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2023-2024 学年度第一学期高三年级阶段检测
数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求的.
1.已知 是R上的奇函数，则函数 的图像恒过点
A． B． C． D．
2.已知全集为U，集合M，N满足 ，则下列运算结果一定为U的是
A． B． C． D．
3.已知 为第三象限角，则
A． B． C． D．
4.若复数 ，则
A．0 B． C．1 D．2
5.已知角 的大小如图所示，则
A． B． C． D．4
6.2022年10月16日中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，这是全党全国各族人民在全面建设社会
主义现代化新征程的一次盛会，其中《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗
为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长 ， ， ， ， （单位：
学科网（北京）股份有限公司cm）成等差数列，对应的宽为 ， ， ， ， （单位：cm）且每种规格的党旗长与宽之比都相等．已
知 ， ， ，则
A．160 B．128 C．96 D．64
7.已知 ， ，且 ，则 的最小值为
A．3 B． C．4 D．6
8. 已 知 函 数 ， ， ， ， 若 ，
，则
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．以下说法正确的有
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．设a， ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
C．“ ”是“ ”的充分不必要条件
D．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
10.已知函数 ，则
A． 的最大值为3 B． 的最小正周期为
C． 的图像关于直线 对称 D． 在区间 上单调递减
11.已知 ，则
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
12.已知函数 ，则
A．函数 的零点是
B．不等式 的解集是
C．设 ，则 在 上不是单调函数
D．对任意的s， ，都有
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.求值： .
14.若关于x的不等式 的解集是 ，则关于x的不等式 的解集是 .
15.若函数 （其中 ）在区间 上的最小值为8，则 .
16.若函数 ，当 时，恒有 ，则实数t的取值范围 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在 中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且 .
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的面积.
18.（本小题满分12分）
假定某篮球运动员每次投篮命中率均为 .现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止
投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是 .
（1）求p的值；
学科网（北京）股份有限公司（2）设该运动员投篮命中次数为 ，求 的概率分布及数学期望 .
19.（本小题满分12分）
在长方体 中， ，点E是棱AB上一点，且 .
（1）证明： ；
（2）若二面角的 -EC-D的大小为 ，求 的值.
20.（本小题满分12分）
在数列 中， ，且对任意 ， ， ， 成等差数列，其公差为 .
（1）若对任意 ， ， ， 成等比数列，其公比为 .设 ，证明： 是等差数
列；
（2）若 ，证明： ， ， 成等比数列（ ）.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆C： 的离心率为 ，焦距为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l： （k， ）与椭圆C相交于A，B两点，且 .
①求证： 的面积为定值；
②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不
存在，说明理由.
22.（本小题满分12分）
学科网（北京）股份有限公司已知函数 .
（1）设P，Q是函数 图像上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于为；
（2）求实数a的取值范围，使不等式 在 上恒成立.
阶段性测试二
数学答案
20231003
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求的.
1.D
2.D
3.C
4.A
5.C
6.B
7.A
8.B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．BC
10.BC
11.ABD
12.BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.1
14.
15.
16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解：
学科网（北京）股份有限公司（1）由正弦定理，得 ，
即 .
所以 .
从而 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，
由（1）知， ，
解得 ，
所以 .
所以 ， .
所以 .
所以 的面积为 .
18.（本小题满分12分）
解：
（1）设事件A：“恰用完3次投篮机会”，对其对立事件 ：“前两次投篮均不中”，
依题意， ，
解得 ；
（2）依题意， 的所有可能值为0，1，2，3，
学科网（北京）股份有限公司且 ，
，
，
故 ，
的概率分布表为：
0 1 2 3
P
所以 （次）.
19.（本小题满分12分）
证：
（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴建立空间直角坐标系.
不妨设 ， ，
则 ， ， ， ， ， ， ， .
因为 ，所以 ，于是 ， .
所以 .
故 .
（2）因为 平面ABCD，所以平面DEC的法向量为 .
又 ， .
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，
则 ， ，
所以向量 的一个解为 .
因为二面角 -EC-D的大小为 ，
则 ，所以 ，
解得 .
又因E是棱AB上的一点，所以 ，故所求 的值为 .
20.（本小题满分12分）
证明：
（1）因为 ， ， 成等差数列，
所以 .
因为 ， ，
所以 .
因为 ， ， 成公比为 的等比数列，
所以 .
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 .
所以 ，即 .
所以 是公差为1的等差数列.
（2）因为 ， ， 成公差为2k的等差数列，
所以 .
所以
，
即 .
故 ， ，
所以 ，且当 ， ，
故 ， ， 成等比数列.
21.（本小题满分12分）
解：
（1）设椭圆焦距为2c，故 ，
所以 ，则 ，
椭圆C的方程为 .
（2）①由 消去y，化简得： ，
学科网（北京）股份有限公司设 ， ，则 ， ，
故 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 为定值.
②若存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，则 ，
设 ，则 ，
又因为 ，
即 ，得 ，
又因为 ，矛盾，
故椭圆上不存在点P，使得OAPB为平行四边形.
22.（本小题满分12分）
解：
（1）由题意，得 .
所以函数 在R上单调递增.
学科网（北京）股份有限公司设 ， ，则有 ，即 .
（2）当 时， 恒成立.
当 时，令 ，
.
①当 ，即 时， ，
所以 在 上为单调增函数.
所以 ，符合题意.
②当 ，即 时，令 ，
于是 .
因为 ，所以 ，从而 .
所以 在 上为单增函数.
所以 ，即 ，
亦即 .
（ⅰ）当 ，即 时， ，
所以 在 上为单调增函数.
于是 ，符合；
学科网（北京）股份有限公司（ⅱ）当 ，即 时，存在 ，使得
当 时，有 ，
此时 在 上为单调减函数，
从而 ，不能使 恒成立.
综上所述，实数a的取值范围为 .
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