文档内容
2008 年重庆高考理科数学真题及答案
数学试题卷(理工农医类)共5页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
P(K)=kPk(1-P)n-k
n m
以R为半径的球的体积V= πR3.
一、 选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只
有一项是符合题目要求的.
（1）复数1+ =
(A)1+2i (B)1-2i (C)-1 (D)3
(2)设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(3)圆O:x2+y2-2x=0和圆O:x2+y2-4y=0的位置关系是
1 2
(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切 (4)已知函数 y=
的最大值为M,最小值为m,则 的值为
(A) (B) (C) (D)
(5)已知随机变量 服从正态分布N(3,a2),则(A) (B) (C) (D)
(6)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x,x R有f(x+x)=f(x)+f(x)+1,,则下列说法
1 2 1 2 1 2
一定正确的是
(A)f(x)为奇函数 （B）f(x)为偶函数
(C) f(x)+1为奇函数 （D）f(x)+1为偶函数
(7)若过两点P(-1,2),P(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段 所成的比
1 2
的值为
(A)－ (B) － (C) (D)
(8)已知双曲线 （a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e= ,则双
曲线方程为
（A） － =1 (B)
(C) (D)
(9)如题（9）图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面
过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是
以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V为小球相交部分（图中
1
阴影部分）的体积，V为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，
2
则下列关系中正确的是
（A）V> (B) V<
1 2
（C）V> V （D）V< V
1 2 1 2
(10)函数f(x)= ( ) 的值域是
（A）[- ] (B)[-1,0]
（C）[- ] （D）[- ]
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上
（11）设集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则(A B) = .
（12）已知函数f(x)= ，在点x=0处连续，则 .(13)已知 (a>0) ，则 .
(14)设S是等差数列{a}的前n项和，a=-8,S=-9,则S= .
n n 12 9 16
(15）直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的
方程为 .
(16)某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题
（16）图所示的6个点A、B、C、A B、C 上各装一个灯泡，要求同一
1、 1 1
条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安
装方法共
有 种（用数字作答）.
三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）
设 的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A= ，c=3b.求：
（Ⅰ） 的值；
（Ⅱ）cotB+cot C的值.
（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）
甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由
前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其
中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为 ，且各局胜负相互
独立.求：
（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；
（Ⅱ）比赛停止时已打局数 的分别列与期望E .
（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）
如题（19）图，在 中，B= ,AC= ,D、E两点分别在AB、AC上.使,DE=3.现将 沿DE折成直二角角，求：
（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；
（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.
（20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.）
设函数 曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点（-1，f
（-1））
处的切线垂直于y轴.
（Ⅰ）用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间.
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若 ,求点P的坐标.
（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
设各项均为正数的数列{a}满足 .
n
（Ⅰ）若 ，求a，a，并猜想a 的值（不需证明）；
3 4 2008
（Ⅱ）记 对n≥2恒成立，求a的值及数列{b}的通
2 n
项公式.参考答案
一、选择题：每小题5分，满分50分.
（1）A （2）A （3）B （4）C （5）D （6）C
（7）A （8）C （9）D （10）B
二、填空题：每小题4分，满分24分.
（11） （12） （13）3 （14）-72（15）x-y+1=0 （16）216
三、解答题：满分76分.
（17）（本小题13分）
解：（Ⅰ）由余弦定理得
＝
故
（Ⅱ）解法一：
＝
＝
由正弦定理和（Ⅰ）的结论得
故
解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有
＝
故
同理可得从而
（18）（本小题13分）
解：令 分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.
（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比
赛还未停止的概率为
（Ⅱ） 的所有可能值为2，3，4，5，6，且
故有分布列
2 3 4 5 6
P
从而 （局）.
（19）（本小题13分）
解法一：
（Ⅰ）在答（19）图1中，因 ，故BE∥BC.又因B＝90°，从而
AD⊥DE.在第（19）图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE，从
而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.
下求DB之长.在答（19）图1中，由 ，得
又已知DE=3,从而
因
（Ⅱ）在第（19）图2中，过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.由（1）知，
AD⊥底面DBCE,由三垂线定理知AF⊥FC,故∠AFD为二面角A-BC-B的平面
角.
在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,
因此
从而在Rt△DFE中，DE=3,
在
因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）如答（19）图3.由（Ⅰ）知，以D点为坐标原点， 的方向为x、
y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，4），
，E（0，3，0）.
过D作DF⊥CE,交CE的延长线
于F，连接AF.
设 从而
，有
①
又由 ②
联立①、②，解得
因为 ,故 ,又因 ,所以
为 所 求 的 二 面 角 A-EC-B 的 平 面 角 . 因 有
所以
因此所求二面角A-EC-B的大小为
(20)（本小题13分）
解：(Ⅰ)因为
又因为曲线 通过点（0，2a+3）,故
又曲线 在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故
即-2a+b=0,因此b=2a.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
故当 时， 取得最小值- .
此时有
从而
所以
令 ，解得
当
当
当
由此可见，函数 的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间
为（-2，2）.
(21)（本小题12分）
解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.
因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴
b= ，
所以椭圆的方程为
(Ⅱ)由 得
①
因为 不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，②
将①代入②，得
故点P在以M、N为焦点，实轴长为 的双曲线 上.
由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足 ，所以
由方程组 解得
即P点坐标为
(22)(本小题12分)
解：(Ⅰ)因
由此有 ，故猜想 的通项为
（Ⅱ）令
由题设知x=1且
1
①
②
因②式对n=2成立，有
③下用反证法证明：
由①得
因此数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.故
④
又由①知
因此是 是首项为 ，公比为-2的等比数列,所以
⑤
由④-⑤得
⑥
对n求和得
⑦
由题设知
即不等式
22k+1＜
对k N*恒成立.但这是不可能的，矛盾.
因此x≤ ,结合③式知x= ,因此a=2*2=
2 2 2
将x= 代入⑦式得
2
S=2－ (n N*),
n
所以b=2S=22－ (n N*)
n n
