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邯郸市 届高三年级保温试题
2025
数学参考答案
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
C A B C D A B C ABD BD BD
. 解析:因为A B x x A 所以B 所以A B 故选 .
1C ={0,1,2,3}, ={| +1∈ }, ={-1,0,3,8}, ∩ ={0,3}, C
. 解析:若a 是等差数列 则有a a a 所以a a a 若a a a 只能满足前三
2A {n} , n + n +2=2 n +1, 1+ 3=22; 1+ 3=22,
项成等差数列 其余项不一定 所以 a 是等差数列 是a a a 的充分不必要条件 故选 .
, , “{n} ” “1+ 3=22” , A
. 解析:解法 求根公式
3B 1:
利用一元二次方程求根公式z 1±7i所以z 1 7 故选 .
,= , ||= + =2, B
2 4 4
解法 复数相等
2:
a 1
= ,
设z a bab R 则a b 2 a b 解得 2
= +i(,∈ ), (+i)-(+i)+2=0, :
b 7
=± ,
2
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1 8
所以z 1 7 故选 .
||= + =2, B
4 4
解法 运算性质z2 z z
3: ||= ·
由根与系数的关系可知z2 z z 所以z 故选 .
||= · =2, ||=2, B
. 解析:由题意可知Pt P r 代入公式得 P P 0 . 05 t 所以 0 . 05 t .t t
4C , ()=2 0,=5%, 2 0= 0·e , e =2,005=ln2,=
ln2 . 所以至少需要 年.故选 .
. ≈13862, 14 C
005
. 解析:解法 代数方法
5D 1:
a b a
由正弦定理得
: A= B,
即
=
2
,
所以a
=22sin(60°+45°)= 3+1,
又A
=105°,
B
=45°,
sin sin sin105° 2
2
所以C 所以 ABC的面积为S 1ab C 1 1 3+1 故选 .
=30°, △ = sin = × 3+1 ×2× = , D
2 2 2 2
解法 几何方法
2:
过点A作AD BC于D 如图
⊥ , :
A
B D C
由图可知AD CD BD 所以 ABC的面积为S 1 BC AD 1 3+1
, =1, =3, =1, △ = × × = (3+1)×1= ,
2 2 2
故选 .
D
{#{QQABKYCo4gi4wBTACZ4LQQVcCwiQsJAgLWosBQAWqAxKARFABAA=}#}. 解析:根据题意 椭圆的焦点在x轴上 且 a 故a 可设方程为
x2 y2
b2 又过点A
6A , , 2 =4, =2, +b2=1(4> ),
4
x2 y2
3 代入方程得b2 故其方程为 .
1, , : =3, + =1
2 4 3
设 FAF 的平分线与x轴交于D 设其坐标为x
∠ 1 2 , (,0),
解法 光学性质
1:
由光学性质知 直线AF AF 与直线l的夹角相等 故 FAF 的平分线所在的直线为法线 又因为过
: 1, 2 , ∠ 1 2 ,
3y
x
点A的切线方程为 2 即x y 故设直线AD方程为 x y c 又直线AD过点
+ =1, +2 -4=0, :2 - + =0,
4 3
A 可得c 1 所以AD所在直线方程为 x y 故选 .
, =- , 4 -2 -1=0, A
2
解法 角平分线定理
2:
由角平分线定理知 AF AF FD DF 又 AF 5 AF 3 故有 x
:| 1|∶| 2|=| 1 |∶| 2|, | 1|= ,| 2|= , 5∶3=( +
2 2
x x 1 即D 1 所以AD所在直线方程为 x y 故选 .
1)∶(1- )⇒ = , ,0 , 4 -2 -1=0, A
4 4
解法 正切半角公式
3:
不妨设 FAF θ则由AF F 三点的坐标可知 θ 3 即 θ 25 θ 5 得 θ
∠ 1 2=2, ,1,2 :cos2= , cos = ,sin = , tan =
5 5 5
DF
1 又AF FF 则 θ | 2| 1 又AF 3 则DF 3 知D点坐标为D 1 故AD
, 2⊥ 1 2, tan = AF = ,| 2|= ,| 2|= , ,0 ,
2 | 2| 2 2 4 4
所在直线方程为 x y 故选 .
4 -2 -1=0, A
a
. 解析:当a 时 a 2 a a成立 即 a a a 即 a a a
7B >0 ,- 2 + a+1>e- , 1-2 2 >e- , e- +2 2 -1<0,
- 2
设ha a a a 求导得h'a a 2 所以ha 单调递增 因为a是整数 且
()=e- +2 2 -1, : ()=e-1+a>0, () , ,
xx
h 所以ha h 显然不满足 当a 时fx e,≥0, 满足条件 当
(1)=e+22-2>0, ()≥ (1)>0, ; =0 ,()=x x ;
+1,<0
a 时 由 a a a 得 a a 令ga a a 则g'a a 易知a 时
<0 , e- ≤ +3 e-2 -3≤0, ()=e-2 -3, ()=e-2, <0 ,
g'a a 函数ga 递减 由g 1 g 1 可知 a
()=e-2<0, () , (-2)=1+ 2>0,(-1)=-1+ <0, ∃ 0∈(-2,-1),
e e
使ga 当a a 时ga 此时满足条件的整数a .综上所述 满足条件的整数a的个
(0)=0, ∈(0,0) ,()≤0, =-1 :
数为 故选 .
2, B
. 解析:在四棱锥P ABCD中 PA 平面ABCD M 到PA的距离即为线段MA的长度 在平面
8C - , ⊥ , ,
ABCD中 M到BC的距离与MA距离相等 以AB为x轴 AB的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐
, , , ,
x 2 y2 27 标系 如图 则M 的轨迹方程为y2 x.设M x y 则 (0+1)+ 0= ,
, , =4 (0,0), 3
y2 x
0=4 0
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2 8
x 1
0= , 3
⇒
y 23
0= ,
3
则
AM x 2 y2 4 故选 .
| |= (0-1)+ 0 = , C
3
{#{QQABKYCo4gi4wBTACZ4LQQVcCwiQsJAgLWosBQAWqAxKARFABAA=}#}y
y x
P
C D
M
B O A x
D
C M
A
B
. 解析:对于 极差为最大值与最小值的差值 所以甲队运动员得分的极差为 乙队运动
9ABD A, , 23-5=18,
员得分的极差为 故 正确 对于 甲队运动员得分的均值为5+10+23+12+8 . 乙队
15-6=9, A ; B, =116,
5
运动员得分的均值为8+8+15+7+6 . 故 正确 对于 . 所以甲队运动员得分的
=88, B ; C,5×75%=375,
5
分位数应为从小到大排序后的第 个数 即 分 故 错误 对于 从数据不难看出乙队运动员得
75% 4 , 12 , C ; D,
分比甲队运动员得分更集中 所以乙队运动员的实力更均衡.故 正确.也可以计算甲 乙两队队员得分
, D ( 、
的方差比较 故选 .
), ABD
. 解析:对于
10BD A,
x x
解法 令fx x 则 x x 分别作出函数gx
1: ()=cos - sin =0, cos = sin , ∈[-2π,2π], ( )=
2 2
x
xhx 的图象
cos ,()= sin :
2
y
? ? ? ? x
由图可知 两个函数有 个交点 所以fx 有 个零点 故 错误
, 4 , () 4 , A ;
x x
解法 f x x x fx 所以y fx 为偶函数.当x
2:(- )=cos(- )- sin- =cos - sin = (), = () ∈
2 2
x x x x x x
时 则fx x 2 令
[0,2π] , ∈[0,π], ()=cos -sin =-2sin -sin +1= -2sin +1 sin +1 ,
2 2 2 2 2 2
x x x x
则 1或 解得x πx 5π 有 个零点.又因为
-2sin +1 sin +1 =0, sin = sin =-1, 1= ,2= , 2
2 2 2 2 2 3 3
x
y fx 为偶函数 所以fx 共有 个零点 故 错误 对于 因为fx x f
= () , () 4 , A ; B, ()=cos - sin ,(2π-
2
x
x x 2π- fx 所以fx 的图象关于直线x 对称 故 正确 对于 因为
)=cos(2π- )- sin = (), () =π , B ; C,
2
x x x x x
x 则 π 即 所以fx x x 2
∈(0,π), ∈0, , sin >0, ()=cos - sin =cos -sin =-2sin -
2 2 2 2 2 2
x x x x x
令t x 则y fx 2 是由t 和y t2 t
sin +1, =sin ,∈(0,π), = ()=-2sin -sin +1 =sin =-2 - +
2 2 2 2 2
x
复合而成的.因为t 在x 单调递增y t2 t 在t 单调递减 所以y
1 =sin ∈(0,π) ,=-2 - +1 ∈(0,1) , =
2
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3 8
{#{QQABKYCo4gi4wBTACZ4LQQVcCwiQsJAgLWosBQAWqAxKARFABAA=}#}x x
fx 2 在x 单调递减 故 错误 对于 因为fx fx 所以求
()=-2sin -sin +1 ∈(0,π) , C ; D, (+2π)= (),
2 2
出x 的值域即可 因为y fx 关于x 对称 只需求出x 即可 又因为y fx 在
∈[0,2π] , = () =π , ∈[0,π] , = ()
x 单调递减 且f f 所以fx 的值域为 故 正确.故选 .
∈[0,π] , (0)=1,(π)=-2, () [-2,1], D BD
11
.
BD
解析:对于
A,
因为
{
a
n}
为常数列
,
所以a
=
a2
-2
a
+2,
解得a
=1
或
2,
故
A
错误
;
对于
B,
因为
a n +1= a n2 -2 a n +2, 所以a n +1-1= a n2 -2 a n +1=( a n -1) 2 , 两边同时取对数 , 得 ln( a n +1-1)=2ln( a n -
1), 所以 {ln( a n -1)} 是首项为 1, 公比为 2 的等比数列 , 所以 {ln( a n -1)} 的前 2 025 项和为 2 2 025 -1, 故
正确 对于
B ; C,
解法 代数证明 因为a a2 a 所以a a a2 a a a a aa a
1: : 2= -2 +2, 3- 2= 2-22+2- 2=(2-2)(2-1)= (-2)(-
1) 2 , 所以对于任意的a ∈(0,1), 都有a 2> a 3, 即不存在a ∈(0,1), 使得数列 { a n} 单调递增 , 故 C 错误 ;
解法 数形结合 由图可知 当a 时 a 无单调性 故 错误
2: : , ∈(0,1) ,{n} , C ;
y
y=x22x+2
y=x
a
a
a aa x
对于 D, 因为a n +1= a n2 -2 a n +2= a n( a n -2)+2, 所以当a n >2 时 , 必有a n +1>2 成立 , 因为a 1= a >2,
a a
所以对于任意的n
∈
N*
,
都有a
n >2
成立
,
所以
a k2
k
-
-
2 a
1
k =a k2 -
k
2 a k -a k2 -
1
2 a k =a k
1
-2 -a k +
1
1-2 ,
所以
n a
k -1 1 1 1 故 正确.故选 .
k∑ =1 a k2 -2 a k =a 1-2 -a n +1-2 0 >0 =1
又过点A( ,),故有2 4 ,解得b2 ,
22 2-b2=1 =4
1
所以双曲线方程为x2
y2
. ………………………………………………………………………… 分
- =1 4
4
()直线l与曲线C有且只有一个公共点且与坐标轴正半轴围成三角形,
2
分两种情况:
l与双曲线的一条渐近线
y
x平行,
① =-2
t
不妨设直线方程为 y x t(t ),则S 1· ·t 3,解得:t ,
=-2 + >0 = = =6
2 2 2
所以直线l方程为 x y .……………………………………………………………………… 分
2 + -6=0 8
l与双曲线相切时,显然斜率存在,设 y kx m,
② = +
y2
x2
联立 - =1
4
y kx m
= +
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5 8
,化简得:( k2 )x2 kmx m2 (其中 k2 ),
4- -2 - -4=0 4- ≠0
所以Δ (k2 m2 ) ,即k2 m2 ,
=-16 - -4=0 = +4
m
又因为S 1m· 3,解得m (负舍),
=
2
m2 =
2
=23
+4
所以k2 ,即k (正舍),所以直线l方程为 x y .
=12+4=16 =-4 4 + -23=0
综上,直线l方程为 x y 或 x y .…………………………………………… 分
2 + -6=0 4 + -23=0 13
.解:()设该模型答对此问题为事件A,
16 1
则P(A) 1 1 ,
= ×90%+ ×80%=85%
2 2
所以该模型答对此问题的概率为 .………………………………………………………………… 分
85% 6
P(AB)
()设错误类型为过拟合为事件B,则P(BA) ,
2 | =P(A)
因为P(A) 3,……………………………………………………………………… 分
=1-85%=15%= 9
20
P(AB) 1 ( ) 1 1 ( ) 1 7 ,………………………………………… 分
= ×1-90% × + ×1-80% × = 12
2 2 2 3 120
{#{QQABKYCo4gi4wBTACZ4LQQVcCwiQsJAgLWosBQAWqAxKARFABAA=}#}P(AB)
所以P(BA) 7 3 7,
| =P(A)= ÷ =
120 20 18
所以若该模型回答错误,则错误类型为过拟合的概率为7.………………………………………… 分
15
18
.解:解法 :几何法
17 1
()证明:因为AB BC AD CD ,AC , C
1 = = = =2 =22
所以AB BC,AD DC,
⊥ ⊥ M E
取AC中点E,连接BE、DE,所以BE AC,DE AC,
⊥ ⊥
D
又BE DE ,所以BE2 DE2 BD2 ,所以BE DE,……………… 分
= =2 + = ⊥ 4 A
因为AC,DE 平面DAC,且AC DE E,所以BE 平面DAC, B
⊂ ∩ = ⊥
又因为BE 平面BAC,所以平面BAC 平面DAC.………………………………………………… 分
⊂ ⊥ 7
()由()知,AD DC, C
2 1 ⊥
因为M是CD的中点,所以AM ,BM ,
=5 =3 M
作MN AB交AB于点N,AB中点为P,
⊥ Q
作NQ DP交BD于Q, D
∥
因为DP AB,所以NQ AB, B N P A
⊥ ⊥
所以 MNQ即为二面角M AB D的平面角,…………………………………………………… 分
∠ - - 11
在 ABM中,由余弦定理得: MBA 3+4-5 3, MBA 33,
△ cos∠ = · · = sin∠ =
2 3 2 6 6
所以MN MB· MBA · 33 11,
= sin∠ =3 =
6 2
所以BN · 3 1 1BP,
=3 = =
6 2 2
又因为NQ DP,所以Q为BD中点,NQ 3,
∥ =
2
所以MQ 1BC ,
= =1
2
11 3
+ -1
在 MNQ中,由余弦定理得: MNQ 4 4 5 33.
△ cos∠ = =
· 11· 3 33
2
2 2
所以二面角M AB D的余弦值5 33. …………………………………………………………… 分
- - 15
33
解法 :向量法
2
()证明:取BD中点O,连接CO,AO,
1
因为BC CD,所以CO BD,
= ⊥
因为AD AB,所以AO BD,
= ⊥
因为AO CO O,AO,CO 平面COA,所以BD 平面COA,
∩ = ⊂ ⊥
又因为BD 平面COA,所以平面ABD 平面COA.
⊂ ⊥
在平面COA内,过点O作ON OA,交CA于点N,………………………………………………… 分
⊥ 4
以O为坐标原点,OB,OA,ON所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图,
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6 8
{#{QQABKYCo4gi4wBTACZ4LQQVcCwiQsJAgLWosBQAWqAxKARFABAA=}#}z
C
N
M
D
H
O
B
A y
x
因为BD BC CD DA BA ,所以CO 3 ,AO
= = = = =2 =2× =3 =3
2
又因为CA ,所以B(,,),A(, ,),D( ,,),
=22 100 0 30 -100
在 COA中,由余弦定理得: COA 3+3-8 1,
△ cos∠ = · · =-
2 3 3 3
过C作OA的垂线,垂足为H,
CH
所以 ( COA) 22,即CH 22 26,
CO=sinπ-∠ = = ×3=
3 3 3
HO
又因为 ( COA) 1,所以HO 3,所以C , 3,26 ,
CO=cosπ-∠ = = 0-
3 3 3 3
AC→ , 43,26 ,AB→ (, ,),AD→ ( , ,),
=0- =1-30 = -1-30
3 3
设平面ABC的法向量为n (x,y,z),
= 1 1 1
n·AC→ , 43y 26z ,
=0 即 - 1+ 1=0
n·AB→ , 3 3
=0 x y ,
1-3 1=0
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7 8
可取n ( ,, ),
= 31 2
设平面ADC的法向量为m (x,y,z),
= 2 2 2
m·AC→ , 43y 26z ,
=0 即 - 2+ 2=0
m·AD→ , 3 3
=0 x y ,
- 2-3 2=0
可取m ( , , ),
= 3 -1-2
所以m·n ,所以平面BAC 平面DAC.…………………………………………………………… 分
=0 ⊥ 9
()因为M为CD的中点,所以M 1, 3,6 ,
2 - -
2 6 3
又因为A(, ,),B(,,),
0 30 100
所以BM→ 3, 3,6 ,AB→ (, ,),
= - - =1-30
2 6 3
设平面ABM的法向量为p (x,y,z),
= 3 3 3
p·BM→ , 3x 3y 6z ,
=0即 - 3- 3+ 3=0
p·AB→ , 2 6 3
=0 x y ,
3-3 3=0
可取p ,,52 ,
= 31
2
又因为平面ABD的法向量为s (,,),
=001
52
p·s
所以 | | 2 5 33,
|cos |=p s= =
|||| 25 33
3+1+
2
{#{QQABKYCo4gi4wBTACZ4LQQVcCwiQsJAgLWosBQAWqAxKARFABAA=}#}所以二面角M AB D的余弦值5 33. …………………………………………………………… 分
- - 15
33
.解:()求导得:f'(x) (x )x,
18 1 = +2e
因为 f() ,f'() ,所以切线方程为 y (x ),
0=1 0=2 -1=2 -0
即 x y ;………………………………………………………………………………………… 分
2 - +1=0 4
()h(x) x x ,求导得:h'(x) x ,
2 =e- -2 =e-1
注意到h'(x)单调递增,所以h'(x)h'() ,所以h(x)在(, )上单调递增,
> 0=0 0+∞
又因为h( )
ln 3
,h( )
ln 4
,
ln3=e -ln3-2=1-ln3<0 ln4=e -ln4-2=2-2ln2>0
所以h(x)在(, )内存在唯一零点;………………………………………………………………… 分
0+∞ 9
f(x) x(x ) x(x x )
( 3 )当x >0 时,g(x) >0 ,等价于k 0
所以 φ (x) φ (x) e
x
0
(x
0+1
) (x
0+2
)(x
0+1
)
x ( , ),
min= 0 = x = x = 0+2∈2+ln32+ln4
e
0
-1
0+1
又因为 , ,所以k的最大值为 . ……………………………………………………… 分
ln3>1ln4<2 3 17
λ
19
.解:(
1
)将a
n +1
a
n +
λa
n +1-3
a
n =0
(n
∈
N* )两边同时除以a
n +1
a
n
,得
1+a n-a n
3
=0
,
+1
λ
所以 1 1 ,
a n = +a n
+1 3 3
λ
所以 1 1 1 -3为常数,则λ ,…………………………………………………………… 分
a n -a n= + a n =3 4
+1 3 3
( 2 )S 2 m =1+ 1
2
+ 1
3
+ 1
4
+ 1
5
+ 1
6
+ 1
7
+ 1
8
+ … +
2
m - 1 1
+1
+
2
m - 1 1
+2
+ … +
2
m -1 1
+2
m -1
m
>1+ 1 + 1 ×2+ 1 ×4+ … + 1 m×2 m -1 =1+ 1 + … + 1 =1+ ………………………………… 8 分
2 4 8 2 2 2 2
a a a
()不等式等价于 … n ,
2 3 +1
3 1-a
1
+ 1-a
2
+ + 1-a
n
>2025
a
令b n +1,则
n =1-a
n
1 1 1 1 1 1
b
n2+1- (n
+1
) 2+1 n2-(n
+1
) 2 n2+1+1
2
n
+1 ·
n2+1+1
n = = =(n ) 2 >
1 1 1 1 +1 1 1
n2+1-1 n2 n2+1+ (n ) 2+1 n2+1+ (n ) 2+1
+1 +1
n
2 +1
(n )
2
2 +1
n n n
而 2 +1 2 +1 2 +1 1 ,故b 1 ,
(n ) 2=(n2 n) (n )>(n2 n) (n )=n n >n
2 +1 2 + +3 +2 2 + +4 +2 +2 +2
m
由第()问性质,令 ,得m ,
2 1+ >2027 >4052
2
取N 4 052 ,当n N 时,不等式成立.……………………………………………………………… 分
0=2 > 0 17
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8 8
{#{QQABKYCo4gi4wBTACZ4LQQVcCwiQsJAgLWosBQAWqAxKARFABAA=}#}
