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高三数学试题（B）参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．C 2．B 3．C 4．A 5．C 6．B 7．B 8．A
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．ACD 10．BD 11．AD 12．BC
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
2p 13 1 12- 4 6
13． 14． 15．- 16． ,+¥
3 14 e 3
四、解答题：本大题共6 小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10分）
解:（1）因为2cos22C =3- 5cos ( 23π- 2C ) =- 3 5co-s ( π 2C+) =3 5cos2C， ...........2分
1
所以2cos22C- 5cos2C- =3 0，解得cos2C=- 或cos2C =3（舍去），
2
1 1
所以2cos2C- 1=- ，即cosC=– ， ...........4分
2 2
p π
因为0 0 ) ，设u ( x )=ex- 1- 1( x> 0 ) ， ...........1分
x x
- 1
由函数y=ex- 1和y= 在(0,+∞)上单调递增，
x
知函数u ( x ) 在(0,+∞)上单调递增，且u ( 1 )=g¢ ( 1 )=e0- 1= 0， ...........3分
所以当x˛ ( 0,1 ) 时，g ¢ ( x )<0，即g ( x ) 在 ( 0,1 ) 上单调递减，
当x˛ ( 1+,¥ ) 时，g¢ ( x )>0，即g ( x ) 在(1,+∞)上单调递增，
所以g ( x ) =g ( 1 )=0
min
即 f ( x )- lnx+ x- ‡ 1 0在(0,+∞)上恒成立； ...........6分
高三数学答案（B）第2页（共6页）
{#{QQABSQQUogiIAAJAAQhCAwUaCACQkAAACIoOgBAEIAAASBNABAA=}#}（2）由 f ( x )=aex - x= 0，得a= x ，令h ( x )= x ，
ex ex
则 f ( x ) 有2个零点，等价于函数y=h ( x ) 与y=a的图象有2个交点，
令h¢ ( x )= 1- x =0，得x=1， ...........8分
ex
当x˛ (-∞,1)时h¢(x)>0，当x˛ (1,+∞)时h¢(x)<0，
( )
则函数h x 在(-∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
故h ( x ) =h ( 1 )= 1 ， ...........10分
max e
当x<0时，h
(
x
)<0，当x趋向于正无穷时，y=ex趋向于正无穷的速率远远比y=x
( )
大，故h x 趋向于0，
( )
作出函数h x 的大致图象如下：
结合图象可知，当0 0，
+ y2 =1, 1 1 1
2
2k2- 2 2y2- 2 ( x+ 1 )2 2- -x2 2+( x 1 )2 - 3x2- 4x
则xx = 1 = 1 1 = 1 1 = 1 1，
1 3 1+2k2 ( x +1 )2+2y2 ( x +1 )2+2- x2 2x +3
1 1 1 1 1 1
- 3x- 4 - y
得x = 1 ,y = 1 . ...........7分
3 2x +3 3 2x +3
1 1
同理，当x „- 1时，设直线BF的方程为y=k ( x+1 ) ,k = y 2 ，
2 1 2 2 x +1
2
- 3x- 4 - y
则x = 2 ,y = 2 . ...........8分
4 2x +3 4 2x +3
2 2
y y
y - y 2x 1 +3 - 2x 2 +3 k ( x - 1 )( 2x+ 3-) k (-x 1 )(+2x 3 )
则tanb =
x
4
4 - x 3
3 =
3x 1
1
+4 - 3x 2
2
+4
=
( 3x+ 1
1
4 )( 2x+
2
2 3-) ( 3+x 2
2
4 )( 2+x
1
1 3 )
2x +3 2x +3
1 2
5k ( x - x )
= 1 2 =5k =5tana .
x - x
1 2
高三数学答案（B）第5页（共6页）
{#{QQABSQQUogiIAAJAAQhCAwUaCACQkAAACIoOgBAEIAAASBNABAA=}#}当x =- 1时，
(-
1
)2
+y2 =1，解得y=– 2 ，
1
2 2
2
由椭圆的对称性，不妨设A
- 1,
，
2
2
( ) - 0
由于F 2 1,0 ，故 k =tana = 2 =- 2 ，
- 1- 0 4
此时直线AB:y=- 2( x- 1 ) ，联立椭圆方程得5x2- 2x- =7 0，
4
7 7 2 7 2
解得x= 或- 1（舍去），当x= 时，y=- · - =1- ，
5 5 4 5 10
7 2 2 41 2
故B
,-
，同理可得M
- 1-,
，N
- ,
，
5 10 2 29 58
2 2
+
则tanb = 58 2 =- 5 2 ，满足tanb =5tana . ...........10分
- 41 + 1 4
29
tan (a -b )= tana - tanb = - 4k = - 4
所以 1+tana tanb 1+5k2
5k+
1 .
k
当k >0时，ab, ˛ 0, π ,taan (b- 0，故 a -b > 0，
tan (a -b )= - 4 = 4 £ 2 5 5
所以 5k+ 1 - 5k+ -
1
5 ，当且仅当k =-
5
时等号成立.
k k
综上，当 a -b 取得最大值时，直线AB的方程为y=- 5 x+ 5 . ........12分
5 5
高三数学答案（B）第6页（共6页）
{#{QQABSQQUogiIAAJAAQhCAwUaCACQkAAACIoOgBAEIAAASBNABAA=}#}
