2025年5月浙江省温州市高三下学期三模数学答案_2025年5月_250512浙江省温州市普通高中2025届高三第三次适应性考试（温州三模）（全科）

温州市普通高中 2025届高三第三次适应性考试 数学试题解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．【答案】A  3 1  3 1 【解析】取a = , ,b = ,− ，则     2 2 2 2     数学答案 第1页 共6页 a − b = ( 0 , 1 ) ，所以 a − b = 1 ． 2．【答案】C 【解析】 B = { ∣x l n x  1 } = { ∣x 0  x  e } ，所以 A  B =  1 , 2  ． 3．【答案】C 【解析】 z = − i  z = i ，故 z 的虚部为1． 4．【答案】B 【解析】由题可得 r − 1  3  r + 1 ，则 2  r  4 ． 5．【答案】C 【解析】 1 1 t t a a n n 2 t a n 1 3 .    + − =  = 6．【答案】C x 1 【解析】易知 f (x)=   满足题意，排除ABD． 2 7．【答案】C 【解析】代入数据解得： ˆb = 0 .2 4 ，所以 y = 0 . 2 4  1 0 + 0 . 2 8 = 2 . 6 8 ． 8．【答案】A 【解析】由对称性可知 O P = M F 1 = 2 a + c 且 t a n P O F 2 b a  = − ， c o s P O F 2 a c ( 2 a 2 c c 2 )( 2 a c 2 c ) 4 c 2  = − = +  + + − ，解得 e = c a = 4 ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．【答案】AC 【解析】当 数学答案 第2页 共6页 a = 0 时， f ( x ) = 1 2 s i n 2 x ，为奇函数，且 T  = ，故AC正确； 若 f (x)为偶函数，则 f ( − x ) = s i n ( − x )  c o s ( − x ) + a s i n ( − x )  = − s i n x ( c o s x − c o s 2 x ) = − s i n x c o s x + a s i n 2 x ， f ( x ) − f ( − x ) = 2 s i n x c o s x = 0 恒成立，矛盾，故B错误； f ( x ) = 1 2 s i n 2 x + a − 1 − c o 2 s 2 x = 1 2 s i n 2 x − 1 2 a c o s 2 x + 1 2 a ，所以 2 2 1  1  1 f (x) =   +  − a  + a=0，无解，故D错误． max 2  2  2 10．【答案】BD 【解析】A项：可掷出2，使得 M , N 同时发生，故错误； 1 1 1 B项：P(MN)= ,P(M)= ,P(N)= ，故正确； 6 3 2 C 项：由 B 可知 P ( M ∣ N ) = P ( M ) = 1 3 , P ( N ∣ M ) = P ( N ) = 1 2 ，故错误； D项： P ( M N ) = P ( M ) P ( N ) = 2 3  1 2 = 1 3 , P ( M N ) = P ( M ) P ( N ) = 1 3  1 2 = 1 6 ，所以 P ( M N ) + P ( M N ) = 1 2 ，故正确． 11．【答案】BCD 【解析】A项：a =1,a =2,a =4，则M = (a ,a ) , M =1，故错误； 1 2 3 1 2 B项：a =1,a =3,a =5,a =7，则 1 2 3 4 M =  ( a 1 , a 2 ) , ( a 2 , a 3 ) , ( a 3 , a 4 )  , M = 3 ，故正确； C项：如a =n,n1,2,3，则 n a 2 − a 1 = a 3 − a 2 = 1 2 ( a 3 − a 1 ) ，即 ( a 1 , a 2 )  M 且 ( a 2 , a 3 )  M ，故正确；D项：注意到 数学答案 第3页 共6页  2  i  n − 1 ，由于a =(a −a )+(a −a )，所以至多存在一个 n n i i 1 i 使得 ( a 1 , a i )  M ，且 ( a i , a n )  M ，对于其余的 i , ( a 1 , a i ) 和 ( a i , a n ) 中，至多只有一个属于 M ， 且(a ,a )M ，则至少需剔除（n-2）个元素，所以 1 n 4 C2 −(n−2) n2 −3n+4 P n = n2 −11n+20 0n 8，故正确． 5 C2 n2 −n n 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分。把答案填在题中的横线上。 12．【答案】9 【解析】 C 12  C 34 + C 44 = 9 种． 13．【答案】12 【解析】设 B M = m ，则AM =CM =10−m． 设A(−3,0),B(3,0)，则 M 的轨迹是椭圆 x 2 2 5 + y 1 2 6 = 1 ， 所以 ( S A B M ) m a x = 1 2  6  4 = 1 2 ． 14．【答案】 2 3  2 3 4 3  + 【解析】如图所示，爬行的最短距离为 4 3 4 1 6 2 3 4 3   +  = + ． 四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【解析】（1）由射影定理得 a c o s B + b c o s A = c ， 所以 c  c o s C = 2 3 c 3  ，所以cosC = ，所以C = ． 2 6 3 b2 +4−1 （2）在 ADC中， =cosC = ，解得b= 3， 2 2b2 在 ABC中， a 2 = b 2 + 9 − 2 b  3  2 3 = 1 2 − 9 = 3 ，所以 a = 3 ， 所以周长 = 3 + 3 + 3 = 3 + 2 3 ． 16．【解析】（1）a =b −n，故b −(n+1)=3(b −n)+2n−1， n n n+1 n 故b =3b ，且b =3，故b 是等比数列． n+1 n 1 n（2）由（1）可知 数学答案 第4页 共6页 b n = 3 n ，故 a n = 3 n − n ， 所以 c n = ( − 1 ) n  ( 3 n + n ) = ( − 3 ) n + n  ( − 1 ) n ， 所以 T 2 n = ( − 3 ) 1 + ( − 3 ) 2 + + ( − 3 ) 2 n ? ( P n ) +1+(−2)+3+(−4)+ +(2n−1)−2n? (Q ) n 其中 P n = ( − 3 )  1 − 1 − ( − ( 3 − ) 3 2 ) n = 3 4  ( 9 n − 1 ) , Q n = − n ，所以 T 2 n = 3 4  9 n − n − 3 4 ． 17．【解析】（1）抛物线 C 2 : y 2 = 2 p 2 x ，准线方程为 x = − p 2 2 ， A F 2 = 4 + p 2 2 = 5 ，所以 p =2，所以 2 y 2 = 4 x ， 因为点 A ( 4 , m ) 在抛物线 C 2 上，所以 m 2 = 4  4 = 1 6 ， 又 m  0 ，所以 m = 4 ， 将 A ( 4 , 4 ) 代入抛物线 C 1 : x 2 = 2 p 1 y ，可得 p 1 = 2 ． （2）由（1）可知F (0,1),F (1,0)，设 1 2 F 1 F 2 1 1 中点为M  ,  ， 2 2 因为四边形 F 1 P F 2 Q 为平行四边形，所以 M 为 P Q 中点， 设 P ( x 1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) ，所以 x 1 + x 2 = 1 , y 1 + y 2 = 1 ， 因为 P , Q 在抛物线 C 1 上，所以  x x 2122 = = 4 4 y y 1 2 , x 21 − x 22 = 4 ( y 1 − y 2 ) ， 即(x −x )(x +x )=4(y − y )， 1 2 1 2 1 2 y − y 1 1 所以 1 2 = ，所以k = ，且直线PQ过点 x −x 4 PQ 4 1 2  1 2 , 1 2  ， 1 1 1 所以l : y− =  x−  ，即2x−8y+3=0， PQ 2 4 2 2x−8y+3=0 联立 2x2 −2x−3=0， x2 =4y 3 所以x +x =1,x x =− ， 1 2 1 2 2所以 数学答案 第5页 共6页 P Q = 1 + k 2 x 1 − x 2 = 1 + k 2 ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 x 1 x 2 = 1 1 4 9 ， F 1 到 P Q −8+3 5 距离d = = ， 4+64 2 17 所以 S = P Q  d = 1 1 4 9  2 5 1 7 = 5 8 7 ． 18．【解析】（1）因为ABC−ABC 为直三棱柱，所以BB //平面ACCA， 1 1 1 1 1 1 又因为 B 1 B 2 ⊥ B 1 B ，所以 B 2 P ⊥ P Q ，所以 B 1 B / / P Q ． （2）（i）因为 A 2 A A 1 B A C 4 5 , A C A A 1 1   = = = = ， 所以 B 1 C 1 = B 1 B 2 = 1 , B B 2 = 1 2 + 1 2 = 2 ， 又因为 B 1 B / / P Q ，所以 B P B 1Q = B B 2 2 B P 1 ，可得 P Q = 1 + 2 ． （ii）如图建系， C ( 0 , 0 , 0 ) , B ( 0 , t a n , 0 ) , A ( 1 , 0 , 0 ) , B 2 ( s i n t a n , s i n t a n , 1 )       + ， 则平面 A 1 C 1 C A 法向量n =(0,1,0)，设平面 A B B 2 A 2 法向量 m=(x,y,z)， A B ( 1 , t a n , 0 ) , B B 2 ( s i n t a n , s i n , 1 )     = − =  , 则    mAB=0 m= ( tan,1,−sin−tan2sin ) ，  mBB =0 2 1 所以cos m,n = ， tan2+1+ ( sin+tan2sin )2 tan m,n = 1−cos2 m,n = 1 ,tan2+ ( sin+tan2sin )2 = 1 , cos m,n tan tan2 t a n 2 s i n ( 1 t a n 2 ) 2 t a 1 n 2 , t a n 2 s i n c o 1 s 2 2 t a 1 n 2         +  +  = +    = , cos6 sin2cos2+sin2= ,sin4 ( 1+cos2 ) =cos6, sin2 令sin2=s，则cos2=1−s，上式 数学答案 第6页 共6页 s 2  1 + ( 1 − s )  = ( 1 − s ) 3  s 2 ( 2 − s ) = ( 1 − s ) 3  s 2 − 3 s + 1 = 0 ， 解得 s = 3 − 2 5 或 s = 3 + 2 5 （舍）， 所以 s i n 3 2 5 5 2 1  = − = − ． 19．【解析】（1）点(m,n)关于 y = − x 的对称点是 ( − n , m ) ， 若点(m,n)在曲线 C 上，即 m 3 − m n − n 3 = 1 ， 所以 ( − n ) 3 − ( − n ) ( − m ) − ( − m ) 3 = − n 3 − m n + m 3 = 1 ， 即 ( − n , m ) 也在曲线 C 上，故 C 关于直线y =−x对称． （2）固定 y ，设 f ( x ) = x 3 − x y − y 3 − 1 ，则 f(x)=3x2 − y， 当y0时， f  ( x )  0 恒成立，至多只有一个零点； 当y 0时，令 f  ( x ) = 0 , x 1 = − y 3 , x 2 = y 3 ，设 m = y 3 ，则 x 1 = − m , y = 3 m 2 ， 则 f ( x 1 ) = − m 3 + m  3 m 2 − 2 7 m 6 − 1 = 2 m 3 − ( 2 7 m 6 + 1 )  2 m 3 − 2  3 3 m 3  0 ， 所以 f ( x ) = 0 有且仅有一根，即 x 与 y 一一对应，所以 C 是某个函数图象． （3）引理：对于 C 上任意一点 ( p , q ) ，恒有 q  p  q + 2 ． 证明：设 f ( x ) = x 3 − q x − q 3 − 1 ，则 f (q)=−q2 −10， f ( q + 2 ) = ( q + 2 ) 3 − q ( q + 2 ) − q 3 − 1 = 5 q 2 + 1 0 q + 7  0 , 所以 q  p  q + 2 ，所以 C 的图象夹在 y = x 与 y = x − 2 之间，故k =1． y = x+m 联立 ，可得 x3−xy− y3 =1 ( 3 m + 1 ) x 2 + ( 3 m 2 + m ) x + m 3 + 1 = 0 ， Δ = ( 3 m 2 + m ) 2 − 4 ( 3 m + 1 ) ( m 3 + 1 ) = ( 3 m + 1 ) ( − m 3 + m 2 − 4 ) , 所以当 m 1 3 ,    − +  1 时，Δ0，方程无解，当m=− 时，方程也无解， 3  1  所以k =1,m  − ,+  ．  3 