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2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科A卷）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
5-6i
1．设i为虚数单位，则复数 =
i
A．6+5i B．6-5i C．-6+5i D．-6-5i
2．设集合U={1,2，3,4,5,6}，M ={1,2,4}则ð M =
U
A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}
uuur uuur uuur
3．若向量BA=(2,3)，CA=(4,7)，则BC =
A．(-2,-4) B．(3,4) C．(6,10) D．(-6,-10)
4．下列函数中，在区间(0,+¥)上为增函数的是
1 1
A． y =ln(x+2) By =- x+1 C． y =( )x D． y = x+
2 x
ìy£2
ï
5．已知变量x,y满足约束条件íx+ y³1，则z =3x+ y的最大值为
ï
x- y£1
î
A．12 B．11 C．3 D．-1
6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
A．12p B．45p C．57p D．81p
7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是
4 1 2 1
A． B． C． D．
9 3 9 9
a×b r r r r r r
8．对任意两个非零的平面向量a,b，定义a o b= ．若平面向量a,b满足 a ³ b >0，a与b的
b×b
æ pö ìn ü r r
夹角qÎ ç è 0, 4 ÷ ø ，且a o b和b o a都在集合í î2 |nÎZý þ 中，则a o b=
1 3 5
A． B．1 C． D．
2 2 2
第1页 | 共5页二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．不等式|x+2|-|x|£1的解集为___________．
1
10．(x2 + )6的展开式中x3的系数为__________．（用数字作答）
x
11．已知递增的等差数列{a }满足a =1，a =a 2 -4，则a =________．
n 1 3 2 n
12．曲线y = x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为__________．
13．执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为_______．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy中，曲线C 和曲线C 的
1 2
ìx=t ï ìx= 2cosq
参数方程分别为í （t为参数）和í （q为参数），则曲线C 和曲线C 的交点坐标为
1 2
îy = t ï îy = 2sinq
．
15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为1，A，B，C是圆上三点，且满足ABC =30，过点
A做圆O的切线与OC的延长线交与点P，则PA= ．
A
P
O
C
B
图3
第2页 | 共5页三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
p
已知函数 f(x)=2cos(x+ ) （其中>0,xÎR）的最小正周期为10p．
6
（1） 求的值；
（2） 设a,bÎ 0, p , f(5a+ 5p )=- 6 , f(5b- 5p )= 16 ，求cos(a+b)的值．
2 3 5 6 17
（纯word版2011年高考数学广东卷首发于数学驿站：www．maths168．com）
17．（本小题满分13分）
某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：
[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100],
(1)求图中x的值;
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数
学期望．
18．（本小题满分13分）
如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA^平面ABCD，点E在线段PC上，
PC ^平面BDE．
（1）证明：BD^平面PAC ；
（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值．
第3页 | 共5页19．（本小题满分14分）
设数列{a }的前n项和为S ，满足2S =a -2n+1+1，nÎN*，且a ,a +5,a 成等差数列．
n n n n+1 1 2 3
（1）求a 的值；
1
（2）求数列{a }的通项公式；
n
1 1 1 3
（3）证明：对一切正整数n，有 + +×××+ < ．
a a a 2
1 2 n
20．（本小题满分14分）
x2 y2 2
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率e= ，且椭圆C上的点到点Q
a2 b2 3
(0,2)的距离的最大值为3．
（1） 求椭圆C的方程
（2） 在椭圆C上，是否存在点M(m,n)，使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2 + y2 =1相交于不同的两点A
、B，且DOAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的DOAB的面积；若不存在，请说
明理由．
）
21．（本小题满分14分）
设a<1，集合A={xÎR x>0},B={xÎR 2x2 -3(1+a)x+6a>0}，D= A B．
I
（1） 求集合D（用区间表示）；
（2） 求函数 f(x)=2x3 -3(1+a)x2 +6ax在D内的极值点．
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