文档内容
2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷
（时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：数列+直线方程。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知经过 两点的直线的斜率为 ，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
1.【答案】B
【解析】依题意， .
故选：B
2．已知等差数列 的公差为 ，若 ， ， 成等比数列， 是 的前 项和，则 等于（
）
A. 8 B. 6 C. D. 0
2.【答案】D
【解析】 ， ， 成等比数列， ，
1 / 18
学科网（北京）股份有限公司，化为 ，解得 ，
.
则
故选：D.
3．直线 的方程为： ，若直线 不经过第一象限，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3.【答案】C
【解析】若直线 斜率不存在，即 不经过第一象限，
若直线 斜率存在，即 ，
所以 ，
综上实数 的取值范围为 ，
故选：C.
4．等差数列 的前 项和为 ，若 为定值时 也是定值，则 的值为（ ）
A. 13 B. 11 C. 9 D. 不能确定
4.【答案】A
【解析】因为 为定值且 ，故 为定值，故 为定值，其中 为公差.
而 ，
故当且仅当 即 时， 为定值.
故选：A.
2 / 18
学科网（北京）股份有限公司5．已知点 ， ，若过点 的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（
）
A. B.
C. D.
5.【答案】B
【解析】记 为点 ，直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
因为直线l过点 ，且与线段 相交，
结合图象，可得直线 的斜率 的取值范围是 ．
故选：B．
6．如图所示，已知 ， ， ， ， ，一束光线从 点出发射到
上的 点经 反射后，再经 反射，落到线段 上（不含端点），则直线 的斜率的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
6.【答案】B
3 / 18
学科网（北京）股份有限公司【解析】如图所示，从特殊位置考虑.
∵点 关于直线 的对称点为 ，
∴直线 的斜率 ，∴ .
∵ 关于直线 的对称点为 ，
点 关于直线 的对称点为 ，此时直线 的斜率不存在.
综上， .
故选：B.
7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第
三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若此
数列被2除后的余数构成一个新数列 ，则数列 的前2026项的和为（ ）
A. 1350 B. 676 C. 1351 D. 1352
7.【答案】C
【解析】 ，
除以2 所得余数分别为 ，
即 是周期为3 的周期数列，
因为 ，
，
4 / 18
学科网（北京）股份有限公司所以数列 的 前2026 项和为 .
故选：C
8．过定点 的直线 与过定点 的直线 交于点 （ 与
不重合），则 面积的最大值为（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
8.【答案】B
【解析】
【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.
【详解】动直线 化为 ，可知定点 ，
动直线 化为 ，令 ，
解得 ，可知定点 ，
又 ，
所以直线 与直线 垂直， 为交点，
.
则 ，当且仅当 时，等号成立.
即 面积的最大值为 .
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．以下四个命题叙述正确的是（ ）
5 / 18
学科网（北京）股份有限公司A. 直线 在 轴上的截距是1
B. 直线 和 的交点为 ，且 在直线 上，则 的值是
C. 设点 是直线 上的动点， 为原点，则 的最小值是√2
D. 直线 ，若 ，则 或2
9.【答案】BC
【解析】对于A，直线 在 轴上的截距是 ，A错误；
对于B，由 解得 ，即 ，则 ，解得 ，B正确；
对于C，依题意， ，C正确；
对于D，当 时，直线 重合，D错误.
故选：BC
10.已知数列 满足 ，且 ，则下列正确的有（ ）
A.
B. 数列 的前 项和为
C. 数列 的前 项和为
D. 若数列 的前 项和为 ，则
10.【答案】ACD
6 / 18
学科网（北京）股份有限公司【解析】对A，由 可得 ，故数列 是以 为首项，1为公差的等
差数列，
故 ，即 ，则 ，故A正确；
对B， ，故数列 的前 项和为 ，故B错误；
对C， ，则前 项和为
，故C正确；
对D， ，
则 ，
又易得 随 的增大而增大，故 ，即 ，故D正确.
故选：ACD
11．对于数列 （ ），定义 为 ， ，…， 中最大值（ ）（ ），把
数列 称为数列 的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（ ）
A. 若数列 是递减数列，则 为常数列
B. 若数列 是递增数列，则有
7 / 18
学科网（北京）股份有限公司C. 满足 为2，3，3，5，5的所有数列 的个数为8
D. 若 ，记 为 的前n项和，则
11.【答案】ABD
【解析】若数列 是递减数列，则 是 ， ，…， 中最大值（ ）（ ），
所以 ， 为常数列，A选项正确；
若数列 是递增数列，则 是 ， ，…， 中最大值（ ）（ ），
所以 ，即 ，B选项正确；
满足 为2，3，3，5，5，则 ， ， 可以取1，2，3， ， 可以取1，2，3，4，
5，
所有数列 的个数为 ，C选项错误；
若 ，则数列 中奇数项构成递增的正项数列，偶数项都是负数，
则有 ，
所以 ，D选项正确.
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 是公比为 的等比数列，若 ，则
______.
12.【答案】25
8 / 18
学科网（北京）股份有限公司【解析】因为
所以
故答案为：25
13．若直线 过点 ，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线 的方程为______．
13.【答案】 或
【解析】当截距为0时，设直线 的方程为 ，
将 代入得， ，解得 ，
故直线 的方程为 ，
当截距不为0时，设直线 的方程为 ，
将 代入得， ，解得 ，
故直线 的方程为 ，
故直线 的方程为 或 .
故答案为： 或
14．已知数列 满足 ，若不等式 对任意的
都成立，则实数 的取值范围是______.
9 / 18
学科网（北京）股份有限公司14.【答案】
【解析】由 ， ，可得 ，
整理得 ， ，
所以数列 表示首项为2，公差为1的等差数列.
，则 ，
又由 恒成立，即 ，对 恒成立，
令 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，又 ，
当 时， ，当 时， ，
由对勾函数 的单调性，得 ，所以 .
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
10 / 18
学科网（北京）股份有限公司已知 中， ， ， 边所在直线方程为 ， 边上的高所在直线方
程为 .
（1）求 边所在直线的方程；
（2）求 边的中线所在直线的方程.
15．（13分）
【解析】（1）因为 边所在直线方程为 ，故可设 ，
因为 边上的高所在直线方程为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，故所求为 ，即 ；
（2）因为 ， ，设 中点为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
故所求为 ，即 .
16．（15分）在等差数列 中， 的前 项的和为 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 取最大值时 的值；
（3）设 ，求 ．
11 / 18
学科网（北京）股份有限公司16．（15分）
【解析】（1）由题意知在等差数列 中， ，设公差为d，
则 ，则 ，
故 ，故通项公式 ．
（2）结合（1）可得 ，
当 时， 取最大值．
（3） ，
由 ，得 ，
即 时有 ， 时有 ，
若 ， ，
若 时，
，
综合上述 ．
17．（15分）
已知直线 和直线 交于点 ，求满足下列条件的一般式直线方程.
（1）过点 且与直线 平行；
（2）过点 且到原点的距离等于2；
12 / 18
学科网（北京）股份有限公司（3）直线 关于直线 对称的直线.
17．（15分）
【解析】（1）联立方程 ，解得 ， ．
设与直线 平行的直线为 ，
由题意得： ， ，
故满足要求的直线方程为： ．
（2）①当所求直线斜率不存在时，直线方程为 ，满足到原点的距离为2；
②当所求直线斜率存在时，设直线方程为 ，
即 ，
原点到该直线的距离为 ， 解得 ，
直线方程为 ，
综上所述，符合题意的直线方程为 或 ．
（3）在 上取一点 ，设点 关于直线 的对称点为点 ，则
，解得 ， ，
又 ，则直线 的方程即所求直线方程，为 ，
化简得， .
13 / 18
学科网（北京）股份有限公司故所求的直线方程为： ．
18．（17分）
如图，将一块等腰直角三角板 置于平面直角坐标系中，已知 ，点
是三角板内一点，现因三角板中部分（ 内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯
掉，可用经过 的任意一直线 将其锯成 ．
（1）求直线 的斜率的取值范围；
（2）若 点满足 ，这样的直线 是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此
时直线 的方程；
（3）如何确定直线 的斜率，才能使锯成的 的面积取得最大值和最小值？并求出最值.
18．（17分）
【解析】（1）依题意，得MN方程为： ，即 ，
14 / 18
学科网（北京）股份有限公司∵AB⊥OB，|AB|＝|OB|＝1，∴直线OA方程为：y＝x ，直线AB方程为：x＝1，
联立 ，得 ．
联立 ，得 .
所以 ，解得 ；
（2）若 ，可得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，整理得
（3）在 中，由（1）知：
S ＝ ＝ ．
AMN
△
设 ，设 ．∴f（t）在 是单调递增．∴当 时， ，即
当1﹣k＝ 时即k＝ 时，（S） ＝
max
当 时， ，即当1﹣k＝ 时即k＝ 时，（S） ＝ ，
min
面积的取值范围 .
15 / 18
学科网（北京）股份有限公司19．（17分）
在数列 中，按照下面方式构成“次生数列”
，…， ，其中 表示数列 中最
小的项.
（1）若数列 中各项均不相等，只有4项， ，且 ，请写出 的
所有“次生数列” ；
（2）若 满足 ，且 为等比数列， 的“次生数列”为 .
（i）求 的值；
（ii）求 的前 项和 .
19．（17分）
【解析】（1）因为 ， ， 中各项均不相等，
所以 ，
若 ，此时“次生数列” 为 ，
若 ，此时“次生数列” 为 ，
若 ，此时“次生数列” 为 ，
所以“次生数列” 的定义可知 有3个，
分别为 或 或 .
（2）（i）设数列 的公比为 ，
16 / 18
学科网（北京）股份有限公司因为 为等比数列，且 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，则 .
由“次生数列” 的定义，可知 ，
，
故 .
（ii）由（i）可知当 为偶数时， ，
①
，②
由①-②得
，
所以 .
当 时， ，
17 / 18
学科网（北京）股份有限公司当 为奇数且 时， 为偶数，
则
，
显然当 时，也符合上式，
故
18 / 18
学科网（北京）股份有限公司
