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2025——2026 学年度上学期高中学段
高三联合考试数学科试卷
答题时间:120分钟 满分:150分 命题人 校对人:庞德艳 张欣
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知随机变量 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二项分布的期望值公式 ，即可求得结果.
【详解】因 ，所以 ，解得 .
为
故选：A.
2. 设集合 ， ， 且 ，则集合 （
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据绝对值不等式及一元二次不等式求解集合 ，结合集合 即可得出答案．
【详解】由题意得， ， ，
因为 且 ，所以 .
故选：D．
3. 已知随机变量 服从正态分布 ，有下列四个命题：
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学科网（北京）股份有限公司甲： ；
乙： ；
丙： ；
丁：
如果只有一个假命题，则该命题为（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】根据正态曲线的对称性可判定乙､丙一定都正确，继而根据正态曲线的对称性可判断甲和丁，即
得答案.
【详解】因为只有一个假命题，故乙､丙只要有一个错，另一个一定错，不合题意，
所以乙､丙一定都正确，则 ，
故甲正确，
根据正态曲线的对称性可得 ，故丁错.
故选：D.
4. 下列条件中，使 成立的必要而不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的性质和必要不充分条件的定义判断．
【详解】 是假命题，不是必要而不充分条件；
是正确的，但 不能得出 ，是必要而不充分条件；
与 之间不能相互推出，不是必要而不充分条件，也不充分；
，是充要条件．
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司5. 已知 是定义域为 的偶函数，对 ，都有 当 时，
则 =（ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据函数的奇偶性与所给等式推出函数的周期，再利用函数的周期性与奇偶性将 与
转化为已知区间 内的函数值，最后代入相应解析式进行计算.
【详解】根据题意， 是定义域为 的偶函数，对 ，都有 ，
则有 ，即函数 是周期为 的周期函数，
则有 ， ，
又由当 时， ，
则 .
故选：B.
6. 柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在
数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式： ，当且仅当
时等号成立.根据柯西不等式，已知 ， ，且 ，则 的
最大值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】变形给定等式可得 ，再将目标式化为 并利用二维柯西不等式求出
最大值.
【详解】由 ，得 ，即 ，
由 ，得 ，则 ，
由 ， ，得 ，
由柯西不等式得 ，
因此 ，当 ，即 时取等号，
所以 的最大值为 .
故选：C
7. 已知数列 满足对任意正整数 恒有 ，且 ，
，则 的前30项的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，令 ， 可得 ，结合 求得 ，可得
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学科网（北京）股份有限公司是等比数列，求出 ，再利用裂项相消法求和.
【详解】由 ，得 ，
令 ， ，得 ，可得 ，
所以 ，得 ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列，
故 ， ，所以 ，
所以 的前30项的和为 .
故选：D.
8. 已知函数 ，若 ，则m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断函数奇偶性和单调性性质，再利用性质求解不等式.将 化为 ，由奇偶性把
化为 ，再根据单调性得 ，解此不等式取交集得
范围.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】显然 的定义域为 ，
因为 ，所以
为偶函数．
又 ，
令 ，令 ， ，则 ，且 在 上单调递增，
当 时， ，又 在 单调递增，所以 在 单调递增；
当 时， ，又 在 单调递减，所以 在 上单调递减，
（也可利用定义求证单调性）
又 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
又 ， 为偶函数，
所以 等价于 ，
所以 ，故 ，则 ，即 或 ，
得 或 .
综上，m的取值范围为 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 为保护环境，我国近几年大力发展新能源汽车，新能源汽车的产销量迅速位居全球第一．我国某省
2024年9月份至2025年1月份这5个月新能源汽车月销量 （单位：千辆）与月份代码 的数据如表所示：
2024年10 2024年11 2024年12
月份 2024年9月 2025年1月
月 月 月
月份代码 1 2 3 4 5
月销量 /千
21 52 109
辆
若 与 线性相关，且经验回归方程为 ，则（ ）
A. B. 样本相关系数在 内
C. 相对于点 的残差为 D. 2025年2月份的销量一定为13.42万辆
【答案】AB
【解析】
【分析】先根据样本中心点的计算方法求出 和 ，再利用样本中心点在经验回归直线上求出 的值；然
后根据经验回归方程的性质判断样本相关系数的范围；接着根据残差的定义计算相对于点 的残差；
最后根据经验回归方程的预测性质判断2025年2月份的销量情况.
【详解】根据题意得 ， ，
又 必过样本中心点 ，所以 ，解得 ，故A正确；
因为 ， 具有较强的线性相关关系，且经验回归方程为 ，
所以 ， 具有较强的正相关关系，故样本相关系数在 内，故B正确；
当 时， ，故残差为 ，故C错误；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
故2025年2月份的销量约为13.42万辆，故D错误．
故选：AB．
10. 已知函数 其中 若 ， ，则下列结论正确
的是（ ）
A.
B. 的图象关于直线 对称
C. 过点 的直线与 的图象一定有公共点
D. 在 上单调递减
【答案】ACD
【解析】
【分析】先将函数 化简，再根据已知条件确定 的值，最后逐一分析选项.
【详解】解：由题意知 的最小正周期为 ，
， ，即当 时， 取得最大值，
所以 为 图象的一条对称轴，
又 ，所以 ，故A正确；
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，等于 的 个最小正周期，则 ，
所以 的图象不关于直线 对称，故B错误；
因为 ，所以点 在两条直线 与 之间，
所以过点 的直线与 的图象一定有公共点，故C正确；
因为当 时， 取得最大值， ， 为 的 个最小正周期，所以 在
上单调递减，故D正确.
故选：ACD.
11. 记 、 分别为函数 、 的导函数，若存在 ，满足 且
，则称 为函数 与 的一个“ 点”，则下列说法正确的为（ ）
A. 函数 与 存在唯一“ 点”
B. 函数 与 存在两个“ 点”
C. 函数 与 不存在“ 点”
D. 若函数 与 存在“ 点”，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】令 ，求出 ，利用“ 点”的定义逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】令 .
对于A选项， ，则 ，
由 可得 ，由 可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以， ，所以， ，
此时，函数 与 存在唯一“ 点”，A对；
对于B选项， ，则 ，
函数 的定义域为 ，令 可得 ，且 ，
所以，函数 与 不存在“ 点”，B错；
对于C选项， ，则 ，
令 可得 ，解得 或 ，但 ， ，
此时，函数 与 不存在“ 点”，C对；
对于D选项， ，其中 ，则 ，
若函数 与 存在“ 点”，记为 ，
则 ，解得 ，D对.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在等比数列 中， 是函数 的极值点，则 ______
【答案】4
【解析】
【分析】由题意可得 是方程 的两根，再利用韦达定理求出 ，结合等比数列的性质即
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学科网（北京）股份有限公司可得解.
【详解】 ，
因为 是函数 的极值点，
所以 是方程 的两根，
由韦达定理可得 ，所以 都是正数，
在等比数列 中， 同号，且 ，
所以 .
故答案为： .
13. 已知 ，则 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据正切二倍角公式得 ，进而根据和差角公式求解 ，即可根据二倍角公式求
解.
【详解】由 ，
，
有 ，
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学科网（北京）股份有限公司可得 ．
故答案为：
14. 已知集合 ，集合 满足：①每个集合都恰有 8 个元素，②
集合 中元素的最大值与最小值之和称为集合 的特征数，记为 ，则
的最大值与最小值的和为__________．
【答案】150
【解析】
【分析】判断集合的元素中的最小值与最大值的和的可能情况，然后按照定义求解即可．
【详解】集合 ，由集合 满足：
每个集合都恰有 个元素， ，则集合 两两交集为空集.
设 集 合 中 元 素 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为 和 ， 则
.
由集合 两两交集为空集，故 两两不同且 两两不同.
先求 的最小值：
要使 取到最小值， 和 同时取得最小值.
由于 ，且两两不同，所以当 时， .
因为24是集合 中除 外的元素中的最大元素，一定是三个集合 之一的元素，不妨设集合
含有24，然后将紧随其后的23，22，21， ，18这6个数放入集合 中，不会增加 ，但却可以使
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学科网（北京）股份有限公司得 变小，所以为使 最小，必然集合 中的元素是含有24，23，22，21， ，18这7个
元素；这时 中剩余元素的最大值17必是 或 的最大元素，不妨设集合 含有17，同上，为使
最小，集合 中的元素含有17，16，15， ，11这7个元素；于是集合 含有10，9，8，
7， ，4这7个元素， .
则 的最小值为 .
再求 的最大值：
要使 取到最大值，应当 和 同时取得最大值.
由 于 且 两 两 不 相 等 ， 所 以 当 时
.
中的剩余元素最小的是1，不妨设 ，即 .将 放入 不会改变 的值，却可以使
其它两个集合中的最小元素变大，因此为使 最大，集合 中必含有 ；这时8是
集合 中剩余元素的最小元素，设 ，同理可知 中含有 ； 中含有
.所以 .
则 的最大值为 ；
所以 的最大值与最小值的和为 ．
故答案为： ．
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ，
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学科网（北京）股份有限公司（1） 的最小正周期是 ，求 ，并求 在区间 的解集；
（2）已知 ， ， ，求 的值域和单调区间．
【答案】（1） ，
（2） ， 单调增区间为 ，单调减区间为
【解析】
【分析】（1）利用函数的周期求出 的值，进而求出 的关系式，然后根据余弦函数的性质求出 的
解；
（2）根据正余弦函数的倍角公式以及辅助角公式化简，然后根据正弦函数的性质即可求解．
【小问1详解】
由题知 ，解得 ，
令 ，
故 或 ，
整理得 或 ， ，又 ，
故解集为 ；
【
小问2详解】
由于 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以
，
由于 ，所以 ， ，
故 ，所以函数 的值域为 ；
令 ，得 ，所以 单调增区间为 ，
令 ，得 ，所以 单调减区间为 ，
综上， 单调增区间为 ，单调减区间为 ．
16. 等差数列 的首项 ，公差 ，前 项和 满足
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）先利用等差数列的前 项和的公式将 改写为 和 的式子，解出 用 表示的式
子，再利用 求出 的范围，根据 求出 ，再求出 ，使用等差数列的通项公式求
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学科网（北京）股份有限公司出
（2）先求出 ，再利用错位相减法求出 .
【小问1详解】
解： ， ，得 ，
， ，
又 ， ， ，
【小问2详解】
，
…………….①
…………….②
① ②，得
，
得 .
17. 时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的
直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
直播带货评级
合计
优秀 良
本科及以上 60 40 100
主播的学历层次
专科及以下 30 70 100
合计 90 110 200
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学科网（北京）股份有限公司（1）依据小概率值 的独立性检验，能否认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？
（2）统计学中常用 表示在事件 条件下事件 发生的优势，称为似然比，当
时，我们认为事件 条件下 发生有优势.现从这200人中任选1人， 表示“选到的主播
带货良好”. 表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计 的值，并判断事
件 条件下 发生是否有优势：
（3）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人
中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数 的概率分布和数学期望.
附： ， .
0.05 0.01
0.001
0 0
3.84 6.63 10.82
1 5 8
【答案】（1）认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联
（2） ，认为事件 条件下 发生有优势
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）计算出卡方，即可判断；
（2）根据所给的公式 ，结合条件概率公式可得 ，结合表中数据即
可求解；
（3）根据分层抽样得带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，即可利用超几何分布的概率公式求解概
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学科网（北京）股份有限公司率，由期望公式求解即可，
【小问1详解】
零假设为 ：直播带货的评级与主播的学历无关，
由题意得 ，
所以根据小概率值 的独立性检验，
可推断 不成立，认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联；
【小问2详解】
因为 ，
因为 ，
所以认为事件 条件下 发生有优势；
【小问3详解】
按照分层抽样，直播带货优秀的有 人，直播带货良好的有 人，随机变量 的可能
取值为1，2，3，
则 ，
，
，
所以 分的布列为：
1 2 3
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学科网（北京）股份有限公司所以数学期望 .
18. 已知 .
（1）若 ， ，求 ；
（2）设 ， ，证明： ；
（3）在（2）的条件下，若 ，证明数列 为等比数列并求 的通项公式.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）利用完全平方与平方关系，由 求出 ，解出 ，再求
即可；
（2）利用完全平方与平方关系，由 表示出 ，再将 进行拆分，
变形，表示为所求形式即可；
（3）由（2）的结论代入 ，根据提示进行变形，得出 ，再求出其首项不为0
即可证其为等比数列；同时证明 为等比数列，分别求出通项，做差即可解得 .
【小问1详解】
由题意可得 ，①
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
所以 ，
②
联立①②解得 ，
所以 .
【小问2详解】
证明： ， ，
则 ，
故
， .
【小问3详解】
证明：由（2）得： ，
时，有 ， ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ， ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列；
同理 ，
又 ， ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列；
结合等比数列的通项公式，可得：
， ，
两式作差，得 ，
故 .
19. 已知函数 （ ，且 ）.
（1）当 时，证明： 为增函数；
（2）若 存在两个极值点 ， .
（i）求 的取值范围；
（ii）设 的极大值为 ，求 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用导数证得 为增函数.
（2）（i）先换元设 ，然后利用多次求导的方法，对 进行分类讨论，根据极值点个数来求
得 的取值范围.
（ii）根据（i），通过换元以及构造函数，结合导数来求得 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
依题意 ， ，
设 ，则 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
故 ，即 ， 单调递增.
【小问2详解】
（i）设 ，则 ，
则 .
设 ，则 ，即 在 上单减，在 上单增，
当 时，令 ，由 ，且 在 上单调递增，
故 仅有一个零点 ，不符合题意；
当 时， ，
①当 时，则 ，此时 ， ， 单调递增，不符合题意；
②当 时，则 ，此时 存在两个零点 ，
当 时 ， ；当 时， ， ；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ， ， 存在两个极值点，符合题意.
综上可知， .
（i i）由（i）可知 ，且 ，满足 ，
故 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
故 单调递减，且 ，则 ，
即 .
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理，
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学科网（北京）股份有限公司
