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2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）
第I卷 选择题（共40分）
一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题
目要求的一项。
1，集合P=xÎZ|0£x<3,M = xÎR|x2 £9 ，则P
I
M =
（A）1,2 （B）0,1,2 （C）x|0£x<3 （D）x|0£x£3
2，在等比数列a 中，a =1，公比 q ¹1.若a =aa a a a ，则m=
n 1 m 1 2 3 4 5
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
3，一个长方体去掉一个小长方体，所得集
合体的正（主）视图与侧（左）视图分别
如右图所示，则该几何体的俯视图为
正（主）视 侧（左）视
图 图
（A
（B
）
）
（C （D
） ）
4，8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法总数为
（A）A8A2 （B）A8C2 （C）A8A2 （D）A8C2
8 9 8 9 8 7 8 9
5，极坐标方程(r-1)(q-p)=0(r³0)表示的图形是
（A）两个圆 （B）两条直线
（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线
r r r r r r r r
6，a,b为非零向量，“a^b”是“函数 f(x)=(xa+b)·(xb-a)为一次函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
ì x+ y-11³0
ï
7，设不等式组í3x- y+3³0 表示的平面区域为D，若指数函数y=ax的图象上存在
ï
î5x-3y+9£0
第1页 | 共6页区域D上的点，则a的取值范围是
（A）(1,3] （B）2,3 （C）(1,2] （D）[3,+¥)
8，如图，正方体ABCD-ABCD 的棱
1 1 1 1
D C
1 1
长为2，动点E，F在棱A
1
B
1
上，动点P，Q E F
B
A 1
分别在棱AD,CD上，若 1
EF =1,AE=x,DQ= y,DP=z（x,y,z大
1 D Q C
P
于零），则四面体PEFQ的体积
B
A
（A） 与x,y,z都有关
（B） 与x有关，与y,z无关
（C） 与y有关，与x,z无关
（D） 与z有关，与x,y无关
第II卷 （共110分）
二、 填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。
2i
9，在复平面内，复数 对应的点的坐标为______
1-i
2p
10，在DABC 中，若b=1,c= 3,ÐC = ，则
3
a=________
11，从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单
位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），由图
中数据可知a=________.若要从身高在
[120,130),[130,140),[140,150)三组内的学生中，用分层
抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在
[140,150]内的学生中选取的人数应为________.
12，如图， O的弦ED,CB的延长线交于点A，若
e
BD^ AE,AB=4,BC =2,AD=3，则DE=_____;
CE=_____
第2页 | 共6页x2 y2 x2 y2
13，已知双曲线 - =1的离心率为2，焦点与椭圆 + =1的焦点相同，那么双
a2 b2 25 9
曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______.
14，如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，
设顶点P(x,y)的轨迹方程是y= f(x)，则函数 f(x)的
最小正周期为_____；y= f(x)在其两个相邻零点间的
图象与x轴所围区域的面积为_______.
说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向
和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点
B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形PABC沿x
轴负方向滚动.
三、 解答题。本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
。
15，（本小题共13分）
已知函数 f(x)=2cos2x+sin2 x-4cosx,
p
（I） 求 f( )的值；
3
（II） 求 f(x)的最大值和最小值.
16，（本小题共14分）
如图，正方形ABCD和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE^ AC，EF ∥AC，
AB= 2,CE =EF =1.
(1) 求证：AF ∥平面BDE；
(2) 求证：CF ^平面BDE；
(3) 求二面角A-BE-D的大小.
第3页 | 共6页17，（本小题共13分）
4
某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得的优秀成绩的概率为 ，第二
5
、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p,q(p>q)，且不同课程是否取得优秀成绩
相互独立，记x为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
x 0 1 2 3
P 6 a b 24
125 125
(1) 求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(2) 求 p,q的值；
(3) 求数学期望Ex.
18，（本小题共13分）
k
已知函数 f(x)=ln(1+x)-x+ x2(k ³0).
2
(1) 当k =2，求曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；
第4页 | 共6页(2) 求 f(x)的单调区间.
第5页 | 共6页19，（本小题共14分）
在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与
1
BP的斜率之积等于- .
3
(1) 求动点P的轨迹方程；
(2) 设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P使得DPAB与
DPMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
20，（本小题共13分）
已知集合
A=a ,a ,...,a ,B=b,b ,...,b ÎS
1 2 n 1 2 n n
S = X |X =x,x ,...,x ,x Î0,1,i=1,2,...,n (n³2).对于，定义A与B的差为：
n 1 2 n i
A-B= a -b , a -b ,..., a -b ;
1 1 2 2 n n
n
A与B之间的距离为d(A,B)=å a -b .
i i
i=1
(1) 证明："A,B,CÎS ，有A-BÎS ，且d(A-C,B-C)=d(A,B)；
n n
(2) 证明："A,B,CÎS ，d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数；
n
设PÍS ，P中有m(m³2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为d(P).证明
n
mn
：d(P)£
2(m-1)
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