文档内容
2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版（2019）选修第一册第1--2章空间向量与立体几何+直线方程。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．在空间直角坐标系中， 关于 轴的对称点为点 ，若点 关于 平面的对称点为点
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若直线 ： 与直线 ： 平行，则 ＝（ ）
A． B． 或3 C． D．3
3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，
已知四棱锥 是阳马， 平面 ，且 ，若 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
1 / 6
学科网（北京）股份有限公司4．直线 经过点 ，在两坐标轴上的截距互为相反数，则 的所有可能取值之和为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．已知两点 ， ，动点 在线段AB上运动，则xy的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
6． ， ， 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 ， ， ， 分别是射线 ，
， 上的点，且 ， ， ，D，E，F分别为 ， ， 的中点，则点E到直
线 的距离为（ ）．
A． B． C． D．
7．在等腰直角 中， ，点 是边 上异于端点的一点，光线从点 出发经 ， 边
反射后又回到点 ，若光线 经过 的重心，则 的周长等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在直三棱柱 中， ， ， 是线段 的中点，在 内
有一动点 （包括边界），则 的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若两直线 的倾斜角分别为 ，斜率分别是 ，则下列命题正确的是（ ）
2 / 6
学科网（北京）股份有限公司A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
A B C D
10．已知正方体 的棱长为4，动点 在正方体表面 上（不包括边界），则下列说
1 1 1 1
法正确的是（ ）
A．存在点 ，使得 ∥面
B．存在点 ，使得 面
C．若 与 的夹角为 ，则点 的轨迹长度为
D．若 为面 的中心，则 的最小值为
11．定义点 到直线 的有向距离为 .已知点 到直线
的有向距离分别是 以下命题不正确的是（ ）
A．若 ，则直线 与直线 平行
B．若 ，则直线 与直线 垂直
C．若 ，则直线 与直线 垂直
D．若 ，则直线 与直线 相交
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若两条平行直线 ： 与 ： 之间的距离是 ，则直线 在x轴上的截距为
．
13．如图，二面角 的棱上有两个点 ，线段 与 分别在这个二面角两个面内，并且都垂
直于棱 ．若二面角 的平面角为 ，且 ， ，则 ．
14．棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点， 为正方形 内一个动点（包括边
界），且 平面 ，则当三棱锥 体积取最大时，其外接球的表面积为 .
3 / 6
学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知直线 过点 ，且直线 的倾斜角比直线 的倾斜角大 ．
(1)求直线 的方程；
(2)若点 在直线 上，且 ，求 的取值范围．
16．（15分）如图，在几何体 中，平面 平面 ， ， ， ，
， ∥ .
(1)若 为 的中点，求证： 平面 ；
(2)若 为等边三角形，求平面 与平面 夹角的余弦值.
4 / 6
学科网（北京）股份有限公司17．（15分）已知 的三个顶点是 ．
(1)若直线 过点 ，且点 ， 到直线 的距离相等，求直线 的方程；
(2)若直线 过点 ，且与 轴、 轴的正半轴分别交于 、 两点， 为坐标原点，求三角形 面积取
最小值时直线 的方程．
18．（17分）如图，圆台 的一个轴截面为等腰梯形 ， 为底面圆周上
异于 、 的点．
(1)求该圆台的侧面积 ；
(2)若 是线段 的中点，求证：直线 平面 ；
(3)若 ，设直线 为平面 与平面 的交线，设 平面 ，点 在线段 上（不
含端点），直线 与平面 所成的角大小为 ，求 的最大值．
5 / 6
学科网（北京）股份有限公司19．（17分）在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．由于任意两个空间向量都可以通过平
移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算．请根据以上信
息，解决下列问题：在三棱锥 中，若 ，则称这样的三棱锥为完美
三棱锥.
(1)在三棱锥 中， ，求证：该三棱锥是完美三棱锥；
(2)已知三棱锥中， 为正三角形， .
①若 ，判断该三棱锥是否为完美三棱锥，并说明理由；
②若 ，且该三棱锥 为完美三棱锥，求二面角 的余弦值.
6 / 6
学科网（北京）股份有限公司
