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高三数学考试参考答案!文科"
!!#!#解析$本题考查集合的运算%考查数学运算的核心素养!
因为"$!#"%!###&"#$$!%’#%!#!#’#&"#所以"$$$!!#’"!
(!)!#解析$本题考查复数的四则运算%考查数学运算的核心素养!
因为%$(*$%!%(*%%*&$+%’*#所以"%"$槡!",-$&!
’!.!#解析$本题考查等比数列的通项公式及求和公式%考查数学运算的核心素养!
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+!/!#解析$本题考查函数的图象和性质%考查逻辑推理与直观想象的核心素养!
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&5#所以)$#%&5#排除##故选/!
&!/!#解析$本题考查统计的知识%考查数据分析与数学运算的核心素养!
设女生身高频率分布直方图中的组距为"##由$&,!6&&,(&,(6&&,’&%"#$!#得&"#$56!#所以女生身
高频率分布直方图中"层次频率为(57#$层次频率为’57#*层次频率为(&7#+层次频率为!&7#,层
次频率为!57!因为男’女生样本数未知#所以"层次中男’女生人数不能比较#即选项)错误(同理#+层次
女生在女生样本数中频率与,层次男生在男生样本数中频率相等#都是!&7#但因男’女生人数未知#所以
在整个样本中频率不一定相等#即#错误(设女生人数为-#男生人数为!555%-#但因男’女生人数可能不相
等#则$层次的学生数为56’-,56(&8$!555%-%$565&-,(&5#*层次的学生数为56(&-,56’8$!555%
-%$’55%565&-#因为-不确定#所以565&-,(&5与’55%565&-可能不相等#即.错误(女生"#$两个层
次的频率之和为&57#所以女生的样本身高中位数为$#*层次的分界点#男生"#$两个层次的频率之和为
’&7#显然中位数落在*层次内#所以样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大#/正确!
"!)!#解析$本题考查函数的性质%考查直观想象与逻辑推理的核心素养!
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因为)$%#%$)$#%#所以)$#%是偶函数#当#&5时#)$#%$ $+% 是增函数!又因为)$!%$(#所
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以)$(#%’%#(可化为 (#%’ #!#解得!###(!
9!.!#解析$本题考查三视图%考查直观想象与数学运算的核心素养! #
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如图#这是所求多面体的直观图#它可以看成由直三棱柱与四棱锥组合而成#所以表面
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:!#!#解析$本题考查三角函数的性质%考查数学运算与直观想象的核心素养! !
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由题意#.$#%$2*4) $#% %, *$2*4$ #, % %#因为/$.$#%为奇函数#所以 % $0!$0%
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!%#解得!$(%!(0$0%!%#又!&5#所以当0$5时#!取得最小值(!
-!#!#解析$本题考查三棱锥中直线与平面所成角的大小%考查直观想象与数学运算的核心素养!
因为"$’平面$*+#所以"$’*+#又*+’$*#所以*+’平面"$*!作$,’"*#垂足为,$图略%#易知
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($",是直线"$与平面"*+所成的角#因为;<4($"*$ $槡’#所以($"*$ !
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!5!.!#解析$本题考查古典概型%考查数据分析与数学运算的核心素养!
设’名男同学分别为"#$#*#(名女同学分别为1#2#从这&人中选’人的情形有$"#$#*%#$"#$#1%#$"#
$#2%#$"#*#1%#$"#*#2%#$"#1#2%#$$#*#1%#$$#*#2%#$$#1#2%#$*#1#2%#共!5种#恰有!名女同学的情
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形有$"#$#1%#$"#$#2%#$"#*#1%#$"#*#2%#$$#*#1%#$$#*#2%#共"种#则所求概率为 $ !
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书书书!!!#!#解析$本题考查双曲线的性质%考查推理论证能力与数学运算的核心素养! &
如图#设""3 !"$4#则""3 ("$4%(&!又""$"$(""3 !"#所以"$3 ("$4,(&#所以 $
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!(!)!#解析$本题考查分段函数及导数的应用%考查逻辑推理与数学运算的核心
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素养! !
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评分细则+ # "
,!-第一问#证出"$’=3#"$’3+#得(分#证出"$’=+#累计得’分#第一问全部证完累计得&分!
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当#%$5#(%时#)6$#%#5#)$#%单调递减(当#%$(#,B%时#)6$#%&5#)$#%单调递增!
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当#%$!#=%时#>6$#%&5(当#%$=#=(%时#>6$#%#5!
所以>$#%在区间$!#=%上单调递增#在区间$=#=(%上单调递减# …………………………………………:分
且>$!%$+%(&#>$=%$(=%(&#>$=(%$%(&# ……………………………………………………………-分
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显然>$=%&>$!%&>$=(%#若.$#%在$!#=(%上存在极值#则满足 解得5#&#=# …………!!分
>$=(%#5#
所以实数&的取值范围为$5#=%! …………………………………………………………………………!(分
评分细则+
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,!-第一问#写出)$#%的定义域为$5#,B%#得!分#算出)6$#%$ #累计得(分#得出)$#%的单调区
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间#累计得+分!
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,(-第二问#求出.6$#%$ #累计得&分#求出>6$#%$(%(34##累计得"分#得出>$#%的单
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调区间#累计得:分#算出>$!%$+%(&#>$=%$(=%(&#>$=(%$%(&#累计得-分#求出参数&的取值范围#
累计得!(分!
,’-采用其他方法#参照本评分标准依步骤给分!
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(!!解+$!%由右顶点是@$(#5%#得&$(#又离心率2$ $ #所以5$!#…………………………………(分
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所以9($&(%5($’#所以椭圆*的标准方程为 , $!!………………………………………………+分
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$(%设"$# ! #/! %#$$# (#/( %#显然直线A的斜率存在! ’
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设直线A的方程为/$0$#%+%#联立方程组 &
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所以直线"+的方程可化为/$ (+0 #, 0# ! $# ! ,# ( %:% , 0$# ! %+%$# ( %# ! % #………!5分
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(+0 (+0 (+0
即/$ #% $ $#%!%#…………………………!!分
$#%#%$+0(,’% $#%#%$+0(,’% $#%#%$+0(,’%
( ! ( ! ( !
所以直线"+恒过点$!#5%! ………………………………………………………………………………!(分
评分细则+
$方法二%$!%同上$!%! ………………………………………………………………………………………+分
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#/! %#$$#
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联立方程组 消去#得$’4(,+%/(,(+4/,’"$5#
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此时直线"+恒过点$!#5%# ………………………………………………………………………………!5分
当直线A的斜率为5时#直线A的方程为/$5#也过点$!#5%! …………………………………………!!分
综上#直线"+恒过点$!#5%!………………………………………………………………………………!(分
说明+第$(%问还可以先猜想出定点在#轴上#写出直线"+的方程#令/$5#求出定点坐标为$!#5%后再加
以证明#也可以得满分!
((!解+$!%曲线*的普通方程为$#,!%(,/($+! ……………………………………………………………(分
! ! !
由#2*4$$, %$槡(#得#2*4$012 ,#012$2*4 $槡(#即#2*4$,#012$$(#
+ + +
因为#$#012$#/$#2*4$#所以直线A的直角坐标方程为#,/%($5!…………………………………+分
’!
$(%因为直线A的斜率为%!#所以A的倾斜角为 #
+
. #$%(% 槡( B#
(
所以过点@$%(#!%且与直线A平行的直线A6的方程可设为- $B为参数%!………………"分
槡(
//$!,
(
B
. #$%(% 槡( B#
( 槡( 槡(
设点"#$对应的参数分别为B
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#B
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#将- 代入$#,!%(,/($+#可得$%!%
(
B%(,$!,
(
B%(
槡(
//$!,
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B
$+#整理得B(,(槡(B%($5#则"&5#B
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,B
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$%(槡(#B
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B
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$%(# ………………………………………:分
所以 ! , ! $ "@"","@$" $ "B ! %B (" $ 槡$%(槡(%(,+8( $(!……………………………!5分
"@"" "@$" "@"""@$" "B ! B (" (
评分细则+
,!-第一问#圆的方程没有写成标准方程#不扣分#累计得(分#写出直线A的方程#不管哪种形式#不扣分#
累计得+分!
,(-第二问#写出直线A6的参数方程#累计得"分#联立方程组并写出B
!
,B
(
$%(槡(#B
!
B
(
$%(#累计得:分#
! !
求出 , $(#累计得!5分!
"@"" "@$"
(’!证明+$!%由已知可得’$+&(,9(,!"5(,$+&(,9(%,$+&(,!"5(%,$9(,!"5(%0+&(,9(,!"5(,+&9,
!"&5,:95$$(&,9,+5%(# …………………………………………………………………………………’分
槡’
当且仅当(&$9$+5$ 时#等号成立!……………………………………………………………………+分
’
又 #5均为正数#所以(&,9,+5)槡’! …………………………………………………………………&分
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槡’
当且仅当(&$9$+5$ 时#等号成立#……………………………………………………………………9分
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所以’8+槡 ’$&95%()!#整理得$&95%()$ ! %’#……………………………………………………………:分
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当且仅当(&$9$+5$ 时#等号成立!……………………………………………………………………!5分
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评分细则+
$证法二%证明+$!%由柯西不等式得)$(&%(,9(,$+5%(*$!(,!(,!(%0$(&,9,+5%(# ………………’分
所以$(&,9,+5%()’!………………………………………………………………………………………+分
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因为 #5均为正数#所以(&,9,+5)槡’$当且仅当(&$9$+5$ 时#等号成立%!…………………&分
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9( !"5( +&( !"5( +&( 9(
$!,!,!, , , , , , …………………………………………………………9分
+&( +&( 9( 9( !"5( !"5(
9( +&( !"5( +&( !"5( 9(
$’,$ , %,$ , %,$ , %…………………………………………………………:分
+&( 9( +&( !"5( 9( !"5(
0’,(槡9
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(& ,(槡+5
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(& ,(槡+5
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9
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(& 9 (& +5 9 +5
槡’
当且仅当(&$9$+5$ 时#等号成立!……………………………………………………………………!5分
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!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$文科% !""#$
