2012年高考数学试卷（文）（上海）（空白卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（上海）数学高考真题

绝密★启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴 在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作 答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 3i 1．计算： = （i为虚数单位）. 1i 2．若集合A{x|2x10}，B {x| x 1}，则A  B= . sinx 2 3．函数 f(x) 的最小正周期是 . 1 cosx 4．若n(2,1)是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 5．一个高为2的圆柱，底面周长为2，该诉表面积为 . 6．方程4x 2x130的解是 . 1 7．有一列正方体，棱长组成以1为首项， 为公比的等比数列，体积分别记为 2 V 1 ,V 2 ,…,V n ,…，则lim(V 1 V 2   V n )  . n 1 8．在(x )6 的二项展开式中，常数项等于 . x 9．已知y  f(x)是奇函数. 若g(x)  f(x)2且g(1)1.，则g(1)  . 10．满足约束条件|x|2| y|2的目标函数z  yx的最小值是 . 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 第1页 | 共13页 l  O M x12．在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上 |BM | |CN | 的点，且满足  ，则AM AN 的取值范围是 . |BC| |CD| 13．已知函数y  f(x)的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(1 ,1)，C(1,0). 2 函数y  xf(x)(0 x1)的图像与x轴围成的图形的面积为 . 14．已知 f(x) 1 .各项均为正数的数列{a }满足a 1，a  f(a ).若 1x n 1 n2 n a a ，则a a 的值是 . 2010 2012 20 11 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若1 2 i是关于x的实系数方程x2 bxc 0的一个复数根，则 （ ） （A）b2,c 3. （B）b2,c 1. （C）b2,c 1.（D） b2,c 3. 16．对于常数m、n，“mn0”是“方程mx2 ny2 1的曲线是椭圆”的 （ ） （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件. （D）既不充分也不必要条件. 17．在ABC中，若sin2 Asin2Bsin2C，则ABC的形状是 （ ） （A）钝角三角形. （B）直角三角形 （C）锐角三角形.（D）不能确定. 18．若S n sin 7 sin2 7   sinn 7 (nN)，则在S 1 ,S 2 ,  ,S 100 中，正 数的个数是 （ ） （A）16. （B）72. （C）86. （D）100. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是 P  PC的中点.已知∠BAC= ，AB=2，AC=2 3， 2 PA=2.求： D （1）三棱锥P-ABC的体积；（6分） A （2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三 角函数值表示）.（6分） B C 第2页 | 共13页20．已知函数 f(x)lg(x1). （1）若0 f(12x) f(x)1，求x的取值范围；（6分） （2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0 x1时，有g(x) f(x)，求函数 y  g(x) (x[1,2])的反函数.（8分） 21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方 向12海里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y  12 x2 ；②定位后救援船即刻沿直线 49 匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t . y （1）当t 0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 P 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） O x A 第3页 | 共13页22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:2x2  y2 1. （1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2 2，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的 平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分） （3）设斜率为k (|k | 2)的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2  y2 1相切，求 证：OP⊥OQ；（6分） 23．对于项数为m的有穷数列数集{a n }，记b k max{a 1 ,a 2 ,  ,a k }（k=1,2,…, m），即b k 为a 1 ,a 2 ,  ,a k 中的最大值，并称数列{b n }是{a n }的控制数列.如1,3, 2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5. （1）若各项均为正整数的数列{a }的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{a }；（4 n n 分） （2）设{b }是{a }的控制数列，满足a b C（C为常数，k=1,2,…,m） n n k mk1 第4页 | 共13页. 求证：b a （k=1,2,…,m）；（6分） k k n(n1) （3）设m=100，常数a(1,1).若a an2 (1) 2 n，{b }是{a }的控制数 2 n n n 列，求(b 1 a 1 )(b 2 a 2 )  (b 100 a 100 ). 第5页 | 共13页2012年上海高考数学（文科）试卷解答 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 3i 1．计算： = 1-2i （i为虚数单位）. 1i 2．若集合A{x|2x10}，B {x| x 1}，则A  B=(1,1) . 2 sinx 2 3．函数 f(x) 的最小正周期是  . 1 cosx 4．若n(2,1)是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为arctan1 （结 2 果用反三角 函数值表示）. 5．一个高为2的圆柱，底面周长为2，该诉表面积为 6 . 6．方程4x 2x130的解是log 3. 2 1 7．有一列正方体，棱长组成以1为首项， 为公比的等比数列，体积分别记为 2 V 1 ,V 2 ,…,V n ,…，则lim(V 1 V 2   V n )  7 8 . n 1 8．在(x )6 的二项展开式中，常数项等于 -20 . x 9．已知y  f(x)是奇函数. 若g(x)  f(x)2且g(1)1.，则g(1)  3 . 10．满足约束条件|x|2| y|2的目标函数z  yx的最小值是 -2 . 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是2 （结果用最简分数表示）. 3 12．在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上 |BM | |CN | 的点，且满足  ，则AM AN 的取值范围是 [1, 4] . |BC| |CD| 13．已知函数y  f(x)的图像是折5线段ABC，若中A(0,0)，B(1 ,1)，C(1,0). 2 函数y  xf(x)(0 x1)的图像与x轴围成的图形的面积为1 . 4 14．已知 f(x) 1 .各项均为正数的数列{a }满足a 1，a  f(a ).若 1x n 1 n2 n 第6页 | 共13页a a ，则a a 的值是13 53 . 2010 2012 20 11 26 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若1 2 i是关于x的实系数方程x2 bxc 0的一个复数根，则 （ D ） （A）b2,c 3. （B）b2,c 1. （C）b2,c 1.（D） b2,c 3. 16．对于常数m、n，“mn0”是“方程mx2 ny2 1的曲线是椭圆”的 （ B ） （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件. （D）既不充分也不必要条件. 17．在ABC中，若sin2 Asin2Bsin2C，则ABC的形状是 （ A ） （A）钝角三角形. （B）直角三角形. （C）锐角三角形. （D）不能确定. 18．若S n sin 7 sin2 7   sinn 7 (nN)，则在S 1 ,S 2 ,  ,S 100 中，正 数的 个数是 （ C ） （A）16. （B）72. （C）86. （D）100. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是 P  PC的中点.已知∠BAC= ，AB=2，AC=2 3， 2 PA=2.求： D （1）三棱锥P-ABC的体积；（6分） A （2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三 角函数值表示）.（6分） B C [解]（1）S  122 3 2 3， 2分 ABC 2 三棱锥P-ABC的体积为 V  1S PA 12 32 4 3 . 6分 P 3 ABC 3 3 （2）取PB的中点E，连接DE、AE，则 ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线 E D A BC与AD所成的角. 8分 B C 第7页 | 共13页在三角形ADE中，DE=2，AE= 2，AD=2， cosADE  22222  3 ，所以∠ADE=arccos3. 222 4 4 因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是arccos3. 12分 4 20．已知函数 f(x)lg(x1). （1）若0 f(12x) f(x)1，求x的取值范围；（6分） （2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0 x1时，有g(x) f(x)，求函数 y  g(x) (x[1,2])的反函数.（8分） 22x 0 [解]（1）由 ，得1 x1.  x10 由0lg(22x)lg(x1)lg22x 1得1 22x 10. x1 x1 ……3分 因为x10，所以x122x10x10， 2  x 1. 3 3 1 x1 由 得 2  x 1. ……6分  2  x 1 3 3  3 3 （2）当x[1,2]时，2-x[0,1]，因此 y  g(x) g(x2) g(2x) f(2x)lg(3x). ……10分 由单调性可得y[0,lg2]. 因为x 310y ，所以所求反函数是y 310x ，x[0,lg2]. ……14分 21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向 12海 y P 里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 y  12 x2 ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 49 O x 援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t . （1）当t 0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 A 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） [解]（1）t 0.5时，P的横坐标x =7t  7 ，代入抛物线方程y  12 x2 P 2 49 第8页 | 共13页中，得P的纵坐标y =3. ……2分 P 由|AP|= 949 ，得救援船速度的大小为 949海里/时. ……4分 2 7 由tan∠OAP= 2  7 ，得∠OAP=arctan 7 ，故救援船速度的方向 312 30 30 为北偏东arctan 7 弧度. ……6分 30 （2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t2). 由vt  (7t)2 (12t2 12)2 ，整理得v2 144(t2  1)337.……10分 t2 因为t2  1 2，当且仅当t=1时等号成立， t2 所以v2 1442337252 ，即v25. 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:2x2  y2 1. （1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2 2，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的 平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的 面积；（5分） （3）设斜率为k (|k | 2)的直线l2交C于P、Q两点，若l与圆x2  y2 1相切， 求证：OP⊥OQ；（6分） [解]（1）双曲线C: x2  y2 1，左焦点F( 6,0). 1 2 2 设M(x, y)，则|MF |2(x 6)2  y2 ( 3x 2)2 ， 2 2 ……2分 由M是右支上一点，知x 2 ，所以|MF | 3x 2 2 2 ，得 2 2 x  6 . 2 所以M( 6, 2). ……5分 2 （2）左顶点A( 2,0)，渐近线方程：y  2x. 2 过A与渐近线y  2x平行的直线方程为：y  2(x 2)，即 2 y  2x1. y  2 x x  2 解方程组 ，得 4 . y  2 x1   y  1 2 第9页 | 共13页……8分 所求平行四边形的面积为S |OA|| y| 2 . ……10分 4 （3）设直线PQ的方程是y kxb.因直线与已知圆相切，故 |b| 1， k21 即b2 k2 1 (*).  y kxb 由 ，得(2k2)x2 2kbxb2 10. 2x2  y2 1 x  x  2kb 设P(x, y)、Q(x , y)，则 1 2 2k2 . 1 1 2 2  x x  1b2  1 2 2k2 y y (kx b)(kx b)，所以 1 2 1 2 OPOQ  x x  y y (1k2)x x kb(x  x )b2 1 2 1 2 1 2 1 2 (1k2)(1b2)  2k2b2  1b2k2 . 2k2 2k2 2k2 由(*)知OPOQ 0，所以OP⊥OQ. ……16分 23．对于项数为m的有穷数列数集{a n }，记b k  max{a 1 ,a 2 ,  ,a k }（k=1,2,…, m），即b k 为a 1 ,a 2 ,  ,a k 中的最大值，并称数列{b n }是{a n }的控制数列.如1,3,2,5,5的控 制数列是 1,3,3,5,5. （1）若各项均为正整数的数列{a }的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{a }；（4 n n 分） （2）设{b }是{a }的控制数列，满足a b C（C为常数，k=1,2,…,m） n n k mk1 . 求证：b a （k=1,2,…,m）；（6分） k k n(n1) （3）设m=100，常数a(1,1).若a an2 (1) 2 n，{b }是{a }的控制数 2 n n n 列， 求(b 1 a 1 )(b 2 a 2 )  (b 100 a 100 ). [解]（1）数列{a }为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3； n 第10页 | 共13页2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分 （2）因为b k  max{a 1 ,a 2 ,  ,a k }，b k1 max{a 1 ,a 2 ,  ,a k ,a k1 }， 所以b b . ……6分 k1 k 因为a b C，a b C， k mk1 k1 mk 所以a a b b 0，即a a . k1 k mk1 mk k1 k ……8分 因此，b a . ……10分 k k （3）对k 1,2,  ,25，a 4k3 a(4k 3)2 (4k 3)； a a(4k 2)2 (4k 2)； 4k2 a a(4k 1)2 (4k 1)；a a(4k)2 (4k). 4k1 4k 比较大小，可得a a . ……12分 4k2 4k3 因为1 a1，所以a a (a1)(8k 3)0，即 2 4k1 4k2 a a ； 4k2 4k1 a a 2(2a1)(4k 1)0，即 4k 4k2 a a . 4k 4k2 又a a ， 4k1 4k 从而b a ，b a ，b a ，b a . 4k3 4k3 4k2 4k2 4k1 4k2 4k 4k ……15分 因此(b 1 a 1 )(b 2 a 2 )  (b 100 a 100 ) = (b a )(b a )(b a ) (b a ) (b a ) 3 3 7 7 10 10  4k1 4k1  99 99 = (a a )(a a )(a a ) (a a ) (a a ) 2 3 6 7 9 10  4k2 4k1  98 99 第11页 | 共13页25 25 = (a a )=(1a)(8k 3)=2525(1a). 4k2 4k1 k1 k1 ……18分 第12页 | 共13页第13页 | 共13页