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2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B B D C C C A C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AD ACD BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 或13 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）根据直线方程确定斜率，进而得到倾斜角，再求直线 的斜率，应用点斜式写出直线方程；
（2）根据目标式的几何意义，数形结合求其范围.
【详解】（1）因为直线 的斜率为 ，所以其倾斜角为 ，
则 的倾斜角为 ，可知 的斜率 ，
所以 的方程为 ，即 ；（6分）
（2） 表示 与点 连线的斜率 ，
又 是直线 在 部分上的动点，如下图示：
则 ，直线AB的斜率不存在，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 的取值范围为 .（13分）
16.（15分）
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，通过证明四边形 为平行四边形得到 ，再利用
线面平行的判定定理即可证得结论；
（2）法一：延长 ， 交于 ，连接 ，由此作出二面角 的平面角 .并证明，再求
的余弦值即可.
法二：先证得 两两垂直，以 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法计算二面角的余弦值即
可.
【详解】（1）取 中点 ，连接 ， ，则 为 的中位线.
∴GF//CD， 又 且 . 四边形 为平行四边形.
又 平面 ， 平面 ∥平面 .(6分）
（2）法一：延长 ， 交于 ，连接
是等边三角形， 为 的中点, 又 且 .
为 的中位线, 为 的中点又 为 的中点， 为 的中位线， ，
.
∵平面 平面ACD，平面 平面ACD=AC， 平面 平面 .
平面 ， .因此，二面角 的平面角为 .
因此，平面 与平面 夹角的余弦值为 . （15分）
法二：∵平面 平面ACD，平面 平面 ， 平面 .
平面 . 又 等边三角形， 为 的中点
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学科网（北京）股份有限公司所以 两两垂直，以 为原点，如图建立空间直角坐标系.
因为 ， 所以 ， ， ，
{ 3 y+4z=0
{⃗AD⋅⃗n=0
设 为平面 的一个法向量，则 即 3√3x 3 y
⃗AE⋅⃗n=0 + +2z=0
2 2
令 ，解得 设 为平面 的一个法向量.易得 .
|⃗n⋅⃗m| 3
设平面 与平面 夹角为 ，
cosθ=|cos⟨⃗n,⃗m⟩|= =
.
|⃗n||⃗m| 5
因此，平面 与平面 夹角的余弦值为 .（15分）
17.（15分）
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）分别讨论当直线 与 平行，当直线 通过 的中点 两种情况下，根据已知条件
分别求出直线 的方程.
（2）利用基本不等式的性质求出三角形 面积的最小值.
【详解】（1）因为点 到直线 的距离相等，所以直线 与 平行或通过 的中点，
①当直线 与 平行，因为 ，且 过点 ，所以 方程为 ，即 ；
（3分）
②当直线 通过 的中点 ，所以 ，所以 的方程为 ，即
．
综上：直线 的方程为 或 ．（7分）
（2）由题意设 ，其中 为正数，可设直线 的方程为 ，
因为直线 过点 ，所以 ，由基本不等式可得 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 即 时， 取得最小值24，所以 面积 ，
所以当 时， 面积最小，此时直线 的方程为 ，即 ．（15分）
18.（17分）
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由圆台侧面积公式即可求解；
（2）取 中点 ，连接 ，通过证明四边形 为平行四边形得到 ，然后根据线面
平行的判定定理完成证明；
（3）延长 交于点 ，建立合适空间直角坐标系，然后利用向量法表示出 ，再根据二次函数
的性质求解出最大值即可.
【详解】（1）因为 ，
所以圆台的侧面积为 ；（3分）
（2）取 中点 ，连接 ，如图，
因为 为 中点，所以 ，
在等腰梯形 中， ，
所以 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；（9分）
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学科网（北京）股份有限公司（3）延长 交于点 ，作直线 ，
因为 两点分别在平面 与平面 内，
所以直线 即为直线 ，
又 平面 ，
所以 点，即为点 ，
，则 ，
以直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
在等腰梯形 中， ，
此梯形的高为 ，
因为 ，所以 为 的中位线，
则 ，
所以 ，
设 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，得 ，
则有： ，
令 ，则 ，
当 时， ，此时 ，
当 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号，
综上所述， 的最大值为 .（17分）
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学科网（北京）股份有限公司19.（17分）
【答案】(1)证明见详解
(2)①不是，证明见详解；②
【分析】（1）根据空间性向量基本定理，以 为基底并结合完美三棱锥的定义化简得到
，再结合向量垂直的性质得到
证明等式即可.
（2）①结合题意得到对应向量的数量积，再利用完美三棱锥的定义判断即可.
②由棱锥 为完美三棱锥可得 长，由两点间距离公式求得 点坐标，进而求出关键平面的法向
量，最后利用二面角的向量求法得到余弦值即可.
【详解】（1）由题意结合空间向量的线性运算化简得
，
，
因为 ，所以 ，
即 ，
故该三棱锥是完美三棱锥，（4分）
（2）
①该三棱锥不是完美三棱锥， 为正三角形， ，故 ，
，又 ，
得到 ，由勾股定理逆定理得 ，
即 ，同理可得 ，
所以 ，
则该三棱锥不是完美三棱锥.（10分）
②如图，以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，
因为 ，由余弦定理得 ，
所以 ， ，
因为该三棱锥 为完美三棱锥，
所以 ，
，
解得 ，由余弦定理得 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司设 ， ，解得 ，
即 ，设平面 的一个法向量 ，
则 ，不妨取 ，则 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，
不妨取 ，则 ，则 ，
由图可知二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 .(17分）
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学科网（北京）股份有限公司
