文档内容
2025 年茂名市高三年级第二次综合测试
数学试卷
试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填
写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不
按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知 ，则 （ ）
A. 1 B. C. D.
2. 设集合 ，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知向量 不共线，且 ，则实数 （ ）
A. 3 B. C. D.
4. 若 ，则 （ ）
A. 0 B. C. 1 D. 4
5. 二项式 的展开式中 的系数为（ ）
A. B. C. 40 D. 80
第 1页/共 5页6. 甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲
开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已 知 函 数 为 上 的 奇 函 数 ， ， 当 时 ， ， 不 等 式
的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. 设 为坐标原点， 为双曲线 的左焦点，圆 与 的渐近线
在第一象限的交点为 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 等差数列 中， ．记数列 前 项和为 ，下列选项正确的是（ ）
A. 数列 的公差为 2 B. 取最小值时，
C. D. 数列 的前 10 项和为 50
10. 的 内 角 的 对 边 分 别 为 ， 已 知
，下列选项正确的是（ ）
A. B. 可能成立
C. 可能是等腰三角形 D. 面积的最大值为 20
11. 设 为 坐 标 原 点 ， 对 点 （ 其 中 ） 进 行 一 次 变 换 ， 得 到
点
，记为 ，则（ ）
A 若 ，则
第 2页/共 5页B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 为 图象上一动点， ，若 的轨迹仍为函数图象，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴于点 ，若 ，则
______．
13. 已知函数 ，若 恒成立，则实数 a 的取值范围是______．
14. 已知棱长为 的正四面体 ，且 ， 为侧面 内的一动点，若
，则点 的轨迹长为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知 为常数，且 ．
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若方程 有且仅有 2 个不等的实数解，求 的值．
16. 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 平 面 ， ， ， ，
， ， 为 的中点， ．
（1）证明： ；
（2）若 为线段 上一点，且 四点共面，求三棱锥 的体积．
17. 某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己 1000 次训练情况并将成绩（满分 100 分）统计如下
表所示.
第 3页/共 5页成绩区间
频数 100 200 300 240 160
（1）求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
（2）该运动员用分层抽样的方式从 的训练成绩中随机抽取了 6 次成绩，再从这 6 次成绩中随机选
2 次，设成绩落在区间 的次数为 X，求 X 的分布列及数学期望；
（3）对这 1000 次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于 80 分 成绩可以提高 10
分，原高于 80 分的无影响，优化失败则原成绩会降低 10 分，已知该运动员优化动作成功的概率为
．在一次资格赛中，入围的成绩标准是 80 分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变
大时 p 的取值范围.
18. 已知椭圆 焦距为 2，点 在 上， 是 的右焦点，设过点
的直线 与 交于 两点．
（1）求 的方程；
（2）直线 不与 轴重合，且 平分 ．
①求 的值；
②若点 是直线 与 交点，证明： ．
19. 已知 为一个连续函数，若数列 满足： ，则称数列 是关于
的“可差数列”，记数列 的前 项和为 ．
（1）若 是关于 的“可差数列”，求 的通项公式及 ；
（2）已知 满足： ，若 是关于 的“可差数列”．
①试求一个满足条件的 的解析式；
②证明：对于任意给定的正数 ，总存在正整数 ，使得当 时，
