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三 湘 名 校 教 育 联 盟
届高三 月入学大联考数学
五市十校教研教改共同体 ２０２５ ２
参考答案、提示及评分细则
．答案
１【 】D
解析 由A B 可知 ２ t t 当t 时x２ x 解得x 或x 即B ．
【 】 ∩ ＝{１} １－５＋ ＝０⇒ ＝４, ＝４ , －５ ＋４＝０, ＝１ ＝４, ＝{１,４}
故A B 故选 ．
∪ ＝{０,１,４}, D
．答案
２【 】A
解析z ４－i (４－i)(１＋i) ５ １ 其虚部为 １ 故选 ．
【 】＝ －２i＝ －２i＝ － i, － , A
１－i ２ ２ ２ ２
．答案
３【 】B
( )２
１
x２ ( ) x２ x x２
解析 易得函数fx 的定义域为R 且fx f １ １ 故
【 】 ()＝ x２ , ()＋ x ＝ x２＋ ( )２＝ x２＋ x２＝１,
１＋ １＋ １ １＋ １＋
１＋ x
选 ．
B
．答案
４【 】B
解析 由 a b a b 两边平方得 a２ a b b２ a２ a b b２ 整理得a２ a b 所以 a
【 】 |２ － |＝| ＋ | ４ －４ ＋ ＝ ＋２ ＋ , ＝２ , ||＝
a
b ab ２b 所以|| ２ 故选 ．
２||cos＜ ,＞＝ ||, b ＝ , B
３ || ３
．答案
５【 】A
S S
解析 易知 n １ n n 故S na 当n 时 S n a 两式相减得 n a
【 】 a n＝a ＋１×(－１)＝ , n ＝ n, ≥２ ,n －１＝(－１)n －１, (－１)n ＝
１
a
n a 即a a 故a 为常数列 则a a 故 ２０２５ 故选 ．
(－１)n －１, n ＝ n －１, {n} , ２０２５＝ ３, a ＝１, A
３
．答案
６【 】C
α β
解析 由 α β １ 可得 tan－tan １ 即 α β １ α β 即有 α β
【 】 tan(－ )＝ , α β＝ , tan －tan ＝ (１＋tan tan ), ２－２tan tan
３ １＋tantan ３ ３
１ α β 解得 α β ５ 故 α β α β ５ ４ 故选 ．
＝ (１＋tan tan ), tan tan ＝ , tan －tan ＝２－２tan tan ＝２－２× ＝ , C
３ ７ ７ ７
．答案
７【 】D
解析 考虑圆台的轴截面 如图 记球的半径为r 两底面圆圆心分别为O O 线段
【 】 ( ), , １, ２,
OO 的中点为O 易知OO r．作OM AB 由过圆外一点作圆的切线 切线长相等
１ ２ , １＝ ⊥ , ,
得OA AM OB BM 于是OA OB AB 而OB OA 故可知OA
１ ＝ ,２ ＝ , １ ＋ ２ ＝ ＝６, ２ ＝２ １ , １ ＝
OB 故 r２ AB２ OB OA ２ 即r２ 故球的表面积S
２,２ ＝４, (２ )＝ －( ２ － １ )＝３６－４＝３２, ＝８, ＝
r２ 故选 ．
４π ＝３２π, D
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 １ ( ７ )】
{#{QQABJQO5xgiQgBTACQ5rUQGQCEuQkJAgLWokgQCUOAwKgRFABAA=}#}．答案
８【 】D
解析 由题意可知AF DF 设椭圆的半长轴长为a 则AF a BF a a
【 】 ２＝ ２＝４, , １＝２ －４, １＝９－(２ －４)＝１３－２ ,
AF
BF a BF a a a 在 AFF 中 A ２ ４ ２ 在 ABF 中
２＝２ － １＝２ －(１３－２ )＝４ －１３, Rt△ １ ２ ,cos ＝AF ＝a ＝a , △ ２ ,
１ ２ －４ －２
AB２ AF２ BF２ ２ ２ BF２ a ２ a２ a a２ a
A ＋ ２－ ２ ９＋４－ ２ ９７－(４ －１３) －１６ ＋１０４ －７２ －２ ＋１３ －９
cos ＝ AB AF ＝ ＝ ＝ ＝ ,
２ ２ ２×９×４ ７２ ７２ ９
a２ a
所以 ２ －２ ＋１３ －９ 整理得 a a２ a 即 a２ a 解得a 或a ７ 当a
a ＝ , － (２ －１７ ＋３５)＝０, ２ －１７ ＋３５＝０, ＝５ ＝ ,
－２ ９ ２
７时 AF BF AF BF 不满足题意 故舍去 当a 时 AF BF AF BF 满足
＝ , １＝３, １＝６, １＜ １, , ; ＝５ , １＝６, １＝３, １＞ １,
２
题意 故C的长轴长为 故选 ．
, １０, D
．答案
９【 】BC
( )
解析fx x x x π 最小值为 故 错误 由最小正周期T ２π 可知 正
【 】()＝sin － ３cos ＝２sin － , －２, A ; ＝ ＝２π, B
３ １
( ) ( )
确 因为f π 故 正确 将fx 的图象向右平移π个单位长度 得到y x ２π 的图象 故
: － ＝－２, C ; () , ＝２sin － ,
６ ３ ３
错误 故选 ．
D , BC
．答案
１０【 】BCD
解析 由题意可得 y y x x 易知函数fx x x单调递增 故x y 对于 x３ y３ x y
【 】 e＋２ ＞e＋２ , ()＝e＋２ , ＜ , A, ＜ ⇔ ＜ ,
y x
故x y 是 e－e x y 的充要条件 故 错误 对于 由 y x 得y x x 能推出x
“＜ ” “ ＞ － ” , A ; B,log３(－ )＞０ ＞ ＋１＞ , ＜
２
y x
y 反之不成立 所以 y x 是 e－e x y 的充分不必要条件 故 正确 对于 由１ １
, , “log３(－ )＞０” “ ＞ － ” , B ; C, x＞y＞
２
y x y x
可得 x y 故e－e x y 反之不成立 故 １ １ 是 e－e x y 的充分不必要条件 故
０ ０＜ ＜ , ＞ － , , “x＞y＞０” “ ＞ － ” , C
２ ２
y x
正确 对于 x y x y或x y 故 x y 是 e－e x y 的充分不必要条件 故 正
; D,||＜ ⇒０＜ ＜ ＜０＜ , “| |＜ ” “ ＞ － ” , D
２
确 故选 ．
, BCD
．答案
１１【 】BCD
q１０ q１０
解析 由题意可得a aq１０ 要使a 取得最小值 则函数fq 要取得最小值 这等
【 】 １１＝ １ ＝q ２ , １１ , ()＝q ２ ,
(－１) (－１)
q５ q４q q５ q５ q４ q４ q
价于函数gq 取得最小值 易得g′q ５ (－１)－ ４ －５ (４ －５)因为q 所以
()＝q , ()＝ q ２ ＝ q ２ ＝ q ２ , ＞１,
－１ (－１) (－１) (－１)
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 ２ ( ７ )】
{#{QQABJQO5xgiQgBTACQ5rUQGQCEuQkJAgLWokgQCUOAwKgRFABAA=}#}( ) ( )
当q ５ 时gq 单调递减 当q ５ 时 gq 单调递增 故当q ５时a 取得最小值 故
∈ １, ,() , ∈ ,＋∞ , () , ＝ ,１１ , A
４ ４ ４
错误
;
a
１１＝q
q１０
２＝１６
(
５
)
１０不为整数
,
故
B
正确
;
由于q
＝
５
,
若a
n
为
４
的倍数
,
则a
n ＋１
为整数
;
若a
n
(－１) ４ ４
不为
４
的倍数
,
则a
n ＋１
不为整数
,
且a
m(
m
＞
n
)
均不为整数
,
将q
＝
５代入
,
解得a
１＝１６,
a
２＝２０,
a
３＝２５,
则
４
a m 均不为整数 所以a 中有且仅有一项为奇数 a 中的所有整数之和S 故
m( ＞３) , {n} ,{n} ＝１６＋２０＋２５＜１００,
正确 故选 ．
CD , BCD
．答案 第一个空 分 第二个空 分
１２【 】１０,１０( ３ , ２ )
解析x １ ． ． ． ． ．因为解答时间位于区间 的频率为２＋８
【 】＝ ×(２５×２＋７５×８＋１２５×８＋１７５×２)＝１０ [０,１０) ＝
２０ ２０
１ 所以解答时间的中位数为 ．故答案为 ．
, １０ １０,１０
２
．答案
１３【 】２ ３１＋２
【
解析
】
易得C四边形MANB
＝
MA
＋
MB
＋
NA
＋
NB
,
其中MA
＝
MB
＝１,
NA
＝
NB
＝
MN２
－１
．设点M
(
x
,
y 则MN２ x ２ y２ x ２ 故NA 于是四边形MANB周长的最小值是
), ＝(－６)＋ ＝(－２)＋３２≥３２, ≥ ３１, ２ ３１
．故答案为 ．
＋２ ２ ３１＋２
．答案
１４【 】－７
【 解析 】 等式两边求导可得 ７(２ x ＋１)( x２ ＋ x －１) ６ ＝i∑ １４ ia i(２＋ x ) i －１ , 代入x ＝－１, 有 i∑ １４ ia i ＝－７, 故 i∑ １４ ia i
＝１ ＝１ ＝０
１４ ia 故答案为 ．
＝i∑ i ＝－７, －７
＝１
．解析 由已知得b C c B a A 由正弦定理得 A B C A A 分
１５【 】(１) cos ＋ cos ＝２cos , sin ＝sin( ＋ )＝２sin cos , ２
因为 A 所以 A 即 A １ 分
sin ≠０, ２cos ＝１, cos ＝ , ４
２
又因为A 所以A π． 分
∈(０,π), ＝ ６
３
a a
外接圆半径r 要使外接圆的半径最小 只需a最小 而a２ b２ c２ bc A b２ c２ bc
(２) ＝ A＝ , , , ＝ ＋ －２ cos ＝ ＋ －
２sin ３
bc bc bc 分
≥２ － ＝ ＝４, １１
当且仅当b c 时取等号 此时a 则r ２３． 分
＝ ＝２ , ＝２, min＝ １２
３
故 ABC外接圆面积的最小值为４π． 分
△ １３
３
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 ３ ( ７ )】
{#{QQABJQO5xgiQgBTACQ5rUQGQCEuQkJAgLWokgQCUOAwKgRFABAA=}#}．解析 证明 如图 取CD的中点E 连接BE 因为AB CDAB １CD DE 所以四边形ABED为
１６【 】(１) : , , , ∥ , ＝ ＝ ,
２
平行四边形 则AD BE 分
, ＝ ＝１, ２
又DE EC 所以 DE EC BE 则 CBD 所以
＝ ＝１, ＝ ＝ , ∠ ＝９０°,
BD BC 分
⊥ , ４
因为CP 平面PBDBD 平面PBD 所以CP BD 分
⊥ , ⊂ , ⊥ , ５
因为CP BC CCP 平面PBCBC 平面PBC 所以BD 平面PBC． 分
∩ ＝ , ⊂ , ⊂ , ⊥ ６
因为AB AD 所以BD 易知四边形ABED 为矩
(２) ⊥ , ＝ ２,
形 所以BC 又PC PC PB 所以PB 所以
, ＝ ２, ＝１, ⊥ , ＝１,
PBC为等腰直角三角形 其斜边上的高为 ２． 分
△ , ８
２
以B为坐标原点 BCBD所在直线分别为x轴y轴 过B作垂直于平面ABCD的直线为z轴 建立如图
, , 、 , ,
( ) ( )
所示的空间直角坐标系 则B D C P ２ ２ E ２ ２ AD→ BE→
, (０,０,０), (０,２,０), (２,０,０), ,０, , , ,０ , ＝ ＝
２ ２ ２ ２
( ) ( ) ( )
２ ２ DP→ ２ ２ PC→ ２ ２ 分
, ,０ , ＝ ,－ ２, , ＝ ,０,－ , １０
２ ２ ２ ２ ２ ２
ì
ï
ï ï AD→ n ＝ ２x ＋ ２y ＝０,
２ ２
设平面PAD的法向量为n xyz 则í 分
＝(,,), ï １２
ï
ïDP→ n ２x y ２z
î ＝ － ２ ＋ ＝０,
２ ２
取x 可得n ． 分
＝１, ＝(１,－１,－３) １３
PC→ n
设直线PC与平面PAD所成角为θ 则 θ PC→n | | ２２ ２ ２２
, sin ＝|cos＜ ,＞|＝ PC→ n ＝ ＝ ,
| ||| １× １１ １１
故直线PC与平面PAD所成角的正弦值为２ ２２． 分
１５
１１
．解析 由C的实轴长为 得a２ 分
１７【 】(１) ４, ＝４, １
b２
由 ４＋ ５ 得b２ 分
＝ , ＝１, ３
４ ２
y２
故C的标准方程为 x２ ． 分
－ ＝１ ４
４
设Mx y x y 分
(２) (０,０)(０＞０,０＞０), ５
x y x y
点M 到直线y x的距离d | ０－ ０| 同理点M 到直线y x的距离d | ０＋ ０| 分
＝ １＝ , ＝－ ２＝ , ７
２ ２
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 ４ ( ７ )】
{#{QQABJQO5xgiQgBTACQ5rUQGQCEuQkJAgLWokgQCUOAwKgRFABAA=}#}x y x y
因为直线y x与y x互相垂直 所以四边形OAMB为矩形 其面积为dd | ０－ ０| | ０＋ ０|
＝ ＝－ , , １ ２＝ ＝
２ ２
x２ y２
| ０－ ０| 分
, ９
２
y２ x２ x２ x２ x２
由点M 在C上 得 ０ x２ 所以y２ x２ 所以dd | ０－(４ ０＋４)| |３ ０＋４| ３ ０＋４
, － ０＝１, ０＝４ ０＋４, １ ２＝ ＝ ＝ ＝８,
４ ２ ２ ２
因为M 在第一象限 所以x 分
, ０＝２, １１
代入C的方程得y 所以M 又F 分
０＝２５, (２,２５), (０,５), １２
y２
所以直线MF的方程为y
＝
５x
＋ ５,
与
－
x２
＝１
联立消y整理得
１１
x２
－２０
x
－４＝０,
由x
M
x
N ＝２
x
N ＝
２ ４
４ 得x ２ 分
－ , N ＝－ , １４
１１ １１
MF x
由平面几何知识可得| | | M | ． 分
NF ＝ x N ＝１１ １５
| | | |
．解析 易得f′x １ 则f′ 分
１８【 】(１) ()＝x, (１)＝１, １
g a b ３ f 分
(１)＝ ＋ － ＝ (１)＝０, ２
２
g′x ax bg′ a b f′ 分
()＝２ ＋ , (１)＝２ ＋ ＝ (１)＝１, ３
解得b a １． 分
＝２,＝－ ５
２
由题意可得hx fx gx x １x２ x ３ 分
(２) ()＝ ()－ ()＝ln ＋ －２ ＋ , ６
２ ２
x２ x x ２
则h′x １ x －２ ＋１ (－１) x 分
()＝x＋ －２＝ x ＝ x ≥０(＞０), ８
故hx 在 单调递增 所以hx 的单调递增区间为 无单调递减区间． 分
() (０,＋∞) , () (０,＋∞), １０
法一 由题意可转化为hx fx gx x ax２ bx c两次与x轴相切． 分
(３) : ()＝ ()－ ()＝ln － － － １１
ax２ bx
h′x １ ax b －２ － ＋１x 可转化为h′x 存在两个变号零点 分
()＝x－２ － ＝ x (＞０), () , １３
b
设 ax２ bx ax x x x 其中 x x x x xx １
－２ － ＋１＝－２ (－ １)(－ ２), ０＜ １＜ ２,１＋ ２＝－a,１ ２＝－a,
２ ２
显然a 分
＜０, １５
则h′x 在区间 x 和x 上为正 在区间x x 上为负 分
() (０,１) (２,＋∞) , (１,２) , １６
若hx 则hx hx 若hx 则hx hx hx 不可能与x轴相切两次 故不
(１)＝０, (２)＜ (１)＝０; (２)＝０, (１)＞ (２)＝０,() ,
存在． 分
１７
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 ５ ( ７ )】
{#{QQABJQO5xgiQgBTACQ5rUQGQCEuQkJAgLWokgQCUOAwKgRFABAA=}#}法二 假设存在满足题意的实数abc 设切点分别为x x 不妨x x 分
: ,,, １,２, ２＞ １＞０, １１
ì ïax２ bx c x
１＋ １＋ ＝ln １
ì ïfx gx ï
ï (１)＝ (１) ïax２ bx c x
ï ２＋ ２＋ ＝ln ２
ï ïf ( x ２)＝ g ( x ２) ï { ２ ax２ １＋ bx １－１＝０
则í 即í 则 分
ï , ï ax b １ , , １３
ï
f′
(
x
１)＝
g′
(
x
１) ï
２ １＋ ＝x
１ ２
ax２
２＋
bx
２－１＝０
ï ï
ï
îf′x g′x ï
(２)＝ (２) ï ax b １
î ２ ２＋ ＝x
２
b
则关于x的二次方程 ax２ bx 有两相异实根 故 b２ a 同时x x xx
２ ＋ －１＝０ , Δ＝ ＋８ ＞０, １＋ ２＝－ a,１ ２＝
２
{ax２ bx c x
１＋ １＋ ＝ln １
１ 显然a b 而 相减得 x x ax２ x２ bx x 分
－a, ＜０＜ , ln １－ln ２＝ (１－ ２)＋ (１－ ２), １４
２ ax２ bx c x
２＋ ２＋ ＝ln ２
x x b x x
整理得ln １－ln ２ ax x b 故 ２－ １ ２
x x ＝ (１＋ ２)＋ ＝ , x x ＝b,
１－ ２ ２ ln ２－ln １
x
２
x x x x x －１ x
先证 ２－ １ xx 即证 ２－ １ １ ２ 分
x x ＞ １ ２, xx ＝ x ＞lnx , １５
ln ２－ln １ １ ２ ２ １
x
１
t
t －１
x t － t t t t ２
令t ２ 设函数Gt t －１ 则G′t １ ２ － ＋２ －１ －( －１) 故Gt
＝x ＞１, ()＝ln－ t , ()＝t－ t ＝ tt ＝ tt ＜０, ()
１ ２ ２
在定义域内单调递减 Gt G 原不等式成立 分
, ()＜ (１)＝０, , １６
则２ １ 两边平方得４ １ 由于a 故 a b２ 得b２ a 与b２ a 矛盾
b＞ －a, b２＞－a, ＜０, －８ ＞ , ＋８ ＜０ ＋８ ＞０, ,
２ ２
故不存在． 分
１７
．解析 由题意可得PX m m 分
１９【 】(１)(i) ( ＝１)＝２ (１－ ), ２
故当m １时取最大值 其极大似然估计为１． 分
＝ , ４
２ ２
由题得m N∗ 且m
(ii) ∈ , ≥３,
m mm m
P ( X ＝３)＝C ３m １ m＝ m m＝ ( －１)( m －２) , ６ 分
２ ３( －３)２ ６２
m mm
( ＋１) ( －１)
令a m ( m －１)( m －２)则 a m ＋１ ６２ m ＋１ m ＋１ 分
m ＝ ６２ m , a m ＝m ( m －１)( m －２) ＝ ２ m －４ , ８
m
６２
其中m m ．当m 时 m m 则a a 分
≥３,２ －４＞０ ＜５ , ＋１＞２ －４, m ＋１＞ m; ９
当m 时 有a a 当m 时a a 故a 在m 或m 有最大值 则m在X 下的极大似
＝５ , ５＝ ６; ≥６ ,m ＋１＜ m, m ＝５ ＝６ , ＝３
然估计为 或 ． 分
５ ６ １０
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 ６ ( ７ )】
{#{QQABJQO5xgiQgBTACQ5rUQGQCEuQkJAgLWokgQCUOAwKgRFABAA=}#}显然有m k 设m 次点击后获得的积分为随机变量X 由题可知X 服从二项分布B m p 则
(２) ＞ , , ( , ),
P
(
X
＝
k
)＝C
k mpk
(１－
p
)
m － k
, １１
分
m
( ＋１) p
同 (１)(ii) 设 a m ＝C k mpk (１－ p ) m － k , 则 a a m m ＋１ ＝ C k m C ＋ k m １ p p k k ( ( １ １ － － p p ) ) m m － ＋ k １－ k ＝ k ( m ＋１－ m k ) (１－ ) ＝
k m k
( － )
m p
( ＋１)(１－ )． 分
m k １３
－ ＋１
k k k
当 (１－ p ) m ＋１－ p ＜ m － k ＋１, 即m ＞p－１ 时 , a m ＋１＜ a m, 当m ＜p－１ 时 , a m ＋１＞ a m, 当m ＝p－１ 时 ,
a a ． 分
m ＋１＝ m １４
k k k k k
若 为整数 则对m的极大似然估计m 为 和 满足m 当 N∗ 时等号成立 分
①: p－１ , ０ p－１ p, ０≤p, p∈ , １５
k k k k
若 不为整数 记N为小于 的最大整数 则N 则m N 时a a 当
②: p－１ , p－１ , ＋１＞p－１, ≤ ＜p－１ ,m ＋１＞ m;
k
m N 时a a 分
≥ ＋１＞p－１
,m
＋１＜
m,
１６
k k k
则m的极大似然估计m 为N 故m 综上可知 等号能成立的条件为 N∗． 分
０ ＋１＜p, ０≤p, : p∈ １７
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 ７ ( ７ )】
{#{QQABJQO5xgiQgBTACQ5rUQGQCEuQkJAgLWokgQCUOAwKgRFABAA=}#}
