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景德镇市 2025 届高三第三次质检试题 数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题共 58 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分． 1 2 3 4 5 6 7 8 B C B D D C B D 1．B 【解析】由题知 ，则 ，故选 B． 2．C 【解析】 ，∴ ， 表示在复平面内 与 对应的两点之间的距 离，∴ 的最大值是 3，故选 C． 3．B 【解析】由函数奇偶性定义可知 ，故选 B． 4．D 【解析】对于 A，也可能 ，A 错误；对于 B， 可能相交，B 错误；对于 C， 显然不能推出 ，C 错误；D 正确，故选 D． 5．D 【解析】 ，∵ ，∴ ，即 ，解得 ，∴ ，故选 D． 6．C 【解析】如图， ， ，∴ ．又 ， ∴ ，根据勾股定理 ．在 中，根据正弦 定理可知 ，即 ， 解得 ，故选 C． 7． B 【 解析】 ∵ ， ∴ ， 且 ， 解得 ． ∴ ． ∴设切点横坐标为 ，∴切线方程为 ．将 代入切线方 程 得 ， ∵ ， ∴ 对 于 斜 率 最 大 得 切 线 ， 切 点 ，∴ ，①正确．分别过 向 轴引垂 线 分 别 与 斜 率 为 的 切 线 交 于 两 点 ， 由 图 易 知 ， 而 ，∴ ，即 ，②错误．故选 B． 8．D 【解析】将 与 的方程联立，得 ，动圆 的方程为 ，∴ 切线长 ，即 的轨迹是以 为圆心 为半径 的圆，设线段 中点为 ，∵ ，而 （ 不能三点共线），∴ 的最大值是 ，故选 D． 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，满分 18 分． 9 10 11 CD ABD AC 9．CD 【解析】令 代入解得 ，解得 ，A 错误；∵ ， ∴ ，B 错误；由 可知 ，解得 ，C 正确； ，当且仅当 时取等号， D 正确．故选 CD． 10．ABD 【解析】设点 ， ，解得 ．又 ，∴点 ， 直线 的斜率为 ，直线 的倾斜角为 . A 正确；设点 ， ， 的方程为 ，联立 ，消去 可得 ．则 ， ，所以 ， 的斜率之和为 ，B 正确； 若 ，则 ，即 ，∴ ，经验证不符题意，C 错误； ，D 正确．故选：ABD． 11．AC 【解析】∵ ，令 ，∴ ．当 时 ， ， ∴ ， A 正 确 ； 注 ： ． 当 符合题意，但 不为周期函数，B 错误； ∵当 时， 单调递增，且 ，∴当 时， ，∴当 时， ，C 正确；如 右图为函数 当 时的部分图象，显然该函数符合题意，但 ，D 错误．故选 AC． 第Ⅱ卷(非选择题共 92 分) 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分． 12． 13． 14． 12． 【解析】∵ 的最小正周期为 ，∴ ， ， ∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ， ，故 在区间 上的值域为 ． 13． 【解析】由正弦定理可得 ，解得 ，易知当 时， △ 面积取得最大值为 ． 到平面 的距离为 ，直线 与平面 所成 角为 ，由 可知 是以 为顶点的等腰直角三角形，当该面垂直于平面 时，点 到平面 的距离最大，最大距离为 ，∴三棱锥 体积的最大值为 ． 14． 【解析】事件 即“在第 6 次在 的条件下第 3 次不在 ”，根据贝叶斯公 式可得 ．我们将 三个点看作为一个 整体，如果某次在 ，则下次一定不在 ；如果某次不在 ，则下次在 与不在 的概率 分别为 与 ．∴ ， ，∴ ． 四、解答题：本大题共 5 小题，满分 77 分． 15．（本小题 13 分） 解 ：（ 1） ∵ ， 解 得 ． 又 ， 解 得 ． 又 ， ，得 ，∴ 或 ，∴ 或 ．…………………6 分 （2）∵ 为递增数列，则 ， ， ，…………………………………7 分 ∴ ……①， ……②， 两式相减得： ．………13 分 16．（本小题 15 分） 解：（1）证明：（1）∵ ， 为 的中点，∴ ． 又∵ ， 为 的中点，∴ ， ． ∴ 平面 ．……………………………………………………………………………3 分 ∵ 平面 ，∴平面 平面 ．……………………………………………5 分 （2）如图以 为坐标原点，分别以 为 轴、 轴，过点 且与平面 垂直的直 线为 轴建立空间直角坐标系． …………………………………………………………………6 分 取 中点 ，连接 ，∵ ，∴ ． 由上问可知 平面 ，∴ ，故 平面 ．………………………7 分 ∵ ， ，∴ ．又 ，∴ ．……………8 分 ∴ ， , , ，…………………………………………9 分 设平面 的法向量为 ， ∴ ，令 ，则 ．…………………………11 分 同理可求得平面 法向量 ，………………………………………………13 分 ∴ ，………………………………………………………………14 分 ∴平面 与平面 的夹角的正弦值是 .………………………………………15 分 z x E y 17．（本小题 15 分） 解：（1）由 ，解得 ． ……………………………………………………………………………………………………2 分 ……………………………………………………………………………………………………4 分 （2）由频率分布直方图可知， 与 的用户数之比为 3：4，所以用分层抽样 抽取的 7 人中，有 4 人是忠实粉丝，从 7 人中任取 2 人， 可取 0，1，2 , , 所以 的分布列为 0 1 2 ………………………………………………………………………………………………8 分 所以 ………………………………………………………………………………………………10 分 （3）用样本的频率估计概率，从该公司所有用户中任取 1 人，他为忠实粉丝的概率为 所以 ，解得： ，又 ，故 时概率最大 ………………………………………………………………………………………………15 分 18．（本小题 17 分） 解：（1）设 （ ），由 的离心率为 ，得 ， ，①………………1 分 在 中，令 ，得 ， 则当 垂直于 轴时， ，②……………………………………………………3 分 由①，②，解得 ，则 ， ， ∴ 的方程为 ．………………………………………………………………………4 分 （2）由题意，知 ， ， 显然 与 轴不重合，可设 ： ，设 ， ， 联立 ，消去 x 并整理，得 ， 由韦达定理，得 ， ，………………………………………6 分 则 ， 则△ 面积 ，…………………………………………8 分 而 ，当且仅当 ，即 时等号成 立， ∴△ 面积的最大值为 .………………………………………………………………… 10 分 （3）设 ， ， ， 直线 与椭圆联立可得， ，………………11 分 根据韦达定理可得， ，∴ ， ， 即 ，同理， ，……………………………………13 分 根据对称性，直线 过定点 ， 则 ，∵ ， ， ∴ ，∴ ，解得 ， 即直线 过定点 . …………………………………………………………………17 分 19．（本小题 17 分） 解：（1）当 时， ， ， 令 解得 或 ．………………………………………………………………2 分 当 时 ， ∴ 在区间 上单调递增， 同理 在区间 上单调递减， 在区间 上单调递增． ∴ 的单调递增区间是 和 ， 的单调递减区间是 . ………………………………………4 分 （2）设 ， ， 过点 的切线方程为 ， 当切点为原点 时， ，此时切线方程为 ；…………………………5 分 当切线经过原点 时，∵ ， 将原点 代入，并整理得 ，∴ ，其中 ． 当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，………………………7 分 即经过坐标原点与 的导函数图象相切的直线方程为： ，切点横坐标为 ； ，切点横坐标为 ， ， ，切点横坐标为 ， ．…………………………………9 分 （3）∵ ，∴ ，当 时， ，即 在 区间 上单调递增，又 ，∴此时 ， 在区间 上无零点． ……………………………………………………………………………………………………11 分 当 时，令 解得 ，假设 ，∴ 或 ． 当 时 ，∴ 单调递增，同理当 时 单调递减， 当 时 单调递增． ∵ ，且 在 上单调递减，要使得 在区间 上存在 零点，则 ，解得 ．…………………………………………………14 分 ∴ 在区间 上单调递减，∴ ，且 在 上 单调递增，要使得 在区间 上存在零点，则 ，解得 ． 综上所述， 的取值范围是 ．………………………………………………………17 分