文档内容
2024 年高二数学秋季开学考试（北京专用）
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A．1或 B． 或2 C．1或 D． 或
2．复数 （其中 为虚数单位）的虚部等于（ ）
A． B． C．1 D．0
3．经过点 且斜率为 的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面
边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（ ）
A．56 B． C． D．5．已知一组样本数据 ， ，…， （ ）的方差为1.2，则 ， ， ，
⋯
的方差为（ ）．
A．5 B．6 C．25 D．30
6．袋中装有大小相同的5个小球，其中1个红球，2个白球，2个黑球，从袋中任意取出
两个小球，则取到红球的概率为（ ）．
A． B． C． D．
7． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．有4个大小质地相同的小球，分别标有数字 ，从中不放回的随机抽取两次，每
次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球
的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的
球的数字之和为5”，则（ ）
A．甲和乙相互独立 B．甲和丙相互独立
C．甲和丁相互独立 D．丁和丙相互独立
9．已知两个不重合的平面 ， ，三条不重合的直线a，b，c，则下列四个命题中正确
的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C． ， ， ， ，则 D． ， ， ，则
10．在四边形 中， ，将 折起，
使平面 平面 ，构成三棱锥 ，如图，则在三棱锥 中，下列结论
不正确的是（ ）A． B．
C．平面 平面 D．平面 平面
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知 则 在 上的投影向量为
12．过点 和点 的直线的斜率为 .
13．数据： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的第 百分位数为 ．
14．已知三棱锥 ， ，则三棱锥
的外接球的表面积为 .
15．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，
它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八
个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为2，则该
多面体外接球的表面积为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知平面向量 ， ， ，其中 .
(1)若 为单位向量，且 ，求 的坐标；
(2)若 且 与 垂直，求向量 ， 夹角的余弦值.17．在 中，角 所对的边分别是 .
(1)若 是 的中点，且 ，求 的面积；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
18．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励
居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x
（吨），使居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了
解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将
数据按照 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中 .
(1)求直方图中a，b的值；
(2)由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明
理由.
19．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获
胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概
率为 ，且各次投篮互不影响.
(1)求甲获胜的概率；
(2)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率；(3)若用投掷一枚质地均匀硬币的方式决定甲、乙两人谁先投篮，求第3次投篮结束后，投
篮结束的概率.
20．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ，
，平面 平面 ．
(1)求证： ；
(2)求平面APB与平面 夹角的余弦值；
(3)在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说
明理由．
20．设n为正整数，集合A= ．对于集合A中的
任意元素 和 ，记
M（ ）= ．
（Ⅰ）当n=3时，若 ， ，求M（ ）和M（ ）的值；
（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素 ，当 相同时，
M（ ）是奇数；当 不同时，M（ ）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素
，M（ ）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
