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2024 年新课标全国Ⅱ卷数学
一、单选题
1．已知z=−1−i，则 z =（ ）
A．0 B．1 C． 2 D．2
2．已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3 =x，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题
( )
3．已知向量a,b满足 a =1, a+2b =2，且 b−2a ⊥b，则 b =（ ）
1 2 3
A． B． C． D．1
2 2 2
4．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（均在[ 900,1200)之间，
单位：kg）并部分整理下表
亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200）
频数 6 12 18 24 10
据表中数据，结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
5．已知曲线C：x2+y2 =16（y>0），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M
的轨迹方程为（ ）
x2 y2 x2 y2
A． + =1（y>0） B． + =1（y>0）
16 4 16 8
y2 x2 y2 x2
C． + =1（y>0） D． + =1（y>0）
16 4 16 8
6．设函数 f(x)=a(x+1)2−1，g(x)=cosx+2ax，当x∈(−1,1)时，曲线y= f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=（ ）
1
A．−1 B． C．1 D．2
2
52
7．已知正三棱台ABC- ABC 的体积为 ，AB=6，AB =2，则AA与平面ABC所成角的正切值为（ ）
1 1 1 3 1 1 1
1
A． B．1 C．2 D．3
2
8．设函数 f(x)=(x+a)ln(x+b)，若 f(x)≥0，则a2+b2的最小值为（ ）
1 1 1
A． B． C． D．1
8 4 2
二、多选题
π
9．对于函数 f(x)=sin2x和g(x)=sin(2x− )，下列说法正确的有（ ）
4A． f(x)与g(x)有相同的零点 B． f(x)与g(x)有相同的最大值
C． f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D． f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴
10．抛物线C：y2 =4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+(y−4)2 =1的一条切线，Q为切点，过P作l
的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|= 15
C．当|PB|=2时，PA⊥ AB
D．满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
11．设函数 f(x)=2x3−3ax2+1，则（ ）
A．当a>1时， f(x)有三个零点
B．当a<0时，x=0是 f(x)的极大值点
C．存在a，b，使得x=b为曲线y= f(x)的对称轴
D．存在a，使得点 ( 1, f (1)) 为曲线y= f(x)的对称中心
三、填空题
12．记S 为等差数列{a }的前n项和，若a +a =7，3a +a =5，则S = .
n n 3 4 2 5 10
13．已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ= 2+1，则sin(α+β)= .
14．在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符
合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
四、解答题
15．记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ 3cosA=2．
(1)求A．
(2)若a=2， 2bsinC =csin2B，求ABC的周长．
16．已知函数 f(x)=ex−ax−a3．
(1)当a=1时，求曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；
(2)若 f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
2
17．如图，平面四边形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=5 3，∠ADC =90°，∠BAD=30°，点E，F满足AE= AD，
5 1
AF = AB，将△AEF 沿EF对折至 ，使得PC =4 3．
2
△𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃
(1)证明：EF ⊥PD；
(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．
18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投
篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另
一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两
名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若p=0.4，q=0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设0< p0)，点P(5,4)在C上，k为常数，0
