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湘豫名校联考
2023 年 9 月高三一轮复习诊断考试（一）
数学
注意事项：
1．本试卷共6页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位
置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘
贴在答题卡上的指定位置．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在本试卷上
无效．
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知命题p： ， ，则 为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．已知全集 ，集合 ， ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
3．若曲线 在点 处的切线在y轴上的截距为1，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
4．把函数 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），然后把所得曲线向右
平移 个单位长度，得到函数 的图象，若 的一个极值点为 ，则 的最小正数为（ ）
A． B． C． D．
5．函数 的大致图象为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
6．若函数 在 上单调递增，则实数a的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为AB边上一点， ， ，
，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
8．函数 在 上存在极大值 和极小值 ，且 ，则实数a
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 的导函数为 ，曲线 上存在不同的两点 ， ，且
学科网（北京）股份有限公司， 成立，则下列满足上述条件的函数是（ ）
A． B． C． D．
11．已知角 ， 都是锐角，且 ， ， ，则下列结
论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知定义在 上的函数 在区间 上满足 ，当 时，
；当 时， ．若直线 与函数 的图象有6个不同
的交点，各交点的横坐标为 ，且 ，则下列结论正确的是（
）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．用指数模型： 描述累计一个池塘甲种微生物的数量y随时间t（单位：天）的变化规律，则该池
塘甲种微生物的数量增加到原来的3倍需要的时间约为______天．（ ，结果精确到0.1）．
14．一场大雨过后，某市上空出现了圆弧形状的彩虹，某研究小组欲测量人们在地面可观察到的该彩虹（最
外环）的弧长，已知彩虹所在圆面垂直于水平面，示意图如图所示，彩虹最高点为A，EF为彩虹所在圆面与
水平面BCD的交线，点B为EF的中点，若在点C处测得点A的仰角为45°，在点D处测得点A的仰角为
30°，并测得 ， ， ，则彩虹（ ）所在圆的半径为
______m，彩虹（ ）的长度为______m．（第一空3分，第二空2分）
学科网（北京）股份有限公司15．已知奇函数 的定义域为R， ，则 ______．
16．若不等式 在 上恒成立，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知函数 ，且 相邻两个极值点的差的绝对值为 ．
（1）当 时，求函数 的值域；
（2）若 ，求 的值．
18．（本小题满分12分）
已 知 函 数 ， ， 的 图 象 经 过 点 ， ， 且
．
（1）求不等式 的解集；
（2）若 ，不等式 恒成立，求此关于x的不等式的解集．
19．（本小题满分12分）
某公司为宣传其产品，设计一大型广告立牌置于公司楼下显目位置，广告立牌垂直于地面，其设计图如下所
示，由直角 和以BC为直径的半圆拼接而成， ，AB固定于地面，且AB=10m，点P为半圆
上一点（异于B，C两点），四边形ABPC为梯形， ，该广告立牌右侧有一条垂直于AB的直线小道
L（直线小道路面与地面平齐），与AB的延长线交于点D，且BD=10m．
（1）若沿该造型外部边缘增加铁丝加以固定，求铁丝长度（即 ）的最大值及此时 的
学科网（北京）股份有限公司值；（2）若 ，行人M（视为质点，行人高度忽略不计）沿直线小道L向该广告立牌走近，当
对底边AB观察的视线所张的角最大时，求从M处观察P点时仰角的正切值．
23．（本小题满分12分）
已知函数 与 互为反函数，函数 ．
（1）求函数 的值域；
（2证明： ．
24．（本题5分）（本小题满分12分）
已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角∠ACD的平分线，CB与AD相交于点O， ， ，
．
（1）求CO的长；
（2）若 ，求 的面积．
25．（本小题满分12分）
已知函数 ， ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）若 ，不等式 恒成立，求整数a的最大值．
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2023 年 9 月高三一轮复习诊断考试（一）
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A D D A D C AB AC ABD ACD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．C【命题意图】本题考查全称量词命题及其否定形式，考查了逻辑推理的核心素养．
【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，根据 的定义，可知C选项正确．故选C．
2．B【命题意图】本题考查集合的交、并、补集的运算，考查了数学运算的核心素养．
【解析】由题可得 ，所以 ，所以 ．故选
B．
3．A【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查了数学运算的核心素养．
【解析】因为点 在曲线 上，所以 ．因为 ，所以该曲线在点A处的切
线斜率 ．所以切线方程为 ．令 ，则 ，故 ．故选A．
4．D【命题意图】本题考查三角函数的图象变换，考查了直观想象、逻辑推理的核心素养．
【解析】根据题意， 图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到
的图象，再向右平移 个单位长度得到 的
图象．又函数 的一个极值点为 ，所以 ， ，即 ， ．故
时， 可取到最小正数 ．故选D．
5．D【命题意图】本题考查函数的图象，考查了直观想象的核心素养．
【解析】因为 ，所以函数 为奇函数，排除 A，B 选项；因为
学科网（北京）股份有限公司，排除C选项，故选D．
6．A【命题意图】本题考查三角函数的单调性，考查了数学运算的核心素养．
【解析】由题意得 ．令 ， ，则 ，所以
在 上单调递增．易知 ，所以 ，所以 ．所
以实数a的最大值为 ，故选A．
7．D【命题意图】本题考查三角形的面积公式和基本不等式的应用，考查了数学运算的核心素养．
【解析】由题可得 ，所以 ，所以
， 等 式 两 边 同 除 以 ab ， 得 ， 所 以
，当且仅当 时，等号成立，故选D．
8．C【命题意图】本题考查函数的极值、导数的应用，考查了数学运算的核心素养．
【解析】 当 时，方程 在 上有两个不同的实根 ， ，且
，则 解得 ；当 时， ，不满足题意；当 时，
的图象开口向下，若方程 在 上有两个不同的实根 ， ，则 的极大值点
大于极小值点 ，与题意矛盾．综上所述， ，故选C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
学科网（北京）股份有限公司9．AB【命题意图】本题考查不等式的性质，指数函数、对数函数的单调性，考查了数学运算、逻辑推理的
核心素养．
【解析】根据题意，得 ．因为 在 上为增函数，所以 ，A选项正确；因为
在 上为增函数，所以 ，B选项正确；易知 在 上单调递减，在
上单调递增，所以 与 的大小不确定，C 选项错误； ，即 ，设
， ，则 ，令 ，得 ．因为当 时， ；当
时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减．所以 ， 的大
小不确定，D选项错误，故选AB．
10．AC【命题意图】本题考查函数的概念、导数的运算、导数的几何意义，考查了数学抽象、数学运算的核
心素养．
【解析】记 ， ， ．A 选项，因为 ，所以
．当 时， ；当 时， ．所以 ，
所以 的值域为 ，所以存在 ， 使得 ， ．A选项正确；
B选项， ，易知 的值域为 ，所以不存在 ， 使得 ，B选项错误；
C 选 项 ， 因 为 ， 所 以 的 值 域 为 R ． 所 以 一 定 存 在 ， 使 得
， ，C选项正确；D选项，因为 ，所以 的值域为
，所以不存在 ， 使得 ，D选项错误．故选AC．
11．11题题干有误，学生统一都得分．
12．ACD【命题意图】本题考查函数的图象与性质、函数与方程，考查了直观想象、数学运算的核心素养．
学科网（北京）股份有限公司【解析】因为 ，所以 ，所以 ，A选项正
确；当 时， ，所以 ．又 ， ，所
以 ．所以 ，B 选项错误；因为当 时，
，所以当 时， 的图象关于直线 对称，所以
．又 ，所以 ，C选项正确；因为 与 ， 与 关于直线
对 称 ， 所 以 ． 又 与 关 于 直 线 对 称 ， 所 以 ． 所 以
，所以 ．由题意可画图判断（图略） ，
所以 ，D选项正确，故选ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．2.5【命题意图】本题考查指数的运算、函数的应用，考查了数学运算的核心素养．
【解析】由题意，池塘甲种微生物的数量增加到原来的 3倍，则 ，即 ．所以
，即 ．所以 （天）．
14．1200（3分） 800 （2分）【命题意图】本题考查余弦定理的应用和扇形知识，考查了数学运算、直观
想象的核心素养．
【解析】设彩虹最高点A到水平面BCD的距离为x m，由题易得点A到平面BCD的距离即为AB的长度，则
， ．在 中，由余弦定理得 ，即
，整理得 ，解得 （舍去）或 ．
易得 ．设圆弧所在圆的半径为R m，圆心为O，则 ，所以 ．
所以 ．故彩虹（ ）的长度为 ．
15．2024 【命题意图】本题考查抽象函数的性质，考查了逻辑推理的核心素养．
学科网（北京）股份有限公司【 解 析 】 因 为 为 奇 函 数 ， 所 以 ． 由 ， 可 得
，即 ．设 ，则
，所以 为奇函数，所以g(0)=0，且g(1-x)=g(1+x)，所以 的图象
关于直线 对称．由 ，得 ，所以 ，所以
． 所 以 的 周 期 为 4 ． 所 以
，所以 ．
16．[1,+) 【命题意图】本题考查导数的应用与不等式恒成立问题，考查了数学运算的核心素养．
【解析】由 ，得 ，变形得 ，所以 ．令 ，则
．当 时， ，所以 在 上为增函数，若 ，则不等式恒成立．
若 ，则 ， ，所以 恒成立，即
恒成立，设 ， ，则 ．当 时， ，所以
单调递增；当 时， ，所以 单调递减．所以 的最大值为 ，所以
．故实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【命题意图】本题考查三角恒等变换和三角函数图象的性质，考查了数学运算的核心素养．
【解析】（1）因为
．
由题意得 的最小正周期为 ， ，所以 ，即 ．
学科网（北京）股份有限公司所以 ．
当 时， ，所以 ．
所以 ，故函数 的值域为 ．
（2）由 ，得 ，所以 ．
所以 ．
18．【命题意图】本题考查函数的单调性和含参一元二次不等式的解法，考查了数学运算的核心素养．
【解析】（1）由题意可得， ， ，所以 ，
两式相乘，整理得 ．
由 ，得 ，所以 ．
易知 为减函数，又 ，所以当 时， ．
故不等式 的解集为 ．
（2）因为 为减函数，又 ，所以 ．所以 的值域为 ．
因为 ，不等式 恒成立，则 ．
所以 ．所以原不等式变为 ，
当 时，不等式两边同除以a，得 ．
所以当 时，解得 ；
当 时，解得 ；
学科网（北京）股份有限公司当 时，解得 ；
当 时，原不等式等价于 ，即 ．
综上可得，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ．
19．【命题意图】本题考查三角函数的应用和基本不等式的应用，考查了直观想象、数学运算的核心素养．
【解析】（1）因为 为直角三角形，设 ， ，
又 ，所以 ．
因为在直角 中， ，所以 ， ．
所以 （其中 ）．
当 ，即 时， 取到最大值，为 ，
所以 ．
（2）依题意，设 ， ， ， ，则 ，
所以 ， ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时等号成立．
所以当 时，对底边AB观察的视线所张的角最大．
因为 ，易得 ，所以 ， 平面AMD，所以 ．
因为 ， ，所以 ，所以 ．
所以从M处观察P点时仰角的正切值为 ．
20．【命题意图】本题考查函数的性质及其应用，考查了数学运算、直观想象的核心素养．
【解析】（1）因为 ，
令 ，则 ， ，所以 ．
所以当 时， ；当 时， ．
故所求函数的值域为 ．
（2）根据题意，易得 ， ．欲证 ，即证 ．
令 ， ．
则 ．
令 ， ，则 ．
易知 恒成立，所以 在R上为减函数，又 ，所以 ．
又 恒成立，所以当 时， ，即 ，故 在 上单调递增；
当 时， ，即 ，故 在 上单调递减，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 恒成立，故 ．
21．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查了数学运算的核心素养．
【解析】（1）在 中，由余弦定理得 ，
解得 或 （舍去）．
因为 ，所以 ．所以 ，
解得 （负值舍去），所以 ．
因为 ，
所以 ．
所以 ．
所以 ．
（2）在 中，由正弦定理可得 ，
则 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
由余弦定理可得 ，解得 ．
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以
，
所以 ．
22．【命题意图】本题考查导数及其应用，考查了数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养．
【解析】（1）当 时， ，所以 ．
因为 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）因为 ， ，所以 ， ．
①当 ，即 时， ，所以 在 上单调递增，
②当 ，即 时，由 ，得 ；
由 ，得 ．所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上所述，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减．
（3）因为 ， 恒成立，即 恒成立，
令 ，则 ，显然 在 上单调递减．
学科网（北京）股份有限公司又 ， ，
所以存在唯一实数 ，使得 ，即 ，亦即 ．
所以当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
所以 ，所以 ．
①若 ，则 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，所以 符合题意．
②若 ，则 ，所以 成立，故 符合题意；
③若 ，则 在 上单调递减，
当 时， ，且 ，
又 ，所以当 时， ．
下证当 时， ，即证 ．
则 ，易知 单调递减．
所以当 时， ，
所以 在 上单调递减．所以 ．
故 时符合题意；
当 时， ，取 ，则 ．
因为 ，不满足 ，
所以当 时，不符合题意；
学科网（北京）股份有限公司综上所述，满足条件的整数a的最大值为2．
学科网（北京）股份有限公司
