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景德镇市 2025 届高三第三次质检试题
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题共 58 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
B
D
D
C
B
D
1．B 【解析】由题知
，则
，故选 B．
2．C 【解析】
，∴
，
表示在复平面内 与
对应的两点之间的距
离，∴
的最大值是 3，故选 C．
3．B 【解析】由函数奇偶性定义可知
，故选 B．
4．D 【解析】对于 A，也可能
，A 错误；对于 B，
可能相交，B 错误；对于 C，
显然不能推出
，C 错误；D 正确，故选 D．
5．D 【解析】
，∵
，∴
，即
，解得
，∴
，故选 D．
6．C 【解析】如图，
，
，∴
．又
，
∴
，根据勾股定理
．在
中，根据正弦
定理可知
，即
，
解得
，故选 C．
7． B
【 解析】 ∵
， ∴
， 且
， 解得
． ∴
．
∴设切点横坐标为
，∴切线方程为
．将
代入切线方
程 得
， ∵
， ∴ 对 于 斜 率 最 大 得 切 线 ， 切 点
，∴
，①正确．分别过
向 轴引垂
线 分 别 与 斜 率 为
的 切 线 交 于
两 点 ， 由 图 易 知
， 而
，∴
，即
，②错误．故选 B．
8．D 【解析】将
与
的方程联立，得
，动圆
的方程为
，∴
切线长
，即
的轨迹是以
为圆心
为半径
的圆，设线段
中点为
，∵
，而
（
不能三点共线），∴
的最大值是
，故选 D．
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，满分 18 分．
9
10
11
CD
ABD
AC
9．CD 【解析】令
代入解得
，解得
，A 错误；∵
，
∴
，B 错误；由
可知
，解得
，C 正确；
，当且仅当
时取等号，
D 正确．故选 CD．
10．ABD 【解析】设点
，
，解得
．又
，∴点
，
直线
的斜率为
，直线
的倾斜角为
.
A 正确；设点
，
，
的方程为
，联立
，消去 可得
．则
，
，所以
，
的斜率之和为
，B 正确；
若
，则
，即
，∴
，经验证不符题意，C 错误；
，D 正确．故选：ABD．
11．AC 【解析】∵
，令
，∴
．当
时 ，
， ∴
， A 正 确 ； 注 ：
．
当
符合题意，但
不为周期函数，B 错误；
∵当
时，
单调递增，且
，∴当
时，
，∴当
时，
，C 正确；如
右图为函数
当
时的部分图象，显然该函数符合题意，但
，D 错误．故选 AC．
第Ⅱ卷(非选择题共 92 分)
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分．
12．
13．
14．
12．
【解析】∵
的最小正周期为 ，∴
，
，
∴
，∵
，∴
，
∴
，
，故
在区间
上的值域为
．
13．
【解析】由正弦定理可得
，解得
，易知当
时，
△
面积取得最大值为
．
到平面
的距离为
，直线
与平面
所成
角为
，由
可知
是以
为顶点的等腰直角三角形，当该面垂直于平面
时，点
到平面
的距离最大，最大距离为
，∴三棱锥
体积的最大值为
．
14．
【解析】事件
即“在第 6 次在
的条件下第 3 次不在
”，根据贝叶斯公
式可得
．我们将
三个点看作为一个
整体，如果某次在
，则下次一定不在
；如果某次不在
，则下次在
与不在
的概率
分别为
与
．∴
，
，∴
．
四、解答题：本大题共 5 小题，满分 77 分．
15．（本小题 13 分）
解 ：（ 1） ∵
， 解 得
． 又
， 解 得
． 又
，
，得
，∴
或
，∴
或
．…………………6
分
（2）∵
为递增数列，则
，
，
，…………………………………7 分
∴
……①，
……②，
两式相减得：
．………13 分
16．（本小题 15 分）
解：（1）证明：（1）∵
，
为
的中点，∴
．
又∵
，
为
的中点，∴
，
．
∴
平面
．……………………………………………………………………………3 分
∵
平面
，∴平面
平面
．……………………………………………5
分
（2）如图以
为坐标原点，分别以
为 轴、 轴，过点
且与平面
垂直的直
线为 轴建立空间直角坐标系． …………………………………………………………………6
分
取
中点
，连接
，∵
，∴
．
由上问可知
平面
，∴
，故
平面
．………………………7
分
∵
，
，∴
．又
，∴
．……………8
分
∴
，
,
,
，…………………………………………9
分
设平面
的法向量为
，
∴
，令
，则
．…………………………11
分
同理可求得平面
法向量
，………………………………………………13 分
∴
，………………………………………………………………14 分
∴平面
与平面
的夹角的正弦值是
.………………………………………15 分
z
x
E
y
17．（本小题 15 分）
解：（1）由
，解得
．
……………………………………………………………………………………………………2 分
……………………………………………………………………………………………………4 分
（2）由频率分布直方图可知，
与
的用户数之比为 3：4，所以用分层抽样
抽取的 7 人中，有 4 人是忠实粉丝，从 7 人中任取 2 人，
可取 0，1，2
,
,
所以
的分布列为
0
1
2
………………………………………………………………………………………………8 分
所以
………………………………………………………………………………………………10 分
（3）用样本的频率估计概率，从该公司所有用户中任取 1 人，他为忠实粉丝的概率为
所以
，解得：
，又
，故
时概率最大
………………………………………………………………………………………………15 分
18．（本小题 17 分）
解：（1）设
（
），由 的离心率为 ，得
，
，①………………1
分
在
中，令
，得
，
则当 垂直于 轴时，
，②……………………………………………………3 分
由①，②，解得
，则
，
，
∴ 的方程为
．………………………………………………………………………4 分
（2）由题意，知
，
，
显然 与 轴不重合，可设 ：
，设
，
，
联立
，消去 x 并整理，得
，
由韦达定理，得
，
，………………………………………6 分
则
，
则△
面积
，…………………………………………8 分
而
，当且仅当
，即
时等号成
立， ∴△
面积的最大值为
.…………………………………………………………………
10 分
（3）设
，
，
，
直线
与椭圆联立可得，
，………………11
分
根据韦达定理可得，
，∴
，
，
即
，同理，
，……………………………………13 分
根据对称性，直线
过定点
，
则
，∵
，
，
∴
，∴
，解得
，
即直线
过定点
. …………………………………………………………………17 分
19．（本小题 17 分）
解：（1）当
时，
，
，
令
解得
或
．………………………………………………………………2 分
当
时
， ∴
在区间
上单调递增， 同理
在区间
上单调递减，
在区间
上单调递增．
∴
的单调递增区间是
和
，
的单调递减区间是
.
………………………………………4 分
（2）设
，
，
过点
的切线方程为
，
当切点为原点
时，
，此时切线方程为
；…………………………5
分
当切线经过原点
时，∵
，
将原点
代入，并整理得
，∴
，其中
．
当 为奇数时，
，当 为偶数时，
，………………………7 分
即经过坐标原点与
的导函数图象相切的直线方程为：
，切点横坐标为 ；
，切点横坐标为
，
，
，切点横坐标为
，
．…………………………………9 分
（3）∵
，∴
，当
时，
，即
在
区间
上单调递增，又
，∴此时
，
在区间
上无零点．
……………………………………………………………………………………………………11 分
当
时，令
解得
，假设
，∴
或
．
当
时
，∴
单调递增，同理当
时
单调递减，
当
时
单调递增．
∵
，且
在
上单调递减，要使得
在区间
上存在
零点，则
，解得
．…………………………………………………14
分
∴
在区间
上单调递减，∴
，且
在
上
单调递增，要使得
在区间
上存在零点，则
，解得
．
综上所述， 的取值范围是
．………………………………………………………17 分
