高二名校教研联盟2023-2024学年高二年级6月月考（6.25-26）数学试卷参考答案(1)_1多考区联考_0701名校教研联盟2023-2024学年高二年级6月月考

绝密★启用前 数学参考答案 1.【答案】B 【解析】|z| 1b2  2且b 0，故b  3，z 1 3i，所以z 1 3i. 2.【答案】A 【解析】A{x 3 x1}且B{1,0,1}，故AB{1,0}. 3．【答案】D 【解析】(1x)8展开式中x2的系数为C2(1)2 28. 8 4.【答案】A 2 cos( 4x)1 【解析】 f (x) 5 1 1 cos(4x 2 ) 1 ，所以 f(x) 的最小正周期为 2 2 5 2 2   . 4 2 5.【答案】C |21| 2 【解析】圆心(2,1)到直线 y  x 的距离d   ，记弦长l  6 ，圆的半径为r ， 2 2 l 则r2  d2 ( )2  2，故圆的方程为(x2)2 (y1)2 2. 2 6.【答案】B 2n 【解析】( n )lg n2 lg n ， n2 n n1 1 n2 1 2 9 1 2 9 1 故( )( ) ( )  lg(   )  lg  1． 3 4 11 2 3 10 10 7.【答案】D 【解析】如图，设M 为EF 的中点，M 在底面ABCD上 的射影为H ，根据题意可知球心O在MH 上，设球半径 3 2 6 为R，OH x，且易知AH  ，EM  ，MH 3， 2 2 3 2 6 则R2  AH2 OH2 EM2 MO2，即( )2x2 ( )2(3x)2，解得x1，故 2 2 11 R2  ，所以球的表面积S 4R2 22. 2 数学参考答案 第1页（共8页）8.【答案】D 【解析】设 f(x)2sinxexex，则 f(x)2cosxex ex ≤2cosx2 exex ≤0， f(x) 单调递减，当 x0 时， f(x) f(0)0 ，当 x0 时， f(x) f(0)0 .因为 1 2sin(lnx)x sin2yey ey，即 f(lnx) f(y)2siny(cosy1).若0≤y，则 x f(lnx)≤ f(y)，此时lnx≥y≥0，x≥1；若 y≥，显然sin2yey ey 0，此时x1. 同理，若y≤0，则x≤1，故(x1)y≥0，即xy≥y. 9.【答案】BD（选对部分得3分） 【解析】若|a||b|，则 2 4  12 ，故2 2 3，A错误；若a 与b共线，则   2  0 ，即  2 ，故B正确；a b，则2 0，即 2，故C错误； 由B可知，因为ab  (1,2)，ab (1,2)，故若(ab)∥(ab)，则 (1)(2)(1)(2)0，则  2，故D正确. 10.【答案】BCD（选对部分得3分） 【解析】根据题意有a b ，b  2b  4b  4a ，故A错误； 1 1 3 2 1 1 因为a b ，故当a  0时，b  0，{b }是公比为2的等比数列，故B正确； 1 1 1 1 n 根据题意可得b b 2n1  a 2n1  a n1，a  a 2n11n ，故当b  a  0 时， n 1 1 n n 1 1 1 a 1n ，故C正确； n 当a b 1时，由上可知a a  a 2n110，故{a }是递增数列，故D正确. 1 1 n1 n 1 n 11.【答案】ABD（选对部分得3分） 【解析】方法1：如图，设C 的半焦距为c ，离心率为e，延长F P到Q ， 2 使得|PQ ||PF |，则|QF ||PF ||PF |2a ，因为PFF 40， 1 2 1 2 1 2 PF F 60，则FPF 80，故PFQPQF PFF 40， 2 1 1 2 1 1 1 2 2c |F F | |PF | 故△PFF ∽△FQF ，所以e   1 2  2 ，故A正确； 1 2 1 2 2a |QF | |F F | 2 1 2 |FF | 又因为e  1 2 ，且由△PFF ∽△FQF 可得|FF | |PF ||QF |  |PF |2a ， 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2a 数学参考答案 第2页（共8页）|PF | |PF | sin 40 sin40 1 故e 2 ，故B正确；由正弦定理可e  2    ， 2a |FF | sin80 2sin40cos40 2cos40 1 2 故C错误；在线段FF 上取点R，使得 RF  PF ，则△PRF 是等边三角形，且 1 2 2 2 2 PRF 120，FPR  20，故由正弦定理可知 1 1 |RF ||RF | |RF ||PR| sin20sin40 sin20sin40 e 1 2  1   ，故D正确. |PF ||PF | |PF ||PR| sin120sin40 sin40sin60 1 2 1 |FF | sin80 1 方法2：由正弦定理得e 1 2   ．因为 |PF ||PF | sin60sin40 2cos40 1 2 |PF | sin40 1 c |PF | c |PF | 2   ，所以A正确．由A得  2 ，所以( )2  2 ， |FF | sin80 2cos40 a 2c a 2a 1 2 sin20sin40 1 所以B正确．C错误．由于  ，所以D正确． sin60sin40 2cos40 12.【答案】976 【解析】根据题意可知棱台的上底面面积S  64 平方米，下底面面积S 100 平方米，高 1 2 1 h12米，故体积V  (S S  S S )h976立方米. 1 2 1 2 3 13.【答案】0.1814 【解析】因为 X ~ N(1,4)，则 μ 1,σ  2 ， 故P(X ≤3)P(X ≥3) (10.9545)2(10.6827)2  0.1814. 13 14.【答案】[1,5]， （答对一空给3分，全对给5分） 2 y2 y2 y2 【解析】设P(x ,y )，Q(x ,y )，R(x ,y )，其中x  1 ,x  2 ,x  3 ，易知F(1,0)， 1 1 2 2 3 3 1 2 3 4 4 4 且因为PF2QF2RF  0，则y22y22y2 20，且y 2y 2y 0，可得到关于y 1 2 3 1 2 3 2 的一元二次方程为8y24y y 3y2400，故应满足16y232(3y240)≥0，故0≤ 2 1 2 1 1 1 y2 y2≤16，又由抛物线的定义可知|PF| 1 1，故1≤|PF |≤5，等号分别在x 0，x 4 1 4 1 1 时成立，即|PF |的取值范围是[1,5]．因为4y2 y2≥4y y ，由上可知4y2 12y2 40≥ 2 1 1 2 1 2 y2 y2 8y24y y 3y2400 ， 故 y2 3y2 ≥ 10 ， |PF|3|QF|( 1 1)3( 2 1) ≥ 2 1 2 1 1 2 4 4 5 13 5 13 4 ，等号在x  x  成立，故|PF|3|QF|的最小值是 . 2 2 1 2 8 2 数学参考答案 第3页（共8页）15.（13分） 【解析】（1）因为asinAbsinC，由正弦定理可得a2 bc ， ……2分 又由余弦定理可得a2 b2 c2 2bccos Abc ， ……4分  故当A 时，b2 c2 bc bc ，(bc)2 0，故bc． ……6分 3  故若A ，则△ABC是等边三角形． ……7分 3 （2）因为2 2sinA2sinBsinC，由正弦定理可得2 2a2bc， ……9分 故8a2 4b24bcc2，又由（1）可知a2  bc ，故8bc4b24bcc2， 所以(2bc)2 0，c 2b，a2 bc2b2. ……11分 b2c2a2 b24b22b2 3 故由余弦定理可得cosA   . ……13分 2bc 4b2 4 16.（15分） 【解析】（1）方法1：如图，设G为AB的中点，连接FG，EG．因 1 为E ，F 分别为直四棱柱ABCDABC D 的棱CC ，AB 的中 1 1 1 1 1 1 1 1 1 点，所以FG∥BB,FG  BB，C E∥BB,CE BB， 1 2 1 1 1 1 2 1 故FG∥C E，FGCE． ……3分 1 1 所以四边形C FGE 是平行四边形，所以C F∥EG．……5分 1 1 又因为C F 平面 ABE ， EG 平面 ABE ，故C F∥平面 1 1 1 1 ABE . ……7分 1 方法2：如图，设G为BB 的中点，连接FG，CG，因为E ，F 分 1 1 别为CC ，AB 的中点，故FG∥AB，且CG∥BE. ……2分 1 1 1 1 1 AB平面 ABE ，FG平面 ABE ，故FG∥平面 ABE ，同理 1 1 1 1 CG∥ 平面 ABE ，且 FGCGG ，故平面 C FG∥ 平面 1 1 1 1 ABE . ……5分 1 又因为C F 平面C FG，故C F∥平面ABE . ……7分 1 1 1 1 （2）以D为坐标原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DD 1 为z轴建立坐标系，设AB2，则A(2,0,4)，B(2,2,0)，E(0,2,2)，F(2,1,4)，故AB(0,2,4)， 1 1 BE(2,0,2)，FB(0,1,4). ……10分 设平面ABE 与平面FBE的法向量分别为m (x ,y ,z )，n (x ,y ,z )，则 1 1 1 1 2 2 2 数学参考答案 第4页（共8页）2y 4z 0 2x 2z 0  1 1 ， 2 2 ， 2x 2z 0 y 4z 0 1 1 2 2 不妨取x 1，x 1，则m (1,2,1)，n (1,4,1)， ……13分 1 2 mn 181 5 3 所以cos m,n    ， ……14分 |m||n| 6 18 9 6 二面角A BEF 的正弦值为 . ……15分 1 9 17.（15分） 【解析】（1）记事件A 表示第一次从甲袋子取出的是红球，A 表示第二次从乙袋子取出的 1 2 是红球，则P(A )P(A)P(A |A)P(A)P(A |A) ……3分 2 1 2 1 1 2 1 3 4 2 3 3      . ……5分 5 6 5 6 5 P(AA ) （2）在（1）所设的条件下有：P(A |A ) 1 2 ……7分 1 2 P(A ) 2 2 3  5 6 1   . ……9分 3 3 5 （3）记第二次从乙袋子随机取出两个球中白球个数为X ，则X 0,1,2， 3 C2 2 C2 8 其中P(X 0)  4   3  ， ……10分 5 C2 5 C2 25 6 6 3 C1C1 2 C1C1 14 P(X 1)  4 2   3 3  ， ……11分 5 C2 5 C2 25 6 6 3 C2 2 C2 3 P(X 2)  2   3  . ……12分 5 C2 5 C2 25 6 6 X 的分布列为： X 0 1 2 8 14 3 ……13分 P 25 25 25 8 14 3 4 所以EX 0 1 2  . ……15分 25 25 25 5 18.（17分） 数学参考答案 第5页（共8页）【解析】（1）因为C 的右顶点为A(1,0)，故a1. ……1分 b |b| 6 设C的一条渐近线为y xbx，则  . ……3分 a b21 3 解得b2 2. ……4分 y2 所以C 的方程为x2  1. ……5分 2 （2）易知过点(1,1)且垂直于x轴的直线与C仅有一个公共点，不合题意. ……6分 设过点(1,1)的直线为yk(x1)1，与C的方程联立有： (2k2)x2 2k(k1)xk2 2k30. ……8分 2k(k1) k22k3 设P(x,y)，Q(x ,y )，则k 2，0，且x x  ，xx  ．……9分 1 1 2 2 1 2 k22 1 2 k22 故直线AQ的方程为y x(1x )yy 0. ……10分 2 2 2 y  y x AQ与直线x x 的方程联立可得R(x , 2 2 1). ……12分 1 1 1 x 2 (2k1)(x x )2kxx 2k2 记线段PR的中点为M(x ,y )，则M(x , 1 2 1 2 )， ……13分 M M 1 2(1x ) 2 y (12k)(x x )2kxx 2k2 故直线AM 的斜率为 M  1 2 1 2 x 1 2xx 2(x x )2 M 1 2 1 2 x x 2 2k4  1 2 k  k 2. ……15分 2x x 2(x x )2 2 1 2 1 2 所以M 在直线 y  2x  2上. ……16分 故以线段 PR 的中点为圆心且过坐标原点的圆还过原点关于直线 y  2x  2 的对称点 8 4 ( , ). ……17分 5 5 8 4 注：没有给出定点的坐标( , )不扣分，但若给出的定点坐标计算错误则扣1分. 5 5 19.（17分） 【解析】（1）根据题意有 f(x)ex 1. ……1分 n 当x0时， f(x)0， f (x)单调递减，当x0时， f(x)0， f (x)单调递增， n n n n 故 f (x)≥ f (0)1lna a . ……2分 n n n n 1x 设(x)1lnxx，则(x) ，当0x1时，(x)0，(x)单调递增，当x1时， x 数学参考答案 第6页（共8页）(x)0，(x)单调递减，(a )≤(1)0，故若 f (x)≥0，则a 1. ……4分 n n n n a n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 n 所以 i   (  )1      . ……5分 b b i i1 2 2 3 n n1 n1 i1 i i1 i i1 （2）（i）由题设可知a 1，由（1）可知，f (0)1lna a 0(i1,2,n)，且 f (x)在(,0) n i i i i 和(0,)分别单调，若 f (x)有两个零点x ，x ，则正、负各一个，故 f (x), f (x),, f (x) i i1 i2 1 2 n 共有2n个零点，即M有2n个元素，且n个是正数，n个是负数.又因为 X ,Y 各有n个元 素，且 X Y  ，故M的所有元素要么属于X，要么属于Y. ……6分 若x 0且y 0，则x x 0且y  y 0，故至少有n1个零点是正数，这与恰 i i ni 1i ni1个 i个 n 有n个零点是正数矛盾.同理，x,y 也不能同为负数.故x 与y 异号， x y 0.……7分 i i i i i i i1 由上不妨设x 0 x ，则x 0， f(x ) f(x ) f(x ) f(x )ex i1 ex i1 2x . i1 i2 i1 i1 i2 i1 i1 i1 设(x)ex ex 2x，则(x)exex2≤0，(x)单调递减，故(x )(0)0， i1 即 f(x ) f(x ) f(x )，故0 x x ，x x 0. ……9分 i1 i1 i2 i2 i1 i1 i2 n n n 所以 (x 1)(y 1) (x  x ) x y nn. ……10分 i i i1 i2 i i i1 i1 i1 （ii）将M的2n个元素按照从小到大的顺序排列得到数列x,x,,x ，其中x,x,,x 1 2 2n 1 2 n 均为负数， x ,x ,,x 均为正数.因为 x  x  x ， y  y  y ，故 n1 n2 2n 1 2 n 1 2 n max{x,y}≥x x x ，且max{x ,y}≥y  y  y ，故max{x,y}至少大 i i i i11 i i ii1n i i i个 ni1个 于M中的n个元素，max{x,y}为x ,x ,,x 中的某一项；同理可知，min{x,y}为 i i n1 n2 2n i i x,x,,x 中的某一项. ……12分 1 2 n 因为|x  y |max{x ,y}min{x ,y}， i i i i i i n n 故 |x  y |(x x x )(xx x) (x x ). ……13分 i i n1 n2 2n 1 2 n i2 i1 i1 i1 1 xe1x 1 f (1a )e1a i 1lna ，设g(x)e1x 1lnx(x1)，则g(x)e1x   ， i i i x x 数学参考答案 第7页（共8页）设h(x)xe1x 1，则h(x)(x1)e1x，当x1时，h(x)0，h(x)单调递增，h(x)h(1)0， h(x) g(x) 0，g(x)单调递增， f(1a )g(a )g(1)0. i i x 故由（i）可知1a x 0，且0 x x a 1. ……14分 i i1 i2 i1 i n n n n 1 2n 故由上可知， |x y | (x x )2  (a 1)2   . ……15分 i i i2 i1 i b n1 i1 i1 i1 i1 i 1 1 1 1 1 1 1 1 f(1 )e a i 1 ln a ，设t(x)e1x1xlnx (0x1)，则t(x)e1x1  ， a a a i x x x2 i i i 1 1 1 1 h(x) 当0x1时，t(x)e1x1 ( 1)e1x1 1e1x g(x) ，且由上可 x x x x x h(x) 1 1 知，g(x) 0，故t(x)0，t(x)单调递增，故 f(1 )t( )t(1)0. ……16分 x a a i i 1 n n n 1 n 1 n 同上有x x 1 ，故 |x y | (x x ) 2  (1 )  . i1 i2 a i i i2 i1 a b n1 i i1 i1 i1 i i1 i n n 2n 综上，  |x  y | . ……17分 n1 i i n1 i1 n n n n 注：（ii）中证明右侧不等式时，可根据 |x y |≤ |x | |y | (x x )，按照相 i i i i i2 i1 i1 i1 i1 i1 n n 应步骤评分，但证明左侧证明等式时，仍需先证明 |x y |  (x x ). i i i2 i1 i1 i1 数学参考答案 第8页（共8页）