云南省曲靖市2025届高三上学期第一次教学质量监测数学答案_2025年1月_250125云南省曲靖市2025届高三上学期第一次教学质量监测（全科）

曲靖市 2024-2025 学年高三年级第一次教学质量监测
数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C C D B B D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 ABD AC ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
题号 12 13 14
33 2 3  1 1 
答案 2 1，  ，3 
7  2 2 
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
x x 17
1 2 

15. 解：（1）设A  x ，y ，B  x ，y  ，则 2 8 ，
1 1 2 2 
 x x  p 25
 1 2 4
p2．抛物线C 的方程为y2 4x. ……………………………………6分
（2）由题意可知直线l不与x轴重合，又F  1，0 ，故可设直线l的方程为xmy1.
y2 4x
由 ，得y2 4my40，故y  y 4m.
xmy1 1 2
17 3
又x x  my 1  my 1 m  y  y 24m2 2 ，故m .
1 2 1 2 1 2
4 4
3
直线l的倾斜角为锐角，m . ………………………9分
4
第 1 页 共 5 页3
将m 带入 y2 4my40，解得 y 1或y 4.
4
不妨设点A在x轴下方，则A
1
，1

B  4，4  . ……………………11分
，
4 
设AOB外接圆的一般方程为x2  y2 DxEyF 0，
 29
F 0  D
4
 
1 17
则 DEF  0 ，解得 E 3 .
4 16  4
 4D4EF 320 F 0


29 3
AOB外接圆的一般方程为x2  y2  x y0. ………………13分
4 4
 
16. 解：（1） f  x  3sin2xcos2x2sin2x . ………………2分
 6
 f  C 2，sin

2C



1.又0C

，故

2C


5
，
 6 2 6 6 6
  
2C  ，故C  . ……………………………………4分
6 2 3
2sinA3sinB，由正弦定理得2a3b.
7
又c 7，由余弦定理得7a2 b2 ab a2.
9
a3，b2. ……………………………………7分
 
（2）由题意可知，g  x 2sin2x 2cos2x.
 2
 
g  A 0且0 A ，A . …………………………………10分
2 4
 
mnsinBcosCcosBsinC sin  BC sin2C 
.
………………12分
 4
  3  5
ABC为锐角三角形， C ， 2C  ，
4 2 4 4 4
2   2  2 2
 sin2C  ，即mn的取值范围是

 ，


.
…………15分
2  4 2  2 2 
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17. 解：（1）如图，取PB的中点为E ，连接EM ，EA，则EM //BC，且EM  BC.
2
AD//BC ，
EM //AD. ………………2分
DM //平面PAB ，DM 平面ADME ，
平面PAB 平面ADME  AE，
DM //AE.
又EM //AD，四边形ADME 为平行四边形. …………5分
1
EM  AD，又EM  BC，
2
BC 2AD4. ……………………………6分
（2）PA 平面ABCD，PA DC，又PDDC，PDPA P，
DC 平面PAD ，DC  AD.
如图所示，建立空间直角坐标系，设DC a  a0 ，则
 
D  0，0，0 ，A  2，0，0 ，P 2，0，2 3 ，C  0，a，0 
. …………8分
   
CP 2，a，2 3 ，AP 0，0，2 3 ，设平面ACP的一个法向量为m x，y，z ，
 2xay2 3z0
则 ，令xa，则y2，故m a，2，0  . ……………10分
 2 3z0
 
同理可得平面CPD的一个法向量为n 3，0，1 . ……………………12分
3a 2
二面角ACPD的大小为45 ，  ，
2 a2 4 2
a2 2 ，即DC 2 2 . ……………………13分
1 1 1 4 6
V V  S PA   22 22 3  ，
APDC PADC ADC
3 3 2 3
4 6
即三棱锥APDC的体积为 . ……………………15分
3
第 3 页 共 5 页18. 人教A版普通高中教科书选择性必修二104页19题改编
解：（1）当a0时， f  x e2x ex，
 f x 2e2x ex， f 0 3.
又 f  0 2，故 f  x 在x0处的切线方程为：3x y20 ……….…3分
  
（2） f x 2e2x  12a  ex a 2ex 1 ex a .
当a0时， f x 0，故 f  x 在R上单调递增；
当a0时，令 f x 0，得xlna，令 f x 0，得xlna，
故 f  x 在，lna 上单调递减，在 lna， 上单调递增.
综上所述，当a0时， f  x 在R上单调递增；
当a0时， f  x 在，lna 上单调递减，在 lna， 上单调递增.…………8分
（3）当a0时， f  x 在R上单调递增，不符合题意，故a0. ………9分
由（2）知，当a0时， f  x   f  lna a  1alna  .
min
 f  x 有两个零点，a  1alna 0.
又a0，1alna0. ……………………………11分
1 a1
令h  a 1alna  a0 ，则h a 1  0，
a a
h  a 在 0， 上单调递减，且h  1 0，
当a 1时，h  a 0，即 f  x  0. ……………………………13分
min
1 12a 1 1 a  e2 
又 f 1   a   0，
e2 e e2 e e
f  x 在1，lna 上有一个零点；
 
ex  x， f  x e2x 2aex axe2x 2aex aex ex ex 3a .
当xln3a时， f  x 0，
f  x 在 lna，ln3a 上有一个零点.
综上所述， f  x 有两个零点时，a的取值范围是 1，  . …………………17分
第 4 页 共 5 页19. 解：（1）当n1时， p 1，H  X  1log 1 0. ………3分
1 2
（2）H  X 与 p 负相关，理由如下： …………………4分
1
当n2时， p 1 p ，H  X   p log p  1 p  log  1 p  .
2 1 1 2 1 1 2 1
 1   1 
令 f  t tlog t 1t  log  1t   t1 ，则 f t log  1 0.
2 2 2
 2   t 
函数 f  t  在  1 ，1   上单调递减.
 2 
 H  X 与 p 负相关. …………………………………8分
1
（3）由题意知 p  p 4k2 34kn1 k 2，3，，n ，
k 2
  4k 4k
p log p 34kn1log 34kn1 3log 3 3  2k2n2 
k 2 k 2 2 4n1 4n1
3 3
 log 34k   kn1 4k  k 2，3，，n  . …………………10分
4n1 2 24n
n 3 n 3 n  
 p log p  log 3 4k    kn1 4k .
k 2 k 4n1 2 24n
k2 k2 k2
 
n 42 14n1 4n116
 4k 42 43 4n   . …………………12分
14 3
k2
n  
令T   kn1 4k  1n 42 2n 43 3n 441 4n ①
k2
则4T  1n 43  2n 44  3n 45 1 4n1 ②
 
43 14 n-1
由①-②得，3T  1n  42 43 44 4n 4n1  1n 42  ，
14
16  n1  644n2
T   . ……………………………14分
3 9
n  1  6n2 8 6n2log 27 8
 p log p  log 31 +   2 log 3 .
k 2 k 2  4n1 34n1 3 34n1 2 3
k2
n 2n2 6n2log 27 8
H  X p log p  p log p   2 log 3
1 2 1 k 2 k 4n1 34n1 2 3
k2
log 278 1 log 278
 2   2 . ……………………………17分
3 4n1 3
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