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德阳市高中2022级质量监测考试（二）
数学答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.C 7.A 8.D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9.BD 10.ABD 11.BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.0.8 13.2025 14.
-2 2
1013
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15（13分）
【解】（1）零假设H ：喜爱足球运动与性别无关.
0
( )
2
由题χ 2 200 × 60 × 70 - 40 × 30 ， ...................4分
= ≈ 18.182 > 10.828
100 × 100 × 90 × 110
根据小概率值α 的独立性检验，我们推断H 不成立，
= 0.001 0
即有 的把握认为喜爱足球运动与性别有关. ...................6分
99.9%
（2）由题意可得从喜爱足球运动的观众中随机抽取一人，其为男性的概率为2，......7分
3
( 2) (2)k(1)3-k
故X~B 3, ，∴P(X = k)= Ck ， ...................9分
3 3 3 3
X 0 1 2 3
P
1 27 2 9 4 9 8 27
E X 2 ...................13分
( ) = 3× = 2
3
16（. 15分）.
A b c
解：由题意可得sin2 2 -
= b
2 4
A c
则1- cos 1
= - b
2 2 4
故 2bcosA=c ...................2分
∴ B A C A B ...................3分
2sin cos = sin = sin( + )
则 B A A B A B
2sin cos = sin cos + cos sin
∴ B A A B
sin cos - sin cos = 0
∴ B A ...................5分
sin( - ) = 0
数学答案 第 页（共 页）
1 6故B=A
故 ABC为等腰三角形 ...................6分
∆
（2） A B 则AC BC设AC BC m
∵ = , = = = 2
又 D为BC的中点
∵
S 2S ,AC m CD m
∴ ∆ ABC = ∆ ACD = 2 , =
在 ACD中 以AD为x轴 AD中垂线为y轴 建立直角坐标系
∆ , , ,
设C xy 由CA CD
( , ) = 2
x 3 2 y 2 x 3 2 y 2 ...................11分
( + ) + = 2 ( - ) +
2 2
即（x 5）2+y
2
=4， y 且y ...................13分
- ∴ | |≤ 2 ≠ 0
2
故S 的最大值为1 3
∆ ACD × ×2 = 3
2
故S 的最大值为6 ...................15分
ABC
∆
17（. 15分）.
(1)解：连接BD交AC于点O，连接PO，因为ABCD是菱形，所以BD AC， ...........1分
⊥
又因为O为BD的中点，PD=PB所以PO BD ....................2分
⊥
又AC，PO 面APC，且AC PO O，所以BD 平面APC ..................4分
⊂ ⋂ = ⊥
又BD 平面ABCD，所以平面PAC 平面ABCD ...................6分
⊂ ⊥
（2）过P作PH AC交AC于点H，面APC 面ABCD，PH AC，面APC 面ABCD=AC，
⊥ ⊥ ⊥ ⋂
PH 面APC，所以PH 面ABCD，则 PCH即为直线CP与平面ABCD所成角 ...........8分
⊂ ⊥ ∠
因为AB PD，AB PH，PH，PD 面PHD，PH PD=P，所以AB 面PHD，
⊥ ⊥ ⊂ ⋂ ⊥
又DH 面PHD，所以AB DH，
⊂ ⊥
所以H为DH，AO的交点， ABD为等边三角形，所以H为 ABD的重心，所以OH=1，
△ △
PH
CH=4，在 PCH中 PCH 3，解得PH=3， ..............................10分
△ tan∠ = CH =
4
以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴建立如图坐标系，
则A（0，-3，0），B（ ，0，0），C（0，3，0），P（0，-1，3）
3
数学答案 第 页（共 页）
2 6 ( )
( )
AB ，AQ AP 1 PC 10 ，设平面ABQ和平面ACQ的法向量分别为
= 3,3,0 = + = 0, ,2
3 3
{
AB m ( )
m和n，则 ⋅ = 0，即m ， ............................13分
AQ m = 3 3, - 3,5
⋅ = 0
又BD 平面AQC，则n ( ) ..................14分
⊥ = 1,0,0
| |
设平面ABQ和平面ACQ的夹角为θ，则 θ mn 3 183 ....................15分
cos = cos , =
61
18（. 17分）
9
解：（1）由题得：a ，又1 4 ，所以b ，
= 2 + b = 1 = 3
2
4
x y
2 2
则C的方程为： ............................3分
+ = 1
4 3
( ) ( )
（2）由题意得，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：x ty ，A x y B x y
= + 4 1, 1 , 2, 2
{
x ty
= + 4
联立 x 2 y 2 得：( 3 t 2 + 4 )y 2 + 24 ty + 36 = 0 ............................4分
+ = 1
4 3
t ( )
则y y - 24 y y 36 ，ty y 3 y y ..........................6分
1 + 2 = t 2 , 1 2 = t 2 1 2 = - 1 + 2
3 + 4 3 + 4 2
k y x y ( ty ) 3 y 3 y
则 k 1 = x 1 ⋅ 2 y - 1 = y 1 ( ty 2 + 3 ) = 2 1 - 2 2 = -1 ..........................8分
2 1 - 1 2 2 1 + 3 - 3 y 1 + 3 y 2
2 2
( ) ( )
（3）由题得：EM EN，即EM EN ，设M x y N x y ，则
⊥ ⋅ = 0 3, 3 , 4, 4
a、直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为：y kx m
= +
{
y kx m
= +
联立 x 2 y 2 得：( 4 k 2 + 3 )x 2 + 8 kmx + 4 m 2 - 12 = 0
+ = 1
4 3
km m
2
x x - 8 x x 4 - 12， ...........................9分
3 + 4 = k 2 , 3 4 = k 2
4 + 3 4 + 3
( )( )
( )( )
又EM EN x x y 3 y 3
⋅ = 3 - 1 4 - 1 + 3 - 4 -
2 2
( ) ( )
x x x x y y 3 y y 13 ......
= 3 4 - 3 + 4 + 3 4 - 3 + 4 + = 0 ①
2 4
( )( ) ( )
又y y kx m kx m k x x mk x x m ......
2 2
3 4 = 3 + 4 + = 3 4 + 3 + 4 + ②
( )
y y kx m kx m k x x m......
3 + 4 = 3 + + 4 + = 3 + 4 + 2 ③
( )
由 得：(k 2 )x x mk 3 k ( x x ) m 2 m 13 ............12分
①②③ + 1 3 4 + - - 1 3 + 4 + - 3 + = 0
2 4
数学答案 第 页（共 页）
3 6( )
m km
即(k 2 ) 4 2 - 12 mk 3 k - 8 m 2 m 13
+ 1 k + - - 1 k + - 3 + = 0
2 2
4 + 3 2 4 + 3 4
( )( )
即 k m 3 k m 3
+ - + 7 + = 0
2 2
( )
又直线MN不过E 3 ，则k m 3 ，即k m 3 ..................14分
1, + - ≠ 0 + 7 + = 0
2 2 2
( ) ( )
则直线MN的方程为：y k x 1 3 ，过定点P 1 , 3 .....................15分
= - - -
7 14 7 14
( ) ( )
b、直线MN的斜率不存在时，设M x y N x y ，则
3, 3 , 3, - 3
( )( )
( )( )
EM EN x x y 3 y 3 x 2 x y 2 13
⋅ = 3 - 1 3 - 1 + 3 - - 3 - = 3 - 2 3 - 3 + = 0
2 2 4
x y
2 2
又 3 3 ，则 x 2 x ，x （舍），x 1，
+ = 1 7 3 - 8 3 + 1= 0 3 = 1 3 =
4 3 7
( )
此时直线MN过定点P 1 , 3 ................................16分
-
7 14
1 2 3 2
( ) ( )
+ <1
7 14
∵
4 3
点P在椭圆内部
∴
则 | EQ | 的最大值为|EP| 6 5 ................................17分
=
7
19（17分）.
解：n 时，S S ，所以a
= 1 2 = 3 1 + 2 2 = 10
S S n
n +1 = 3 n - 2 + 4
n 时，S S (n ) . ....................................1分
≥ 2 n = 3 n -1 - 2 - 1 + 4
a a ， a ( a )(n )
∴ n +1 = 3 n - 2 ∴ n +1 - 1= 3 n - 1 ≥ 2
( )
又a a ，a a 成立
1 = 4, 2 = 10 2 - 1= 3 1 - 1
a
n +1 - 1 对n N ∗ 成立 ....................................3分
a = 3 ∈
n - 1
{ }
所以数列 a 为以a 为首项，q 为公比的等比数列
n - 1 1 - 1= 3 = 3
所以a n
n - 1= 3
a n ..........................4分
n = 3 + 1
（2）因为f (x) a x a x a xn a xn
= 1 + 2 2 + ⋅⋅⋅+ n -1 -1 + n
f'(x) a a x (n )a xn na xn
= 1 + 2 2 + ⋅⋅⋅+ - 1 n -1 -2 + n -1
f'( ) a a (n )a na ................................5分
1 = 1 + 2 2 + ⋅⋅⋅+ - 1 n -1 + n
= ( ) (n )( n ) n( n )
1 2 -1
3 + 1+ 2 3 + 1 + ⋅⋅⋅+ - 1 3 + 1 + 3 + 1
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4 6=( n n) ( n)
1 2 3
3 + 2 ⋅ 3 + 3⋅ 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ 3 + 1+ 2 + 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +
令T (n ) n n n
n = 3 1 + 2 ⋅ 3 2 + ⋅⋅⋅+ - 1 3 -1 + ⋅ 3
T (n ) n n n
3 n = 3 2 + 2 ⋅ 3 3 + ⋅⋅⋅+ - 1 ⋅ 3 + ⋅ 3 +1
则 T n n n
- 2 n = 3 1 + 3 2 + ⋅⋅⋅+3 - ⋅ 3 +1
( n ) n
+1
所以T 2 - 1 ⋅ 3 3.. ......................8分
n = +
4 4
( n ) n n n
f'( ) 2 - 1 ⋅ 3 +1 3 2 +
1 = + +
4 4 2
n n ( n ) n n n
所以f'( ) 8 2 + 11 - 3= 2 - 1 ⋅ 3 +1 6 2 + 9 - 6
1 - -
4 4 4
( n )( n (n ))
=3 2 - 1 3 - + 2 ..................9.分
4
n n
所以当n 时，f'( ) 8 2 + 11 - 3，当n 时，
= 1 1 = ≥ 2
4
2n-1>0
∴
3n+1 n n n
-( + 3) - 3 +( + 2)
=2·3n-1>0
3n-(n+2)单调递增
∴
n n
f'( ) 8 2 + 11 - 3.........10分
∴ 1 >
4
令f x x x
(3) ( ) = - 1- ln
x
则f' x 1 - 1
( ) = 1- x = x
令f' x 则x
( ) > 0, > 1
令f' x 则 x
( ) < 0, 0 < < 1
故f x 在 单调递减, , ∞ 单调递增
( ) (0,1) (1 + )
则f x =f' =0
( )min (1)
所以f x f x-1 lnx(当且仅当x=1时取等号) ......................12分
( ) ≥ (1) = 0 ≥
( )
则 n 1 1= 1 1 .........................13分
l 1+ a < a n < n
n n
3 + 1 3
( ) ( ) ( )
所以 n 1 1 1 1 1 1
l 1+ a < ,ln 1+ a < , ⋅⋅⋅,ln 1+ a < n
1 3 2 3 2 n 3
( ) ( ) ( )
所以 1 1 1 1 1 1
ln 1+ a + ln 1+ a + ⋅⋅⋅+ln 1+ a < + + ⋅⋅⋅+ n
1 2 n 3 3 2 3
( ) ( ) ( ) ( )n
1 1 1 1 1 1 1 e
ln 1+ a + ln 1+ a + ⋅⋅⋅+ln 1+ a < - ⋅ < = ln
1 2 n 2 2 3 2
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5 6( )( ) ( )
1 1 1 e ..........................15分
1+ a 1+ a ⋅⋅⋅ 1+ a <
n
1 2
( )( ) ( )
设 1 1 1 ,则 bn+1 1
bn = 1+ a 1+ a ⋅⋅⋅ 1+ a = 1+ > 1
1 2 n bn an+1
{ }
则 单调递增
bn
( )( ) ( )
又因为 1 1 1 1 5 ..........................16分
1+ a 1+ a ⋅⋅⋅ 1+ a > 1+ a =
1 2 n 1 4
所以正整数m的最小值为2 ..........................17分
数学答案 第 页（共 页）
6 6
