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高三上数学开学考
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2．答题时请按要求用笔.
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试
卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1. 设全集U＝R，A＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. {x|1≤x＜3} B. {x|1＜x≤3} C. {x|1＜x＜3} D. {x|1≤x≤3}
2. 已知 （ 为虚数单位）是纯虚数，则 （ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
3. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 的焦距为（ ）
A. B. C. D.
的
4. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得 一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆
锥.如图，若 都是直角圆锥 底面圆的直径，且 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（
）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
5. 已知函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知集合A＝{x∈N|x2＜8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，则 ＝（ ）
.
A {2，3，4，5} B. {2，3，4，5，6}
C. {1，2，3，4，5，6} D. {1，3，4，5，6，7}
7. 已知复数z ，则复数z的虚部为（ ）
A. B. C. i D. i
8. 已知集合A＝{y|y }，B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}，则 ∁R （A∩B）＝（ ）
A. [0， ） B. （﹣∞，0）∪[ ，+∞）
C. （0， ） D. （﹣∞，0]∪[ ，+∞）
学科网（北京）股份有限公司二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 近年来､新冠疫情波及到千家万户，人们的生活方式和习惯不得不发生转变，短视频成了观众空闲时娱乐活动的首
选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收
有效样本4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A. 图中
B. 在4000份有效样本中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人
C. 估计短视频观众的平均年龄为32岁
D. 估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁
10. 已知函数 的图像关于直线 对称，则（ ）
A. 满足
B. 将函数 的图像向左平移 个单位长度后与 图像重合
C. 若 ，则 的最小值为
D. 若 在 上单调递减，那么 的最大值是
11. 已知直线 ，过直线上任意一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则有（
）
A. 长度的最小值为
学科网（北京）股份有限公司B. 不存在点 使得 为
C. 当 最小时，直线 的方程为
D. 若圆 与 轴交点为 ，则 的最小值为28
12. 已知直三棱柱 中， 是 的中点， 为 的中点．点 是
上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 无论点 在 上怎么运动，都有
B. 当直线 与平面 所成的角最大时，三棱锥 的外接球表面积为
C. 若三棱柱 ，内放有一球，则球的最大体积为
D. 周长的最小值
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
的
13. 《易经》是中国传统文化中 精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三
根线组成（" "表示一根阳线，" "表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四
根阴线的概率为_______.
学科网（北京）股份有限公司14. 设直线 过双曲线 的一个焦点，且与 的一条对称轴垂直， 与 交于 两点， 为 的实轴长的2倍，
则双曲线 的离心率为________.
15. 已知椭圆 的离心率是 ，若以 为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径
为 ，此时椭圆C的方程是______________.
16. 已知函数 ，若对于任意正实数 ，均存在以 为三边边长的三角形，
则实数k的取值范围是_______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 设等差数列 的前 n 项和为 ，已知 ，各项均为正数的等比数列 满足
．
（1）求数列 与 的通项公式；
学科网（北京）股份有限公司（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
18. 已知数列 中， ， 是公差为 的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）若 ， 为数列 的前 项和，证明： .
19. 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数 ，使得 ，证明： .
20. 在 中，内角 的边长分别为 ，且 ．
（ ）若 ， ，求 的值；
1
（ ）若 ，且 的面积 ，求 和 的值．
2
21. 已知函数 .
（Ⅰ）若 ，求曲线 在 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时，要使 恒成立，求实数 的取值范围.
22. 某公园有一块边长为3百米的正三角形 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案
学科网（北京）股份有限公司是：先建造一条直道 将 分成面积之比为 的两部分（点D，E分别在边 ， 上）；再取 的中
点M，建造直道 （如图）.设 ， ， （单位：百米）.
（1）分别求 ， 关于x的函数关系式；
（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.
1-5 DADCB 5-8 CBD 9 CD 10 ABC 11 BD 12 ABD
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
学科网（北京）股份有限公司【答案】
17
【答案】（1） ，
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
【19题答案】
【答案】（1）当 时， 在 上递增，在 上递减；
当 时， 在 上递增，在 上递减，在 上递增；
当 时， 在上递增；
当 时， 在 上递增，在 上递减，在 上递增；
（2）证明见解析
【20题答案】
【答案】（1） ；（2）
【21题答案】
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【22题答案】
【答案】（1） ， . ， .
学科网（北京）股份有限公司（2）当 百米时，两条直道的长度之和取得最小值 百米.
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