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２０２５届高三部分重点中学３月联合测评
数学试题参考答案及多维细目表
题号 １ 又 α β １ 故t２ ５．又t t
１ ２ ３ ４ ５ ６ , cos(－ )＝－ , ＝ ＞０,∴
４ ４ ４
答案
C A D B A C
５．
题号 ＝
７ ８ ９ １０ １１ ２
．答案
答案 ６ 【 】C
．答案
D B ACD ACD BCD
【
解析
】
由
C
m
N ＝C N
N
－
m 知
,
当N为偶数时
,C
m
N,C
n
N
１ 【 】C N
均有 个不同的取值．由方程是椭圆的方程
【 解析 】∵(１－i) z ＝－２i,∴ z ＝ －２i ＝１－i, 故 ２ ＋１
１－i 知 m n 故方程可表示的不同的椭圆方程的
,C N ≠C N,
z ．
２ ． 【 答案 ＝ 】 ２ A 个数为 æ è ç N ２ ＋１ ö ø ÷ N ２ , 令 æ è ç N ２ ＋１ ö ø ÷ N ２ ＝１２, 解得
解析 对于集合P 由 x 得x １ P N ＝６ ．
【 】 , １－２ ＞０, ＜ ,∴
２ N
＝
æ
è ç －∞, １
ö
ø ÷ ; 对于集合Q , 由 e x ＞０, 得１－e
x
＜
当N 为奇数时
,C
m
N,C
n
N
均有
２
＋１个不同的取
２ ２ 值．故方程可表示的不同的椭圆方程的个数为
æ ö æ ö
１ Q ç １÷ 故P Q ç １÷． N N N N
,∴ ＝è－∞, ø, ∩ ＝è－∞, ø ＋１ －１ 令 ＋１ －１ 解得 N
２ ２ ２ , ＝１２,
．答案 ２ ２ ２ ２
３ 【 】D ．
解析 已知实数a b 若m 例如a b ＝７
【 】 ＜ , ＞０, ＝－２, 综上所述 N 或 ．
, ＝６ ７
a a m a
m 得 ＋ m 不是 ．答案
＝－１, ＝２, b＞b m,∴“ ＞０” “b ７ 【 】D
＋ 解析 该同学收集了四组数据 由表中数据知x
a m 【 】 ,
＋ 的充分条件
＜b m” ;
＋ ＝ ５ , y ＝ ５ ,
a a m ２ ２
若 ＋ 例如a b m 符合此
b＜b m, ＝０,＝１, ＝－２
＋ (１×０＋２×２＋３×３＋４×５)－４× ５ × ５
a a m ^ b ２ ２
不等式 , 但是m ＜０,∴“ m ＞０” 不是 “b＜b ＋ m” ∴ ＝ ２ ２ ２ ２ æ ç５ ö ÷ ２
＋ (１＋２＋３＋４)－４×è ø
的必要条件． ２
a a m ８ ^ a ５ ５ ８ ３．又收集了两组数据
m 是 ＋ 的既不充分也不必要 ＝ ,＝ － × ＝－ (５,
∴“ ＞０” “b＜b m” ５ ２ ２ ５ ２
＋
条件．
４)
和
(６,５)
后
,
新的平均数为x－′
＝
７
,
y－′
＝
１９
,∴
b^′
＝
．答案 ２ ６
４ 【 】B
解析 由题意知 各层楼的灯笼数从上至下依次 ７ １９
【 】 , (１×０＋２×２＋３×３＋４×５＋５×４＋６×５)－６× ×
２ ６
成等比数列 记为数列 a 第 层楼所挂灯笼 æ ö
, {n}, ５ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ç７÷ ２
数为a 公比q ．由S
a
１(１－
q５
) 解
(１＋２＋３＋４＋５＋６)－６×è
２
ø
１, ＝２ ５＝ q ＝１８６,
得a ．
１－
＝
３３
,
a^′
＝
１９
－
３３
×
７
＝－
２
,∴
^ b
＞
b^′
,
^ a
＜
a^′．
１＝６ ３５ ６ ３５ ２ １５
∴ 最中间一层的灯笼数为a ３＝ a １ q２ ＝２４ ． ８ ． 【 答案 】B
．答案 解析 Ax y Bx y 是圆C x ２
５ 【 】A 【 】 (１,１), (２,２) :(－１)＋
【 解析 】 令 sin α ＋sin β ＝ t ( t ＞０)①,∵cos α ＋cos β y２ ＝４ 上的动点 , 圆心C (１,０),
＝ １ ②,∴ 由 ① ２ ＋② ２ , 得 ２＋２cos( α － β )＝ t２ ＋ ∴( x １－１)( x ２－１)＋ y １ y ２＝ CA→ CB→ ＝－ ４ , 且
２ ３
数学试题 参考答案 第 页 共 页
１ ７CA→ CB→ 由BM→ MA→ 得CM→
＝ ＝２, ＝３ , ＝ b ２．
∴０＜ ＜
æ ö ２ ３
３
４
CA→
＋
１
４
CB→
,∴
CM→
＝ è
ç３
４
CA→
＋
１
４
CB→
ø
÷
＝ a２ ＋ b２ ＝(２－３ b ) ２ ＋ b２ ＝１０ b２ －１２ b ＋４＝
æ ö
９ CA→ ２ １ CB→２ ３CA→ CB→ ． １０è
çb
－
３
ø
÷ ２
＋
２
,
当b
＝
３时
,
a２
＋
b２ 取得最小
| |＋ | |＋ ＝ ２ ５ ５ ５
１６ １６ ８
动点M 在圆心为C 半径为 的圆上运 值 最小值为２ 选项 错误
∴ (１,０), ２ , ,∴ B ;
５
x２ y２
动 点P在椭圆 上运动 则 MP→ a a b a b a
, ＋ ＝１ , ≤ ２ ＋３ ３
９ ８ a＋ b＝ a ＋ b＝１＋a ＋ b≥１＋
３ ３ ３
PC→ ．
＋ ２ b a b a
又C 为椭圆 x２ y２ 的右焦点 ２ ３ ab＝３, 当且仅当３ a＝b, 即a ＝３ b ＝１
(１,０) ＋ ＝１ ,∴ ３ ３
９ ８ 时取等 选项 正确
PC 的最大值为 此时P为椭圆的左 ,∴ C ;
３＋１＝４,
a b a b １ ３
顶点 点M 的坐标为 MP→ 的最 ∵ ＋３＝２,∴(＋１)＋３(＋２)＝９,a ＋b
, (１＋ ２,０),∴ ＋１ ＋２
大值为 ．
４＋ ２ １ ９ １ a b
．答案 ＝a ＋１ ＋ ３( b ＋２) ＝ ９ [( ＋１)＋３( ＋２)]
９ 【 】ACD
【 解析 】 圆锥的侧面展开图如图所示． é ë ê ê a １ ＋ b ９ ù û ú ú ＝ １ é ë ê ê １０＋ ３ a ( b ＋２) ＋ ９( b a ＋１) ù û ú ú ≥
＋１ ３(＋２) ９ ＋１ ３(＋２)
１ １６
(１０＋２９)＝ ,
９ ９
b a
当且仅当３(＋２) ９(＋１)即a b
a ＝ b , ＋１＝ ＋２＝
＋１ ３(＋２)
设圆锥的母线长为l
,
底面半径为r
,
圆锥SO的 ９时取等号
,∴
选项
D
正确．
侧面积为 rl l 选项 正确 ４
π ＝４π,∴ ＝４,∴ A ; ．答案
r １１ 【 】BCD
圆锥SO的侧面展开图的圆心角α ２π π 解析 易知点 在曲线C上 选项
＝l ＝ , 【 】 (１,－１) ,∴ A
２
错误
选项 错误 ;
∴ B ;
如上图 , 由A点出发绕圆锥侧面一周 , 又回到A 令x２ ( x － y )＝０, 则直线y ＝ x和y轴为曲线
点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到
C的渐近线
,
事实上
,
曲线C的图象如下图所
示 选项 正确
的扇形的圆心角所对的弦长AA′AA′ l ,∴ B ;
, ＝ ２ ＝４
选项 正确
２,∴ C ;
球与圆锥内切时 球的半径最大 此时球心在轴
, ,
SO上 且内切球的大圆内切于圆锥的轴截面．设
,
内切球的半径为R 圆锥的高为 l２ r２
, － ＝ １５,
由等面积法得S １ １
△ SAB ＝ ×２× １５＝ ×(４＋４
２ ２
曲线Cx２x y 与曲线Ey２y x
: (－ )＝２ : (－ )＝２
＋２) R , 解得R ＝ ５ １５ ,∴ 选项 D 正确． 关于y ＝ x对称．又x２ ( x － y )＝２ 化为y ＝ x －
．答案
１０ 【 】ACD ２ x 曲线C在直线y x下方 由对称知
解析 由题意知 抛物线y２ px 在点 x２＜ ,∴ ＝ ,
【 】 , ＝－２
æ è ç －２, ４
３
ö ø ÷处的切线方程为４
３
y ＝－ p ( x －２), 且 曲 线C 线E 与 : y 曲 ２ 线 ( y E － x 没 ) 有 ＝ 交 ２ 点 在
,
直
∴
线 选 y 项 ＝
C
x 正 上 确 方
;
,∴ 曲
设Ax y Bx y 结合图象分析 当曲
p １６ 切线方程为x y ．又切线过 (１,１), (２,２), ,
４ ＝
９
,∴ ＋３ －２＝０ 线C与圆O
:
x２
＋
y２
＝２
交于A
,
B两点时
,
x
１
点ab 故a b 选项 正确 y y
(,), ＋３ ＝２,∴ A ; x 此时直线AB的斜率k １－ ２
a b a b 又ab均为正实数 ＞０,２＞０, ＝x x ＝
∵ ＋３ ＝２,∴ ＝２－３ , , , １－ ２
数学试题 参考答案 第 页 共 页
２ ７é ù
x ２ x ２ nê ê １ ú ú 恒成立 故 φx
１－x２
１
－ ２＋x２
２ ２(
x
１＋
x
２)
ë１－
(
x
＋１)(
x
＋
n
＋１)
û＞０ , ( )
x x ＝１＋ xx ２ ＞１＋ 在区间 上单调递增．
１－ ２ (１ ２) [０,＋∞)
４ x １ x ２ ４ ．又 {x２ １＋ y２ １＝２,① ∵ m ＞０,∴ φ ( m )＞ φ (０)＝０ 成立 , 符合题意 ;
( x １ x ２) ２＝１＋ ( x １ x ２) ３ x２ ２＋ y２ ２＝２,② ② 当a ≤０ 时 , φ′ ( x )＜０ 恒成立 ,∴ φ ( x ) 在区
得x２ x２ y２ y２ 那么x２ x２ 间 上单调递减． m φ m
①＋② １＋ ２＋ １＋ ２＝４, １＋ ２≤ [０,＋∞) ∵ ＞０,∴ ( )＜
４, 故 ２ x １ x ２＜ x２ １＋ x２ ２≤４, 即x １ x ２＜２, 从而k φ (０)＝０, 与题意矛盾 ;
选项 正确． n
＞１＋ ２,∴ D 当 a １时 φ′ an n
１２ ． 【 答案 】２ ③ ０＜ ＜ ２ , (０)＝２ －n ＋１ ＝
【 解析 】(１－ ax ) ６ ( a ≠０) 的展开式中二项式系 æ
è
ç
２
a
－n
１ ö
ø
÷
,
当n
∈
æ
è
ç
０,
１
a－１
ö
ø
÷时
,
φ′
(０)＜０
．
数和为 ６ 系数和为 a６ ＋１ ２
∵２
６
＝６
２
４
,
(１－
a
)
６
＝
(１
(２
－
－２
)
a
,
)
６
,∴２＝±(２－
又 φ′
(
x
)
在区间
[０,＋∞)
上单调递增
,
且
２ a ), 又a ≠０, 故 ２＝２ a －２, 解得a ＝２ ． φ′ æ è ç１ a－１ ö ø ÷ ＝２ an é ê ê１－ １ ù ú ú＞２ an (１－２ a )＞
．答案 é ê ê４ ７ ö ÷ ２ ë ê １ a＋ n û ú
１３ 【 】ë , ø ２
３ ３ æ ö
解析 由 x 得 π ωx π ω ０,∴∃
x
０∈è
ç
０,
１
a－１ø
÷
,
使得 φ′
(
x
０)＝０,
当x
【 】 ０≤ ≤π － ≤２ － ≤２π － ２
６ ６
π．令fx 则
æ
çωx π
ö
÷ 在区间
∈[０, x ０) 时 , φ′ ( x )＜０, φ ( x ) 在区间 [０, x ０) 上
( )＝０, sinè２ － ø＝１ 单调递减． m x 时 使得 φ m
６ ６ ∴∃ ∈(０,０) , ( )＜
上恰有两个实数根．令t ωx π 则 φ (０)＝０,
矛盾．
[０,π] ＝２ － , sin
６ 综上所述a １．
t 在区间
é
ê ê π ω π
ù
ú ú上恰有两个实数
,≥
２
＝１ ë－ ,２π － û
６ ６
． 证明 已知b C ３a c B 由正弦定
根．结合正弦函数图象与性质 , 可得５π ≤２π ω － １５ (１) : cos ＝ ５ ＋ cos ,
２
理得 B C ３ A C B
π ９π 解得４ ω ７． sin cos ＝ sin ＋sin cos ＝
＜ , ≤ ＜ ５
６ ２ ３ ３
３ B C C B
sin( ＋ )＋sin cos ,
５
整理得 B C B C． 分
sin cos ＝４cos sin ４
若 C 则 B 这与BC为 ABC
cos ＝０, cos ＝０, , △
的内角矛盾 C 同理 B ．
,∴cos ≠０, ,cos ≠０
分
é ö ６
．答案 ê ê１ ÷ 两边同除以 B C 得 B C．
１４ 【 】ë ,＋∞ø cos cos , tan ＝４tan
２ 分
解析 由题可知 m n 有 ７
【 】 ,∀ , ∈ (０,＋ ∞),
æ πö
ln( m ＋ n ＋１)＋ a ( m ＋ n ) ２ ＞ln( m ＋１)＋ am２ (２) 解 : 由 tan B ＝４tan C可知B , C ∈è ç ０, ø ÷．
n an２ 恒成立 即 amn m n ２
＋ln(＋１)＋ , ２ ＋ln( ＋
＋１)－ln( m ＋１)－ln( n ＋１)＞０ 恒成立． 又
sin
C
＝
５
,∴tan
C
＝
１
,tan
B
＝２,
令 φx anx x n x ５ ２
()＝２ ＋ln( ＋ ＋１)－ln( ＋１)－ 分
n x n ． ９
ln(＋１),≥０,＞０
∴
φ′
(
x
)＝２
an
＋x n
１
－x
１
,
令h
(
x
)＝ ∴sin
B
＝
２５．
＋ ＋１ ＋１ ５
设BC边上的高为h 则h c B ．
φ′x h′x １ １ , ＝ sin ＝２
(),∴ ( )＝－ x n ２＋ x ２＞ 分
(＋ ＋１) (＋１) １０
０,∴ φ′ ( x ) 在区间 [０,＋∞) 上单调递增． 又BC h h ２ ２ ． 分
＝ B＋ C＝ ＋ ＝５ １２
当a １时 φ′x n １ １ tan tan ２ １
① ≥ , ( )≥ ＋x n －x ＝
２ ＋ ＋１ ＋１ ２
数学试题 参考答案 第 页 共 页
３ ７é ù
S １BC h １ ． 分 ê ê２ ú ú． 分
∴ △ ABC ＝ ＝ ×５×２＝５ １３ ë ,２û １５
２ ２ ３
．解 当a 时fx x x x
１７ :(１) ＝１ ,( )＝e－ln ＋１, ＞０,
f′x x １． 分
()＝e－x １
令tx x １ t′x x １ 即
．解 如图 以A 为坐标原点 以AB AD
( )＝e －x,∴ ( )＝e ＋x２＞０,
１６ :(１) , , , , f′x 在区间 上单调递增． 分
AA 所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立如 () (０,＋∞) ３
１ 、 、 , æ ö
图所示的空间直角坐标坐标系． 分 又f′ç１÷ f′
１ è ø＝e－２＜０, (１)＝e－１＞０,
设DM→ λDD→ λ 则A ２
＝ １, ∈[０,１], (０,０,０), æ ö
B １(１,０,２), C (１,１,０), D (０,１,０), D １(０,１,２), ∴∃ x ０∈è ç１ ,１ø ÷ , 使得f′(x ０ ) ＝０ ． ５ 分
２
M (０,１,２ λ ), ２ 分 当x ∈(０, x ０) 时 , f′ ( x )＜ f′ ( x ０)＝０; 当x ∈
∴ B １ D→ ＝(－１,１,－２), AC→ ＝(１,１,０), AM→ ＝ ( x ０,＋∞) 时 , f′ ( x )＞ f′ ( x ０)＝０ ．
(０,１,２ λ ), 要使B １ D ⊥ 平面 MAC , 需满足 ∴ f ( x ) 在区间 (０, x ０) 上单调递减 , 在区间 ( x ０,
{ BD→ AC→ 上单调递增 x x 是fx 的唯一极小
１ ＝０, 分 ＋∞) , ＝ ０ ( )
４ 值点 无极大值点．
BD→ AM→ ,
１ ＝０,
fx 的极值点个数为 ． 分
由B
１
D→
AM→
＝１－４
λ
＝０,
解得λ
＝
１
４
．
６
分
(
∴
２) 解
(
法
)
一 : 令g ( x )＝ f
１
( x )
－
(２
－
a
) x
－ a
６
＝
ax x axx ．
e －ln －(２－ ),∈(１,＋∞)
原命题等价于函数gx 在区间 上
∴ ( ) (１,＋∞)
有两个零点． 分
７
g′x aax １ a
∵ ()＝ e －x－(２－ ),
当a 时 g′x 恒成立 gx 在区间
≤０ , ( )＜０ ,∴ ( )
上单调递减 gx 至多有一个零点
(１,＋∞) , ( ) ,
不合题意 分
; ９
当a 时 令ha ax x ax
当M 是棱DD 上靠近点D的四等分点时 ＞０ , ()＝e －ln －(２－ ) ,∴
∴ １ , h′a x ax x
有BD 平面MAC． 分 ()＝ e ＋ ＞０,
１ ⊥ ７ ha 在区间 上单调递增． 分
DM BN ∴ () (０,＋∞) １１
(２) 设 DD ＝BC＝ λ , λ ∈[０,１], 则M (０,１, 又a ∈ Z ,∴ h ( a )≥ h (１)＝e x －ln x － x．
１
令mx x x xx ．
λ N λ AA→ AM→ ()＝e－ln － ,∈(１,＋∞)
２ ), (１,,０),∴ １＝(０,０,２), ＝(０,
λ AN→ λ ． 分 m′x x １ 易知m′x 在区间
１,２ ), ＝(１,,０) ８ ∴ ()＝e－x－１, () (１,＋
设平面AMN的法向量为n ＝( x ０, y ０, z ０),
∞)
上单调递增
,∴
m′
(
x
)＞
m′
(１)＝e－２＞０
．
{ AM→ n y λz mx 在区间 上单调递增 mx
＝ ０＋２ ０＝０,令z 得 n ∴ ( ) (１,＋∞) , ( )＞
AN→ n ＝ x ０＋ λy ０＝０, ０ ＝１, ＝ m (１)＝e－１＞０ ． １３ 分
λ２ λ 为平面AMN的一个法向量．
从而g
(
x
)＝
h
(
a
)≥
m
(
x
)＞０
恒成立
,
故g
(
x
)
(２ ,－２ ,１)
在 上无零点 不合题意． 分
分 (１,＋∞) , １４
１１ 综上所述 不存在整数a 使得fx 的图象与
AA→ n , , ( )
点A
１
到平面ANM 的距离d
＝ n
１
＝ y ＝(２－ a ) x ＋ a的图象在区间 (１,＋∞) 上有
两个交点． 分
２ ２ 分 １５
(２ λ２ ) ２ ＋(－２ λ ) ２ ＋１ ＝ ２ λ２ ＋１ , １３ 解法二 : 依题意 , 假设 e ax －ln x ＋ a ＝(２－ a ) x
a有两解 方程 ax ax x x
d ２ 在区间 上单调递减 d ＋ ,∴ e ＋ －(ln ＋２ )＝０
∵ ＝ λ２ [０,１] ,∴ ∈ 有两解． 分
２ ＋１ ７
数学试题 参考答案 第 页 共 页
４ ７令hx ax ax x x b 分
()＝e ＋ －(ln ＋２ ), ＝ ＝１, ２
当a
≤０
时
,
h
(
x
)
为减函数
,
方程至多一个解
, ∴
双曲线C的标准方程为x２
－
y２
＝１
．
３
分
不合题意 分 直线AB 的方程为y x
; ９ (２)①∵ ２ ２ ＝－ ＋１,
当a 时 易知 ax ２ x xax x AB 平分 MAN 直线AM AN 关于
≥２ , e ≥e ＞ln , ≥２ , ２ ２ ∠ ２ ,∴ ２ , ２
hx 方程无解 分 直线AB 对称
∴ ()＞０, ; １１ ２ ２ ,
当a ＝１ 时 , h ( x )＝e x －ln x － x , h′ ( x )＝e x － ∴ 两直线的斜率之积k A ２ M k A ２ N ＝１ ． ５ 分
x １ －１ 为增函数 , 且h′ (１)＝e－２＞０,∴ h ( x ) 在 直线l的斜率显然存在 , 设l的方程为y ＝ kx
m
区间 上单调递增 方程最多一个解 不 ＋ ,
(１,＋∞) , , 设点Mx y Nx y
合题意． 分 (１,１), (２,２),
１４ {y kx m
综上所述 不存在整数a 使得fx 的图象与 联立 ＝ ＋ ,整理得 k２ x２ kmx
, , ( ) x２ y２ (１－ ) －２ －
y ax a的图象在区间 上有 － ＝１,
＝(２－ ) ＋ (１,＋∞) m２ ．
两个交点． 分 －１＝０
１５ 则有 k２ 且Δ km ２ k２
解法三 依题意 若方程 ax x a a １－ ≠０, ＝(－２ )＋４(１－ )
x a有
:
两解 即
,
方程 ax
e
a
－
x
ln ＋
x
＝(
x
２－ )
(
m２
＋１)＝４(
m２
－
k２
＋１)＞０,
＋ , e ＋ －(ln ＋２ )＝０
有两解． 分 x x ２
km
xx －
m２
－１ 分
７ １＋ ２＝ k２ ,１ ２＝ k２ , ６
令hx ax ax x x １－ １－
()＝e ＋ －(ln ＋２ ), y y kx m kx m
当a 时 hx 为减函数 方程至多一个解 又k k １ ２ ( １＋ )( ２＋ )
不合 ≤ 题 ０ 意 , ( ) , 分 , A ２ M A ２ N ＝x １－１ x ２－１ ＝ ( x １－１)( x ２－１)
; ９ k２xx kmx x m２
当a 时 转化为 ax ax x x １ ２＋ (１＋ ２)＋
＞０ 有两 , 解． e ＋ －(ln(２ )＋２ )＋ ＝ x １ x ２－( x １＋ x ２)＋１ ＝１,
ln２＝０ 整理得k２ xx km x x m２
设函数gt t t 易知gt 在R上单调递
( －１)１ ２＋( ＋１)(１＋ ２)＋
()＝e＋ , () 分
增 gax g x －１＝０, ８
,∴ ( )－ (ln(２ ))＝－ln２＜０, k２ m２ km km m２
这就要求gax g x 在区间 ∴( －１)(－ －１)＋( ＋１)２ ＋(
( )＜ (ln(２ )) (１,＋∞) k２
上有解． －１)(１－ )＝０,
km m２ mk m 得m 或k
x ∴２ ＋２ ＝２ (＋ )＝０, ＝０
ax x a ln(２ )． 分 m ． 分
∴ ＜ln(２ ),∴ ＜ x １２ ＋ ＝０ ９
当k m 时 直线l的方程为y kx k k
x x ＋ ＝０ , ＝ － ＝
设函数hx ln(２ )h′x １－ln(２ )
()＝ x , ()＝ x２ ,
(
x
－１),
即直线l过定点A 此时 MAN 不存
令h′x 得x e． ２(１,０), ∠ ２
()＝０, ＝ 在 舍去 分
２ , ; １０
当x
∈
æ
è
ç
１,
e ö
ø
÷时
,
h′
(
x
)＞０,
h
(
x
)
单调递增
;
当m ＝０, 且Δ ＝４(－ k２ ＋１)＞０ 时 , 此时直线l
２ 的方程为y kx 恒过定点 ．
æ ö ＝ , (０,０)
当x çe ÷时h′x hx 单调递减． 综上所述 直线l恒过定点 ． 分
∈è ,＋∞ø , ()＜０,() , (０,０) １１
２
æ ö
hx hçe÷ ２ ．
∴ ()≤ è ø＝ ＜１
２ e
显然有 a 不存在符合题意的正整数．
０＜ ＜１,∴
分
１４
综上所述 不存在整数a 使得fx 的图象与
, , ( )
y ax a的图象在区间 上有
＝(２－ ) ＋ (１,＋∞)
两个交点． 分
１５
ì ï æbö ２ ② 由 ① 知 , 直线MN的方程为y ＝ kx , 显然k ＝
．解 由题意得í ïï e ＝ １＋è ç aø ÷ ＝ ２, 解得a ０ 时 不 符 合 题 意 , 不 妨 设 ０＜ k ＜１ ．联 立
１８ :(１) ï { y kx
ï １ a b ＝ , 得 k２x２ ．
î ２ ２ ＝２, x２ y２ (１－ ) ＝１
２ － ＝１,
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５ ７则M æ è ç － １ １ － k２ ,－ １ k － k２ ö ø ÷ , N æ è ç １ １ － k２ , １ k － k２ ö ø ÷ , ( A ２ A ３ A Pn－１) ３ ＝ ( A １ A ２ A A ３ １ A A P P n n－１ A Pn) ３ ＝
∴ S △ A ２ MN ＝ １ ２ | OA ２|| y １－ y ２|＝ １ k － k２ ． － 两 Q 边 n３ 同 ,∴ 时 Q 取 n 以 ＋１ e ＝ 为 Q 底 n 的 ３ 对 , 数 , 则 l n Q n ＋１ ７ 分 ＝
１３ 分 ３ln Q n ,∵ln Q １|＝ln８,
又直线AM的方程为y y １ x 令x ∴{ln Q n } 是首项为 ln８, 公比为 ３ 的等比
２ ＝x (－１), ＝ 数列
１－１ ,
１ 得y y １ 即P æ ç１ y １ ö ÷． ln Q n ＝３ n －１ ln８＝３ n ln２,∴ Q n ＝２ ３ n ．由于
２ , ＝－ ２( x １－１) , è ２ ,－ ２( x １－１) ø Q １＞０, 故Q n ＝(－１) n ＋１ ２ ３ n ． ９ 分
同理 , Q æ è ç１ ,－ x y ２ ö ø ÷． P n ＋ Q n ＝２ n ＋１ ＋１＋(－１) n ＋１ ２ ３ n , 当n ≤６
２ ２(２－１) 时 ,| P n ＋ Q n |≤| P n |＋| Q n |＝２ n ＋１ ＋１＋２ ３ n ≤
∴ S △ A ２ PQ ＝ １ ２ × １－ １ ２ ×| PQ |＝ １ ４ × ２ ７ ＋１＋２ ７２９ ＜２ ２０２５ , １１ 分
y y k 当n ＝７ 时 ,| P ７＋ Q ７|＝２ ８ ＋１＋２ ３７ ＝２５７＋
－ ２( x １ １ －１) ＋ ２( x ２ ２ －１) ＝ １ ８ １＋ １－ k２ － ２ ２１８７ ＞２ ２０２５ ,∴ n的最小值为 ７ ． １２ 分
设事件A 该数列经过 次 延拓 后 Q
k k２ (２) : ３ “J ” ,３
１－ １－
k２ ＝ １
４
－ k ． １５ 分 能
基
被
本
４
事
８
件
整
总
除
数
．由
为
于a
３
, b , c都
．由
有
题
６
设
种
可
可
知
能
Q
性 , 故
k k２ ６ ＝２１６ , １＝
∴ S △ A ２ MN ＋ S △ A ２ PQ ＝
１－
k２ ＋ １
４
－ k ≥２× a２b３c２
,
Q
２＝
Q
ac
３ １
,
Q
３＝
Q
ac
３ ２
,∴
Q
３＝
a１４b２７c１４
,
而
１
４
＝１, 当且仅当
１
k
－
k２ ＝ １
４
－ k k２ , 即k ＝ ４ 既 ８ 要 ＝２ 有 ４ × 能 ３ 被 , 故
２
要 整 使 除 Q 的 ３ 数 能
,
被 又 ４ 要 ８ 有 整 能 除 被 , 则
３
a 整 , b 除 , c 的 中 数．
分
５时取等号． 分 １４
１６ 解法一 记事件B abc
５ : ＝“,,∈{－２,－１,１,２}”,
AMN与 APQ面积之和的最小值为 ． 事件C abc ．
∴△ ２ △ ２ １ ＝“,,∈{－３,－１,１,３}”
分 则PA PB C PB PC PBC
１７ ()＝ (∪ )＝ ()＋ ()－ ( )
１９
．解
:(１)①
数列
－１,２,１
第一次
“J
延拓
”
后得到
４ ３ ４ ３ ２ ３ ５． 分
数列 第 次 延拓 后得到数 ＝ ３＋ ３－ ３＝ １６
－１,－２,２,２,１, ２ “J ” ６ ６ ６ ９
列 P Q
－１,２,－２,－４,２,４,２,２,１,∴ ２＝９,２＝ PA PA ４．
． 分 ∴ ( )＝１－ ( )＝
－５１２ ２ ９
②
数列
－１,２,１
第n次
“J
延拓
”
后得到数列
,
记
∴
该数列经过
３
次
“J
延拓
”
后
,
Q
３
能被
４８
整除
为A １, A ２, A ３,, A Pn, 的概率为４．
１７
分
第n 次 延拓 后 每两项之间添加 项 共 ９
＋１ “J ” , １ , 解法二 令集合M N T
添加了
(
P
n －１)
项
,
:
．
＝{－３,３}, ＝{－２,２},
∴ 总项数P n ＋１＝ P n ＋( P n －１)＝２ P n －１, ＝{ 在 － 集 １, 合 １} M N T中各取一个数构成数列 共
分 ① , , ,
３ 有 种 分
故P n ＋１－１＝２( P n －１),∵ P １＝５, 在 C １ ２ 集 C １ ２ 合 C １ ２ M A ３ ３ 中 ＝４ 取 ８ 两次 ; 数 集 合 N 中 取 一 １ 个 ５ 数
P 是首项为 公比为 的等比数列 ② ,
∴{n －１} ４, ２ ,
１ １ １ ３
P n －１＝４×２ n －１ ＝２ n ＋１ , 即P n ＝２ n ＋１ ＋１ 构成数列 , 共有C２C２C ２ ２A３ ＝２４ 种 ; １６ 分
分 A２
４ 在集合N 中取两次数 集合M 中取一个数
第n 次 延拓 后 每相邻两项之间插入这 ③ ,
＋１ “J ” , １ １ １ ３
两项的乘积 在计算所有项的乘积时 构成数列 共有C２C２C２A３ 种．
,∴ , , ２ ＝２４
因子A i P 共出现了 次 A２
i(＝２,３,, n －１) ３ , 该数列经过 次 延拓 后 Q 能被 整除
A A 共出现了 次 A A ． ∴ ３ “J ” ,３ ４８
∴ １, 所 P 有 n 项 的 乘 ２ 积 , Q n １ ＋ ＝ １ － ＝ １, ( A Pn １ A ＝ P １ n) ２ 的概率为４８＋ ２ ２ １ ４ ６ ＋２４ ＝ ４ ９ ． １７ 分
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６ ７多维细目表
学科素养 预估难度
题型 题号 分值 必备知识 数学 逻辑 数学 直观 数学 数据
易 中 难
抽象 推理 建模 想象 运算 分析
选择题 复数的运算
１ ５ √ √ √
选择题 集合及其运算
２ ５ √ √
选择题 充分条件与必要条件
３ ５ √ √
选择题 等比数列求和
４ ５ √ √ √
选择题 三角恒等变换
５ ５ √ √ √
选择题 排列组合
６ ５ √ √ √ √
选择题 概率统计 偏统计
７ ５ ( ) √ √ √
解析几何综合
选择题
８ ５ 圆 椭圆相关问题 √ √ √
( 、 )
选择题 立体几何 位置关系转化
９ ６ ( ) √ √ √
选择题 不等式综合
１０ ６ √ √
选择题 解析几何 曲线与方程
１１ ６ ( ) √ √ √
填空题 二项式定理
１２ ５ √ √
填空题 三角函数性质综合
１３ ５ √ √ √
填空题 函数性质 与导数相关
１４ ５ ( ) √ √ √
解答题 解三角形
１５ １３ √ √ √
解答题 立体几何
１６ １５ √ √ √
解答题 导数
１７ １５ √ √ √
解答题 解析几何 双曲线相关问题
１８ １７ ( ) √ √ √
解答题 新定义问题 数列
１９ １７ ( ) √ √ √
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