文档内容
邯郸市 届高三年级第二次调研监测
2025
数学参考答案
本套试卷的命制是在认真分析研究 年新课标Ⅰ、Ⅱ卷和全国（甲）卷的基础上，
2024
兼顾 年高考复习备考的客观实际情况，从基础性、综合性、应用性和创新性着力命
2025
制，落实主干知识的考查力度。 着重考查理性思维的深度和数学运算，适用于 年的
2025
高考复习备考效果的检测。
1立足数学核心素养
.
试题强调对主干知识的深层次理解，要做到“知其然，又要知其所以然，还要做到何由
以知其所以然”，特别是对综合交汇知识要融会贯通。 试题涵盖数学抽象、逻辑推理、数
学建模、直观想象、数学运算和数据分析六大数学核心素养。 如第 题，考查三角恒等变
7
换求值，试题取材于教材，落实逻辑推理和数学运算核心素养；第 题，以抛物线和圆为
10
背景，体现试题的综合性，落实逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养。
2考查基本思想和方法
.
试题突出理性思维和数学探索，考查学生运用数学思想和数学方法发现问题、分析问
题和解决问题的能力，创新试题情境和设问方式，引导学生积极思考，克服思维定式，打破
“机械式刷题”等僵化的备考思路，努力实现让学生从“解题到解决问题”的重要转变。
x
如第 题， x的导函数是先通过同角三角函数基本关系式转化为sin 再进行求导；再
6 tan x
cos
如第 题的第（ ）问，在两种不同的曲线中，利用“点差”法解决中点弦问题，背景新
18 2
颖，不落窠臼。
3试题命制亮点
.
试题“起点低”“入手快”，难度层级“循序渐进”，给学生营造良好的解题情境，符合
学生的心理接受预期，增强解题信心，特别是为解“压轴题”留出较为充裕的思考时间。
如第 题，以抛掷骰子为背景，通过“枚举法”考查古典概型；第 题，以预制食品安全
14 16
为背景，考查独立性检验以及全概率公式和贝叶斯公式，对学生数据分析以及数学建模能
力都有较高的要求。
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
C B D A C A B C BC BCD ACD
z
. 解析:因为z 2 4-3i 4-3i 1-2i -2-11i 2 11 所以z在复平面内对应的点为
1C =z= = = =- - i,
1 1+2i 1+2i 1-2i 5 5 5
2 11 位于第三象限 故选
- ,- , , C.
5 5
. 解析:依题意 可知B 所以A B B 所以 A B
2B , = -9,-4,1,4 , ∩ = = -9,-4,1,4 , ∁ A ∩ =
故选
-2,2,3 , B.
. 解析:因为函数fx x在 上单调递增 所以a 由已知得 1 5 整理得
3D =log a 0,+∞ , >1, log a 8= a- ,
log4 2
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1 8
{#{QQABLYgEogCgAgBAARgCAwESCEOQkhCAAYgGRAAAIAAAiAFABCA=}#}6 log a 2 2 +5log a 2-1=0, 解得 log a 2=-1 或 log a 2= 1 , 得a = 1 ( 舍去 ) 或a =2 6 =64, 故选 D.
6 2
. 解析:因为S S 所以a a a a a a 即a 又a a a 所以
4A 7= 12, 8+ 9+ 10+ 11+ 12=510=0, 10=0, 2+ 10=26=4,
a 故选
6=2, A.
. 解析:依题意 双曲线的另一个焦点为 则点P 到两个焦点的距离分别为
5C , 0,-4 , 6,-4
2 2 2 2 于是 a 解得a 则b 2 2 所以
6+ -4+4 =6,6+ -4-4 =10, 2 =10-6=4, =2, = 4-2 =23,
双曲线的渐近线方程为y 3x 故选
=± , C.
3
6
.
A
解析:因为f' x
=
sin x
x
'
=
cos 2 x +
2
s
x
in 2 x
=
1
2 x,
所以f' π
=2,
又因为f π
=1,
故切线方
cos cos cos 4 4
程为y x π 令y 解得x π 1 即a π 1 令x 解得y π 即b π
-1=2 - , =0, = - , = - ; =0, =1- , =1- ,
4 4 2 4 2 2 2
所以 a b π 1 π 故选
2 + =2 - +1- =0, A.
4 2 2
θ θ
7
.
B
解析:因为
θ
sin
θ =
ta
θ
n
=2,
整理得
tan
θ
=2tan
θ
+2,
所以
tan
θ
=-2,
所以
tan 2
θ
=
sin +cos tan +1
θ θ
2tan
2 θ=
4
,tan2
θ
-
π
=
tan2-
θ
1
=
1
,
故选
B.
1-tan 3 4 1+tan2 7
. 解析:因为 S BA→ BC→ 即 1ac B ac B 所以 B 因为B π 所以
8C 2 =3 · , 2× sin = 3 cos , tan = 3, ∈ 0, ,
2 2
B π 所以 B 3 又 b2 ac 根据正弦定理可得 2B A C 所以 A C
= , sin = , 4 -9 =0, 4sin =9sin sin =3, sin sin =
3 2
ac ac
1 由余弦定理得b2 a2 c2 ac 9 所以a2 c2 13 所以由正弦定理得 2 A 2 C
, = + - = , + = , sin +sin =
3 4 4
13 A C 13 A C 2 2 A 2 C A C 13 2 5 所以 A C
sin sin = , sin -sin =sin +sin -2sin sin = - = , sin -sin =
4 12 12 3 12
15 故选
± , C.
6
. 解析:若a b 则a b x x x x x 解得x 或x 所以
9BC ⊥ , · =(-1)(-2)+2(-2)=(-2)(+1)=0, =2 =-1,
选项不正确 选项正确 若ab 则 x x 2 即x2 x 解得x 所以
A ,B ; ∥ , 2 -1 - -2 =0, -6 +6=0, =3±3, C
选项正确 选项不正确 故选
,D , BC.
. 解析:因为y 为抛物线Cx2 pyp 的准线 所以p 则抛物线C的方程为x2
10BCD =-1 : =2 >0 , =2, =
y 则F 圆M x2 y 2 圆心M 半径r 连接MN 则MN NF 所以
4 , 0,1 , : + -3 =2, 0,3 , = 2, , ⊥ ,
NF MF 2 MN 2 所以 选项不正确 又 MFN 所以直线PF的斜率
= - = 4-2=2, A ; ∠ =45°,
n m
为 所以直线PF的方程为y x 所以 选项正确 设Pmn m n 则 = +1,解得
1, = +1, B ; , >0,>0 , m2 n
=4 ,
m n 所以 PF PD 所以 选项正确 PDF的面积为1m
=2+22,=3+22, = =4+22, C ;△ ·
2
PD 1 所以 选项正确 故选
= × 2+22 × 4+22 =8+62, D , BCD.
2
. 解析:因为fx f x 即fx f x 所以函数fx 的图象关于直
11ACD +1 - - +1 =0, +1 = - +1 ,
线x 对称 所以 选项正确 选项不正确 因为f x f x 即f x
=1 , A ,B ; 2 +1 + -2 -3 =0, 2 -1 +
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2 8
{#{QQABLYgEogCgAgBAARgCAwESCEOQkhCAAYgGRAAAIAAAiAFABCA=}#}f x 所以函数fx 的图象关于点 对称 所以f 又当x 时
-2 -1 =0, -1,0 , -1 =0, ∈ -1,1 ,
fx ax3 所以f a 解得a 所以x fx x3
= +1, -1 =- +1=0, =1, ∈ -1,1 , = +1∈ 0,2 ,
x fx 即x fx 又由 选项可知 当x 时
∈ -3,-1 , ∈ -2,0 , ∈[-3,1],()∈[-2,2], A , ∈[1,5] ,
fx 即x fx .又因为fx f x 则fx
()∈[-2,2], ∈[-3,5], ( )∈[-2,2] +1 = - +1 , +2 =
f x 又f x f x 所以f x f x 也即fx f x
- , 2 -1 + -2 -1 =0, 2 -2 + -2 =0, -2 + - =0,
所以fx fx fx fx fx fx fx 所以 为函数
+2 =- -2 , +4 =- , +8 =- +4 = , 8
fx 的一个周期 所以函数fx 的值域为 所以 选项正确 方程 fx 在 上
, -2,2 , C ; =1 -5,11
共有 个根 分别记为xi 不妨令x x x x x x x x 则x x
8 , i =1,2,3,…,8 , 1< 2< 3< 4< 5< 6< 7< 8, 1+ 2+
x x x x x x x x x x x x x x 所
3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8= 1+ 2 + 3+ 4 + 5+ 6 + 7+ 8 =-6+2+10+18=24,
以 选项正确 故选
D , ACD.
r
12 .1 解析:依题意 , 二项式 2 x + 1 10的展开式的通项为T r +1=C r 10 2 x 10- r 1 , 于是x4 项的系数与
36 3 3
6
6 4 1
C10×2×
x6 项的系数之比为 3 1.
4=
4 6 1 36
C10×2×
3
.14 解析:因为侧棱与底面所成角为 所以棱台的高为 所以该正四棱台的体积为1
13 45°, 1, × 2+8+4 ×
3 3
14.
1=
3
.5 解析:若 x 7 1 则x 7 1或x 7 1 解得x 或x 连续投掷两次 包括
14 - > , - > - <- , >4 <3, ,
9 2 2 2 2 2 2
个样本空间 其中x 的情形有
36 , >4 6,6 , 6,5 , 6,4 , 6,3 , 5,6 , 5,5 , 5,4 , 4,6 , 4,5 ,
共 个x 的情形有 共
3,6 10 ;<3 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , 4,1
个 故所求概率为20 5.
10 , =
36 9
.解:()由题知,S a ,当n 时,S a ,解得a ,…………………… (分)
n n
15 1 4 +3 -14=0 =1 4 1+31-14=0 1=2 2
当n 时,S a ,则有 S S a a ,即a 3a ,……… (分)
≥2 4
n
-1+3
n
-1-14=0 4
n
-
n
-1 +3
n
-
n
-1 =0
n
=
n
-1 4
7
n
所以数列a 是以 为首项,3为公比的等比数列,所以a 3 -1 .……………………… (分)
n n
2 =2× 5
7 7
n
()由()知,b n· 3 -1, ……………………………………………………………………… (分)
n
2 1 =2 6
7
n n
所以T 3 1 3 2 … n 3 -2 n 3 -1,
n
=2×1+4× +6× + + 2 -2 × +2 ×
7 7 7 7
n n
3T 3 3 2 3 3 … n 3 -1 n 3 , ……………… (分)
n
=2×1× +4× +6× + + 2 -2 × +2 × 8
7 7 7 7 7 7
n 所以4T n 3 1 3 2 … 3 -1
=2×1+2× + + +
7 7 7 7
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3 8
n n 3 ……………………………… (分)
-2 × 9
7
n
3 3
2× -
7 7
=2+
n
n 3
-2 ×
3 7
1-
7
{#{QQABLYgEogCgAgBAARgCAwESCEOQkhCAAYgGRAAAIAAAiAFABCA=}#}n
3 3
- n
7 7 n 3 ,……………………………………………………………………… ( 分)
=2+ -2 × 11
2 7
7
n
所以T 49 49 7n 3 .………………………………………………………………… ( 分)
n
= - + × 13
8 8 2 7
.解:()零假设为H :该食品的指标等级与产地无关,
16 1 0
根据表中数据计算得,χ 2 = 60× 20×15-15×10 2 ≈1 . 714<2 . 706= x 0 . 10 ,…………………… ( 5 分)
35×25×30×30
依据小概率值α . 的独立性检验,没有充分证据推断H 不成立,因此可以认为“该食品的指标等级
=010 0
与产地”无关.…………………………………………………………………………………………… (分)
6
()记M为“‘促销大礼包’中有 个为优良级别”;A为“‘促销大礼包’中的食品由 产地生产”;B为
2 4 A
“‘促销大礼包’中的食品由 产地生产”
B
依题意,PA 3,PB 2,……………………………………………………………………… (分)
= = 8
5 5
PM PM APA PM BPB ………………………………………………………… (分)
= + 9
4 2 4 1 3 4 1 4 1 2 16 1 3 37,………………………………… ( 分)
=C5× × × +C5× × × = + = 12
3 3 5 2 2 5 81 16 1296
16
PMA PM APA
则PAM 81 256,
=PM = PM = =
3 37 337
1296
所以该“促销大礼包”内装的是 产地生产的食品的概率为256.………………………………… ( 分)
A 15
337
.解:()存在,在棱BB 的延长线上,且BE ,…………………………………………………… (分)
17 1 1 1 =1 1
连接CE,因为D为BB 的中点,BB ,所以DB ,则DE ,…………………………… (分)
1 1 1=2 1=1 =2 2
又侧面BCCB 为矩形,所以CC DE,且CC DE,
1 1 1∥ 1=
所以四边形CCED为平行四边形,所以CD CE,………………………………………………… (分)
1 ∥ 1 4
又CD 平面AEC,CE 平面AEC,所以CD 平面AEC.……………………………… (分)
⊄ 1 1 1 ⊂ 1 1 ∥ 1 1 6
()连接CB ,则CB CC2 BC2 ,……………………………………………… (分)
2 1 1= 1+ 1 1= 4+3=7 7
又因为CA ,AB ,
1=4 1 1=3
则CA2 AB2 CB2 ,所以AB CB ,…………………………………………………………… (分)
1= 1 1+ 1 1 1⊥ 1 8
因为侧面ABBA 为矩形,所以AB BB ,
1 1 1 1⊥ 1
又CB BB B ,所以AB 平面BCCB ,即AB 平面BCCB ,
1∩ 1= 1 1 1⊥ 1 1 ⊥ 1 1
以B为坐标原点,BC,BB ,BA所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,… (分)
1 9
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4 8
{#{QQABLYgEogCgAgBAARgCAwESCEOQkhCAAYgGRAAAIAAAiAFABCA=}#}则A ,, ,C ,, ,D ,, ,A ,, ,
003 300 010 1 023
AC→ ,, ,CD→ ,, ,AD→ , , ,
= 30-3 = -310 1 = 0-1-3
设平面ACD的法向量为u x,y,z ,
=
AC→·u , x z ,
则 =0即 3 -3 =0
CD→·u , x y ,
=0 -3 + =0
不妨令x ,则 y ,z ,所以u ,, ,………………………………………………… ( 分)
=3 =3 =1 = 331 11
设平面ACD的法向量为v m,n,t ,
1 =
AD→·v , n t ,
则 1 =0即 - -3=0
CD→·v , m n ,
=0 -3 + =0
不妨令m ,则n ,t ,所以v ,, ,…………………………………………… ( 分)
=3 =3 =-1 = 33-1 13
设二面角A-CD-A 的平面角为θ,
1
u·v
所以 θ 11 11,……………………………………………………… ( 分)
cos = u v = · = 14
13 13 13
所以 θ 11 2 43,
sin = 1- =
13 13
所以二面角A-CD-A 的正弦值为43.…………………………………………………………… ( 分)
1 15
13
.解:()双曲线Γ:
x2 y2
的渐近线为 y x,不妨取一条渐近线为 y x,即 x y ,…
18 1 - =1 =±3 =3 3 - =0
2 6
…………………………………………………………………………………………………………… (分)
1
则圆心F , 到直线 x y 的距离为 -3 3, …………………………………… (分)
1 -10 3 - =0 = 2
2 2
圆的半径为 a,则弦长为 a2 3 2 ,解得a , …………………………………… (分)
2 2 4 - = 61 =2 3
2
依题意可得,QF QF a FF ,
1 + 2 =2 =4> 1 2 =2
即动点Q的轨迹是以F ,F 为焦点,长轴长为 的椭圆,
1 2 4
所以曲线C的标准方程为
x2 y2
. ……………………………………………………………… (分)
+ =1 5
4 3
()设Mx,y ,Ax,y ,Bx,y ,
2 0 0 1 1 2 2
x2 y2
1 1 ,
- =1
代入双曲线Γ可得 2 6
x2 y2
2 2 ,
- =1
2 6
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5 8
x x y y
作差可得 1+ 2 1· 1- 2,
y y = x x
1+ 2 3 1- 2
x x
又直线l的斜率为1,所以 1+ 2 1,
y y =
2 1+ 2 6
x x x
即 1+ 2 0 1,所以 y x, ………………………………………………………………… (分)
y y =y = 0=6 0 7
1+ 2 0 6
x2 x2
代入曲线C的方程得 0 36 0 ,解得x2 4,所以x 2,………………………………… (分)
+ =1 0= 0=± 8
4 3 49 7
{#{QQABLYgEogCgAgBAARgCAwESCEOQkhCAAYgGRAAAIAAAiAFABCA=}#}x 2,
0=
又 y x,所以 7
0=6 0
y 12
0=
7
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6 8
x 2,
0=-
或 7
y 12,
0=-
7
经检验,均满足题意,
所以点M的坐标为 2,12 或 2, 12 .……………………………………………………… ( 分)
- - 10
7 7 7 7
y kx ,
= +4
()联立 3 x2 y2 ,
+ =1
4 3
整理得 k2x2 kx , 3+4 +32 +52=0
令Δ 2k2 k2 k2 ,所以k2 13,即k 13或k 13.…………
=32 -4×52× 3+4 =48 4 -13 >0 > <- >
4 2 2
……………………………………………………………………………………………………… ( 分)
12
k
设Dx,y ,Ex,y ,则x x -32 ,xx 52 ,
3 3 4 4 3+ 4= k2 3 4= k2
3+4 3+4
所以S
△
ODE
=
1
×4×
x
3-
x
4 =2
x
3-
x
4 =2
x
3+
x
4
2
-4
x
3
x
4
2
( -32 k) 2 52 · 4 k2 -13,………………………………………………… ( 分)
=2 k2 2-4× k2=83 k2 14
3+4 3+4 4 +3
令t k2 ,则 k2 t2 ,
= 4 -13>0 4 +3= +16
t
则S 83 83 ,
ODE
△ =t2 =
+16 t 16
+t
因为t ,所以t 16 t·16 ,当且仅当t ,即k2 29时等号成立,此时Δ ,
>0 +t≥2 t=8 =4 = >0
4
所以 y t 16 , ,………………………………………………………………………… ( 分)
= +t∈ 8+∞ 16
所以S 83 , ,
ODE
△ = ∈ 0 3
t 16
+t
即 ODE面积的取值范围是 , .……………………………………………………………… ( 分)
△ 0 3 17
a b a b a b
19
.解:(
1
)不妨设a
>
b
>0
,先证明 ab
< a
-
b
,不等式等价于
ln
a
-ln
b
< a
-
b= b- a
,
ln -ln
a a b a
即 ,令 t,t ,即证 t t 1,
lnb< b- a b= >1 2ln < -t
令 gt t t 1,t ,
=2ln - +t >1
则 g't -
(t
-1
)
2 ,所以函数 gt 在 , 上单调递减,
= t2 <0 1+∞
a a b a b
所以 g t
<
g
1 =0
,所以
ln b< b- a
,即 ab
< a
-
b
成立;……………………… (
3
分)
ln -ln
a
再证明
a
a
-
b
b <
a
+
b
,不等式等价于
ln
a
-ln
b
>2
·
a
a
-
b
b
=2
·
b
a
-1
,
ln -ln 2 +
b+1
{#{QQABLYgEogCgAgBAARgCAwESCEOQkhCAAYgGRAAAIAAAiAFABCA=}#}a
即
a
·
b-1
,令
a
t,t ,即证 t ·
t
-1,
lnb>2 a b= >1 ln >2 t
+1
b+1
t
令ht t · -1,t ,
=ln -2 t >1
+1
则h't 1 · t +1- t +1 t +1 2 -4 t (t -1 ) 2 ,
=t-2 t 2 = tt 2 =tt 2>0
+1 +1 +1
所以函数ht 在 , 上单调递增,所以ht h ,
1+∞ > 1 =0
t a b a b
所以
ln
t
>2
·
t
-1,即
a
-
b <
+ ,…………………………………………………………… (
6
分)
+1 ln -ln 2
a b a b
综上,
∀
a,b
∈ 0
,
+∞
,a
≠
b,ab
< a
-
b <
+ 成立.…………………………………… (
7
分)
ln -ln 2
fa fb a a b b a b
()依题意, - ln - -ln + ln -ln ,…………………………………… (分)
2 a b = a b = a b -1 8
- - -
a b a b
由(
1
)知,ab
< a
-
b
,则ln
a
-
b
ln
< a
1
b
,
ln -ln -
所以ln
a
-ln
b
1 1 1-
a (
1-
a)(
1+
a)
1-
a2
1 ,
a b -1< ab-10 ln x =ln x 13
2 1-3 2 2-3 2 1-3 2 2-3
即 x 1-1 x x 2-1 x ,
lne -ln 2 1-3 =lne -ln 2 2-3
即x x x x , …………………………………………………… ( 分)
1-1-ln 2 1-3 = 2-1-ln 2 2-3 14
整理得 x x x x,
ln 2 1-3 -ln 2 2-3 = 1- 2
x x
又 x x x x 2 1-3 - 2 2-3 ,………………………………… ( 分)
ln 2 1-3 -ln 2 2-3 = 1- 2= 15
2
x x x x
所以 2 1-3 - 2 2-3 2 1-3+2 2-3,
2= x x <
ln 2 1-3 -ln 2 2-3 2
即 x x ,所以x x . ………………………………………………………… ( 分)
2 1-3+2 2-3>4 1+ 2>5 17
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7 8
{#{QQABLYgEogCgAgBAARgCAwESCEOQkhCAAYgGRAAAIAAAiAFABCA=}#}编写细目表
.能力要求
1 :
.抽象概括能力 .推理论证能力 .运算求解能力
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
.空间想象能力 .数据处理能力 .应用意识和创新意识
Ⅳ Ⅴ Ⅵ
.核心素养
2 :
数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数学运算 数据分析
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
能力要求 核心素养
题号 题型 分值 知识点 难度
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
选择题 分 复数的基本运算 易
1 5 √ √
选择题 分 集合的基本运算 易
2 5 √ √
选择题 分 对数函数单调性 对数运算 易
3 5 、 √ √ √ √
选择题 分 等差数列的基本运算 易
4 5 √ √ √ √ √ √
选择题 分 双曲线的几何性质 易
5 5 √ √ √ √
选择题 分 导数的几何意义 中
6 5 √ √
选择题 分 三角恒等变换求值 中
7 5 √ √ √ √
选择题 分 解三角形 难
8 5 √ √ √ √ √
向量的坐标运算
选择题 分 、 易
9 6 充分必要条件 √ √ √ √
选择题 分 抛物线几何性质 圆的切线 中
10 6 、 √ √ √ √ √
选择题 分 函数对称性 周期性 难
11 6 、 √ √ √ √ √ √ √
填空题 分 二项式定理 易
12 5 √ √
填空题 分 正四棱台的体积 中
13 5 √ √ √ √ √ √
填空题 分 古典概型 难
14 5 √ √ √ √ √ √ √
解答题 分 数列通项 求和 易
15 13 、 √ √ √ √
解答题 分 独立性检验 全概率公式 中
16 15 、 √ √ √ √ √ √ √ √
空间线面平行
解答题 分 中
17 15 的判定 二面角 √ √ √ √ √ √
、
解答题 分 椭圆 双曲线的综合问题 难
18 17 、 √ √ √ √
解答题 分 对数平均不等式及应用 难
19 17 √ √ √ √ √ √ √ √
高三数学答案 第 页(共 页)
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