新八校高三数学试题_2025年2月_2502082025年湖北省新八校协作体高三2月联考（全科）_数学

2025 年湖北省“新八校”协作体高三 2 月联考 高三数学试卷 命题学校：宜昌一中 命题教师：曾凡兵 王健 裴伟 审题学校：龙泉中学 武汉三中 考试时间：2025年2月6日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 设集合A{x|4x39}，B{xN|1x4}，则AB A．{x|1 x  2} B．{1,0,1,2} C．{0,1,2} D．{0,1} z 4 2. 已知复数z 在复平面内所对应的点位于第一象限，且 2  ，则复数z 在复平面内所 1 z (1i)4 2 1 对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ex 1 3. 函数 f  x   ，则对任意实数x，下列结论正确的是 ex 1 2 A． f(x)是偶函数，且在R上单调递增 B． f(x)是奇函数，且在R上单调递增 C． f(x)是奇函数，且在R上单调递减 D． f(x)是偶函数，且在R上单调递减       4. 已知向量AB(3,m)，AC (1, 3)，且|ABAC||ABAC|，则ABC的面积为 A．2 3 B．3 3 C．4 3 D．6 3 1 1 5. 已知sinsin ，cos() ，则sin2cos2 3 6 5 5 5 5 A． B． C． D． 36 18 36 18 2 6. 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD是矩形， AB BC 2 ， PAPB 6 ， 3 PC PD 3，则该四棱锥的体积为 A．1 B．2 2 3 2 10 C． D． 3 3 湖北省新八校教科研协作体*数学试卷（共4页）第 1 页7. 费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例 如，点P为双曲线（F，F 为焦点）上一点，点P处的切线平分FPF ．已知双曲线C： 1 2 1 2 x2 y2  5  1，O为坐标原点，点P3, 处的切线为直线l，过左焦点F作直线l的垂线， a2 b2   2   1 垂足为M，若 OM 2，则双曲线C的离心率为 5 A．2 B． C． 5 D．2 5 2 8. 已知函数 f(x)的定义域为R，且对任意xR，满足 f(x1) f(x1)x，且 f(1) f(2)1， 则下列结论一定正确的是 A． f(100)2500 B． f(100)2500 C． f(101)2500 D． f(101)2500 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.  9. 已知函数 f xsin2x，若将 f x的图象向右平移 个单位后，再把所得曲线上所有点的 12 横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数 gx的图象，则下列说法正确的是   A．g  x sinx   12  B．g(x)的图象关于点( ,0)对称 6  C．g(x)的图像关于直线x 对称 3 D．g(x)的图像与 f(x)的图像在[0,2]内有4个交点 10. 函数 y ex叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函 2x1 数.已知函数 f(x) ex，则下列结论正确的是 x1  3 A．函数 f(x)在 0,  上单调递减  2 B．函数 f(x)既有极大值，也有极小值 C．方程 f f(x)0有2个不同的实数解 D．在定义域内，恒有exf(2x)e2xf(x)4e2 11. 二元一次方程： AxByC 0(A2 B2 0)可以表示平面内所有的直线，二元二次方程 Ax2 BxyCy2 DxEyF 0(A2 B2 C2 0)可以表示平面内所有的二次曲线.下列 对二元二次方程x2 2xy y2  2x 2y0 所表示曲线的性质描述正确有 A．曲线关于直线 y  x对称 2 B．曲线上点的纵坐标的范围是[ ,) 8 C．存在mR，使 y xm与曲线相切 2 2 D．过P( , )的直线与曲线交于A,B两点， AB 的最小值为2 2 2 湖北省新八校教科研协作体*数学试卷（共4页）第 2 页三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 现有5名志愿者被派往A,B,C三个小区参加志愿者活动，每个志愿者只能选其中一个小区， A小区安排1人，B小区安排2人，C小区安排2人.则不同的安排方案共有__________种 (用 数字作答). 13. 已知直线l:axbyab0与曲线yex1lnx2相切，则直线l的方程为：____________. 14. 在平面直角坐标系内，已知M     x,y  x2  y2 1  ，A(2,1)，若OMA的面积不超过 3 ，  32 8  2 则满足条件的整点（横纵坐标均为整数）M 的个数为__________． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分13分）  在矩形ABCD中，点E在线段CD上，且AB5，CE 3，AEB . 4 (1) 求BC； (2) 若动点M，N分别在线段EA，EB上，且EMN 与EAB面积之比为( 21):4，试求MN 的最小值． 16. （本小题满分15分） 秋收冬藏，穰穰满家.神州大地，又是一个丰收年.2024年我国粮食年产量首次迈上1.4万亿 斤新台阶，实现高位增产.某地农科院为研究不同土壤条件对大豆产量的影响，在该地区选取了一 批试验田种植大豆，现随机抽取了面积相等的10块试验田，得到各块试验田的亩产量(单位：kg)， 并整理得下表： 亩产量 [170,180) [180,190) [190,200) [200,210] 频数 1 3 2 4 现将亩产量不少于200kg的试验田记为“优等田”. (1) 从这10块试验田中任选3块田，求恰有1块是“优等田”的概率； (2) 以这10块试验田的检验结果来估计该地区不同土壤条件对大豆产量的影响，若从该地区随 机抽取3块试验田，记“优等田”的块数为X，求X的分布列和期望. 湖北省新八校教科研协作体*数学试卷（共4页）第 3 页17. （本小题满分15分） 已知抛物线C :x2  2py(p  0)的焦点到准线的距离为1，过x轴下方的一动点P作抛物线 C的两切线，切点分别为A,B，且直线AB刚好与圆x2y2 1相切.设点P的轨迹为曲线E，过点 T(0,2)的直线l与曲线E相交于M,N 两点. (1) 求抛物线的方程； (2) 求点P的轨迹方程; (3) 设曲线E与 y轴交点为A ，点A关于原点的对称点为A ，记直线AM,A N的斜率分别为 1 1 2 1 2 k k ,k ，证明： 1 是定值. 1 2 k 2 18. （本小题满分17分） 如图，在平面四边形ABCD中，ABC为等腰直角三角形，ACD为正三角形，ABC90o， AB2，现将DAC沿AC翻折至SAC ，形成三棱锥SABC，其中S为动点. (1) 证明：AC SB； (2) 若SC BC ，三棱锥SABC的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面SAC的距离； (3) 求平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值. 19. （本小题满分17分） 已知函数 f  x cosxln  1x ，g  x ax1. (1) 求 fx在x 0处的瞬时变化率； (2) 若 f  x g  x 恒成立，求a的值； 2n  1  (3) 求证：  f sin 1ln2,nN*.  k  kn1 湖北省新八校教科研协作体*数学试卷（共4页）第 4 页