文档内容
高三第二次模拟考试
数 学
注意事项：
1 .答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2 .回答选择题时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动•用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
淤
3 .考试结束后•将本试卷和答题卡一并交回。
4 .本试卷主要考试内容:高考全部内容。
国 一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
始 1. (l-7i)(7+2i) =
A.21-47i B. -7-47i C. 21+511 D.-7Ycli
倒 2.(旷=
K A. 16 B.872 C.32 D. 1672
3.曲线y=，4一三G4/3 )的长度为
K
A. 27t B — C. x
D包
-3 , 3
豕
4已知a = (xj ,31)伺=(h2，>2)都是非零向母，定义新运算aOd=Xix2+xI.y1y2+x1X2 +
“工2山，则，。6=0"是、_1>”的
就
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5 .曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的垃，对于平面曲线丁 = /(/),其曲率K =
—是》的导数是/的导数)，曲率半径p是曲率K的倒数，其表示与曲线在
□+(/)2r
某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率a沿曲率半径为p的曲线作曲线运
动时,向心加速度的大小为若该质点以恒定速率Vo沿形状满足J=x3-X2的光滑轨道
P
运动，则其在点(0,0)处的向心加速度的大小为
A. B. 2vo C.'-vl D.72vo
2 2
6.若尸为双曲线C：3—右= l(a>0,6>0)上异于A(—a,0),B(a,0)的动点，且直线PA与
a o
PB的斜率之积为5,则C的渐近线方程为
【高三数学第1页(共4页)】A. j = 士gz B. y = 土与n
C. j = ±a/5x D. _y = ±5z
7.已知随机变量X〜N（l,a2）,p（x&a）+p（X<6） = l（a>0,6>0）,则渭^的最大值为
19 2
A.9 B.卷 C.-y D.2
j 4 y
&设tan热是关于工的方程z―4^^-61+皿+]=0的一个实根，其中m为常数，则加=
乙4
A. -2y3 B. -4 C. -3/ D. -4/
二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 .将函数g（x） = 2sin（8x-y）图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到
函数”力）的图象测
' /（膏）=1 B. /⑴的最小正周期为我
C—的图象关于点信,0）对称 D./Cr）的图象关于直线z =一胃对称
10 .已知P为曲线C：//一/一丁+引=（）上一点,品（1,0），2（0,」）,f3（4»o），点P到
直线小1 + 1=0,2：4丁 + 1=0/3：4彳+1=0的距离分别为由,或"3,则
A,存在无数个点P,使得IPB I =4
B.存在无数个点P,使得IPF21 =匿
C.存在无数个点P,使得IPF31 =d3
D.仅存在一个点P,使得| PF? I =刈且I PR I =d3
11 .已知函数/Gr）的定义域为 RJCr+y）=2，fGr）+2V（y）,/XD=2/lJ
A./（0）=0 B./Cr）是增函数
C./（10）>213 D.±J（k ） = 9 X 2" +2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.
12 .若/Gr）,gCr）分别为奇函数、偶函数,”2）+g（2）=20,且“外一"包）=73,则/（-2）
+5屋—2）= ▲ .
13 .已知S.是等差数列（右｝的前〃项和，数列匕.｝的公差为d（dWO）,且｛/5』口是等差数
歹L则学=▲.
a --------
14 .一个整数m的各位数字之和记为例如T（99 952） = 9+9+9+5+2 = 34.用0,1,4,
6,7,8组成的无重复数字的四位数按照从小到大的顺序排列为为,即，。3,…，6，则°金=
▲ ，丁（田）• 丁（。2 ） , 丁屹3），…,TM”）的平均数为 ▲.
【高三数学第2页（共4页）】四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 .（13 分）
《九章算术・商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖胭.如图，在四面体ABCD
- A 2 -五
中,CD_L 平面 ABC,ABJ_BC,且 AB=4,BC=CD=3,AE=wEC.
（1）证明：四面体ABCD为鳖腐.
（2）若直线MNJ_平面ABD,求直线BE与MN所成角的余弦值.
16 . （15 分）
如图•点A,B,C,D,E均在直线/上，且AB = BC=CD = DE = L质点M与质点N均从
点C出发，两个质点每次都只能向左或向右移动1个单位长度•两个质点每次移动时向左移
动的概率均为:，每个质点均移动2次.已知每个质点移动2次后到达的点所对应的积分如
下表所示，设随机变量X为两个质点各自移动2次后到达的点所对应的积分之和.
A B C D E
A B C D E
积分 -200 -100 0 100 200
（D求质点M移动2次后到达的点所对应的积分为0的概率;
（2）求随机变量X的分布列及数学期望.
17 . （15 分）
△ABC 的内角 A ,B,C 的对边分别为 a ,6,c,且 sin2A+sin2C+cos2B+sin（K—A）sin（7rFC）=l.
⑴求B；
（2）若a=2,c=3,求AABC内切圆的半径；
⑶若M为4ABC的垂心，且点M在ZiABC内，直线AM与BC交于点D,且BM=4,求
AB+MD的最大值.
【高三数学第3页（共4页）】18 . （17 分）
已知函数 /（工）=。111（1+1）+2 — 1.
e
（1）若八/在其定义域内单调递增，求。的取值范围.
x2
（2）若a=0,证明：VhG（0，+8）JCr）十声百V0.
（3）若/Gr）在（一 1 ・?）上有两个极值点，求a的取值范围.
19 . （17 分）
已知O为坐标原点,F是椭圆C： = l（a>6>0）的左焦点,P是椭圆C上一点,|PF|
道
的最大值是以小值的3倍.
（1）求椭圆C的离心率；
S
（2）若点P不与椭圆C的顶点重合，过P作C的切线，与y轴交于点M,求esWpFM；
关
⑶已知|OF|=1,A,B是C上两个不同的点，过A,B分别作直线小右与C相切4与。
的交点为G,若OA_LOB,求动点G的轨迹方程.
娟
（附:椭圆千一%=1以点（*”）为切点的切线方程为分+A=d
【高三数学第4页（共4页）】高三第二次模拟考试
数学参考答案
1. A （l-7i）（7+2i） = 7+14+2i-49i=21-47i.
2小俱广=啰厂=2〈3-有〈3附=24 = 16.
3. D由)=4^?(*4/^),得％2十,2=4(%《遍，3»30),所以曲线3;
=/口m(,4/3)是以坐标原点。为圆心,2为半径的圆弧&,其中
点A的横坐标为6■，则/40% =微，/408=穴一季=溶故曲线
0 0 0
)=存彳包4巧)的长度为期X 2=合.
0 Q
4. B 若。。8=0,则力=&c2+3】yi：y2+4i4+3i%2：y2 =(+i+%2)(%i，2+g：y2)=o4(l
+12=0或力1%2+:yi；V2=S当％l+%2 = 0时，G , 6=力1力2+〃》2=0未必成立；当％1%2
+)132=0时，。«。=%1”2+？1毁二。.故“。。力=0"是J■力"的必要不充分条件.
5. B 设"%)=+3—%2,则/-2c(,) = 6,一2,所以7(0)=0,广(0)= — 2,则
曲线在点(0,0)处的曲率K = 2,曲率半径、1■，故曲线)=43一夕2在点(0,0)处的向心加速
度的大小为2*.
72 22 42—2 12
6. C设「(夕。0。)，割羊 +也则号一修=1,即必=必---,则人•及pb=YS = 4
a o -a x()—a a
=5,则”痣，故C的渐近线方程为产+后.
7. D 因为尸(X(a)+P(X>a)=l,P(X&a)+P(X46) = l,：^^./P(X>a)=P(X46).
由正态分布的对称性，可得a+b = 2.
皆=H!=NH!)Q+a)q(5+尹光耳,所以晟当且仅当尹
当，即a=[,6=1时，等号成立,所以;^的最大值为
a 3 3 a I 4。 9
8. D 设 tan^=©则 tan卡=tan（2>8X21o = 213,
U 4
C正确；
10 10
Xf々)= 1X2】+2X2?+…+10X2]。,则 2Z/(4)= 1X22+2X23H-- F10X211,
后=1 A=1
10 9.— 911
两式相减,可得一 2f 00 = 2+22+…+2】°-10X2” =a*-10X2】】 =一2-9X211,
4=1 1 U
故学/⑻= 9X2"+2,D正确.
12.4 依题意可得 f(2)— 2g(2)=8,又/(2)+g(2) =20,解得 f.(2) = 16,g(2) = 4,所以
f ( - 2)十 5g ( — 2) =-f (2)+ 5g (2) = — 16+20=4.
13.-7 设等差数列M力的公差为d,则%=%+2(九一1)=%2+即-25=叼+ 幽/^
U U
=3/十(以I一斗九，所以S”一a产黄2+(%一苧)九+a—G].因为(，S“一G”)是等差数
乙 、乙/ 乙 、乙/
歹IJ,所以(即一竽)2—4 • 5(d一%)=0,化简得(曲一5)2=0,所以以】=4,即号■=■1.
14.8 761；17.68(或者)用0,1,4,6,7,8组成的无重复数字的四位数的总个数为心屡=
300,其中最大的四位数为8 764,所以牝99=8 761.这300个数中，1,4,6,7,8出现的次数均
为展+ 0QA4 = 204,所以T (a])，T (@2)，7(。3)，…，下(即)的平均数为
204X(1+4+6+7+8) 17 旅，-442、
--------------- = 17.68(或区).
300
【高三数学•参考答案 第2页(共6页)】15. (1)证明：因为 CD_L平面 ABC,所以 CD_LEC,8_LAC,CDJLAB. ............ 3 分
又 AB_LBC,且 BCnCD=C, ......................................... 4 分
所以AB_L平面BCD,则AB_LBD, ...................................... 5分
所以四面体ABC。的四个面都为直角三角形，则四面体ABCD为鳖麻. ..........6分
(2)解:以B为坐标原点,BC ,BA的方向分别为工,y轴的正方向, “。
建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,4,0),B(0,0,0),0(3,0, /
3),E(1,y,0), ................................
则瓦5=(0,4,0),斑=(3,0,3),彘=(J■，羊,0)........ 9 分
\n • BA=4v=0,
设平面ABD的法向量为/i = (i，wz),则 _> ................ 10分
\n • BD=3%+3n=O,
令％=1,得〃 = (1,0l.1). ........................................... 11 分
_ BE ■ n
由 cosl,即a的取值范围为［1,+8). ................ 4分
— 1 1
(2)证明:若a=0,则/(幻+隹大=!一"缶・ ................................5分
*"十 1 €T T1
设g(%) = e”一(i+1)，则 g'(%)=e* —2%,g〃(％) = e“一2,则 g'Gc)在(0,ln 2)上单调递
减，在(In 2,+8)上单调递增，.................................................6分
则 g'(%)》g'(ln2)=2-21n2>0,则 gG)在(0,+8)上单调递增,................7 分
【高三数学•参考答案 第4页(共6页)】所以 g（3）>g（O）=O,即当％>0 时,............................. 8 分
所以“，）+告一一七V0,不等式得证. ................................9分
夕十1 e 夕十1
.：=:二%
（3）解/（*）= >一1）.
（c十l）e
当a<0时,，G）V0,则FG）在（一1,十8）上单调递减"（，）无极值点.........10分
当时，由（1）知/包）在（-1,+8）上单调递增产（%）无极值点. ............ 11分
当0V以VI时，令九（％）=仁©工一夕一1,
令无‘（力）=ae“ -1=0,得％ = —In a>0, ............................... 12 分
则玄公在（-1,一Ina）上单调递减，在（一Ina,+8）上单调递增，.............. 13分
无（——1）=&>0,九（0）=a —— lV0, ...................................... 14 分
e
由（2）知广〉炉十iq/o）,则九（'）=aea —5一+a~~~l=a + ^^>0）
......................................................... 15分
所以九（％）恰有两个零点小，处（一iVziVov%2 V2）,
a /
〜一 2
令「（夕）V0,得“1V夕V%2，令，（为）黄，得—1V%V/1或12<力<一，........ 16分
a
所以『包）在（一1,与）上单调递增，在（%,八3、上单调递减，在（“2，《）上单调递增，从而
了（%）有两个极值点.
综上皿的取值范围是（0,1）. ......................................... 17分
19.解：（1）由题可知"=3, ............................................. 2分
a -c
解得£=^■，即椭圆C的离心率为之. .......................................... 4分
CL Ct
乙
2 2
(2)设点 P(x0,九),F(—c,0),则 J+普=1,
a b
椭圆C在点P处的切线方程为方十常=1. ............................ 5分
令c=0,可得》=幺，即M(o,幺)，............................................. 6分
八 ' ye
FM • FO= (<;,—) • (c,0)=c2, ....................................... 7分
FM * FP = (c,^~) , (%o+c ,)o)=C*o+a' ..............................
8分
I FP I =，(+o+c)2 十页=J (%o+c)2 +b?一勺制 4% 什 2c夕。+a 2 = J(亍,o+a)
【高三数学•参考答案 第5页（共6页）】, ............ ............. .................... .......... 9分
一趴或 2「
cosZOFM \FM\\FO\ c ・(J0十① c 1
cosZPFM- p/vJ . ~pp ~ (cx0+a2) • c ~ a― 2" .....................
10分
\FM\|FP|
(3)因为|QF|=1,所以 c = l,a=2,6=聪,C 的方程为［+¥ = 1. ............
11分
4 o
设4但必）,灰物,山）6（5"）,则椭圆。在点41处的切线方程分别为/-+芍=1,
叫二 । yzy « e,r i y\t ，( yzt
丁十亍=1'则二】$ +丁 = 1'丁+ T= 12分
故直线AB的方程为节十豫=1. ....................................... 13分
0
T+l=1>
联立《 可得(4产-3射)*2—24sI+16(3—产)= 0,
标吟=】，
, 24s 16(3—Yx) i .八
“十........................................ 14 分
12—35X1 12—35X2 9(4-$2)
yiy2=-------- J7—................................ 15 分
因为 OA_LOB，所以 ％"2+332 = 0,解得 48—16户"36—9$2 = 0,
化简可得春+笫=1,故动点G的轨迹方程为桨十* = 1. ................ 17分
60 41 60 4」
【高三数学•参考答案第6页（共6页）】
