2024.01高三数学B期末答案_2024年2月_01每日更新_01号_2024届山东省烟台市、菏泽市高三上学期1月期末考试_山东省烟台市、菏泽市2024届高三上学期1月期末考试数学

高三数学试题（B）参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．C 2．B 3．C 4．A 5．C 6．B 7．B 8．A
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．ACD 10．BD 11．AD 12．BC
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
2p 13 1 12- 4 6 
13． 14． 15．- 16． ,+¥ 

3 14 e  3 
四、解答题：本大题共6 小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10分）
解:（1）因为2cos22C =3- 5cos ( 23π- 2C ) =- 3 5co-s ( π 2C+) =3 5cos2C， ...........2分
1
所以2cos22C- 5cos2C- =3 0，解得cos2C=- 或cos2C =3（舍去），
2
1 1
所以2cos2C- 1=- ，即cosC=– ， ...........4分
2 2
p π
因为0<C< ，所以C= . ...........5分
2 3
（2）如图，因为BD=2AD，BD=CD，设AD=m，
BD =CD=2m，
在∆ABC中，由余弦定理得9m2 = AC2+BC2- AC(cid:215) BC，
在∆BCD中，由余弦定理得
BD2+CD2- BC2 (2m)2+ (2m)2- BC2 8m- 2 BC2
cos— BDC= = = ， .........6分
2BD(cid:215) CD 2· 2m· 2m 8m2
在∆ADC中，由余弦定理得
AD2+CD2- AC2 m2+ (2m)2- AC2 5m- 2 AC2
cos— ADC= = = ， .........7分
2AD(cid:215) CD 2m· 2m 4m2
因为— BDC+— AD=C p ，所以cos— BDC+ co—s AD=C 0，
8m2- BC2 5m2- AC2
即 + =0，所以18m2- BC2- 2AC=2 0，
8m2 4m2
( )
所以2 AC2+BC2- AC(cid:215) BC- B-C2 2A=C2 0，
因为BC „ 0，所以BC =2AC， ...........9分
AC 1
所以 = . ...........10分
BC 2
高三数学答案（B）第1页（共6页）
{#{QQABSQQUogiIAAJAAQhCAwUaCACQkAAACIoOgBAEIAAASBNABAA=}#}18.（12分）
a a
解:（1）由已知得 n+1 =2 n ， ...........1分
a a
n n- 1
a a c ( )
令c = n ，则c = n+1 ，即 n =2 n‡ 2,n˛ N* ，
n- 1 a n a c
n-1 n n-1
a
所以数列 { c } 为首项为c = 2 =1，公比为2的等比数列， ...........3分
n 1 a
1
( ) a ( )
所以c =2n-1 n‡ 2,n˛ N* ，即 n+1 =2n- 1 n‡ 2,n˛ N* ，
n a
n
a a a a
所以 3 =2, 4 =22, 5 =23(cid:215)(cid:215)(cid:215)(cid:215)(cid:215)(cid:215) , =n+1 2n- 1，
a a a a
2 3 4 n
所以 a 3 (cid:215) a 4(cid:215) a 5(cid:215)(cid:215)(cid:215)(cid:215)(cid:215)(cid:215) = a n+1· ·2 (cid:215)(cid:215)(cid:215)(cid:215)(cid:215)(cid:215)2· 2 23 2n-1，即 a n+1 =2 n(n 2 - 1) ， ...........5分
a a a a a
2 3 4 n 2
n(n- 1) (n-1)(n- 2)
则 a =2 2 +1，故 a =2 2 +1；经检验满足题意； ...........6分
n+1 n
log 2 1
（2）由已知得b =log 2= 2 = ， ...........7分
n a n+1 log a log a
2 n+1 2 n+1
其中log a =log 2
n(n
2
-1) +1
=
n ( n- 1 )
+1=
n2- n+ 2
， ...........8分
2 n+1 2 2 2
2 2 2  1 1
所以b n = n2- n+ 2 < n2- n = n-( n 1 ) =2 -  n 1 - n ，
1 5 2
当n=2时，b +b =1+ £ - ，
1 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
所以b +b +b +(cid:215)(cid:215)(cid:215)+ b £ 1+ + 2 - + - +(cid:215)(cid:215)(cid:215)+ - 
1 2 3 n 2 2 3 3 4 n- 1 n
3 1 1 5 2
= +2 -  = - . ...........12分
2 2 n 2 n
19.（12分）
解:（1）当a= 1 时，设g ( x )= f ( x )- lnx+ x- =1 ex--1 l-nx 1，
e
则g¢ ( x )=ex- 1- 1( x> 0 ) ，设u ( x )=ex- 1- 1( x> 0 ) ， ...........1分
x x
- 1
由函数y=ex- 1和y= 在(0,+∞)上单调递增，
x
知函数u ( x ) 在(0,+∞)上单调递增，且u ( 1 )=g¢ ( 1 )=e0- 1= 0， ...........3分
所以当x˛ ( 0,1 ) 时，g ¢ ( x )<0，即g ( x ) 在 ( 0,1 ) 上单调递减，
当x˛ ( 1+,¥ ) 时，g¢ ( x )>0，即g ( x ) 在(1,+∞)上单调递增，
所以g ( x ) =g ( 1 )=0
min
即 f ( x )- lnx+ x- ‡ 1 0在(0,+∞)上恒成立； ...........6分
高三数学答案（B）第2页（共6页）
{#{QQABSQQUogiIAAJAAQhCAwUaCACQkAAACIoOgBAEIAAASBNABAA=}#}（2）由 f ( x )=aex - x= 0，得a= x ，令h ( x )= x ，
ex ex
则 f ( x ) 有2个零点，等价于函数y=h ( x ) 与y=a的图象有2个交点，
令h¢ ( x )= 1- x =0，得x=1， ...........8分
ex
当x˛ (-∞,1)时h¢(x)>0，当x˛ (1,+∞)时h¢(x)<0，
( )
则函数h x 在(-∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
故h ( x ) =h ( 1 )= 1 ， ...........10分
max e
当x<0时，h
(
x
)<0，当x趋向于正无穷时，y=ex趋向于正无穷的速率远远比y=x
( )
大，故h x 趋向于0，
( )
作出函数h x 的大致图象如下：
结合图象可知，当0<a< 1 时，h ( x )= x 与y=a的图
e ex
象有2个交点，
 1
故a的取值范围是0, ． ...........12分
 e
20.（12分）
解:（1）连接OM,MN,BM ，因为M,N是底面半圆弧(cid:1) AB上的两个三等分点，
所以有— MON=— N=OB (cid:176) 60 ，又因为
OM =ON =OB=2，
所以 D MOND , NOB都为正三角形， ......1分
所以MN =NB=BO=OM，四边形OMNB是菱形，
记ON与BM的交点为Q，Q为ON和BM的中点，
因为— PON= 60(cid:176) ,OP= ON ，所以三角形OPN为正
三角形，
1
所以PQ= 3= BM ，所以PB^ PM ， ...........3分
2
因为P是半球面上一点，AB是半球O的直径，所以PB^ PA，
因为PM ˙ PA= P，PM,PA(cid:204) 平面PAM ，
所以PB^ 平面PAM ． ...........5分
（2）因为点P在底面圆内的射影恰在ON上，
由（1）知Q为ON的中点，D OPN为正三角形，所
以PQ ^ ON ，所以PQ^ 底面ABM， .....6分
因为四边形OMNB是菱形，所以MB ^ ON ，即
QM、QN、PQ两两互相垂直，
以点Q为坐标原点，QM ，QN，QP分别为x，y，
z轴，建立空间直角坐标系Q- xyz，如图所示，
( ) ( ) ( )
则O ( 0,- 1,0 ) ,M 3,0,0 ,B- 3,0,0 ,N ( 0,1,0 ) ,P 0,0, 3 ，
高三数学答案（B）第3页（共6页）
{#{QQABSQQUogiIAAJAAQhCAwUaCACQkAAACIoOgBAEIAAASBNABAA=}#}(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) ( ) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) ( ) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) ( )
所以PM = 3,0,- 3 ，OP= 0,1, 3 ，OB= - 3,1,0 ， ...........8分
(cid:3)
设平面PAB的一个法向量为m=(
x,y,z
)
，
(cid:3) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)
m(cid:215) OP= 0,   y+ 3z=0, (cid:3) ( )
则(cid:3) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) 所以 取x=1，则m= 1, 3,- 1 ， ........10分
m(cid:215) OB= 0,  - 3x+ y= 0,
(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) (cid:3) 3+ 3 10
设直线PM与平面PAB的所成角为q ，所以sinq = cos PM,m = = ，
6· 5 5
10
故直线PM与平面PAB所成角的正弦值为 ． ...........12分
5
21.（12分）
( ) 3 ( ) 2
解:（1）因为P A B = ，P B A = ，
5 3
3
所以对杭州亚运会项目了解的女生为 · 50= 30，...........1分
5
30
=45
了解亚运会项目的学生为 2 ，...........2分
3
结合男生和女生各50名，填写2×2列联表为：
了解 不了解 合计
男生 15 35 50
女生 30 20 50
合计 45 55 100
...........4分
零假设H ：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关，
0
100· ( 15· 2- 0 · 30 35 )2 100
根据列联表中的数据c 2 = = » 9.091< 10.828= x ，
50· 50· 4· 5 55 11 0.001
依据α＝0.001的独立性检验，可以推断H 成立，
0
即该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关............6分
（2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，
15
其中男生人数为 · 9= 3（人）；...........7分
15+30
30
女生人数为 · 9= 6（人），...........8分
15+30
由题意可得，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3..........9分
P ( X =0 )= C 3 0C 6 4 = 5 ，P ( X =1 )= C1 3 C3 6 = 10 ，
C4 42 C4 21
9 9
P ( X =2 )= C 3 2C 6 2 = 5 ，P ( X =3 )= C3 3 C1 6 = 1 .
C4 14 C4 21
9 9
高三数学答案（B）第4页（共6页）
{#{QQABSQQUogiIAAJAAQhCAwUaCACQkAAACIoOgBAEIAAASBNABAA=}#}随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2 3
5 10 5 1
P
42 21 14 21
则E ( X )=0· 5 + ·1 1 + 0 · 2 + 5 · 3= 1 4 ............12分
42 21 14 21 3
22.（12分）
72 12 12 12
解:（1）由椭圆定义知 PF + PF =   +   +   +   =2 2 =2a，
1 2 3 3 3 3
解得a= 2.又c=1，所以b2 =a2 - c2= 1， ...........3分
x2
故椭圆C的方程为 + y2 =1. ...........4分
2
π π
（2）①当a = 时，由对称性得b = a, b- = 0. ...........5分
2 2
②当a „ π 时，设直线AB的方程为y=k ( x- 1 ) ,k= tana ，
2
且k „ 0，
A ( x,y ) ,B ( x ,y ) ,M ( x ,y ) ,N ( x ,y ) ，当 x „- 1时，
1 1 2 2 3 3 4 4 1
设直线AF 的方程为y=k ( x+1 ) ，k = y 1 ，
1 1 1 x +1
1
y =k ( x+1 ) ,
 1 ( )
由x2 得 1+2k2 x2+4k2x+2k2- 2= 0，易知D> 0，
 + y2 =1, 1 1 1
 2
2k2- 2 2y2- 2 ( x+ 1 )2 2- -x2 2+( x 1 )2 - 3x2- 4x
则xx = 1 = 1 1 = 1 1 = 1 1，
1 3 1+2k2 ( x +1 )2+2y2 ( x +1 )2+2- x2 2x +3
1 1 1 1 1 1
- 3x- 4 - y
得x = 1 ,y = 1 . ...........7分
3 2x +3 3 2x +3
1 1
同理，当x „- 1时，设直线BF的方程为y=k ( x+1 ) ,k = y 2 ，
2 1 2 2 x +1
2
- 3x- 4 - y
则x = 2 ,y = 2 . ...........8分
4 2x +3 4 2x +3
2 2
y y
y - y 2x 1 +3 - 2x 2 +3 k ( x - 1 )( 2x+ 3-) k (-x 1 )(+2x 3 )
则tanb =
x
4
4 - x 3
3 =
3x 1
1
+4 - 3x 2
2
+4
=
( 3x+ 1
1
4 )( 2x+
2
2 3-) ( 3+x 2
2
4 )( 2+x
1
1 3 )
2x +3 2x +3
1 2
5k ( x - x )
= 1 2 =5k =5tana .
x - x
1 2
高三数学答案（B）第5页（共6页）
{#{QQABSQQUogiIAAJAAQhCAwUaCACQkAAACIoOgBAEIAAASBNABAA=}#}当x =- 1时，
(-
1
)2
+y2 =1，解得y=– 2 ，
1
2 2
 2
由椭圆的对称性，不妨设A

- 1, 

，
 2 
2
( ) - 0
由于F 2 1,0 ，故 k =tana = 2 =- 2 ，
- 1- 0 4
此时直线AB:y=- 2( x- 1 ) ，联立椭圆方程得5x2- 2x- =7 0，
4
7 7 2 7  2
解得x= 或- 1（舍去），当x= 时，y=- ·  - =1-  ，
5 5 4 5  10
7 2  2  41 2
故B

,- 

，同理可得M

- 1-, 

，N

- , 

，
5 10   2   29 58 
2 2
+
则tanb = 58 2 =- 5 2 ，满足tanb =5tana . ...........10分
- 41 + 1 4
29
tan (a -b )= tana - tanb = - 4k = - 4
所以 1+tana tanb 1+5k2
5k+
1 .
k
当k >0时，ab, ˛  0, π ,taan (b- <a) b0-, < 0.
 2
π   π π
当k <0时，ab, ˛  ,πa ,b- ˛ -  , ，
2   2 2
此时tan (a -b )> 0，故 a -b > 0，
tan (a -b )= - 4 = 4 £ 2 5 5
所以 5k+ 1 - 5k+ - 

1

5 ，当且仅当k =-
5
时等号成立.
k  k
综上，当 a -b 取得最大值时，直线AB的方程为y=- 5 x+ 5 . ........12分
5 5
高三数学答案（B）第6页（共6页）
{#{QQABSQQUogiIAAJAAQhCAwUaCACQkAAACIoOgBAEIAAASBNABAA=}#}