湖北省云学名校联盟2025届高三年级2月联考数学答案_2025年2月_250219湖北省云学名校联盟2025届高三年级2月联考（全科）_湖北省云学名校联盟2025届高三年级2月联考数学

2025 年云学名校联盟高三年级 2 月联考数学试题参考答案
选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D A B A D B C C AC BC ABD
填空题： 12. 24 13.0 14.
 2 1
  ,   1,2 
 3 2
【第12-14题】评分细则
按照参考答案标准给分。
|sinx|
k(x) 2n1
11.【详解】对于A，ycosx,ysinx，则 3 ，当x π,nZ时，k(x)1，因此
(1cos2x)2 2
函数ysinx在无数个点处的曲率为1，A正确；
6x
对于B，f(x)3x2，f(x)6x ，则k(x)
1(3x2)2 1.5
，k(x)k(x)，则k(x)为偶函数，曲线在两点
 
的弯曲程度相同，B正确；
3
对于C，yex,y ex，则函数yex的曲率半径 1  (1e2x)2  e2x33e2xe4x ，
k(x) ex
2
令g(x)e2x 33e2x e4x，求导得g(x)2e2x 6e2x 4e4x  (2e6x 3e4x 1)，
e2x
1 1 1
由g(x)0，得x ln2，当x ln2时，g(x)0，则函数g(x)在(, ln2)上单调递减，函数
2 2 2
1 1
 g(x) 在(, ln2)上单调递减，C错误；
k(x) 2
1 1 1 (1x2) 3 2
对于D，y ,y ，则函数ylnx的曲率半径，  ,x 0
x x2 k(x) x
依题意， 1  1 ，令h(x) (1x2) 3 2 ,x0，则方程h(x)t有两个不等正根t ,t ，
k(t ) k(t ) x 1 2
1 2
即直线y t与函数yh(x)的图象有两个交点，h(x) (2x21)(1x2) 1 2 ，
x2
1 1
当0 x 时，h(x)0，当x 时，h(x)0，
2 2
1 1 1
函数h(x)在(0, ]上单调递减，在[ ,)上单调递增，函数值集合为[h( ),)，
2 2 2
1 1
因此当t h( )时，方程h(x)t有两个不等正根t ,t ，不妨令0t  t ，
2 1 2 1 2 2
11 1
因此t ,t 不关于x 对称，即tt  ，D正确，
1 2 2 12 2
故答案为：ABD
14【详解】. f(x)[2x1]x[2x]1x，
k k
f(x) g(x) 2x[2x]kx1  2x[2x] (2x1)1，
2 2
k
令t 2x，则 f(x) g(x)t[t] (t1)1，
2
k k
直线 y  (t1)1过定点A(1,1)，斜率为 ．
2 2
y t[t]tn,t[n,n1),nZ，
k
如图，作出函数 y t[t]和 y  (t1)1的图象，
2
其中O(0,0)，B(1,0)，C(4,0)，D(5,0)，
1 1 1
k 1，k  ，k  ，k  ，
AO AB 2 AC 3 AD 4
k k k 1 1 k 1
依题意，k  k 或k  k ，∴1  或   ，
AO 2 AB AD 2 AC 2 2 4 2 3
2 1  2 1
∴ k  或1k 2，即实数k的取值范围是   ,   1,2  ．
3 2  3 2
【第15题】评分细则
按照参考答案标准给分
15（1）证明：延长 至点 ，使得 为 的中点，连接 ,连接 与 交于点 ，连接 .
AM N M BN CN CB C B E EM
1 1 1 1
在ACN 中，D，B 分别是AC和AN 的中点，DB CN
1 1 1 1 1
在BCN 中，E，M 分别是CB 和BN 的中点，EM CN
1 1 1
DB  EM
1 （5分）
又DB 平面BC M ，EM 平面BC M ,
1 1 1
DB 平面BC M
1 1 （6分）
2(2)因为AB  BC， 即AB BC，平面BCCB 底面ABC ，平面BCCB底面ABC 于BC
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,所以
AB 平面BCCB，于是AB  BB.同理BC  BB.故AB ，BC ,BB两两垂直.（8分）
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
以B 为原点，分别以BM，BC，BB所在 线为x轴，y轴，z
1 1 1 1 1 直
轴建立如图所示的空间直角坐标系，（9分）
令AB 2，B  0,0,0 ，
1 1 1
 1 1 1
A 2,0,0 ,C  0,2,2 ,D 1,1,1 ,Q  , , ，
1  2 2 2
B

0,0,2
,C 
0,2,0
,M 
1,0,0
,
1
 3 1 1  
即AQ  , , ,BC  0,2,2 ,C M  1,2,0 
1 2 2 2 1 1
 2y2z 0 
设平面BC M 的一个法向量为n x,y,z ， 得n 2,1,1  （10分）
1 x2y 0
 
AQn
4 66
1
设AQ与平面BC M 夹角为,sin   
1 1 AQ  n 33
1 （12分）
4 66
即AQ与平面BC M 夹角的正弦值为 . （13分）
1 1 33
【第16题】评分细则
解：（Ⅰ）由题意知：
2
= 3    2  +2    （  ......3分）

=2    2  +6 +1
由 , 可得 .

−2+2   ≤2  +6 ≤ 2+2   ,  ∈  −3+   ≤  ≤ 6+   ,  ∈ 
所以函数 的单调递增区间是 .（......6分 ，开区间也可以，不写 扣1

分，没写成  (  区)间形式扣1分）(本问−求3+导  解  ,题6也+  可  以,)  ∈   ∈ 
（Ⅱ）由 ,得 .
3
(2)=2     +6 +1= 3+1     +6 = 2
由题意知 为锐角（未指出是锐角，扣1分），所以 .（......8分）

3= 6由正弦定理： ,可得： . 所以
2  1 2    

=     =        6 =     =      =     ,  =    
所以 周长 （......10分）
1+2    
∆    =  +  +  =2+    
5 
1+2    (6−  )
=2+     （.......12分）
1

=2+ 3+    2
可得： （.......13分）
0<  < 2  
∵ 5   3 <  < 2.
0< 6 −  < 2
. （.......14分） 所以 周长的取值范围 .（15分）
3
∴【6第<127<题4】评∴分   细  2则∈( 3 ,1) ∆    (3+ 3,2+2 3)
ax2(a3)x2
解答：（1） f(x) ,...........................................................................................（..1分）
x
令g(x)ax2(a3)x2..................................................................................................................（.. 2分）
(a1)280 g(x)有2个零点x、x。
1 2
 a3
x x  0
  1 2 a x 0
又  1 ..........................................................................................................（.. 3分）
 x x 
2
0
x
2
0
  1 2 a
不妨设0 x  x ,当x(0,x ), f(x)0, f(x)单调递增。当x(x ,x ), f(x)0, f(x)单调递减。
1 2 1 1 2
当x(x ,), f(x)0, f(x)递增。 f(x)有2个极值点。...................................................................（.. 6分）
2
2 a 9 1 2 a 9 5
(2) f(x ) f(x )2ln 1  a 2ln    0........................................（.. 8分）
1 2 a 2 2a 4 a 2 2a 4
2 a 9 5 a24a9
令h(a)2ln    ,a(0,)h(a) 0.......................................................（..12分）
a 2 2a 4 2a2
h(a)在（0，）单调递增
又h(2)00a2.............................................................................................................................（..15分）
【第18题】评分细则
18题第二问用点斜式也是一样给分，第三问四点共圆也可以，方法很多，老师们适当给点步骤分。
 b2
18.解：依题意有，P(a,0)，Q(0,b)，Ac, 
 a 
b2
0
因为k  3k ，则 a b0，解得b 3c，-----（2分）
OA PQ  3
c0 0a
ac3
 x2 y2
故有b 3c ，解得a2，b 3，椭圆方程为  1（4分）
 4 3
b2c2 a2

（2）设A(x ,y ),B(x ,y )，l的方程为xmy1，（说明斜率不为0，没说明扣1分）
1 1 2 2
4x2 y2
  1
联立 4 3 得(3m2 4)y2 6my90（说明 ）由韦达定理有

 xmy1
∆>0
6m 9
y  y  ,y y  ，-----（6分）
1 2 3m2 4 1 2 3m2 4
6m 36 12 m2 1
y  y  (y  y )4y y  ( )2  ------（8分）
1 2 1 2 1 2 3m2 4 3m2 4 3m2 4
1 1 12 m2 1 18 m2 1 18
S  PF y  y  3  
于是 2 1 1 2 2 3m2 4 3m2 4 1 ---（9分）
3 m2 1
m2 1
1 9 9
令t  m211,y 3t  4,t 1,m0 时取等号，S  故PAB面积的最大值为 .（10分）
t 2 2
（3）MFF 的外接圆经过点N .
1 2
y 2y  2y 
直线AP的方程为 y  1 (x2)令x0，则y  1 ，M0, 1 
x 1 2 2x 1  2x 1 
 2y    2y    2y 
同理可得N0, 2 则FM 1, 1 ，FN 1, 2 ，-----（12分）
 2x  1  2x  1  2x 
2 1 2
36
  2y 2y 4y y 3m24
故有FMFN 1 2  1 1 1 2 1 0即
1 1 (3my ) (3my ) m2y y 3m(y y )9 9m2 18m2
1 2 1 2 1 2  9
3m24 3m24
FM FN，同理可证F M F N ，于是MFF 的外接圆经过点N .（17分）证F M F N 一样给分
1 1 2 2 1 2 2 2
【第19题】评分细则
第1问4分，第2问6分，第3问7分。
第1问应只考虑各项可重复的情况，答案写出来即可得4分。如果结果错了，但是有过程且过程部分正确，
比如算出分母6的4次方，可以给1分。
第2问只要写出结果即可给4分，如果写清楚了过程可以给6分。
第3问只要写了过程并有一定道理就可以送1到2分。
19.(1)概率为 （4分）
4
9 7
4
6 =72
(2)①若第n次是2，则满足要求的概率为 （5分）
1
2   −1
②若第n次是1，且第n-1次为2，则满足要求的概率为 （6分）
1 1
2×2   −2
5③若第n次是1，且第n-1次为1，则满足要求的概率为 （7分）
1 1 1
2×2×2   −3
于是 = + + （10分）
1 1 1
（3）  假  设2   −1或4   −2经8过   −3次才会第一次出现“1”，
即前 次   均未  出  现“1k”，其概率为 （12分）
5  −1 1
当 k第−一1次就出现1而停止时， 须   生=成(一6)次或(生6)成两次，概率为
当 第 次才停止时， 须进行 次或 次，或 次，其概率为 （14分）
1(  1+  2)
综上，所求概率
k   k−1 k k+1   (   −1+   +   +1)
∞
P=  1(  1+  2)+   (   −1+   +   +1)
=2
∞
1 1 5 1 5  −1 1 5  −2 1 5  −1 1 5  1
= ( + × )+( ) ×( )× ( ) × +( ) × +( ) ×
6 6 6 6  =2 6 6 6 6 6 6 6 6
（17分）
1 6 5 ∞ 5 2  −3 1 2 5 5 2 8
P= 6(36+36)+k=2(6) ×(6) × 1+6+(6) = 33
6