较图 ① 中的∠BAC 与图 ② 中的 B' ∠B'A'C' 的大小. ① ② （第 7 题） 8. 图 ① 是三个竖直摆放的形状和大小都相同 的几何体（下底面是圆，单位：cm），将它们拼成图 ② 所示的新几何体，求新几何 体的体积. ① ② （第 8 题） 9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A = 30°，∠C = 90°，AB = 10 cm. 直线 MN 过点 C 且平行于 AB，以 MN 为轴，将 Rt△ABC 旋转一周，求所得 几何体的表面积（精确到 0.1 cm2）. 10. 如图，有一块边长为 6 cm 的正三角形纸板，在它的三个顶点处 分别截去一个全等的四边形，再沿图中的虚线折起，做成一个 无盖的直三棱柱形纸盒，使它的侧面积等于底面积. （第 9 题） 156求：（1）纸盒的高； （2）截去部分的面积与原三角形纸板面积的比. 探索与创新 （第 10 题） 11. 一个质地均匀的正方体六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，如图是这个正方体 的表面展开图. 任意抛掷这个立方体，落定后朝上一面的数恰好等于朝下一面的数的 2 倍的概率是多少？ 12. 如图是供滑板爱好者使用的 U 型场地的示意图，该场地可以看作是从一个长方体中 挖去了半个圆柱而成，它的纵断面图中半圆的半径为 4 m，其边缘 AB = CD = 20 m， 点 E 在 CD 上，CE = 2 m. 一名滑板爱好者从点 A 滑到点 E ，他滑行的最短路线的长 约为多少（精确到 0.1 m）？ 6 4 5 2 1 3 20 （第 11 题） （第 12 题） 13. 有一个底面为正三角形的直三棱柱形的包装盒如图 ① 所示. 为了生产这种包装盒， 需要先画出表面展开图纸样. （1）画出这个直三棱柱的表面展开图，并标注尺寸； （2）求出包装盒的侧面积和表面积（精确到 0.1）. 14. 从一张直径为 10 cm 的圆形纸片上剪下如图 ① 所示的纸片，再将纸片沿虚线折叠成 正方体（图 ②）形状的纸盒. 这个纸盒的表面积是多少？ 15. 如图是一张画有 12 个正方形格子的纸，每个格子中画有若干圆圈. 小亮要用这张纸 粘成一个正方体骰子模型，使正方体相对面圆圈的个数分别是 1 和 6，2 和 5，3 和 4. 你认为应剪掉哪几个正方形格子？请用笔在要剪掉的正方形格子上打“×”（不必 写理由）. 157 03 回顾与总结 （第 13 题） ① ② （第 14 题） （第 15 题）第8章 投影与识图 158159第8章 投影与识图 8.1 中心投影 生活中，我们经常看到阳光或灯光下的物体会在地面或墙壁上留下它的影 子. 你玩过手影游戏吗？在灯光下 做出某种手势，能在墙壁上看到它 的有趣的影子. 你能根据图 8-1 中的 两种手势，猜出它们的影子各像什 ① ② 么动物吗？亲自在灯光下试一试， 图 8-1 看看你猜得对不对. 不同的手势可以看作空间中的不 同物体，通过光线的照射，可以在墙 面上留下不同的影子，物体与它的影 子之间是否存在某种必然的联系呢？ 在光线的照射下，空间中的物体落在平面内的影子能够反映出该物体的形 状和大小，这种现象叫做投影（projection）现象. 人们通过大量的投影现象，总结它的几何 规律，抽象出了一种由空间图形产生平面图形 的方法——投影法. 投影法是用一组射线（称 为投射线）通过空间图形射向预定平面（称为 投影面）上而得到平面图形的方法. 图 8-2 是课堂上使用的实物投影仪，用它 实物投影仪 可以把展示台上的立体实物，通过灯泡发出的 图 8-2 光线投影到银幕上，供大家观看，这里银幕是 投影面，灯光是投射线. 1608.1 中心投影 灯泡发出的光线可以看做是从一点发出的. 在点光源下形成的物体的投影叫 做中心投影（central projection），点光源叫做投影中心. 实验与探究 在图 8-3，图 8-4 和图 8-5 中，O 是投影中心，箭头方向表示投射线的方 向，H 是投影面. （1）想一想，点 A 在投影面 H 内的中心投影是什么图形（图 8-3）？ （2）取一根细竹签，在灯泡和桌面的位置都相对固定时，观察在灯光下 竹签投到桌面上的影子，你发现竹签的影子是什么形状？它们的长是否相等？ 然后改变竹签与桌面所成的角度，你发现它的影子的形状和大小是否发生了变 化？由此你想象一条线段的中心投影会是什么图形？线段的长度与它的中心投 影的长度的大小有怎样的关系？当改变线段与投影面所成的角度时，线段的中 心投影的形状和大小是否发生改变？ ① ② 图 8-3 图 8-4 如图 8-4，当线段 AB 的端点不在同一条投射线上时（图 8-4 ①），点 A，B 在投影面 H 内的投影分别是点 A'，B'，这时线段 AB 在 H 内的投影是以 A'，B' 为 端点的线段 A'B'. 线段 A'B' 的长度可能大于AB，可能等于AB，也可能小于AB， 改变线段AB与投影面所成的角度，它的投影 A'B' 的长度会发生变化. 当线段 AB 的端点在同一条投射线上时（图 8-4 ②），点 A，B 在投影面 H 内的投影 A'，B' 重合. 这时线段 AB 在面 H 内的投影是一个点. （3）取一张平行四边形的纸片，在灯泡和桌面位置都固定时，观察纸片在 灯光下投在桌面上影子的形状，并比较纸片的面积与影子面积的大小. 由此你能 161第8章 投影与识图 想象，一个平行四边形的中心投影是什么图形？平行四边形的面积与它的中心 投影的面积的大小有怎样的关系？ 如图 8-5，当 ABCD 平行于投影面 H 时，它在面 H 内的投影是与它相似 的平行四边形，此时投影的面积大于平行四边形的面积（图 8-5 ①）；当平行四 边形倾斜于投影面时，投影 A'B'C'D' 的形状和大小会发生改变，可能是与它不相 似的四边形（图 8-5 ②），它的面积可能大于 ABCD 的面积，也可能等于或 小于矩形 ABCD 的面积，还可能是一条线段（图 8-5 ③），但不会是一个点. ① ② ③ 图 8-5 （4）当纸片与桌面平行时（图 8-5 ①），改变灯泡到纸片的距离，或纸片 与桌面间的距离，观察纸片在桌面上影子的形状和大小有什么变化. 一般地，在中心投影下，当一个平面图形与投影面平行时，这个平面图形 在投影面上的投影是与它相似的平面图形，其相似比等于投影中心到平面图形 的距离与投影中心到投影面的距离之比. 因此在实际生活中，利用中心投影的原 理，通过调整光源到被投影图形的距离或调整图形到投影面的距离，便可以按 需要的比例，在投影面上得到放大后的图形. 这就是幻灯机、投影仪的工作原 理. 挑战自我 观察图 8-5，你发现相交线的中心投影还是相交线吗？平行线的中心投影 还是平行线吗？相等线段的中心投影仍然相等吗？ 1628.1 中心投影 练 习 1. 夜间小亮在马路上按一个方向行走，当他走近一盏路灯，然后又离开这盏路灯时，小 亮影子会发生怎样的变化？ 2. 在灯光下，小亮和大刚影子等长，能说明他们身高相等吗？为什么？ 3. 一个正方形的中心投影可能是什么图形？一个正方体的中心投影一定是正方形吗？请 分别说明. 习题8.1 复习与巩固 1. 大刚站在路灯下的影子如图所示. 试用一条线段表示大 刚站立的位置. 2. 如图，设点 O 为投影中心，长度为 2 的线段 AB 平行于 它在面 H 内的投影 A'B' . 已知点 O 到直线 AB 的距离为 3，直线 AB 与 A'B' 距离为 5，求 A'B' 的长. O A B A' B' H 3. 如图，圆桌正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形的影子. 已知灯 泡距地面 3 m，桌面的直径为 2 m，桌面距地面 1 m，求地面上桌面影子的面积. 当灯 泡下落 1 m 时，地面阴影部分的面积增加多少？ 拓展与延伸 4.（1）小亮在路灯下朝着远离路灯的方向匀速行走，他头顶落在地面上的影子前进的速 度也是匀速的吗？为什么？ 163第8章 投影与识图 （2）在路灯下，如果小亮在地面上走的路线是一个正方形，他头顶的影子运动的路 线也是一个正方形吗？如果小亮走的路线是一个圆呢？ 5. 如图，O 是投影中心，线段 AB 在投影面 H 内的投影为 EG. 已知 AB∥EG，投射线 OG⊥EG，垂足为 G，AB = 4 cm，OB = 3 cm，OG = 9 cm，将线段 AB 沿投射线 OG 方向平移 3 cm 至 CD，线段 CD 的投影为 FG . 求 EF 的长. O O B A B P A C D A' P' B' H E F G H （第 5 题） （第 6 题） 探索与创新 6. 如图，O 为投影中心，P 为 AB 的中点，AB 与它在平面 H 内的投影 A'B' 不平行，点 P 的投影点 P' 是 A'B' 的中点吗 ？为什么 ？ 8.2 平行投影 阳光下，房屋、树木、石凳等物体 都可以在地面上或墙壁上找到它们的影子 （图 8-6），当你在庭院里散步时，脚下会 留下你的身影，蝴蝶在空中飞舞，地面上 也留下它的影子. 对于这些你最熟悉的投影 现象，你是否考虑过物体在阳光下与灯光 下的影子有没有不同？ 图 8-6 照射到物体上的太阳光线可以看作平行光线. 投射线互相平行的投影叫做平 行投影（parallel projection）. 1648.2 平行投影 实验与探究 在图 8-7，图 8-8 和图 8-9 中，箭头的方向表示平行投 影投射线的方向， H 是投影面. （1）想一想，在平行投影下，点 A 在投影面 H 内的投 影是什么图形（图 8-7）？ 图 8-7 （2）如果阳光斜射在地面上，一根悬空的细竹竿在地 面上的影子是什么形状？比较竹竿的长和它的影子的长，然后改变竹竿与地 面所成的角度，你发现影子的形状和大小是否会发生改变？由此你想象一条线 段的平行投影会是什么图形？经过平行投影，线段的投影的长度是否会发生改 变？当改变线段与投影面所成的角度时，线段的投影的形状和大小是否会发生 改变？ ① ② ③ ④ ⑤ 图 8-8 如图 8-8，在平行投影下，当线段 AB 平行于投影面 H 时（图 8-8 ①），点 A，B 在投影面 H 内的投影是点 A'，B'，线段 AB 的投影 A'B' 是一条线段，此时四 边形 AA'B'B 是平行四边形，因此 A'B' ∥AB. = 当线段 AB 倾斜于投影面 H 时，线段AB的投影 A'B' 仍是一条线段，此时线 段 A'B' 与 AB 不平行，线段 A'B' 可能小于线段 AB（图 8-8 ②），可能大于线段 AB （图 8-8 ③），也可能等于线段 AB（图 8-8 ④）. 当线段 AB 的端点在同一条投射线上时，点 A，B 的投影 A'，B' 重合，此时 线段 AB 的投影是一个点（图 8-8 ⑤）. 165第8章 投影与识图 （3）如果阳光斜射在地面上，一张矩形纸片在地面上的影子会是什么形 状？ 你会发现，当矩形纸片与地面平行时，矩形纸片的影子仍是矩形，而且与 原矩形全等（图 8-9 ①）. 当矩形纸片与阳光光线平行时，纸片的影子是一条线段（图 8-9 ②）. 不论矩形纸片处于其他什么位置，它在阳光下的影子，总是平行四边形， 特别地，也可能是矩形（图 8-9 ③ ④），但不会是一个点或其他图形. A D A D A A D B C B C B D B C C A' D' B' C' A' D' B' B' C' A'（B'） D'（C'） A' D' C' ① ② ③ ④ 图 8-9 练 习 1. 如果阳光倾斜射在地面上，一张三角形纸片在地面上的影子可能是什么图形 ？ 2. 如果阳光倾斜射在地面上，一张圆形纸片在地面上的影子一定是圆吗 ？一个球的影 子呢？请你试试看. 观察与思考 在我国北方，无论上午、中午和下午，晴天时阳光总是倾斜地照射在地面 上. 想一想，地球上的居民能不能看到阳光垂直照射在地面上的情况？这时，一 个物体在地面上的影子会出现哪些可能的情况？ 投射线与投影面垂直时的平行投影，叫做正投影（orthographic projection）. 正投影是特殊的平行投影，因此点的正投影仍然是点；线段的正投影可能是线 段，也可能是一个点. 正投影还有哪些特殊性质呢？ 1668.2 平行投影 （1）图 8-10 分别表示线段 AB 与投影面 H 的平行、倾斜和垂直三种不同的 位置关系. 在这三种情况下，你发现线段正投影的形状和大小分别有什么规律？ 平行 斜 倾 垂 直 平行长不变，倾斜 长缩短，垂直成一点. 图 8-10 （2）图 8-11 分别表示平面图形 P 与投影面 H 的平行、倾斜和垂直三种 平行 倾 斜 位置关系. 在这三种情况下，你发现平 垂 面图形 P 的正投影 P' 的形状和大小分 直 别有什么规律？ 当平面图形 P 平行于投影面 H 时，P 的正投影 P' 是与 P 全等的平面图 图 8-11 形，这就是说，把一个平面图形 P 进行正投影，它的形状和大小都保持不变. 当平面图形 P 倾斜于投影面 H 时，它的正投影 P' 的形状、大小均发生改变. 当平面图形 P 垂直于投影面 H 时，P 的正投影是一条线段. 你能简单地总结平面图形正投影的规律吗？ 平行形不变，倾斜 形改变，垂直成线段. （3）长方体 ABCD-EFGH 与一个竖直的投影面 V 的相对位置如图 8-12 所 示，图中箭头所指的方向是投射线的方向，长方体的一个面 ABCD 平行于投影 面 V. 你能说出此时长方体的各个面的正投影吗 ？ 长方体中，与投影面 V 平行的两个相对的面 ABCD， EFGH 的正投影是矩 形 A'B'C'D'，它与矩形 ABCD，EFGH 全等，与投影面 V 垂直的四个面的正投影 167第8章 投影与识图 都是线段，其中面 ABFE 的正投影是线段 A'B'，面 CDHG 的正投影是线段 C'D'. A'B'，C'D' 的长与长方体的长 AB 相等；面 BCGF 的正投影是线段 B'C'，面 ADHE 的正投影是线段 A'D'. B'C'，A'D' 的长与长方体的高 AD 相等. 长方体的正投影是由它的各个面的正投影所组 V A' B' 成的，图 8-12 中，长方体 ABCD -EFGH 在投影面 V 内的正投影是矩形 A'B'C'D'. E D' F C' 可以想象物体投影的形状和大小与物体相对于投 A B 影面的位置有关. 例如，如果改变图 8-12 中长方体与 H G 投影面 V 的相对位置，它的正投影不一定是矩形. D C 图 8-12 练 习 1. 回答下列问题 ： （1）球的正投影是什么图形 ？ （2）正方体的正投影一定是正方形吗 ？ 2. 图 8-12 中，长方体 ABCD-EFGH 的各条棱在面 V 内的正投影分别是什么？ 例1 如图 8-13，直三棱柱 ABC-DEF 的底面是 D 正三角形，按图中所示的方式摆放，箭头所指的方向是 E 投射线的方向. A F （1）分别说出这个直三棱柱的三个侧面和两个底 面在水平投影面 H 内的正投影的形状和大小； B C （2）画出这个直三棱柱在水平投影面 H 内的正投影. 图 8-13 解 （1）根据正投影的规律，侧面 ABED 与 ACFD 在水平投影面H 内的 正投影是有一条公共边的两个矩形，这条公共边是直三棱柱的侧棱 AD 在平面 H 内的投影，两个矩形的长都等于底面正三角形的边 BC 的一半，侧面 BCFE 的正 投影与上述两个矩形拼成的矩形重合. 底面 ABC 与 DEF 的正投影分别是两条线 段，且长度都与底面正三角形的边 BC 相等，并分别与棱 BC 与 EF 的正投影重合. （2）由（1）可以得到该直三棱柱在水平投影面 H 内的正投影的画图步骤： 1688.2 平行投影 ① 画矩形 B'C'F'E'，使 B'C' = BC，B'E' = BE. ② 取 B'C' 的中点 A'，E'F' 的中点 D'，连接 A'D'（图 E' D' F' 8-14）. 图 8-14 就是图 8-13 中的直三棱柱在水平投射面 H 内的正投影. 例2 一个圆柱按图 8-15 所示的方式摆放. H B' A' C' （1）分别说出该圆柱在竖直投影面 V 和水平投影面 H 图 8-14 内的正投影的形状和大小； （2）分别画出圆柱在竖直投影面 V 和水平投影面 H 内 的正投影. 解 （1）该圆柱在竖直投影面 V 内的正投影，是 一个矩形，其高等于圆柱母线的长，其长等于底面的直 径. 图 8-15 该圆柱在水平投影面 H 内的正投影，是一个与底面 半径相等的圆. （2）由（1）可以得到该圆柱分别在竖直投影面 V 和水平投影面 H 内的正投影 的画图步骤： ① 在竖直投影面 V 内，画高等于圆柱的母线、长等于圆柱底面直径的矩形 （图 8-16）. ② 在水平投影面 H 内，画半径等于底面半径的圆（图 8-17）. 图 8-16、图 8-17 分别是图 8-15 中圆柱在竖直投影面 V 和水平投影面 H 内 的正投影. V H 图 8-16 图 8-17 169第8章 投影与识图 图 8-14 反映了按图 8-13 方式放置的直三棱柱从正上方向下看到的形状和 大小；图 8-16 反映了按图 8-15 的方式放置的圆柱从水平方向看到的圆柱前面 的形状和大小，图 8-17 反映了从正上方向下看到的圆柱的形状和大小. 练 习 1. 一个圆柱按图中所示的方式放置，分别说出它在水平平面 H 和竖直平面 V 内的正投影的形状和大小. 2. 一个几何体在一个平面内的正投影是正方形，这个几何体 可能是什么形状？说出其中的两种不同几何体的名称. （第 1 题） 习题8.2 复习与巩固 1. 在平行投影下，直角三角形的投影还是直角三角形吗？等腰三角形的投影还是等腰三 角形吗？画图说明. 2. 一块矩形木板在灯光下和阳光下的影子有什么相同和不同？ 3. 一个几何体在平面内的正投影是圆，这个几何体可能是什么形状？说出其中两种不同 几何体的名称. 4. 将下列几何体与其在水平投影面内的正投影用线连接起来. （第 4 题） 5. 选择题： （1）一条线段 AB 的正投影为线段 CD . 下列各式不成立的是（ ）； （A）AB = CD （B）AB > CD （C）AB < CD （D）AB ≠ CD 1708.3 物体的三视图 （2）将三个大小相同的小正方体按如图所示的方式组合成一个几何体. 这个几何体在 某一个平面内的正投影不可能是（ ）. （第 5 题（2）） （A） （B） （C） （D） 6. 将一个直六棱柱形工件按图中所示的方式摆放，直六棱柱底面 投射方向 是正六边形，按图中箭头方向所示的投射方向的正投影分别是 投 射 什么图形？ 方 向 拓展与延伸 （第 6 题） 7. 画图说明，当阳光倾斜地照射到地面时，如何 放置一张矩形纸片，才能使其在地面上的影子 面积最大？ 8. 把若干个相同的小正方体组合成几何体，它在 竖直投影面 V 内和水平投影面 H 内的正投影分 别如图①和图②所示. 组成这样的几何体最多 ① ② 需要多少小正方体？最少需要多少小正方体？ （第 8 题） 8.3 物体的三视图 交流与发现 正投影能如实地表达物体的形状和大小，画图也比较方便，因此工程上一 般用正投影的方式绘制图纸. 由于可以用视线代替投射线，所以物体的正投影通常也称为物体的视图 （view）. 171第8章 投影与识图 一般说来，仅凭物体的一个或两个视图，不能完全确定物体的形状和大小. 例如，只根据一个几何体在一个平面内的正投影是正方形，无法判别这个几何 体是正方体、长方体、圆柱还是其他别的立体图形. 要确定一个几何体的形状和 大小，常常需要三个视图. 如图 8-18，一个物体在三个两两垂直的投影面上分别进行正投影，其中在 竖直投影面 V 内的正投影叫做主视图（front view），在水平投影面 H 内的正投 影叫做俯视图（top view），在侧投影面 W 内的正投影叫做左视图（left view）. 这三个视图统称这个物体的三视图. 将图 8-18 和图 8-19 加以比较，你发现主视 图、俯视图和左视图分别是从物体的哪个方向看到的物体的形状和大小？ 图 8-18 图 8-19 将图 8-18 中的俯视图和左视图都展开到主视图所在的平面内（投影面 H 向下旋转 90°，投影面 W 按逆时针方向旋转 90°），这三个视图的位置有什么关 系？ 在三视图中，俯视图画在主视图的下面，左视图画在主视图的右面. 主视图 反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的 高和宽（图 8-19）. 我们通过画如图 8-20 所示的圆柱的三视图，探索画出一个简 单几何体的三视图的步骤： 图 8-20 （1）如图 8-21，先画出两条互相垂直的辅助坐标轴； （2）在第二象限内画出圆柱的主视图——矩形. 使矩形的长等于圆柱的直 1728.3 物体的三视图 径，矩形的高等于圆柱的母线. 画图时， 矩形的各边画成粗实线. 圆柱的轴的投影 是矩形的一条中心线，画成点画线. （3）在第三象限，按照与主视图“长 对正”的原则，画出圆柱的俯视图. 俯视 O 图是从圆柱的上底的上方所看到的该圆柱 的形象，它的俯视图是直径等于矩形长的 圆，画图时，圆心应画在主视图的中心线 图 8-21 的延长线上. （4）在主视图和俯视图画出后，按照 小资料 图 8-21 所示的画法，用直尺和圆规在第一 象限作出圆柱的左视图. 左视图是从物体的 在工程制图中，看得见部 分的轮廓线画粗实线，看不见 左面向右看到的物体的形状. 左视图与主视 部分的轮廓线画虚线. 图有相同的高，与俯视图有相同的宽. 画图时，坐标轴和三视图之间某 些对应点的连线画成细实线，画图完 成后也可以去掉这些细实线. 想一想，为什么图 8-20 所示的圆柱的主视图和左视图的形状、大小都相 同？ 一般地，画物体三视图的步骤是： 先在平面内画出两条互相垂直的辅助坐标轴. 在第二象限画出主视图； 然后根据“主、俯视图长对正”的原则，在第三象限画出俯视图；最后根据 “主、左视图高平齐”的原则和“左、俯视图宽相等”的原则，在第一象限画 出左视图. 例1 如图 8-22 所示的直三棱柱、直六棱柱的底面分别是正三角形和正 六边形. 分别画出它们的三视图. 173第8章 投影与识图 图 8-22 解 图 8-22 中的直三棱柱和直六棱柱的三视图分别如图 8-23 ① 和 ② 所示. ① ② 图 8-23 练 习 1. 选择题：左图中所放置的物体的俯视图是（ ）. （A） （B） （C） （D） （第 1 题） 2. 画出如图所示的正方体的三视图. （第 2 题） 1748.3 物体的三视图 例2 图 8-24 ① ② 是两个几何体的三视图，请根据三视图分别说出相应 的几何体的形状，并画出示意图. ① ② 图 8-24 解 图 8-24 ① 是一个长方体的 三视图，该长方体的上下底面是正方形， 各侧面是全等的矩形（图 8-25 ①）；图 ① ② 8-24 ②是一个如图 8-25 ② 中的方式摆放 图 8-25 的圆锥的三视图. 例3 如图 8-26 所示的几何体是由四个大小相等的正方体组合而成的， 画出它的三视图. 解 该几何体的三视图如图 8-27 所示. 图 8-26 图 8-27 175第8章 投影与识图 挑战自我 你能画出图 8-28 所示的机器零件的三视图吗？ 试试看. 图 8-28 广角镜 几何体的直观图 本章中我们见到了许多几何体，如图 8-20 中的圆柱、图 8-22 中的三棱柱和六棱 柱、图 8-25 中的长方体和圆锥、图 8-28 中的机器零件图等. 这些图虽然也都是在平面内画出的图形，却能直观地反映出相应的几何体的立体形 象. 它们叫做几何体的直观图. 几何体的直观图通过平面图形把几何体中不全在同一个平 面内的各点表现出来. 为此，它往往不完全与立体图形的真实形状相同. 例如，正方体的 各个面本来都是正方形，但在前面你见过的正方体的直观图中，除前（正对着我们）、 后（背向我们）两个面画成正方形外，它的上、下、左、右四个面画成平行四边形. 因 此看直观图时，不能把它当作普通的平面图形，而应当通过看图想象出它的真实形状. 再如，从图 8-28 可以看出，该机器零件的前后两个面的上半部分是宽30 mm、高 24 mm 的矩形和半径为 15 mm 的半圆，下半部分是一个宽 30 mm、长 16 mm 的矩形， 从零件的上面看是底面半径为 15 mm、高为 16 mm 的半个圆柱面，从左面和右面看到的 零件的下半部是长 16 mm、高 24 mm 的矩形. 在零件的中部挖去了一个圆柱形的“洞”， 该圆柱的两个底面分别在零件的前面和后面，底面的圆心分别是零件正面上的半圆的圆 心，圆柱的底面半径为 8 mm，高为 16 mm . 练 习 1. 图 ①②③ 是三个几何体的主视图和俯视图，分别说出这些几何体的形状，然后分别 画出它们的左视图. 1768.3 物体的三视图 主视图 主视图 主视图 俯视图 俯视图 俯视图 ① ② ③ （第 1 题） 2. 已知一个几何体如图所示，画出它的主视图、俯视图和 左视图. （第 2 题） 例4 （1）一个几何体的三视图如 图 8-29 所示（单位：mm）. 根据三视图描 述这个几何体的形状； （2）画出这个几何体的表面展开 图，并计算这个几何体的表面积（精确到 1 mm2）； （3）用硬纸板制作这个几何体的模型. 解 （1）由主视图是等腰三角 图 8-29 形，俯视图是半圆，左视图是直角三角形，并且左视图中直角三角形的底边等 于俯视图中半圆的半径，还等于主视图中等腰三角形底边的一半，可以想象这 个几何体是由一个等腰三角形、一个半圆和半个圆锥面围成，等腰三角形的两 腰是圆锥的母线，等腰三角形底边是底面半圆的直径，等腰三角形的高是圆锥的 高. 它是用圆锥的轴截面截得的半圆锥（图 8-30），底面半圆的直径为 300 mm， 半圆锥的高为 300 mm. （2）如图 8-30，在 Rt△AOB 中，由勾股定理 AB = AO2+OB2 = 3002+1502 = 150 5 ≈ 335.4（mm）， 177第8章 投影与识图 图 8-30 图 8-31 故这个几何体侧面展开图中扇形的半径 AB 约为 335.4 mm. 扇形的圆心角为 ·OB×180 150×180 180 = = ≈ 80.5（度）. ·AB 150 5 5 根据以上数据，可画出这个几何体的表面展开图（图 8-31）. 1 1 S = ·OB·AB = ×150 ×150 5 ≈ 79 029.4（mm2）， 扇形BAC' 2 2 1 S = ·OB2 = ×1502 ≈ 35 342.9（mm2）， 半圆 2 2 1 1 S = BC·AO = ×300×300 = 45 000（mm2）， △ABC 2 2 所以半圆锥的表面积 S = S + S + S 扇形BAC 半圆 △ABC' ≈ 79 029.4 + 35 342.9 + 45 000 ≈ 159 372（mm2）. 因此，这个几何体的表面积约为 159 372 mm2（精确到 1 mm2）. （3）在一张硬纸板上，按 AB = AC = AC' = 335.4 mm，BC = 300 mm， ∠BAC' = 80.5°的实际尺寸画出几何体的展开图（图 8-31），将它剪下然后以 AB 为折痕并将扇形 BAC' 卷成半个圆锥面，使等腰三角形腰 AC 与扇形半径 AC' 重合，再以直径 BC 为 折痕，使半圆 BC 与扇形 BAC' 的弧 BC' 所围成的半圆弧重 合，用透明胶纸粘贴接缝，便得到所要求制作的几何体模型（图 8-30）. 练 习 1. 一个几何体的三视图如图所示（单位：mm）. （1）根据三视图，画出这个几何体的表面展开 图，并计算这个几何体的表面积； （2）用硬纸板制作这个几何体的模型. 1788.3 物体的三视图 习题8.3 复习与巩固 1. 分别根据下面的三视图，说出相应几何体的形状. ① ② （第 1 题） 2. 把四块棱长相等的正方体形的木块分别按如图 ①，② 所示的方式摆放，分别画出两 个组合体的三视图. 15 3 2 0 3 0 3 30 ① ② （第 2 题） （第 3 题） 3. 画出如图所示几何体的三视图. 4. 图①〜④是四个几何体： ① ② ③ ④ 在下面四个三视图的括号中分别填上对应几何体的图号. （ ） （ ） 179第8章 投影与识图 5. 根据右面的三视图（如图），描述相应的 几何体的形状，并根据图中标注的尺寸 （单位：mm），计算它的表面积. 180 03 02 （ ） （ ） （第 4 题） 40 拓展与延伸 6. 如图是由 5 个大小相同的小正方体组合而成的几何体 （第 5 题） 的俯视图. 这 5 个小正方体可能有几种不同的组合方式？分别画出所有可能的组合体 的主视图和左视图. （第 6 题） （第 7 题） 7. 如图是一种工件的三视图. 计算该工件的表面积和体积（分别精确到 0.1 mm2 和 0.1 mm3）. 探索与创新 8. 桌上摆着一个由若干个大小相同的小正方 体组合而成的几何体，其主视图和左视图 如图所示. 这个几何体的俯视图可能是怎 样的？画出所有不同的俯视图. 主视图 左视图 （第 8 题）回顾与总结 回顾与总结 1. 本章学习了哪些主要内容？总结一下，并与同学交流. 2. 什么是中心投影？点、线段、平行四边形的中心投影分别可能是怎样的平面图形？ 3. 什么是平行投影？点、线段、平行四边形的平行投影分别可能是怎样的平面图形？ 4. 什么是正投影？正投影与一般的平行投影相比，有哪些特征？ 5. 三视图包括____图、____图、____图. 画一个物体的三视图时应注意哪些问题？ 6. 分别画出直四棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图. 7. 举例说明，如何根据一个简单几何体的三视图，描述这个简单几何体. 8. 在现实生活中，物体的三视图有哪些应用？ 9. 通过物体的表面展开图及三视图的学习，你对立体图形和平面图形的关系有了哪些新 的认识？ 综合练习 复习与巩固 1. 如图是两棵树及其在地面上的影子，图 ① 和图 ② 中哪个图是在阳光下的情形？哪个 图是在灯光下的情形？请说明理由. ① ② （第 1 题） 2. 如图，用一盏灯照射正下方的一个球. （1）球在地面上的影子是什么形状？ （2）当灯不动，球上下移动时，影子的大小会发生怎样的变化？ 3. 选择题： （1）在中心投影下，一条线段的投影不可能是（ ）； （A）比原线段长的线段 （B）一段圆弧 （第 2 题） （C）比原线段短的线段 （D）一个点 181第8章 投影与识图 （2）在平行投影下，矩形的投影不可能是（ ）； （A） （B）——— （C） （D） （3）左图所示的几何体的主视图是（ ）. （A） （B） （第 3 题） （C） （D） 4. 左面三个平面图形分别是右面几何体的哪个视图？ （ ） （ ） （ ） （第 4 题） 5. 小亮说：“圆柱的主视图总是矩形，俯视图总是圆.”这种说法对 1 1 吗？为什么？ 6. 如图是由若干个相同的小正方体组成的几何体的左视图，小正方 3 2 形中的数字表示该位置小正方体的个数. 画出符合上面条件的一 个几何体的主视图和俯视图. （第 6 题） 拓展与延伸 7. 如图，在一个棱长为 10 cm 的正方体的上底面中 A 间位置打一个长和宽都为 6 cm、深为 5 cm 的长 6 6 方体形状的孔. 画出所得到的几何体的三视图. B C 主视图 左视图 6 俯视图 （第 7 题） （第 8 题） 182回顾与总结 8. 如图是一个几何体的三视图. （1）写出几何体的名称； （2）根据图中标出的数据，计算这个几何体的表面积（精确到 0.1 cm2）. 9. 用若干个大小相同的小正方体组合成的几何体 的主视图和俯视图如图所示. （1）画出这个几何体的一个左视图； （2）如果组成这个几何体的小正方体的块数 为 n，请你写出 n 的所有可能的值. 主视图 俯视图 （第 9 题） 10. 如图所示是一个由两个几何体组合而成的几 何体的三视图（单位：mm）. （1）这个组合体的两部分分别是什么几何体？ （2）求该组合体表面积（精确到 1 mm2）. 20 30 左 主 视 视 30 图 ② 图 ① 40 ③ ④ ⑤ 俯 视 30 ⑥ 图 （第 10 题） （第 11 题） 11. 图中画出的是一个底面为正八边形的直八棱柱形建筑物的俯视图. 在图中所画的 6 个 区域的哪个区域中放置一个点光源，所照射到的直八棱柱形建筑物的面数最多？ 探索与创新 12. 图 ① 表示的是一个边长为 1 的水 平摆放的小正方体木块，图 ②、 图 ③ 是由若干小正方体木块组 合而成，按照这样的规律，继续 ① ② ③ 下去. 回答下列问题： （第 12 题） （1）第 7 个组合体中，小正方体木块的总数是多少？ （2）第 n 个组合体中，小正方体木块的总数是多少？ （3）第 n 个组合体的主视图面积是多少？ （4）第 n 个组合体的俯视图面积是多少？ 183后 记 这套义务教育七〜九年级数学教科书是在原《义务教育课程标 准实验教科书 数学（七〜九年级）》（青岛出版社 2005年1月第 一版）的基础上，依据教育部2011年颁布的《义务教育课程标准》 修订完成的. 经教育部基础教育课程教材专家工作委员会审查通 过，准许使用. 本套教科书由展涛担任主编，殷建中担任执行主编，参加本册 教材编写的有（按姓氏笔画为序）：王伟、任景业、李师正、李红 婷、李秀荣、杨杰、高玉岱、殷建中、谢廷桢、傅海伦等同志，由 李师正担任本册主编. 在本套教科书的编写工作中，我们得到了关 心我们教材建设的许多专家、学者以及广大数学教育工作者的大力 支持和热情帮助. 在此，我们一并致谢. 欢迎教师和同学们在使用本书过程中，向我们提出改进的意见 和建议. 编 者(cid:736) (cid:736)(cid:3)(cid:1206)(cid:3)(cid:3075)(cid:3)(cid:5484)(cid:3)(cid:3075)(cid:3)(cid:4917)(cid:3)(cid:755) (cid:1206) (cid:3075) (cid:3733)(cid:33)(cid:4305) (cid:5484) (cid:3075) (cid:4917) (cid:755) (cid:3733) (cid:4305) (cid:3733) (cid:33)(cid:33) (cid:4305) (cid:2549) (cid:3150) (cid:2346) (cid:33)(cid:33) (cid:2549)(cid:3150)(cid:2346)(cid:33)(cid:33)(cid:4144)(cid:1449) (cid:4144) (cid:1449) (cid:2383)(cid:2029)(cid:3260)(cid:4890)(cid:4052)(cid:2173)(cid:470)(cid:2907)(cid:1856)(cid:1984)(cid:2383)(cid:2029)(cid:2179)(cid:503)(cid:51)(cid:49)(cid:51)(cid:51)(cid:505)(cid:49)(cid:51)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:53) (cid:4974)(cid:5347)(cid:1278)(cid:1156)(cid:790)(cid:1461) (cid:2569)(cid:1298)(cid:1737)(cid:2246)(cid:470)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54) (cid:1768)(cid:2383)(cid:470)(cid:50)(cid:49)(cid:47)(cid:57)(cid:57)(cid:33)(cid:4590) QINGDAOCHUBANSHE