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2023 年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷
数学（二）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. （0，1） D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别化简集合 ，根据并集的定义求解.
【详解】
不等式 的解集是集合
又因为
又 ，所以满足函数 中 的范围就是集合
所以
所以
故选：B
2. 已知复数 为纯虚数，则实数 （ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数乘法计算方法化简复数，结合纯虚数的概念求值即可.
【详解】 ，
因为复数 为纯虚数，所以 ，即 .
故选：D
3. 在正方形ABCD中，M是BC的中点．若 ， ，则 （ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作图，根据图像和向量的关系，得到 和
，进而利用 ，可得答
案.
【详解】
如图， ， ，且在正方形 中，
， ，
， ，
故选：C
4. 已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数，对数函数单调性，找出中间值 ，使其和 比较即可.
【详解】根据指数函数单调性和值域， 在 上递减，结合指数函数的值域可知，
；根据对数函数的单调性， 在 上递增，则
， 在 上递减，故 ，
即 ，C选项正确.
故选：C
5. 端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗．四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一
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学科网（北京）股份有限公司个正四面体．广东流行粽子里放蛋黄，现需要在四角状粽子内部放入一个蛋黄，蛋黄的形
状近似地看成球，当这个蛋黄的表面积是 时，则该正四面体的高的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分析可知，当该正四面体的内切球的半径为 时，该正四面体的高最小，
再根据该正四面体积列式可求出结果.
【详解】由球的表面积为 ，可知球的半径为 ，
依题意可知，当该正四面体的内切球的半径为 时，该正四面体的高最小，
设该正四面体的棱长为 ，则高为 ，
根据该正四面体积的可得 ，解得 .
所以该正四面体的高的最小值为 .
故选：B
6. 现有一组数据0，l，2，3，4，5，6，7，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的
平均数大于4的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先得到删去的两个数之和为4时，此时剩下的数据的平均数为4，从而得到要想
这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4，则删去的两个数之和要小于4，利用
列举法得到其情况，结合组合知识求出这组数据随机删去两个数总共的情况，求出概率.
【详解】0，l，2，3，4，5，6，7删去 的两个数之和为4时，此时剩下的数据的平均数为
，
所以要想这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4，则删去的两个数之和要小
于4，
有 四种情况符合要求，
将这组数据随机删去两个数，共有 种情况
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学科网（北京）股份有限公司所以将这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4的概率为 .
故选：D
7. 在棱长为3的正方体 中，O为AC与BD的交点，P为 上一点，
且 ，则过A，P，O三点的平面截正方体所得截面的周长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方体的性质结合条件作出过A，P，O三点的平面截正方体所得截面，再求
周长即得.
【详解】因为 ，即 ，
取 ，连接 ，则 ，
又 ，
所以 ，
所以 共面，即过 ， ， 三点的正方体的截面为 ，
由题可知 ， ， ，
所以过A，P，O三点的平面截正方体所得截面的周长为 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：D.
8. 不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分离参数，将 变为 ，然后构造函数，即将
不等式恒成立问题转化为求函数 最的值问题，利用导数判断函数的单调性，求最值即可.
【详解】由不等式 对任意 恒成立，此时 ，
可得 恒成立，
令 ，从而问题变为求函数 的最小值或范围问题；
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 ，即 ，
所以 ， ，当且仅当 时取等号，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 ，且当 时， 也会取到正值，
即 在 时有根，即 等号成立，
所以 ，
则 ，故 ，
故选：C
【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，解法一般是分离参数，构造函数，将恒成立问
题转化为求函数最值或范围问题，解答的关键是在于将不等式或函数式进行合理的变式，
这里需要根据式子的具体特点进行有针对性的变形，需要一定的技巧.
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学科网（北京）股份有限公司二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2
分．
9. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为 ，若直线 上存在一点
M，使过点M所作的圆的两条切线相互垂直，则点M的纵坐标为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】首先可根据圆 方的程得出圆心与半径，然后根据题意得出点 、圆心以及两个切
点构成正方形，最后根据 以及两点间距离公式即可得出结果.
【详解】 化为标准方程为： ，圆心 ，半径为
，
因为过点M所作的圆的两条切线相互垂直，
所以点M、圆心以及两个切点构成正方形， ，
因为M在直线 上，所以可设 ，
则 ，解得： 或 ，所以 或 ，
故点M的纵坐标为1或 .
故选：AC.
10. 已知函数 的部分图象如图所示，若将
的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，
则 的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据函数图象可确定 和最小正周期 ，由此可得 ，结合 可求得 ，
从 而 得 到 的 解 析 式 ， 根 据 可 构 造 方 程 求 得
，由此可得 可能的取值.
【详解】由图象可知： ，最小正周期 ， ，
， ，解得： ，
又 ， ， ， ，
，
，解得： ，
当 时， ；当 时， .
故选：AD.
11. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统
文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列 满足
， ，则（ ）
A.
B.
C.
D. 数列 的前2n项和的最小值为2
【答案】ACD
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】当 时， ,当 时， ,联立可得
，利用累加法可得 ，从而可求得 ，
在逐项判断即可.
【详解】令 且 ，
当 时， ①；
当 时， ②，
由①②联立得 .
所以 ，
累加可得 .
令 ( 且为奇数)，得 .
当 时 满足上式，
所以当 为奇数时， .
当 为奇数时， ，
所以 ，其中 为偶数.
所以 ，故C正确.
所以 ，故A正确.
当 为偶数时， ，故B错误.
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的前2n项和
，
令 ，
因为数列 是递增数列，所以 的最小项为 ，
故数列 的前2n项和的最小值为2，故D正确.
故选:ACD.
【点睛】数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
12. 已知抛物线 的准线为 ，焦点为F，点 是抛物线上
的动点，直线 的方程为 ，过点P分别作 ，垂足为A， ，垂
足为B，则（ ）
A. 点F到直线 的距离为 B.
C. 的最小值为1 D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，用点到直线的距离公式即可判断；对于B，利用抛物线的定义即可判断；
对 于 C ， 利 用 基 本 不 等 式 即 可 判 断 ； 对 于 D ， 利 用 抛 物 线 的 定 义 可 得 到
，接着求出 的最小值即可
【详解】由抛物线 的准线为 可得抛物线方程为 ，焦点为
，
对于A，点F到直线 的距离为 ，故A正确；
对于B，因为 在抛物线上，所以利用抛物线的定义可得 ，即
，故B正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于C，因为 在抛物线上，所以 ，
所以
，当且仅当 时，取等号，故C错误；
对于D，由抛物线的定义可得 ，故 ，当且仅当
三点共线时，取等号，此时 ，
由选项A可得点F到直线 的距离为 ，故 的最小值为 ，故D正
确，
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知 ，则 ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用已知等式可求得 ，由二倍角正切公式可求得结果.
【详解】由 得： ， ，
.
故答案为： .
14. 函数 的图象在点 处的切线方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】求导函数，可得切线斜率，求出切点坐标，运用点斜式方程，即可求出函数
的图象在点 处的切线方程.
【详解】 ，
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学科网（北京）股份有限公司，则 ，
又 ， 切点为 ，
函数 的图象在点 处的切线方程是 即
.
故答案为： .
15. 名老师带着 名学生去参加数学建模比赛，先要选 人站成一排拍照，且 名老师同
时参加拍照时两人不能相邻．则 名老师至少有 人参加拍照的排列方法有______种．
（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】分两种情况讨论：①若只有 名老师参与拍照；②若 名老师都拍照.利用计数原
理、插空法结合分类加法计数原理可求得结果.
【详解】分以下两种情况讨论：
①若只有 名老师参与拍照，则只选 名学生拍照，此时共有 种排列方法；
②若 名老师都拍照，则只选 名学生拍照，先将学生排序，然后将 名老师插入 名学
生所形成的空位中，
此时，共有 种排列方法.
综上所述，共有 种排列方法.
故答案为： .
16. 已知A，B是双曲线 上的两个动点，动点P满足 ，O为坐
标原点，直线OA与直线OB斜率之积为2，若平面内存在两定点 、 ，使得
为定值，则该定值为______．
【答案】
【解析】
【 分 析 】 设 , 根 据 得 到 ，
，根据点 , 在双曲线 上则 ，代
入计算得 ，根据双曲线定义即可得到 为定值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】设 ,则由 ,
得 ，
则 ， ，
点 , 在双曲线 上,
，则
，
设 分别为直线 , 的斜率,根据题意,
可知 ,即 ，
，即
在双曲线 上,设该双曲线的左、右焦点分别为 ，
由双曲线定义可知|| 为定值，该定值为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17. 在 中，角 的对边分别是 ， ．
（1）求C；
（2）若 ， 的面积是 ，求 的周长．
【答案】（1） .
（2） .
【解析】
【分析】（1）将 化为 ，由余弦定理即可求
得角C.
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据三角形面积求得 ，再利用余弦定理求得 ，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意在 中， ，
即 ，故 ，
由于 ，所以 .
【小问2详解】
由题意 的面积是 ， ，即 ，
由 ， 得 ，
故 的周长为 .
18. 已知数列 满足， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，记 为数列 的前n项和，求 ，并证明：当 时，
．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用递推式相减得出 ，并验证首项符合通项，最后得出答案；
(2)错位相减法求前n项和
【小问1详解】
，①
则 ，②
①-②得 ，则 ，
当n=1时，由①得 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ .
【小问2详解】
易得 ，
，①
，②
②-①得
，
故 ，
当 时，
19. 如图，四棱锥 中，平面 平面 ， 为正三角形，底面
为等腰梯形， // ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若点 为线段 上靠近点 的三等分点，求二面角 的大小．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）先用几何关系证明 ，然后根据余弦定理求出 ，结合勾股定理可
得 ，最后利用面面垂直的性质定理证明；
（2）过 作 ，垂足为 ，结合面面垂直的性质先说明可以在 处为原点建系，
然后利用空间向量求二面角的大小.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司取 中点 ，连接 ，根据梯形性质和 可知， // ，且 ，
于是四边形 为平行四边形，故 ，则 为等边三角形，
故 ，在 中，由余弦定理，
，故 ，注意到
，由勾股定理， ，即 ，由平面
平面 ，平面 平面 ， 平面 ，根据面面
垂直的性质定理可得， 平面 .
【小问2详解】
过 作 ，垂足为 ，连接 ，由平面 平面 ，平面 平
面 ， 平面 ，根据面面垂直的性质定理， 平面 ，
为正三角形， ，故 （三线合一），由 和中位线性质，
// ，由（1）知， 平面 ，故 平面 ，于是 两两
垂直，故以 为原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角
坐标系. 由（1）知， 平面 ，又 // 轴，故可取 为平面 的
法向量，又 ， ，根据题意， ，设 ，则
，解得 ，又 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ， ，设平面 的法向量
，由 ，即 ，于是 为平面
的法向量，故 ，二面角大小的范围是 ，结合图形可知
是锐二面角，故二面角 的大小为
20. 为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，
某校组织学生参加100米短跑训练．在某次短跑测试中，抽取100名女生作为样本，统计
她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，
不包含右端点）．
（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩X服从正态分布 ，其中
近似为女生短跑平均成绩 ， 近似为样本方差 ，经计算得， ，若从该校
女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在 以外的人数为Y，求 ．
附参考数据： ，随机变量X服从正态分布 ，则
， ，
， ， ，
．
【答案】（1）17.4
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】(1)结合频率分布直方图中求平均数公式, 即可求解.
(2)根据已知条件, 可知， ，即可求出 ，
结合正态分布的对称性以及二项分布的概率公式, 即可求解.
【小问1详解】
估计样本中女生短跑成绩的平均数为:
；
【小问2详解】
该校女生短跑成绩 服从正态分布 ,
由题可知 ， ，则 ，
故该校女生短跑成绩在 以外的概率为：
，
由题意可得, ,
.
21. 已知椭圆 的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 ，B为
椭圆C上一动点， 面积的最大值为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过F且不垂直于坐标轴 直的线l与C交于M，N两点，x轴上点P满足 ，
若 ，求 的值．
【答案】（1） ；
.
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得 ， ，再结合 可求出
，从而可求出椭圆的方程；
（2）由题意设直线 为 （ ）， ，设 ，将直
线方程代入椭圆方程中化简利用根与系数的关系，然后由 可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司再根据 可求得结果.
【小问1详解】
因为椭圆的离心率为 ，
所以 ，
因为 面积的最大值为 ，
所以 ，
因为 ，
所以解得 ，
所以椭圆C的方程为 ；
【小问2详解】
，设直线 为 （ ）， ，不妨设 ，
设 ，
由 ，得 ，
则 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
，
所以 ，
化简得 ，解得 ，
因为 ，所以 .
22. 已知函数 ．
（1）当 时，判断函数 的单调性；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 在 上是单调递增的
（2）
【解析】
【分析】（1）对 求导，从而确实 为正及 的单调性；
（2）令 ，然后分 和 两种情况讨论
的单调性及最值，即可得答案.
【小问1详解】
当 时， ， 定义域为
，
所以 ，所以 在 上是单调递增的.
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
当 时， ， 等价于
，则 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ，则 在 上是单调递增的，则
①当 时， ， 在 上是单调递增的，
所以 ，满足题意．
②当 时， ， ，
所以 ，使 ，
因为 在 上是单调递增的
所以当 时， ，所以 在 上是单调递减的，
又 ，
即得当 时， ，不满足题意．
综上①②可知：实数 的取值范围 .
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学科网（北京）股份有限公司
