2024届明日之星高考数学（理科）精英模拟卷全国卷_2024高考押题卷_72024正确教育全系列_2024明日之星全系列

2024 届明日之星高考数学（理科）精英模拟卷 【全国卷】 【满分：150分】 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.设全集 ，集合 ，集合 ，则 ( ) A. B. C. D. 2.若 ，则 ( ) A. B. C. D. f(x) f(x) 3.已知函数 ，若 的最小值为m，其中 是函数 的导函数， 则曲线 在xm处的切线方程是( ) 3x y10 A. B. y20 C. D. 4.设有下面四个命题： ， ； ， ； ， ； ， .其中真命题为( ) A. B. C. D. 5.已知 是等差数列 的前n项和，若 ，则 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 6.设向量a，b满足 ， ，a与b的夹角为 ，则 ( ) 版权所有©正确教育 侵权必究！A. B. C. D.3 7.已知函数 图象的一个对称中心为 ，则为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象( ) A.向左平移1个单位长度 B.向左平移 个单位长度 C.向右平移1个单位长度 D.向右平移 个单位长度 8.为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门德育校本课程，现 有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位 同学参加，则不同的报名方法有( ) A.54种 B.240种 C.150种 D.60种 9.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的表 面积为( ) A. B. C. D. 10.已知圆 ， 为圆C的动弦，且满足 ，G为弦MN的中点，两动点 P，Q在直线 上，且 ， 运动时， 始终为锐角，则线段PQ中点 版权所有©正确教育 侵权必究！的横坐标取值范围是( ) A. B. C. D. 11.已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 、 ，以 为圆心的圆 与x轴交于 ，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段 与C交于点M.若 与C的焦距 的比值为 ，则C的离心率为( ) A. B. C. D. 12.如图，已知菱形ABCD中， ， ，E为边BC的中点，将 沿AE翻 折成 （点 位于平面ABCD上方），连接 和 ，F为 的中点，则在翻折过 程中，下列说法正确的是( ) ①平面 平面 ② 与 的夹角为定值 ③三棱锥 体积最大值为 版权所有©正确教育 侵权必究！④点F的轨迹的长度为 A.①② B.①②③ C.①②④ D.②③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.在抛掷一枚骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5 的点数出现”，则事件 发生的概率为__________. 14.设x，y满足约束条件 ，则 的最小值为________. 15.已知函数 是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数 ， ， 恒成立，则不等式 的解集是 ___________. 1 f(x) a  16.已知函数 1x，数列 n 是正项等比数列，且 ，则 __________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分）已知在锐角 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 . （1）求C； （2）记 面积为S，求 的取值范围. 版权所有©正确教育 侵权必究！18.（12分）如图，三棱锥 中， ， ， E 为BC的中点. （1）证明： ； （2）点F满足 ，求二面角 的正弦值. 19.（12分）已知点F是抛物线 的焦点，点 在C上，且 . （1）求C的方程； （2）过点F作两条互相垂直的直线 ， ， 交C于A，B两点， 交C于M，N两点.求证： 为定值. 20.（12分）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答 对的概率为 ，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每 道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响. （1）当 时， 版权所有©正确教育 侵权必究！①若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； ②甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的概率分布和数学期望 ； （2）乙答对每道题的概率为 （含亲友团），现甲、乙两人各答2道题，若甲答对题的个数 比乙答对题的个数多的概率不低于 ，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值. 21.（12分）已知函数 ，其中实数 . （1）当 时，求函数 的单调性； （2）若函数 有唯一零点，求实数a的值. （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22.（10分）[选修4 – 4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 中，已知直线 ，曲线C的参数方程为 （ 为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （1）求曲线C和直线 的极坐标方程； （2）若直线 与曲线C分别交于O，A两点，直线 与曲线C分别交于O，B两点，求 的面积. 版权所有©正确教育 侵权必究！23.（10分）[选修4 – 5：不等式选讲] 已知函数 ，aR. f x6 （1）当a 2时，求不等式 的解集； （2）当a4时，若存在x2，使得 成立，求 的取值范围. 版权所有©正确教育 侵权必究！答案以及解析 1.答案：D 解析：因为 ， ，所以 ， 又因为全集 ，所以 .故选D. 2.答案：D 解析： ，所以 ，故选D. 3.答案：B 解析：由题得 ， 的最小值 . ， ， 曲线 在x0处的切线方程是 ，即 3x y10 .故选B. 4.答案：C 解析： ， ，所以命题 为假命题；当 时， ，所以命题 为假 命题；当 时， 均为非负整数，所以命题 为真命题；因为 ，所以命题 为假命题.故选C. 5.答案：B 解析：由题意， ，解得 ，设等差数列 的公差 为 ，则 .故选B. 6.答案：B 解析： ， ①.又 ，a2 2abb2 1②.由①②得 ，a2 b2 5， . 版权所有©正确教育 侵权必究！7.答案：A 解析：因为函数 图象的一个对称中心为 ，所以 ， ，所以 ， ，又 ，所以 ，所以 .因为 ，所以为了得到 的图象， 只需将函数 的图象向左平移1个单位长度. 8.答案：C 解析：根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A，B，C三门德育校本课程，每位同学仅 报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况： ①三组人数为1、1、3，此时有 种方法； ②三组人数为2、2、1，此时有 种方法.所以不同的报名方法有 种. 9.答案：D 解析：由多面体的三视图得到多面体的直观图如图所示： 它可以看成由直三棱柱与四棱锥组合而成. 其中三角形 的底 ，高为 ，所以其面积为 ； 版权所有©正确教育 侵权必究！梯形 与梯形 全等，上底 ，下底 ，高为 ，所以其面 积为 ； 三角形ABC的底 ，高为3，所以其面积为 ； 底面为矩形， ， ，其面积为 .所以该多面体的表面积 .故选D. 10.答案：A 解析：由题意，圆 ，可得圆心坐标为 ，半径为 ， 因为 ，G为弦MN的中点，可得 ， 又由两动点P，Q在直线 上，且 ， 设PQ的中点 ，当M，N在圆C上运动时，且 恒为锐角， 可得以C为圆心，以2为半径的圆与以E为圆心，以2为半径的圆相外离， 则 ，即 ，解得 或 ， 所以线段PQ中点的横坐标取值范围是 .故选A. 11.答案：D 解析：设双曲线的半焦距为c，因为以 为圆心的圆过 ，故该圆的半径为2c，故其方程为 y  3c y 0 ，令 ，则 ，结合A在y轴正半轴上，得 ，令 ， 3c0 k   3 则 或x3c，故 .故 F 1 A 0(c) ，故直线 .设 版权所有©正确教育 侵权必究！M(m, 3m 3c)(m0) ，由题意知 ，故 124 2 (3cm)2 ( 3m 3c)2  c2 m c 9 ，整理得 ，故 3 ，故 ，所以 4 1 c2 c2 9 3 4 7  1 e2  a2 b2 ，故 ，解得 2 或 ，又因为e1，则 ，则 4 7 e2  2 ， .故选D. 12.答案：C 解析：对于①：由 ， ，E为边BC的中点知 且 ， 易知 ， ，而 ，EC， 面 ， 故 面 ，又 面 ，所以面 面 ，故①正确； 对于②：若 是 的中点，又F为 的中点，则 且 ， 而 且 ，所以 且 ，即 为平行四边形， 版权所有©正确教育 侵权必究！故 ，所以 与 的夹角为 或其补角， 若G为AB中点，即 ，由①分析易知 ， 故 与CF的夹角为 ，故②正确； 对于③：由上分析知：翻折过程中当 面ABCD时， 最大， 此时 ，故③错误； 对于④：由②分析知： 且 ，故F的轨迹与G到 的轨迹相同， 由①知：B到 的轨迹为以E为圆心， 为半径的半圆，而G为AB中点， 故G到 的轨迹为以AE中点为圆心， 为半径的半圆，所以F的轨迹长度为 ，故④正确.故选C. 13.答案： 解析：随机抛掷一枚骰子共有6种不同的结果，其中事件A“不大于4的偶数点出现”包括出 现2，4两种结果， ，事件B“小于5的点数出现”的对立事件为 ， 版权所有©正确教育 侵权必究！， ，且事件A和事件 是互斥件， .故答案为 . 14.答案：2 解析：由约束条件 作出可行域，如图阴影部分， 结合图可知，平移直线 ，当平移到经过点A时，直线 在y轴上的截距最小， 即取得最小值，联立 ，得 ，即 ，将 的坐标代入直线 ，即得 的最小值为2，故答案为：2 15.答案： 解析：因为函数 对任意给定的实数 ， ， 恒成立， 即 恒成立，所以函数 在R上为减函数.又函数 是R上的 奇函数，所以 ，则由不等式 ，得 或 即 或 解得 .所以原不等式的解集为 . 版权所有©正确教育 侵权必究！16.答案： 解析：因为函数 ，所以当 时， .因 为数列 是正项等比数列，且 ，所以 ，所以 1，同理可得 ，令 ，则 ，所以 ，故 . 17.答案：（1）60° 2b2 ab8S  3  1 , 5  2bc 2 （2）   sinCsinA 3sinAcosC 解析：（1） ，由正弦定理得， ， 又 ，cosC 0， ， tanC  3 ， ； 3 4 sin Asin A2sinB 8S ab2b2 4absinCab2b2 2   （2） 2bc 2bc 2sinC 版权所有©正确教育 侵权必究！ 5sinA ，其中 ， ， 锐角 ， ， 从而得 ； 综上， ， . 18.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）证明：连接AE，DE， ，E为BC的中点， . 又 ， ， 与 均为等边三角形， ， . 又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 又 平面 ， . （2）设 ，则 ， ， ， . 又 ， ， 平面BCD， 平面BCD， 平面BCD . (cid:2) 以E为原点， ，EB， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间 版权所有©正确教育 侵权必究！直角坐标系， D( 2,0,0) B(0, 2,0) 则 ， ， ， ， (cid:2) DA( 2,0, 2) ， ， (cid:2) (cid:2)  EF  DA， ， . 设平面 的一个法向量为 ， 则 即 令 ，则 . 设平面 的一个法向量为 ， 则 即 令 ，则 . 设二面角 的平面角为 ， 则 . 又 ， 版权所有©正确教育 侵权必究！， 二面角 的正弦值为 . 19.答案：（1） ； （2）证明见解析. 解析：（1）抛物线C的准线方程为 ， 依题意， ，解得 或 ，而 ，则 ， 所以抛物线C的方程为 . （2）由（1）知 ，直线 ， 的斜率均存在， 不妨设直线 的方程为 ， ， ， 由 消去y得 ，显然 ， 则 ， ， 因此 ， 由 ，得直线 的斜率为 ，同理得 ， 版权所有©正确教育 侵权必究！所以 . 20.答案：（1）见解析 （2） 解析：（1）①记事件A为“甲答对了某道题”，事件B为“甲自己答对了某道题”，则 ， ，所以 . ②随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4， 由①知 ， 则 ， 所以 ，则随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 3 4 P 故 . 版权所有©正确教育 侵权必究！（2）记事件 为“甲答对了i道题”，事件 为“乙答对了i道题”， ，1，2， 其中甲答对某道题的概率为 ，答错某道题的概率为 ， 则 ， ， ， ， 所以甲答对题的个数比乙答对题的个数多的概率 ， 所以 ， 即甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值为 . (0,1) (1,) 21.答案：（1）在 上单调递减，在 上单调递增 （2）a e1 解析：（1） a e1，  f(x)(x1)ex lnx(e1)(x1) ， 1  f(x)exx e1 x . 1 g(x)exx e1(x0) 令 x ， 版权所有©正确教育 侵权必究！1 g(x) xex ex  0 x2 ， g(x) (0,) f(x) (0,) 在 上单调递增，即 在 上单调递增.  f(1)0 ，令 f(x)0 ，则x1， 令 ，则 ， 在 上单调递减，在 上单调递增. （2） ， ，令 ， 则 ， 在 上单调递增，即 在 上单调递增. 设 ，则 ， 当 时， ， 在 上单调递增， 当 时， ， 在 上单调递减， ， ，即 ， ， 又 ， 存在唯一的 ，使得 ，即 ①. 版权所有©正确教育 侵权必究！当 时， ， 在 上单调递减； 当 时， ， 在 上单调递增， . 又 函数 有唯一的零点， ，即 ②. 由①②得 ，即 . 令 ， 则 . ， 函数 在 上单调递减，在 上单调递增，而 ，则 . 代入①得 .综上， . 22.答案：（1） ， （2） 解析：（1） 直线 过原点且倾斜角为 ， 直线 的极坐标方程为 . 曲线C的参数方程为 （ 为参数）， 版权所有©正确教育 侵权必究！曲线C的普通方程为 ， 曲线C的极坐标方程为 . （2）把 代入 ，得 ， ， 把 代入 ，得 ， ，即 ， . 23.答案：（1） ； （2） . 解析：（1）当 时， 则由 ，得 ；由 ，得无解； 由 ，得 . 所以不等式 的解集为 ； （2）当 时， ，则 若存在 ，使 成立，则 ， ， 所以a的取值范围为 . 版权所有©正确教育 侵权必究！版权所有©正确教育 侵权必究！版权所有©正确教育 侵权必究！