文档内容
德阳市高中2022级质量监测考试（二）
数 学 试 卷
说明：
1.本试卷分第 卷和第 卷，共4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草
Ⅰ Ⅱ
稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回.
2.本试卷满分150分，120分钟完卷.
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
{ | x - 3 }
1.已知集合A= x|| ≤ 0 ，集合B = { x|x2 + x - 2 0 } ，则A B
| x + 1 ≤ ⋂ =
A.[ ] B.[ ] C.( ] D.( ]
-2,3 -1,1 -1,2 -1,1
8
2.若x > 1，则函数y = 2x + 的最小值为
x 1
-
A.8 B.9 C.10 D.11
( )
π
3.已知函数f (x) x ，现将函数f (x)的图象横坐标变为原来的1，纵坐标不变得到
= cos +
3 2
( )
π
函数g(x)，则g 值为
6
A.1 B. 1 C. 3 D. 3
- -
2 2 2 2
4.已知|a|= 3，b = (2,2)，|a 2b|= 51，则a在b方向上的投影向量为
-
A.( ) B.( ) C. ( ) D. ( )
1,1 - 1, - 1 2 2,2 2 - 2 2, - 2 2
5.已知(1+ ax)(2 - x)4(a R)的展开式中x4的系数为17.则实数a的值为
∈
A. B. C.1 D.2
-2 -1
|PA| 2
6.已知在平面直角坐标系xoy中，A(-2,1),B(-2,2)，动点P满足 = ，点Q为抛
|PB| 2
物线C:y x上一动点，且点Q在直线x= 2上的投影为R，则|PB|+ 2|PQ|+ 2|QR| 的
2
=4 -
最小值为
A. B. C. D.
10 2 5 2 5 + 2 2 10
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1 47.在三棱锥P ABC中，平面PAB 平面ABC,ΔPAB为等腰三角形，且 APB = 120°，
- ⊥ ∠
AB AC BAC °,则三棱锥P ABC外接球的表面积为
= 2 3, = 4,∠ = 90 -
A. π B. π C. π D. π
32 64 80 128
8.已知对任意a,b R,不等式(b a)eb a ≥ beb λa恒成立，则实数λ的值为
- -
∈ - -
A.0 B.e C. e D.1
-
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.已知z z 是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是
1, 2
| | | | | || |
A.若 z = 1，则z = i B．z 、z C，z z = z z
1 1 ∀ 1 2 ∈ 1 2 1 2
C．z z > 0是z > z 的充要条件 D．若z z = 0，则z ,z 中至少有一个为0
1 - 2 1 2 1 2 1 2
10．已知函数f (x)= (x 1)2(x 4)+ m的导函数为f (x)
- - ′
A．若f (x)有三个零点，则0 < m < 4
B．f (4 x)= f (x)
′ - ′
C．x = 1是f (x)的极小值点
D当x ≥ 0,f (x) ≥ 0时，则m ≥ 4
11．如图，点P是棱长为3的正方体ABCD - A B C D 的表面上一个动点，F是线段A B 的中
1 1 1 1 1 1
点，则
A．若点P满足AP B C，则动点P的轨迹长度为6 2
⊥ 1
3
B．当直线AP与AB所成的角为45°时，点P的轨迹长度为 π + 6 2
2
8
C．三棱锥A PB D 体积的最大值为
- 1 1 3
D．当P在底面ABCD上运动，且满足PF 平面B CD 时，线段PF长度最大值为3 2
∥ 1 1
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2 4第第Ⅱ卷卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.若随机变量η服从正态分布N(5,δ2)，且P(η < 2)= 0.1，则P(2 < η < 8)=
na
13.数列 { a } 中，满足a = 1，a = n (n N*)，则a + a + +a
n 1 n+1 n + 2 ∈ 1 2 ⋅⋅⋅ 2025
cos2α + 1+ msin2α sin3α π
14.若关于α的方程 = 在区间(0, )上有且仅有一个实数解，则实
mcos2α + m sin2α cos3α 4
-
数m=
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15（. 13分）2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，足球作为其
中的一项团队运动项目，风靡世界，深受大众喜欢，为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随
机抽取了男性和女性观众各100名进行调查，得到如下 列联表.
2 × 2
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男性 60 40 100
女性 30 70 100
合计 90 110 200
（1）判断是否有 的把握认为喜爱足球运动与性别有关；
99.9%
（2）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在从喜爱足球运动的观众中随机抽取
3名，记男性的人数为X，求事件X的分布列和数学期望；
α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
x 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
α
n(ad bc)2
附：χ2 = - ，n = a + b + c + d.
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
A
16（15分）.在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且4bsin2 + c = 2b
2
（1）判断ΔABC的形状；
（2）若AD=3,且D是边BC的中点，求ΔABC的面积最大值.
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3 417（15分）.如图，在四棱锥P—ABCD中，PD AB，PB=PD，底面ABCD是边长为2 3的
⊥
π
菱形，BAD = .
∠ 3
（1）证明：平面PAC 平面ABCD；
⊥
（2）若直线CP与平面ABCD所成角的正切值为 3，PQ 1 PC，求二面角B—AQ—C夹
=
4 3
角的余弦值.
x2 y2 ( 3)
18（. 17分）已知椭圆C： + = 1(a > b > 0)过点E 1, ，右焦点为F，D为上顶点，以
a2 b2 2
点D为圆心且过F的圆恰好与直线x = 2相切.
-
（1）求C的方程；
（2）过( )的直线与椭圆C交于A，B两点（不与椭圆的左、右顶点重合），设直线AF，BF
4,0
k
的斜率分别为k k ，求证：1为定值；
1, 2 k
2
（3）点M，N在C上，且EQ MN，Q为垂足，|EM| |EN|=|MN| |EQ| ，求 | EQ | 的最大值.
⊥ ⋅ ⋅
{ }
19（17分）.已知数列 a 前n项和为S ，满足S S n ，且a
n n n +1 = 3 n - 2 + 4 1 = 4
{ }
（1）求数列 a 的通项公式a ；
n n
n n
（2）令f (x) = a 1 x + a 2 x 2 + ⋅⋅⋅+ a n -1 xn -1 + a n xn , n ∈ N ∗ ，讨论f'( 1 )与 8 2 + 11 - 3的大
4
小关系；
( )( ) ( )
（3）对任意正整数n N ∗ ， 1 1 1 m恒成立，求正整数m的最小值.
∈ 1+ a 1+ a ⋅⋅⋅ 1+ a <
n
1 2
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4 4
