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绝密★启用前
2024 年高考数学点睛密卷(北京卷)
数 学
本试卷共6页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡
右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在
试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；
不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．已知集合
1
M = { x | − 4 x 2 } ， N = { x | x 2 − x − 6 0 } ，则 M N = ( )
A． { x | − 4 x 3 } B．{x|−4x −2} C． { x | − 2 x 2 } D． { x | 2 x 3 }
2．在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2,−1)，则zz =( )
A．5 B．3 C． 5 − 4 i D． 3 − 4 i
x
3.下列关于函数 f(x)= (x0)的论述中，正确的是( )
1+x2
1
A．是奇函数 B．是增函数 C．最大值为 D．有一个零点
2
4.在
2 x −
1
x
5
的展开式中，x3的系数为( )
A．40 B．−40 C．80 D．−80
5．已知直线y=x+m与圆O:x2 +y2 =4交于A，B两点，且△AOB为等边三角形，则m的2
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值为
2
( )
A． 2 B． 3 C． 2 D． 6
6.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑等，如图所示
的亭子带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为 1 6 ，屋顶的体积为
3 2
3
5
，
算得侧面展开图的圆心角约为 ( )
A．
2
3
B．
5
6
C．
4
3
D．
7
6
7．设等比数列 { a
n
} 的前 n 项和为 S
n
，则“ a
1
+ a
3
2 a
2
”是“ S
2 n − 1
0 ”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8.已知函数 f ( x ) = s in x c o s x ，将 f ( x ) 的图象向左平移
6
个单位后得到函数 g ( x ) 的图象，若
f(x)和g(x)在区间(0,t)上均单调递增，则t的最大值为( )
A．
1 2
B．
4
C．
3
D．
2
3
9．中国古代钱币历史悠久，品种纷繁，多姿多彩，大多数是以铜合金形式铸造的，方孔钱
是古代钱币最常见的一种，如图 1．现有如图 2 所示某方孔钱中心方孔为正方形， M ， N
为正方形的顶点， O 为圆心， A 为圆上的点，且 ta n M A O =
1
5
， M N ⊥ O A ，定义方孔钱金
金属面积
属面积比率= 100%，则该方孔钱金属面积比率约为（方孔钱厚度不计，
圆形面积
3)( )
A．83.3% B．88.9% C．92.3% D．96.3%3
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10．设数列{a }的前
n
3
n 项和为S ，若对任意的正整数n，总存在正整数
n
m ，使得S =a ，下
n m
列正确的命题是( )
①{a }可能为等差数列；
n
②{a }可能为等比数列；
n
③ a
i
( i 2 ) 均能写成 { a
n
} 的两项之差；
④对任意nN， n 1 ，总存在mN， m 1 ，使得 a
n
= S
m
．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．函数 f ( x ) =
1
2
−
x
ln
− 2
x
的定义域为 ．
12．双曲线 C : x 2 −
y
3
2
= 1 的离心率为 ；设 O 为坐标原点，过 C 的右焦点F 且垂直
于 x 轴的直线与 C 的两条渐近线分别交于P， Q 两点，则 △ O P Q 的面积为 ．
13．已知点 P 在棱长为4的正方体表面上运动， A B 是该正方体外接球的一条直径，则PAPB
的最小值为 .
14．若点 M ( c o s , s in ) 关于 x 轴的对称点为 N c o s
6
, s in
6
−
−
，则的一个取值
可以为 ．
15．已知函数 f ( x ) =
|
x
x
2
|,
−
x
2 m
m
x + 4 m , x m
，设 g ( x ) = f ( x ) − b ．给出下列四个结论：
①当 m = 4 时， f ( x ) 不存在最小值；
②当0m 3时， f(x)在(0,+)为增函数；
③当 m 0 时，存在实数b，使得 g ( x ) 有三个零点；
④当 m 3 时，存在实数 b ，使得 g ( x ) 有三个零点．
其中正确结论的序号是 ．4
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三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．(本小题13分)
在△ABC中，
4
b s in 2 A = 3 a s in B ．
(1)求 A ；
(2)若△ABC的面积为 3 3 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，
使△ABC存在且唯一确定，求a的值．
条件①： s in C =
2
7
7
；条件②：
b
c
=
3
4
3
；条件③： c o s C =
2
7
1
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分．
17．(本小题14分)
如图，四棱锥 S − A B C D 的底面是正方形，点 P ， Q 在侧棱 S D 上， E 是侧棱SC的中点．
(1)若 S Q = Q P = P D ，证明： B E ∥ 平面 P A C ；
(2)若每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍，从下面两个条件中选一个，求二面角 P − A C − D
的大小．
① S D ⊥ 平面 P A C ；② P 为 S D 的中点．5
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18．(本小题13分)
天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看
到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球
5
3 2 .6 光年的地方测得的恒星的亮度，反映
恒星的真实发光本领．如表列出了（除太阳外）视星等数值最小的 1 0 颗最亮恒星的相关数
据，其中a[0,1.3]．
星名 天狼星 老人星 南门二 大角星 织女一 五车二 参宿七 南河三 水委一 参宿四
视星等 −1.47 −0.72 −0.27 −0.04 0.03 0.08 0.12 0.38 0.46 a
绝时星等 1 .4 2 − 5 .5 3 4 .4 − 0 .3 8 0 .6 0 .1 − 6 .9 8 2.67 − 2 .7 8 − 5 .8 5
赤纬 −16.7 − 5 2 .7 − 6 0 .8 1 9 .2 3 8 .8 46 − 8 .2 5 .2 −57.2 7 .4
(1)从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；
(2)已知北京的纬度是北纬40，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于 − 5 0 时，能在北京的夜
空中看到它．现从这 1 0 颗恒星中随机选择 4 颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为 X
颗，求 X 的分布列和数学期望；
(3)记 a = 0 时10颗恒星的视星等的方差为 s 21 ，记 a = 1 .3 时 1 0 颗恒星的视星等的方差为 s 22 ，
判断 s 21 与 s 22 之间的大小关系．（结论不需要证明）
19．(本小题15分)
1
已知 f(x)= x2 −ln(x+1)+ax(aR)．
2
(1)当a=2时，求函数 f ( x ) 在(0,0)处的切线方程；
(2)求证：
1
2
x 2 + x ln ( x + 1 ) ；
(3)若 f(x) 0在x[0,+)恒成立，求a的取值范围．6
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20．(本小题15分)
已知椭圆
6
E :
x
a
2
2
+
y
b
2
2
= 1 ( a b 0 )
6
的一个顶点为A(0,1)，离心率e= ．
3
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)过点 P ( − 3 ,1 ) 作斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B ， C ，直线 A B ， A C 分别与
x 轴交于点M ，N．设椭圆的左顶点为 D ，求
|
|
M
M
D
N
|
|
的值．
21．(本小题15分)
设有限数列 A : a
1
， a
2
，… ， a
n
( n N * ) ，定义集合 M = a
i
+ a
j
| 1 i j n 为数列A的伴随
集合．
(1)已知有限数列 P : − 1 ， 0 ， 1 ， 2 和数列Q: 1 ， 2 ， 4 ， 8 ．分别写出 P 和 Q 的伴随集合；
(2)已知有限等比数列A: 4 ， 4 2 ，… ， 4 n ( n N * ) ，求A的伴随集合M 中各元素之和 S ；
(3)已知有限等差数列 A : a
1
， a
2
，… ， a
2 0 2 2
，判断0，
5 0
7
，
1
1
0
1
0
是否能同时属于 A 的伴随
集合 M ，并说明理由．
